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第1讲　万有引力定律和相对论
1.（2025·广东广州期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　）
A.物体在南极受到的万有引力大于重力
B.物体在赤道受到的万有引力大于重力
C.离地越高，物体的重力加速度越大
D.万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
2.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（　　）
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
3.（2025·广东佛山质量检测）中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的（　　）
A.0.9倍 B.0.25倍
C.0.1倍 D.0.01倍
4.（2024·海南高考6题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A. B.
C. D.
5.将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧测力计将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧测力计示数大小为F1；在赤道用弹簧测力计将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧测力计示数大小为F2。已知地球自转周期为T，重力加速度为g，则该物体的质量为（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·山东高考5题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　）
A. B.
C. D.
7.登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为（　　）
A.6.7×1022 kg B.6.7×1023 kg
C.6.7×1024 kg D.6.7×1025 kg
8.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为（　　）
A. B.
C. D.
9.（2024·全国甲卷16题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　）
A.在环月飞行时，样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力、比放置在地球表面时对地球的压力小
10.（2025·四川成都模拟）嫦娥五号探测器完成月球表面采样后，进入环月等待阶段，在该阶段进行若干次变轨，每次变轨后在半径更大的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其加速度a与轨道半径r的关系图a-如图所示，其中b为纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A.月球的质量为
B.月球的质量为Gk
C.月球的半径为
D.每次变轨后探测器的机械能不变
11.（2024·浙江6月8题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　）
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比≈
D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比≈
12.（2023·浙江6月9题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为
D.木星质量与地球质量之比为n3
13.（2025·陕西商洛一模）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数字）；
（2）若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
第1讲　万有引力定律和相对论
1.B　万有引力的一个分力表现为重力，另一个分力提供物体转动的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，物体在赤道受到的万有引力大于重力，物体在地球两极万有引力等于重力，故A、D错误，B正确；离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。
2.C　由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律（周期定律）知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
3.A　设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，航天员在地球表面时所受地球的引力F1＝，在空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝，可得＝≈0.9，故选A。
4.D　万有引力提供向心力：
5.C　设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧测力计的示数，根据万有引力定律有F1＝，在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有－mg＝m··R，mg＝F2，联立解得m＝，故选C。
6.D　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k'，又常量k与中心天体的质量成正比，所以＝＝，D正确。
7.A　由题意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230 s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，设月球的质量为M，登月舱的质量为m，由月球对登月舱的万有引力提供向心力，可得G＝m（R＋h），整理得M＝，代入数据，解得M≈6.7×1022 kg，A正确，B、C、D错误。
8.C　在“极点”处，有mg2＝；在其表面“赤道”处，有－mg1＝mR，联立解得R＝，故C正确。
9.D　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体本身的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。
10.C　根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝GM·，由题图可知，当r＝R时，a最大，则有b＝，a-图像的斜率k＝GM，则月球的质量和月球的半径分别为M＝，R＝，故A、B错误，C正确；每次变轨需要加速，消耗燃料的化学能，所以探测器的机械能增加，故D错误。
11.D　由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误；小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等，由G＝ma可知，小行星乙在远日点的加速度和地球的公转加速度相等，B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得＝，C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝＝，D正确。
12.D　由题意可知木卫三的公转轨道半径为r3＝nr，对木卫一和木卫三，由开普勒第三定律得＝，解得r1＝，A错误；对木卫二和木卫三，由开普勒第三定律得＝，解得r2＝，B错误；根据题中条件不能求出T和T0的比值，C错误；对木卫三，由牛顿第二定律得＝m3（nr），解得m木＝，对月球，由牛顿第二定律得＝m月r，解得m地＝，整理得＝n3，D正确。
13.（1）＝　0.98　（2）＝1－
解析：（1）在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则G＝F0，在北极上空高出地面h处称量时，有G＝F1，则＝。
当h＝1.0％R时≈0.98。
（2）在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧测力计示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，有G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
3 / 3第1讲　万有引力定律和相对论
开普勒定律
1.定律内容
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　，太阳处在椭圆的一个　　　上。
（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的　　　　　的三次方跟它的　　　　　　的二次方的　　　　　　，即　　　　　　　。
2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
万有引力定律及应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与　　　　　　　　　　　　　　成正比、与　　　　　　　　　　　　　成反比。
2.公式：F＝　　　　　　　，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
3.公式的适用条件：计算两个　　　　间的万有引力。
4.万有引力理论的主要成就
（1）发现未知天体。
（2）计算天体质量。
相对论时空观
1.狭义相对论的两个基本假设
（1）狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是　　　　的。
（2）光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是　　　　　　的，光速和光源、观测者间的相对运动没有关系。
