资源简介

罗湖区中考备考“百师助学”课程之《应用题中结合函数性质求最值》
——罗景匀
一、 知识技能梳理
在讲解二次函数应用题时，我们可以围绕面积最值、利润最大值和抛物线图像最值这三
个核心角度展开。对于面积最值问题，学生需要掌握如何根据几何条件（如固定长度的篱笆
围矩形）建立面积与边长的函数关系，并通过配方或顶点公式求出最大值，同时注意实际约
条件（如边长非负）。
利润最大值问题的关键在于理解“利润=单件利润×销量”的模型，学生需学会根据售价变
化调整销量关系，构建二次函数并利用顶点确定最优定价。可通过表格梳理售价、销量和利
润的对应关系，有助于直观理解变量之间的影响。
对于抛物线图像最值问题，学生需要根据实际问题（如喷泉高度、拱桥跨度）提取顶
点、开口方向等关键信息，必要时建立适当的坐标系，并代入已知点坐标计算，解决具体求
最值问题（如车辆通行高度）。无论是哪类问题，教师都应注重分层教学，为基础薄弱的学生
提供填空式模板，而对能力较强的学生则鼓励自主建模，引导学生总结出“建模型、抓顶点、
验实际”的通用解题逻辑，让他们意识到二次函数不仅是抽象的数学符号，更是解决生活中优
化问题的有力工具。
二、 学习过程
模块一：面积问题
【例题精讲】
例 1．某农场拟建两个矩形房间，房间一面靠已有的墙（墙长大于48m），中间用一道墙隔开，正
面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5 ，计划中的建筑材料总长45m，设两个房间的
宽度为 ，总占地面积为 2．
(1)求 y关于 x的函数表达式和自变量 x的取值范围．
(2)求房间的宽度为多少米时，最大面积为多少m2 ？
(3)若要使两个房间合计占地总面积不低于189m2，求房间的宽度 的范围．
【针对巩固】
练习 1. 林场要建一个果园(矩形 ),果园的一面靠墙(墙最大可用长度为30米),另三边用木栏围
成,中间 也用木栏隔开,分为甲、乙两个场地,并在如图所示的两处各留1米宽的门(不用木栏),木栏
总长58米.设果园(矩形 )的边 为 米,矩形 ABCD 的面积为 平方米.
(1)求 关于 的函数表达式,并写出自变量 的取值范围;
(2)求果园能达到的最大面积 及相应 的值;
(3)若木栏 比 多10米,其余条件不变,甲场地种植葡萄,一季平均每平方米收益40元;乙场地种植
草莓,一季平均每平方米收益160元.若果园的利润不低于16800,请直接写出整数 的所有可能取值.
模块二：利润问题
【例题精讲】
例 2．某工厂生产 , 两种型号的环保产品, 产品每件利润200元, 产品每件利润500元,该工厂按
计划每天生产两种产品共50件,其中 产品的总利润比 产品少4000元.
(1)求该厂计划每天生产 A 产品和 B 产品各多少件
(2)据市场调查, 产品的需求量较大,该厂决定在日总产量不变的前提下增加 产品的生产,但 产品
相比原计划每多生产一件,每件利润便降低10元.设该厂实际生产 产品的数量比原计划多 件,每天
生产 , 产品获得的总利润为 元.
① 求总利润 的最大值;
②若每生产一件环保产品,政府给予 a 元的补贴,要使该厂每日利润不少于17200 元,试求 a 的最小
值.
【针对巩固】
练习 2. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念
品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第 天(1 ≤ ≤ 28,且 为整数)与
该天销售量 (件)之间满足函数关系如表所示:
第 天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量
220 240 260 280 300 320 340 …
(件)
为回馈顾客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价 (元)与第 天(1 ≤ ≤ 28且 为整数)成
一次函数关系且满足 = 2 + 100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求 关于 的函数表达式;
（2）求这 28 天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第20天开始每件商品的单
价在原来价格变化的基础上再降价 元销售,销售第 天与该天销售量 (件)仍然满足原来函数关系,问
第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是20250元,求 的值.
