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第3讲　机械能守恒定律
1.〔多选〕（2025·湖北黄冈期末）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
A.图甲中，物体A竖直向下压缩弹簧，不计空气阻力，物体A、弹簧和地球组成的系统机械能守恒
B.图乙中，物体B沿固定斜面匀速下滑，物体B机械能守恒
C.图丙中，物体A竖直加速下落，物体B竖直加速上升，不计定滑轮质量和任何阻力，物体A的机械能守恒
D.图丁中，小球沿水平面做匀速圆周运动，小球的机械能不变
2.质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升到最高点时离抛出点距离为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则（　　）
A.小球在抛出点（刚抛出时）的机械能为零
B.小球落回抛出点时的机械能为－mgH
C.小球落到地面时的动能为m－mgh
D.小球落到地面时的重力势能为－mgh
3.（2025·北京海淀模拟）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点，则（　　）
A.从B到A过程中，小球的机械能守恒
B.从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C.从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D.从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功
4.（2024·北京高考7题）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是（　　）
A.物体在C点所受合力为零
B.物体在C点的速度为零
C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
5.一长为L、质量可不计的刚性硬杆，左端通过铰链固定于O点，中点及右端分别固定质量为m和质量为2m的小球，两球与杆可在竖直平面内绕O点无摩擦地转动。开始时使杆处于水平状态并由静止释放，如图所示。当杆下落到竖直位置时，在杆中点的球的速率为（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·江西抚州一模）如图所示，某人站在山顶上，将一质量m＝0.5 kg的石块沿与水平方向成θ＝45°夹角的方向斜向上抛出，石块出手时离地面的高度h＝40 m，石块落在水平地面上的动能Ek＝400 J，不计空气阻力作用，重力加速度g取10 m/s2，则（　　）
A.石块抛出时的速度大小为40 m/s
B.石块在空中运动的时间约为2.8 s
C.石块在运动过程中，最大速度为50 m/s
D.石块在运动过程中，最小速度为20 m/s
7.（2025·青海西宁模拟）如图所示，顶角P为53°的光滑“”形硬杆固定在竖直平面内，质量均为m的小球甲、乙（均视为质点）用长度为L的轻质硬杆连接，分别套在“”形硬杆的倾斜和水平部分，当轻质硬杆呈竖直状态时甲静止在A点，乙静止在C点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，当甲运动到B点时，轻质硬杆与“”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度大小为g，则甲在B点的速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
8.（2025·山东菏泽期末）如图所示，ABC为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空细管，BC段被弯成以O为圆心、半径R＝0.2 m的一小段圆弧，A点、O点位于地面，OC连线竖直。一质量m＝0.4 kg的小球（可视为质点）从圆弧底端A点沿切线以初速度v0进入细管ABC，从C点水平飞出，落地点到O点的距离x＝0.2 m。已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，小球横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
（1）小球在C点对细管壁的压力FN；
（2）小球在A点的初速度大小v0。
9.（2025·江苏苏州三模）如图所示，一半径为R的光滑硬质圆环固定在竖直平面内与光滑足够长的水平杆相连，在圆环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C，质量为m的小球A穿在环上，且可以自由滑动，小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B，细线搭在滑轮上，现将小球A从环上最高点由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球A到达D点时细线中的张力；
（2）小球A到达D点时小球B的速度；
（3）小球A运动一个周期小球B的路程。
第3讲　机械能守恒定律
1.AD　题图甲中，物体A竖直向下将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能转化为弹簧的弹性势能，物体A的重力势能是物体A与地球所共有，所以物体A、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，故A正确；题图乙中，物体B沿固定斜面匀速下滑，说明B受到向上的摩擦力作用，对物体B做负功，物体B机械能减少，故B错误；题图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，B物体的机械能增加，所以A物体的机械能减少，物体A的机械能不守恒，故C错误；题图丁中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的动能和重力势能都不变，故小球的机械能不变，故D正确。
2.A　小球上升到最高点时，动能为0，势能也为0，所以在最高点的机械能为0，在小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故任意位置的机械能都为0，所以小球落回到抛出点时的机械能是0，故A正确，B错误；小球从抛出点到落地过程中，只有重力做功，由动能定理得mgh＝mv2－m，解得小球落地时的动能Ek＝mv2＝m＋mgh，故C错误；小球落到地面时的重力势能为－mg（h＋H），D错误。
3.D　从B到A过程中，小球除受重力外还受弹簧对小球的弹力，且弹力做正功，故小球的机械能不守恒，故A错误；从B到A过程中，弹簧弹力和重力平衡位置处动能最大，合力对小球先做正功后做负功，小球的动能先增大后减小，故B错误；从B到A过程中，弹簧的压缩量一直在减小，故弹簧的弹性势能一直减小，故C错误；因为从B到C过程弹簧的平均作用力大于从C到A过程弹簧的平均作用力，两过程位移大小相等，故从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功，故D正确。
4.C　设物体恰好到达C点的速度大小为v，则在C点，根据恰好由重力提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B错误，C正确；物体从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。