2.时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝。
3.长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝　　　　　　　　　　　　。
1.当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。（　　）
2.地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。（　　）
3.卡文迪什利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。（　　）
4.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。（　　）
1.（2024·广西高考1题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　）
A.a处最大　　 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小
2.（人教版必修第二册·第七章第3节“练习与应用”T4节选）地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球在2061年左右。
请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
考点一　开普勒定律的理解与应用
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2.行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。
【练1】 〔多选〕如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是（　　）
A.太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B.火星绕太阳运行过程中，速率不变
C.土星比地球的公转周期大
D.地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
【练2】 （2025·镇江模拟）北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，地球运行速度最小的节气是（　　）
A.春分 B.夏至
C.秋分 D.冬至
【练3】 2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
考点二　万有引力定律
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）在两极上：G＝mg0。
（3）在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝。
（2）地球上空的重力加速度g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度g'：mg'＝，得g'＝。
〔多选〕如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是（　　）
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
尝试解答
火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约为（　　）
A.0.4 B.2
C.3 D.5
尝试解答
（2025·八省联考河南卷）水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为（　　）
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
尝试解答
考点三　天体质量和密度的计算
利用天体表面重力加速度g和天体半径R计算
1.由G＝mg，得天体质量M＝。
2.天体密度ρ＝＝＝。
宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R（不考虑月球自转的影响）。求：
（1）月球表面的自由落体加速度大小g月；
（2）月球的质量M；
（3）月球的密度ρ。
尝试解答
利用运行天体的轨道半径r和周期T计算
1.由G＝mr，得M＝。
2.若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
（2024·新课标卷16题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　）
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
尝试解答
人教版必修第一册P56“思考与讨论”
　已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011 m，你能估算太阳的质量吗？
总结提升
估算天体质量和密度应注意的问题
（1）利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
（3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
（4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
考点四　相对论的理解
　　
1.两种时空观
（1）经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
（2）相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。
2.狭义相对论的三个有用的结论
（1）运动的时钟变慢了。
（2）运动的尺子长度缩短了。
（3）运动的物体质量增大了。
以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。
【练1】 一艘太空飞船静止时的长度为30 m，它以0.6c（c为光速）的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（　　）
A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
【练2】 〔多选〕接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（　　）
A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C.地球上的人观测到地球上的钟较快
D.地球上的人观测到地球上的钟较慢
用填补法计算万有引力
　　运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力为（　　）
A.F B.F
C.F D.F
尝试解答
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点m的万有引力为（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答
总结提升
（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。
（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。
（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。
第1讲　万有引力定律和相对论
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.（1）椭圆　焦点　（2）面积　（3）半长轴　公转周期
比都相等　＝k
知识点2
1.物体的质量m1和m2的乘积　它们之间距离r的二次方　2.G　3.质点
知识点3
1.（1）相同　（2）相同　3.l0
易错易混辨析
1.×　2.√　3.√　4.√
双基落实筑牢
1.A　根据万有引力公式F＝G，可知图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。
2.17.8
解析：设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律得＝k，有＝，则＝≈17.8。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【练1】 AC　根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
【练2】 B　根据开普勒第二定律可知，对太阳的每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，设地球到太阳中心的距离为r，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝vtr，由此式可以判断，当面积S和时间t相等时，r越小，v越大，r越大，v越小，故地球在近日点的速度最大，远日点的速度最小，即地球运行速度最小的节气是夏至，故B正确。
【练3】 C　忽略火星自转，则＝mg，可知GM＝gR2；设与椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道的半径为r，由万有引力提供向心力可知＝mr；设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1，远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2，由开普勒第三定律可知＝。解得d2≈6×107 m，故选C。
考点二
【例1】 BC　由万有引力定律知地球对一颗卫星的引力大小为F＝G，一颗卫星对地球的引力大小为F＝G，故A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。
【例2】 A　根据万有引力定律，在天体表面有mg＝G，解得g＝，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝·＝0.4，选项A正确。
【例3】 C　由万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝＝＝，所以＝＝＝，故选C。