模块三：抛物线与图像应用问题
【例题精讲】
例 3．高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道
飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和
动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的
横截面示意图，取某一位置的水平线为 x轴，过起跳点 A作水平线的垂线为 y轴，建立平面直角
1
坐标系．图中的抛物线 l1 : y
2
1 = x +mx + 40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点
240
1
O正上方 50 米处的 A点滑出，滑出后沿一段抛物线 l2 : y2 = x
2 +bx + c运动．飞行中某一时刻
120
当运动员运动到离 A处的水平距离为 60 米时，高出水平线的高度为 60 米．
(1)求抛物线 2所对应的函数表达式．
(2)若运动员在高出水平线 10 米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到 A点的水平距离．
(3)在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡 l1的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
【针对巩固】
练习 3．如果将运动员的身体看作一点,则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立
如图 2 所示的平面直角坐标系 ,运动员从点 (0,10)起跳,从起跳到入水的过程中,运动员的竖直高度
( )与水平距离 ( )满足二次函数的关系.
水平距离 ( ) 0 1 1.5
竖直高度 ( ) 10 10 6.25
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时,运动员甲的水平距离 与竖直高度 的几组数据如表:
根据上述数据,求出 关于 的关系式;
(2)在(1)的这次训练中,求运动员甲从起点 到入水点的水平距离 的长;
(3)信息 1:记运动员甲起跳后达到最高点 到水面的高度为 ( ),从到达到最高点 开始计时,则他到水面
的距离 ( )与时间 ( )之间满足 = 5 2 + .
信息 2:已知运动员甲在达到最高点后需要1.6 的时间才能完成极具难度的270 动作.问题解决:
① 请通过计算说明,在(1)的这次训练中,运动员甲能否成功完成此动作
② 运动员甲进行第二次跳水训练,此时他的竖直高度 ( )与水平距离 ( )的关系为 = 2 +
10( < 0),若选手在达到最高点后要顺利完成270 动作,则 的取值范围是 .模块一：面积问题
【例题精讲】
例 1．某农场拟建两个矩形房间，房间一面靠已有的墙（墙长大于48m），中间用一道墙隔开，正
面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5 ，计划中的建筑材料总长45m，设两个房间的
宽度为 ，总占地面积为 2．
(1)求 y关于 x的函数表达式和自变量 x的取值范围．
(2)求房间的宽度为多少米时，最大面积为多少m2 ？
(3)若要使两个房间合计占地总面积不低于189m2 ，求房间的
宽度 的范围．
【详解】（1）解：设房间的宽度为 ，则长为(45 3 + 1.5 × 2) = (48 3 )
∵0 < 48 3 , > 0
∴0 < < 16
由矩形的面积可得： = (48 3 ) = 3 2 + 48
∴ = 3 2 + 48 (0 < < 16)
（2）解：∵ = 3 2 + 48 = 3( 8)2 + 192
∴函数图像开口向下
∴当 = 8时，宽度为8 时，房间最大面积为 2192m
（3）解：令 = 189可得：189 = 3( 8)2 + 192，解得： = 9或 = 7
∴要使两个房间合计占地总面积不低于189 2， 的取值范围为7 ≤ ≤ 9
【针对巩固】
练习 1. 林场要建一个果园(矩形 ),果园的一面靠墙(墙最大可用长度为30米),另三边用木栏围
成,中间 也用木栏隔开,分为甲、乙两个场地,并在如图所示的两处各留 1 米宽的门(不用木栏),木
栏总长 58 米.设果园(矩形 )的边 为 米,矩形 ABCD 的面积为 平方米.
(1)求 关于 的函数表达式,并写出自变量 的取值范围;
(2)求果园能达到的最大面积 及相应 的值;
(3)若木栏 比 多10米,其余条件不变,甲场地种植葡萄,一季平均每平方米收益40元;乙场地种植
草莓,一季平均每平方米收益160元.若果园的利润不低于16800,请直接写出整数 的所有可能取值.
【详解】:(1)设 = 米,则 = (58 + 2 3 )米
∴ = (60 3 ) = 3 2 + 60 .
由 = 60 3 ≤ 30,且60 3 > 0
可得 的取值范围是:10 ≤ < 20
∴ = 3 2 + 60 (10 ≤ < 20)
(2) ∵ = 3 2 + 60 = 3( 10)2 + 300
∴ = 10 时, 2最大值 = 300
(3)设总利润为 元.
