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罗湖区初中数学2025届
中考备考“百师助学”
《应用题中利用函数性质求最值》
——罗景匀
模块一：面积问题
例1．某农场拟建两个矩形房间，房间一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两个房间的宽度为，总占地面积为．
(1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围．
【例题精讲】
（1）解：设房间的宽度为，则长为
∵
∴
由矩形的面积可得：
∴
模块一：面积问题
例1．某农场拟建两个矩形房间，房间一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两个房间的宽度为，总占地面积为．
【例题精讲】
(2)求房间的宽度为多少米时，最大面积为多少 ？
（2）解： ∵
∴函数图像开口向下
∴当时，即宽度为8时，房间最大面积为
(3)若要使两个房间合计占地总面积不低于 ，求房间的宽度的范围．
（3）解：令可得：
解得：或
∴要使两个房间合计占地总面积不低于 ，的取值范围为
【针对巩固】
模块一：面积问题
练习1.林场要建一个果园(矩形),果园的一面靠墙(墙最大可用长度为米),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分为甲、乙两个场地,并在如图所示的两处各留米宽的门(不用木栏),木栏总长米.设果园(矩形ABCD)的边AB为米,矩形ABCD的面积为平方米.
(1)求关于的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
解:(1)设米,则米
∴.
(2)求果园能达到的最大面积及相应的值;
由,且
可得的取值范围是:
∴
【针对巩固】
(3)若木栏比多米,其余条件不变,甲场地种植葡萄,一季平均每平方米收益元;乙场地种植草莓,一季平均每平方米收益元.若果园的利润不低于,请直接写出整数的所有可能取值.
模块一：面积问题
(3)设总利润为元.
由题意得
当时,或
结合的取值范围,即，那么可取的整数值为.
，
模块二：利润问题
例2．某工厂生产两种型号的环保产品,产品每件利润元,产品每件利润元,该工厂按计划每天生产两种产品共件,其中产品的总利润比产品少元.
解:(1)设每天生产产品件,则每天生产产品件
由题意得:,
解得,
此时(件),
答:每天生产产品件,生产产品件;
(2)据市场调查,产品的需求量较大,该厂决定在日总产量不变的前提下增加产品的生产,但产品相比原计划每多生产一件,每件利润便降低元.设该厂实际生产产品的数量比原计划多件,每天生产产品获得的总利润为元.
①求总利润的最大值;
(2)①由题意得,
∵,∴当时有最大值,最大值为
∴总利润的最大值为元
(1)求该厂计划每天生产产品和产品各多少件
【例题精讲】
模块二：利润问题
例2．某工厂生产两种型号的环保产品,产品每件利润元,产品每件利润元,该工厂按计划每天生产两种产品共件,其中产品的总利润比产品少元.
②若每生产一件环保产品,政府给予元的补贴,要使该厂每日利润不少于,试求的最小值.
②由①得
∵该厂每日利润不少于元
则：
化简得
解得
的最小值是
【例题精讲】
练习2.中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第天(,且为整数)与该天销售量(件)之间满足函数关系如表所示:
为回馈顾客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价(元)与第天(且为整数)成一次函数关系且满足.已知该纪念品成本价为元/件.
(1)求关于的函数表达式;
【针对巩固】
模块二：利润问题
第天 …
销售量(件) …
解:(1)由表格信息可知是的一次函数,设关于的函数表达式为,
把和代入可得:，解得:
∴关于的函数表达式为
【针对巩固】
模块二：利润问题
（2）求这28天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
设总利润为元,则
∵
∴当时最大,最大值
信息整合：
①销售量(件)与销售第天的关系为：
②销售单价(元)与第天成一次函数关系且满足：
③该纪念品成本价为元/件
【针对巩固】
模块二：利润问题
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售,销售第天与该天销售量(件)仍然满足原来函数关系,问第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是元,求的值.
(3)由题意可得:
第天开始每件商品的利润为:
设此时利润为元,则
其中对称轴
当时随的增大而减小
当时有最大值为
解得:
例3．高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过起跳点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离处的水平距离为米时，高出水平线的高度为米．
模块三：抛物线与图像应用
【例题精讲】
模块三：抛物线与图像应用
（1）解：把代入
，
得解得
∴抛物线所对应的函数表达式为0
(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)若运动员在高出水平线米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到点的水平距离．
（2）由题意得：代入
解得(不合题意,舍去)
答：到点的水平距离米时，运动员在距地米的小山坡上着地．
模块三：抛物线与图像应用
(3)在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
把（）代入
解得
=
时，值最大
∴当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离为米
模块三：抛物线与图像应用
【针对巩固】
练习3．如果将运动员的身体看作一点,则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所示的平面直角坐标系,运动员从点起跳,从起跳到入水的过程中,运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系.
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时,运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表:
根据上述数据,求出关于的关系式;
水平距离
竖直高度
解:(1)由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系,设二次函数的关系为,
代入得 解得
∴关于的关系式为
模块三：抛物线与图像应用
【针对巩固】
(2)在(1)的这次训练中,求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长;
解：把代入
得
解得(不合题意,舍去)
∴运动员甲从起点A 到入水点的水平距离的长为2米;
模块三：抛物线与图像应用
【针对巩固】
(3)信息1:记运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为,从到达到最高点开始计时,则他到水面的距离与时间之间满足
信息2:已知在达到最高点后，需要的时间才能完成极具难度的动作.
问题解决:①请通过计算说明,在(1)的这次训练中,运动员甲能否成功完成此动作
由得竖直高度与水平距离满足
化简得
运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为，即
将解得 （不合题意，舍去）
运动员甲不能成功完成此动作
模块三：抛物线与图像应用
【针对巩固】
②运动员甲进行第二次跳水训练,此时他的竖直高度与水平距离的关系为若选手在达到最高点后要顺利完成动作,则的取值范围是　　　　　　　　　.
由
得最大值为
代入得
已知需要顺利完成动作，得
即，解得

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