考点三
【例4】 （1）　（2）　（3）
解析：（1）月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2
所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。
（2）不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，
得月球的质量M＝。
（3）月球的密度ρ＝＝＝。
【例5】 B　由＝mr得M＝，所以＝＝≈0.1，B正确。
考教衔接
　2.0×1030 kg
考点四
【练1】 B　飞船上的观测者测得飞船的长度不变，仍为30 m，由l＝l0＜l0可知，地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m，A错误，B正确；由光速不变原理可知C、D错误。
【练2】 AC　相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A正确，B错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，C正确，D错误。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 C　设球心O点与球外质点P的距离为r0，设挖去中心部分前，球体质量为m，球外质点质量为M，挖去部分的质量为m0，根据m＝πR3ρ，m0＝πr2ρ，可知m0＝m，则没挖去中心部分前，球体对质点P的万有引力F＝G，挖去的部分对球外质点P的万有引力F'＝G＝F，则球体剩余部分对球外质点P的引力F″＝F－F'＝F，故选项C正确。
【典例2】 A　挖去小球前球与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体的质量M'＝M＝，被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
6 / 6(共77张PPT)
第1讲　万有引力定律和相对论
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
开普勒定律
1. 定律内容
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳
处在椭圆的一个 上。
（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的
时间内扫过的 相等。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的 的三次方跟它的
的二次方的 ，即 。
椭圆　
焦点　
面积　
半长轴　
公
转周期　
比都相等　
＝k　
2. 适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
万有引力定律及应用
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线
上，引力的大小与 成正比、与
成反比。
2. 公式：F＝ ，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
3. 公式的适用条件：计算两个 间的万有引力。
4. 万有引力理论的主要成就
（1）发现未知天体。
（2）计算天体质量。
物体的质量m1和m2的乘积　
它们之间距
离r的二次方　
G　
质点　
相对论时空观
1. 狭义相对论的两个基本假设
（1）狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都
是 的。
（2）光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是
的，光速和光源、观测者间的相对运动没有关系。
相同　
相
同　
2. 时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完
成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时
间间隔为Δt，则有Δt＝。
3. 长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人
测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝ 。
l0　
1. 当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 （　×　）
2. 地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 （　√　）
3. 卡文迪什利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。 （　√　）
4. 行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。
（　√　）
×
√
√
√
1. （2024·广西高考1题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海
水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小
在（　　）
A. a处最大 B. b处最大
C. c处最大 D. a、c处相等，b处最小
解析： 　根据万有引力公式F＝G，可知图中a处单位质量的海水受到
月球的引力最大，故选A。
√
2. （人教版必修第二册·第七章第3节“练习与应用”T4节选）地球的公转
轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天
文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。哈雷彗星最近出现的时间是1986
年，预测下次飞近地球在2061年左右。
请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的
多少倍。
答案：17.8
解析：设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公
转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年，
根据开普勒第三定律得＝k，有＝，则＝≈17.8。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　开普勒定律的理解与应用
1. 微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两
点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够
短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知
va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越
小，反之越大。
2. 行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
4. 开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天
体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。
3. 开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的
运动。
【练1】 〔多选〕如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法
中正确的是（　　）
A. 太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共
焦点上
B. 火星绕太阳运行过程中，速率不变
C. 土星比地球的公转周期大
D. 地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
√
√
解析： 　根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道
的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A
正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近
的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由
题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律
＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可
知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和
土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不
相等，故D错误。
【练2】 （2025·镇江模拟）北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全
球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，地球运
行速度最小的节气是（　　）
A. 春分 B. 夏至
C. 秋分 D. 冬至
√
解析： 　根据开普勒第二定律可知，对太阳的每一个行星而言，太阳与
行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，设地球到太阳中心的距离为r，
根据扇形的面积公式可得S＝lr＝vtr，由此式可以判断，当面积S和时间t
相等时，r越小，v越大，r越大，v越小，故地球在近日点的速度最大，远日点的速度最小，即地球运行速度最小的节气是夏至，故B正确。
【练3】 2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功
实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，
轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106
m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停
泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A. 6×105 m B. 6×106 m
C. 6×107 m D. 6×108 m
√
解析： 　忽略火星自转，则＝mg，可知GM＝gR2；设与椭圆形停泊
轨道周期相同的圆形轨道的半径为r，由万有引力提供向心力可知＝
mr；设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1，远火点到火星中心的距
离为R2＝R＋d2，由开普勒第三定律可知＝。解得d2≈6×107
m，故选C。
考点二　万有引力定律
1. 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）在两极上：G＝mg0。
（3）在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力
较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2. 星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g
＝。
（2）地球上空的重力加速度g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度g'：mg'＝，得g'
＝。
〔多选〕如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是（　　）
A. 地球对一颗卫星的引力大小为
B. 一颗卫星对地球的引力大小为
C. 两颗卫星之间的引力大小为
D. 三颗卫星对地球引力的合力大小为
√
√
解析：由万有引力定律知地球对一颗卫星的引力大小为F＝G，一颗卫
星对地球的引力大小为F＝G，故A项错误，B项正确；因三颗卫星连线
构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识知任意两颗卫星间距d＝
2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力
大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。
火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则火星表面
的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约为（　　）
A. 0.4 B. 2
C. 3 D. 5
解析：根据万有引力定律，在天体表面有mg＝G，解得g＝，故火星
表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝·＝0.4，
选项A正确。
√
（2025·八省联考河南卷）水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其
平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球
半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线
速度之比约为（　　）
A. 64∶9 B. 8∶3
C. 3∶8 D. 9∶64
解析：由万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝＝＝
，所以＝＝＝，故选C。
√
〔多选〕万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规
律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的
小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为
M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法
正确的是（　　）
A. 在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B. 在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C. 在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D. 在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
√
√
解析： 　在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，
则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物
体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上
空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正
确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则弹簧测力计
读数F3＜G，故D错误。
考点三　天体质量和密度的计算
利用天体表面重力加速度g和天体
半径R计算
1. 由G＝mg，得天体质量M＝。
2. 天体密度ρ＝＝＝。
宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释
放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到
月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R（不考虑月球自转的影
响）。求：
（1）月球表面的自由落体加速度大小g月；
答案： 　
解析： 月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2
所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。
（2）月球的质量M；
答案： 　
解析： 不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，
得月球的质量M＝。
（3）月球的密度ρ。
答案：
解析： 月球的密度ρ＝＝＝。
利用运行天体的轨道半径r和周期
T计算
1. 由G＝mr，得M＝。
2. 若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
3. 若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度
ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体
的密度。
（2024·新课标卷16题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有
两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日
地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
（　　）
A. 0.001倍 B. 0.1倍
C. 10倍 D. 1 000倍
解析：由＝mr得M＝，所以＝＝≈0.1，B
正确。
√
　已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011 m，你能估算太阳的质
量吗？
答案：2.0×1030 kg
人教版必修第一册P56“思考与讨论”
　〔多选〕（2025·山东临沂模拟）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石
被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密
度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是
（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（　　）
火星的小档案
直径d＝6 794 km
质量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2
近火卫星周期T＝3.4 h
A. ρ＝ B. ρ＝
C. ρ＝ D. ρ＝
√
√
√
解析： 　设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火
星的万有引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，则有＝·，
可得M＝，可得火星的密度为ρ＝＝，将M＝代入上式可
得ρ＝，故C、D正确；又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星
的重力，则有mg0＝G，解得M＝，因此火星的密度为ρ＝＝
＝，故A正确，B错误。
总结提升
估算天体质量和密度应注意的问题
（1）利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，
估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才
有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
（3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期
为365天等。
（4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
考点四　相对论的理解
1. 两种时空观
（1）经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
（2）相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时