由题意得 + = 60 3 , = 10
70+3
∴ = = 35 1.5
2
∴ = 35 1.5 10 = 25 1.5
∴ = 40 · 甲 + 160 · 乙
= 40 · (35 1.5 ) + 160 · (25 1.5 ) = 300 2 + 5400 (10 ≤ < 50)
3
当 = 16800时, = 14或4
结合 的取值范围10 ≤ < 50 ,即10 ≤ < 14，可得 可取的整数值为3 14,13,12,11,10.
模块二：利润问题
【例题精讲】
例 2．某工厂生产 , 两种型号的环保产品, 产品每件利润200元, 产品每件利润500元,该工厂按
计划每天生产两种产品共50件,其中 产品的总利润比 产品少4000元.
(1)求该厂计划每天生产 A 产品和 B 产品各多少件
(2)据市场调查, 产品的需求量较大,该厂决定在日总产量不变的前提下增加 产品的生产,但 产品
相比原计划每多生产一件,每件利润便降低10元.设该厂实际生产 产品的数量比原计划多 件,每天
生产 , 产品获得的总利润为 元.
① 求总利润 的最大值;
②若每生产一件环保产品,政府给予 a 元的补贴,要使该厂每日利润不少于17200 元,试求 a 的最小
值.
【详解】(1) 解：设每天生产 产品 件,则每天生产 产品(50 )件
由题意得:500(50 ) 200 = 4000,解得 = 30
此时50 = 50 30 = 20(件)
答:每天生产 A 产品 30 件,生产 B 产品 20 件;
(2)①由题意得, = (500 10 )(20 + ) + 200(30 )
= 10 2 + 100 + 16000 = 10( 5)2 + 16250.
∵ 10 < 0
∴当 = 5时 有最大值,最大值为16250
∴总利润 的最大值为16250元
②由题意得 = 10( 5)2 + 16250 + 50
∵该厂每日利润不少于17200元
得： 10( 5)2 + 16250 + 50 ≥ 17200
化简得( 5)2 ≤ 95 + 5
∵( 5)2 ≥ 0
∴ 95 + 5 ≥ 0,解得 ≥ 19
∴ 的最小值为 19.
【针对巩固】
练习 2. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念
品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第 天(1 ≤ ≤ 28,且 为整数)与
该天销售量 (件)之间满足函数关系如表所示:
第 天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量
220 240 260 280 300 320 340 …
(件)
为回馈顾客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价 (元)与第 天(1 ≤ ≤ 28且 为整数)成
一次函数关系且满足 = 2 + 100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求 关于 的函数表达式;
（2）求这 28 天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第20天开始每件商品的单
价在原来价格变化的基础上再降价 元销售,销售第 天与该天销售量 (件)仍然满足原来函数关系,问
第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是20250元,求 的值.
【详解】(1) 解：由表格信息可知 是 的一次函数,设 关于 的函数表达式为 = + ,
+ = 220 = 20
把(1,220)和(2,240)代入可得:{ ，解得:{
2 + = 240 = 200
∴ 关于 的函数表达式为 = 20 + 200(1 ≤ ≤ 28)
(2)设总利润为 元,则 = ( 20) = (20 + 200)( 2 + 80)
2
= 40 2 + 1200 + 16000 = 40（ 15） + 25000
∵ 40 < 0，∴当 = 15时 最大,最大值为25000 元
(3)由题意可得:第20天开始每件商品的利润为:（ 20） = ( 2 + 80 )元
设此时利润为 元,则 = ( 2 + 80 )
= 40 2 + (1 200 20 ) + 200(80 )
1
其中对称轴 = = 1200 2 = 60 = 15 < 15
2 2×( 40) 4 4
∵ 40 < 0，当20 ≤ ≤ 28时， 随 的增大而减小
∴当 = 20时, 有最大值为20250
∴ 代入 = 20， = 20250，得(20 × 20 + 200)( 2 × 20 + 80 ) = 20250，解得: = 6.25
模块三：抛物线与图像应用问题
【例题精讲】
例 3．高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道
飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和