5.A　两球转动的角速度相等，根据v＝ωr可知两球的线速度大小之比为1∶2，设杆中点处小球的速度为v，则外端小球的速度为2v，杆由初状态下落到竖直位置过程中，对系统由机械能守恒定律得2mgL＋mg＝mv2＋×2m（2v）2，可解得在杆中点的球的速率为v＝，故A正确。
6.D　石块落地时速度最大，根据Ek＝mv2，可得石块的最大速度v＝40 m/s，故C错误；根据机械能守恒定律有mgh＋m＝mv2，解得石块抛出时的速度大小v0＝20 m/s，故A错误；石块抛出后，在竖直方向上做上抛运动，总运动时间比自由落体运动时间要长，即t＞≈2.8 s，故B错误；石块运动到轨迹最高点时，竖直方向速度为零，其速度最小，最小速度等于抛出时速度的水平分速度，即vx＝v0cos 45°＝20 m/s，故D正确。
7.B　由于甲在B位置时，轻质硬杆与AP倾斜部分垂直，根据关联速度的分解规律可知，甲沿轻质硬杆的分速度为0，即此时乙的速度为0，甲小球减小的重力势能转化为甲的动能，则有mg（L－Lsin 37°）＝mv2，解得v＝，故选B。
8.（1）2 N，方向竖直向下　（2） m/s
解析：（1）小球从C点飞出后做平拋运动，则有R＝gt2，x＝vCt
解得vC＝1 m/s
在C点的速度vC＝1 m/s＜
则有mg－F＝m
解得F＝2 N
根据牛顿第三定律，小球在C点对细管壁的压力FN＝2 N，方向竖直向下。
（2）小球从A到C过程，根据机械能守恒定律，有mgR＝m－m
解得v0＝ m/s。
9.（1）0.5mg　（2）　（3）（10－4）R
解析：（1）对小球A，有F＝ma
对小球B，有mg－F＝ma
联立解得张力F＝0.5mg。
（2）小球A到达D点时，小球B回到原位置，系统机械能守恒，有mgR＝m＋m
此时两小球速度大小相等，有vA＝vB
联立解得vB＝。
（3）小球A过D点后沿杆向左运动，小球B高度上升，到两者速度为零。假设小球B上升距离为x，由机械能守恒定律可知mgR＝mgx
解得x＝R
小球A恰好经过OC与圆环的交点处，此时小球B下降的高度hB＝R－（R－R）＝（2－）R
由于系统机械能守恒，系统做周期性运动，在小球A再次回到最高点的过程中，小球B的路程为s＝2（2hB＋x）
解得s＝（10－4）R。
3 / 3第3讲　机械能守恒定律
重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
（1）重力做功与　　　　无关，只与初、末位置的　　　　　有关。
（2）重力做功不引起物体　　　　　　　的变化。
2.重力势能
（1）定义：物体由于　　　　　而具有的能。
（2）表达式：Ep＝　　　　。
（3）矢标性：重力势能是　　　　，正负表示其　　　　。
3.重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就　　　　；重力对物体做负功，重力势能就　　　　。
（2）定量关系：重力对物体做的功　　　　物体重力势能的减少量。即WG＝－（Ep2－Ep1）＝　　　　。
弹性势能
1.定义：物体由于发生　　　　　　而具有的能。
2.大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量　　　　，劲度系数　　　　，弹簧的弹性势能越大。
3.弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝　　　　。
机械能守恒定律
1.机械能：　　　　和　　　　统称为机械能，其中势能包括　　　　　　和　　　　　。
2.机械能守恒定律的内容：在只有　　　　　做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能　　　　　　。
3.机械能守恒定律的表达式
mgh1＋m＝mgh2＋m。
4.机械能守恒定律的条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
1.被举到高处的物体重力势能可以为零。（　　）
2.物体在速度增大时，其机械能可能在减小。（　　）
3.物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。（　　）
4.物体受到摩擦力作用时，机械能一定变化。（　　）
5.物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。（　　）
1.（2023·浙江1月选考4题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　）
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
2.〔多选〕（人教版必修第二册·第八章第4节“练习与应用”T3改编）如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的重力势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为m－mgh
D.物体在海平面上的机械能为m
考点一　机械能守恒的理解与判断
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2.机械能守恒的判定方法
（1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
（2024·重庆高考2题）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（　　）
A.减速阶段所受合外力为0
B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒
D.自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
尝试解答
如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
尝试解答
考点二　单物体的机械能守恒问题
1.机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（2025·海南海口期中）如图所示是体育课上某同学水平抛出铅球的示意图，不考虑空气阻力，选地面作为参考平面，用h表示铅球离地面的高度、E表示铅球的机械能，Ep表示铅球的重力势能、Ek表示铅球的动能，则铅球下落过程中，下列图像可能正确的是（　　）
尝试解答
（2024·全国甲卷17题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
尝试解答
考点三　多物体系统的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.三种实际情景的分析
（1）速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
（2）角速度相等情景
两点提醒
①用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定两物体线速度v的大小关系。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）某一方向分速度相等情景（关联速度情景）
两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。
如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是（　　）
A.2R B.