间，都与它们的运动状态有关。
2. 狭义相对论的三个有用的结论
（1）运动的时钟变慢了。
（2）运动的尺子长度缩短了。
（3）运动的物体质量增大了。
以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。
【练1】 一艘太空飞船静止时的长度为30 m，它以0.6c（c为光速）的速度
沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（　　）
A. 飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B. 地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C. 飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D. 地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
解析： 　飞船上的观测者测得飞船的长度不变，仍为30 m，由l＝
l0＜l0可知，地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m，A错
误，B正确；由光速不变原理可知C、D错误。
√
【练2】 〔多选〕接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子
钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（　　）
A. 飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B. 飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C. 地球上的人观测到地球上的钟较快
D. 地球上的人观测到地球上的钟较慢
√
√
解析： 　相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船
上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观
测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A正确，B错误；同样，地球上的人
观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞
船上的钟快，C正确，D错误。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
用填补法计算万有引力
　　运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补
后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万
有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球
体剩余部分对质点P的万有引力为（　　）
A. F B. F
C. F D. F
√
解析：设球心O点与球外质点P的距离为r0，设挖去中心部分前，球体质量
为m，球外质点质量为M，挖去部分的质量为m0，根据m＝πR3ρ，m0＝
πr2ρ，可知m0＝m，则没挖去中心部分前，球体对质点P的万有引力F＝
G，挖去的部分对球外质点P的万有引力F'＝G＝F，则球体剩余部
分对球外质点P的引力F″＝F－F'＝F，故选项C正确。
A. B.
C. D.
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的
地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所
示，引力常量为G，则剩余部分对质点m的万有引力为（　　）
√
解析：挖去小球前球与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体
的质量M'＝M＝，被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝，
则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
总结提升
（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。
（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可
再随意视为质点处理。
（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·广东广州期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的
是（　　）
A. 物体在南极受到的万有引力大于重力
B. 物体在赤道受到的万有引力大于重力
C. 离地越高，物体的重力加速度越大
D. 万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
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√
解析： 万有引力的一个分力表现为重力，另一个分力提供物体转动
的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地
重力最小，物体在赤道受到的万有引力大于重力，物体在地球两极万
有引力等于重力，故A、D错误，B正确；离地越高，物体的重力加速
度越小，故C错误。
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2. 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可
知（　　）
A. 太阳位于木星运行轨道的中心
B. 火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C. 火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D. 相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的
面积
√
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解析： 　由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行的椭
圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运
行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律（周期定
律）知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方
的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连
线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不
相等，故D错误。
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3. （2025·广东佛山质量检测）中国空间站轨道高度为400～450千米，地
球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的
引力大约是他在地面所受地球引力的（　　）
A. 0.9倍 B. 0.25倍
C. 0.1倍 D. 0.01倍
√
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解析： 　设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为
m，地球质量为M，航天员在地球表面时所受地球的引力F1＝，在
空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝，可得＝
≈0.9，故选A。
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4. （2024·海南高考6题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度
与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　万有引力提供向心力：
ρ＝，D正确。
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5. 将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧测力计将一个物体竖直
悬挂，物体静止时，弹簧测力计示数大小为F1；在赤道用弹簧测力计将同
一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧测力计示数大小为F2。已知地球自转
周期为T，重力加速度为g，则该物体的质量为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等
于弹簧测力计的示数，根据万有引力定律有F1＝，在赤道处，万有引
力减去重力的差值提供向心力，所以有－mg＝m··R，mg＝F2，联
立解得m＝，故选C。
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6. （2024·山东高考5题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭
圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质
量之比可表示为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第
三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k'，又常量k与中
心天体的质量成正比，所以＝＝，D正确。