动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的
横截面示意图，取某一位置的水平线为 x轴，过起跳点 A作水平线的垂线为 y轴，建立平面直角
1
坐标系．图中的抛物线 l1 : y
2
1 = x +mx + 40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点
240
1 2
O正上方 50 米处的 A点滑出，滑出后沿一段抛物线 l2 : y2 = x +bx + c运动．飞行中某一时刻
120
当运动员运动到离 A处的水平距离为 60 米时，高出水平线的高度为 60 米．
(1)求抛物线 2所对应的函数表达式．
(2)若运动员在高出水平线 10 米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到 A点的水平距离．
(3)在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡 l1的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
【详解】（1）解：把(0,50)、(60,60)代入
1
22 = + + ，得 120
= 50 2 =
{ 1 2 ，解得{ 3 ， 60 = × 60 + 60 + 50
120 = 50
1 2
∴抛物线 2所对应的函数表达式： 2 =
2 + + 50
120 3
1 2
（2）由题意得：代入 2 = 10，即
2 + + 50 = 10，解得 1 = 120, 2 = 40（舍去）， 120 3
答：到 A 点的水平距离 120 米时，运动员在距地 10 米的小山坡上着地．
1 1 1
（3）把(120,10)代入 21 = + + 40，解得 = ， 240 4
1 2 1∴ 1 = + + 40， 240 4
1 2 1 1
2 1 =
2 + + 50 ( 2 + + 40)
120 3 240 4
1 5
= 2 + + 10，
240 12
1
∵ < 0
240

∴ = = 50时， 值最大，
2 2 1
答：当运动员与小山坡 1的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离 50 米．
【针对巩固】
练习 3．如果将运动员的身体看作一点,则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立
如图 2 所示的平面直角坐标系 ,运动员从点 (0,10)起跳,从起跳到入水的过程中,运动员的竖直高度
( )与水平距离 ( )满足二次函数的关系.
水平距离 ( ) 0 1 1.5
竖直高度 ( ) 10 10 6.25
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时,运动员甲的水平距离 与竖直高度 的几组数据如表:
根据上述数据,求出 关于 的关系式;
(2)在(1)的这次训练中,求运动员甲从起点 到入水点的水平距离 的长;
(3)信息 1:记运动员甲起跳后达到最高点 到水面的高度为 ( ),从到达到最高点 开始计时,则他到水面
的距离 ( )与时间 ( )之间满足 = 5 2 + .
信息 2:已知运动员甲在达到最高点后需要1.6 的时间才能完成极具难度的270 动作.问题解决:
① 请通过计算说明,在(1)的这次训练中,运动员甲能否成功完成此动作
② 运动员甲进行第二次跳水训练,此时他的竖直高度 ( )与水平距离 ( )的关系为 = 2 +
10( < 0),若选手在达到最高点后要顺利完成270 动作,则 的取值范围是 .
【详解】(1)解：由运动员的竖直高度 ( )与水平距离 ( )满足二次函
数的关系,设二次函数的关系为 = 2 + + 10
+ = 0
代入 = 5(1,10), (1.5,6.25),得{9 3 解得 + = 3.75 {
2 = 54
∴ 关于 的关系式为 = 5 2 + 5 + 10
（2）把 = 0代入 = 5 2 + 5 + 10得 5 2 + 5 + 10 = 0
解得 1 = 2, 2 = 1(不合题意,舍去)
∴运动员甲从起点 到入水点的水平距离 的长为 2 米
（3）①解：由（1）得竖直高度 ( )与水平距离 ( )满足 = 5 2 + 5 + 10，
化简得 1
2 45
= 5（ ） +
2 4
45 45
∴运动员甲起跳后达到最高点 到水面的高度为 ，即 =
4 4
45 45
将 = 0 代入 = 5 2 + ，得 5 2 + = 0，
4 4
解得 1 = 1.5， 2 = 1.5（不合题意，舍去）
∵ 1.5 < 1.6
∴运动员甲不能成功完成此动作
2
2 1 1 1 1②由 = + 10 = ( ) + 10 得最大值为10 ,即 = 10
2 4 4 4
代入 = 5 2 + 得 = 5 2
1 2 1+ 10 ， = 2
4 20
已知需要1.6 才能顺利完成270 动作，得 2 ≥ 1.62，
1
即2 ≥ 1.62
56
，解得 ≤
20 5

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