C. D.
尝试解答
（2025·江苏赣榆中学质检）质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定转轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，小球Q顺时针摆动到最低位置，则（重力加速度为g）（　　）
A.小球P在最高位置的速度大小为
B.小球Q在最低位置的速度大小为
C.小球P在此过程中机械能增加mgL
D.小球Q在此过程中机械能减少mgL
尝试解答
〔多选〕（2025·福建厦门一中检测）
如图所示，质量均为m的物块A和B，用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B.物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C.物块A的速度大于物块B的速度
D.物块B的末速度为
尝试解答
含弹簧系统的机械能守恒问题
　由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。分析含弹簧问题时，注意以下两点：
（1）对同一弹簧，弹簧的弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
（2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。
〔多选〕如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（　　）
A.物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B.弹簧的劲度系数为
C.物体A着地时的加速度大小为
D.物体A着地时弹簧的弹性势能为2mgh
尝试解答
如图所示，A、B两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A放在固定的倾角为30°的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，使细线恰好伸直，保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知B、C的质量均为m，重力加速度为g。松手后A由静止开始沿斜面下滑，当A速度最大时C恰好离开地面，则A下滑的最大速度为（　　）
A.2g B.g
C. D.g
尝试解答
第3讲　机械能守恒定律
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.（1）路径　高度差　（2）机械能　2.（1）被举高　（2）mgh　（3）标量　大小　3.（1）减少　增加　（2）等于　－ΔEp
知识点2
1.弹性形变　2.越大　越大　3.－ΔEp
知识点3
1.动能　势能　弹性势能　重力势能　2.重力或弹力
保持不变
易错易混辨析
1.√　2.√　3.×　4.×　5.√
双基落实筑牢
1.B　开始阶段橡皮绳未拉直，游客做加速运动，下落到一定高度时橡皮绳绷紧，游客开始受到向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力逐渐减小，但速度继续增大，直到合力减为零时速度达到最大，之后合力变为向上并逐渐增大，速度开始减小，到最低点时速度减小为零，弹力达到最大值。橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力势能一直减小，B正确；下落过程游客受到空气阻力的作用，橡皮绳绷紧瞬间机械能也有损失，C错误；橡皮绳绷紧后的一段时间内，游客动能继续增加，合力变为向上后，动能才开始减小，D错误。
2.AD　从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为m，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为m，故D正确；物体在海平面上的动能为m－（－mgh）＝m＋mgh，故C错误。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【例1】 C　组合体在减速阶段有加速度，所受合外力不为零，故A错误；组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
【例2】 B　不计一切摩擦，小球下滑时，斜劈和小球组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确；斜劈动能增加，重力势能不变，故斜劈的机械能增加，C错误；由系统机械能守恒可知，小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和，D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故斜劈对小球的弹力做负功，A错误。
考点二
【例3】 B　不考虑空气阻力，抛出后的铅球机械能守恒，故A错误，B正确；铅球的重力势能为Ep＝mgh，h表示铅球离地面的高度，铅球抛出后，h越来越小，重力势能也越来越小，故C错误；设抛出时铅球的动能为E0，距地面的高度为h0，根据机械能守恒定律得mgh0＋E0＝mgh＋Ek，可得Ek＝mgh0＋E0－mgh，故D错误。
【例4】 C　设小环运动轨迹所对的圆心角为θ（0≤θ≤π），大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR（1－cos θ）＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mgcos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg（2－3cos θ），则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。
考点三
【例5】 C　设小球B的质量为m，则小球A的质量为2m，小球A刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝×（2m＋m）v2＋mgR，小球B继续上升的过程，由动能定理可得－mgh＝0－mv2，联立解得h＝，小球B上升的最大高度为h＋R＝，故选C。
【例6】 C　设小球Q顺时针摆动到最低位置时的速度为v1，此时P运动到最高点的速度为v2，整个系统机械能守恒，有2mg·L－mg·＝×2m＋m，又由于两球都绕O点转动，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝，v2＝，A、B错误；在此过程中，小球P的机械能增加ΔE＝mg·＋m＝mgL，由于整个系统机械能守恒，因此小球Q在此过程中机械能减少mgL，C正确，D错误。