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7. 登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运
动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对
登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为
（　　）
A. 6.7×1022 kg B. 6.7×1023 kg
C. 6.7×1024 kg D. 6.7×1025 kg
√
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解析： 　由题意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230
s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，设月球的质量为M，登月舱的质量为
m，由月球对登月舱的万有引力提供向心力，可得G＝m（R＋
h），整理得M＝，代入数据，解得M≈6.7×1022 kg，A正
确，B、C、D错误。
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8. 某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤
道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周
期为T，则该天体的半径为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　在“极点”处，有mg2＝；在其表面“赤道”处，有－
mg1＝mR，联立解得R＝，故C正确。
√
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9. （2024·全国甲卷16题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了
人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经
过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为
地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　）
A. 在环月飞行时，样品所受合力为零
B. 若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C. 样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D. 样品放置在月球背面时对月球的压力、比放置在地球表面时对地球的
压力小
√
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解析： 　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；
若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力
等于月球对它的支持力，根据平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在
月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是
物体本身的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月
球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球
表面的小，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地
球的压力小，D正确。
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10. （2025·四川成都模拟）嫦娥五号探测器完成月球表面采样后，进入环
月等待阶段，在该阶段进行若干次变轨，每次变轨后在半径更大的轨道上
绕月球做匀速圆周运动，其加速度a与轨道半径r的关系图a-如图所示，
其中b为纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，下列说法正确
的是（　　）
A. 月球的质量为
B. 月球的质量为Gk
C. 月球的半径为
D. 每次变轨后探测器的机械能不变
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解析： 　根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝GM·，由题图
可知，当r＝R时，a最大，则有b＝，a-图像的斜率k＝GM，则月球的
质量和月球的半径分别为M＝，R＝，故A、B错误，C正确；每次变轨
需要加速，消耗燃料的化学能，所以探测器的机械能增加，故D错误。
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11. （2024·浙江6月8题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”
的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在
同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为
R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　）
A. 小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B. 小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C. 小行星甲与乙的运行周期之比≈
D. 甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比≈
√
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解析： 　由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的
速度，A错误；小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相
等，由G＝ma可知，小行星乙在远日点的加速度和地球的公转加速度相
等，B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得＝
，C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝＝
，D正确。
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12. （2023·浙江6月9题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周
运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球
轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A. 木卫一轨道半径为r
B. 木卫二轨道半径为r
C. 周期T与T0之比为
D. 木星质量与地球质量之比为n3
√
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解析： 　由题意可知木卫三的公转轨道半径为r3＝nr，对木卫一和木卫
三，由开普勒第三定律得＝，解得r1＝，A错误；对木卫二和木卫
三，由开普勒第三定律得＝，解得r2＝，B错误；根据题中条件不能
求出T和T0的比值，C错误；对木卫三，由牛顿第二定律得＝m3
（nr），解得m木＝，对月球，由牛顿第二定律得＝m月
r，解得m地＝，整理得＝n3，D正确。
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13. （2025·陕西商洛一模）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物
体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，
自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球
体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是
F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的
表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数
字）；
答案： ＝　0.98
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解析： 在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则
G＝F0，在北极上空高出地面h处称量时，有G＝F1，则＝
。
当h＝1.0％R时≈0.98。
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（2）若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
答案： ＝1－
解析：在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小
等于弹簧测力计示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体
随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，有
G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
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