【例7】 ABD　在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltan θ，则物块B的重力势能减少量为ΔEpB＝mgLtan θ，物块A沿斜面上升的距离为x＝－L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ－m＝m＋mgxsin θ，物块A沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；联立以上表达式可得vB＝，故D正确。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 AC　物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；A即将触地时，物体B对地面的压力恰好为零，故弹簧的拉力为FT＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知F＝kΔx，得弹簧的劲度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，细绳对A的拉力等于mg，对A受力分析，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，得a＝，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2mv2，所以Ep＝2mgh－mv2，故D错误。
【典例2】 A　对A、B两小球组成的整体，由平衡条件可得mAgsin 30°＝F＋mg，F为此时弹簧的弹力，因此时C恰好离开地面，则有F＝mg，联立解得mA＝4m，C恰好离开地面时，对C，有kx2＝mg，解得x2＝，此时A、B有最大速度，且A、B速度大小相等。开始时系统静止，弹簧被压缩，绳上无拉力，对B，有kx1＝mg，解得x1＝，从释放A到C恰好离开地面的过程中，弹簧的弹性势能变化量是零，在此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可得4mg（x1＋x2）sin 30°＝mg（x1＋x2）＋·（4m＋m），解得vAm＝2g ，故选A。
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第3讲　机械能守恒定律
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
重力做功与重力势能
1. 重力做功的特点
（1）重力做功与 无关，只与初、末位置的 有关。
（2）重力做功不引起物体 的变化。
路径　
高度差　
机械能　
2. 重力势能
（1）定义：物体由于 而具有的能。
（2）表达式：Ep＝ 。
（3）矢标性：重力势能是 ，正负表示其 。
3. 重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 ；重力对物体
做负功，重力势能就 。
（2）定量关系：重力对物体做的功 物体重力势能的减少量。即
WG＝－（Ep2－Ep1）＝ 。
被举高　
mgh　
标量　
大小　
减少　
增加　
等于　
－ΔEp　
弹性势能
1. 定义：物体由于发生 而具有的能。
2. 大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变
量 ，劲度系数 ，弹簧的弹性势能越大。
3. 弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关
系，用公式表示：W＝ 。
弹性形变　
越大　
越大　
－ΔEp　
机械能守恒定律
1. 机械能： 和 统称为机械能，其中势能包括
和 。
2. 机械能守恒定律的内容：在只有 做功的物体系统内，动
能与势能可以相互转化，而总的机械能 。
3. 机械能守恒定律的表达式
mgh1＋m＝mgh2＋m。
动能　
势能　
弹性势
能　
重力势能　
重力或弹力　
保持不变　
4. 机械能守恒定律的条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
1. 被举到高处的物体重力势能可以为零。 （　√　）
2. 物体在速度增大时，其机械能可能在减小。 （　√　）
3. 物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。 （　×　）
4. 物体受到摩擦力作用时，机械能一定变化。 （　×　）
5. 物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定
守恒。 （　√　）
√
√
×
×
√
1. （2023·浙江1月选考4题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡
皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　）
A. 弹性势能减小
B. 重力势能减小
C. 机械能保持不变
D. 绳一绷紧动能就开始减小
√
解析： 　开始阶段橡皮绳未拉直，游客做加速运动，下落到一定高度时
橡皮绳绷紧，游客开始受到向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所
受合力逐渐减小，但速度继续增大，直到合力减为零时速度达到最大，之
后合力变为向上并逐渐增大，速度开始减小，到最低点时速度减小为零，
弹力达到最大值。橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一
直降低，重力势能一直减小，B正确；下落过程游客受到空气阻力的作
用，橡皮绳绷紧瞬间机械能也有损失，C错误；橡皮绳绷紧后的一段时间
内，游客动能继续增加，合力变为向上后，动能才开始减小，D错误。
2. 〔多选〕（人教版必修第二册·第八章第4节“练习与应用”T3改编）如
图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地
面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说
法正确的是（　　）
A. 重力对物体做的功为mgh
B. 物体在海平面上的重力势能为mgh
C. 物体在海平面上的动能为m－mgh
D. 物体在海平面上的机械能为m
√
√
解析： 　从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为
零势能面，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地
面上的机械能为m，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能
也为m，故D正确；物体在海平面上的动能为m－（－mgh）＝
m＋mgh，故C错误。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　机械能守恒的理解与判断
1. 对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械
能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能
变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如
与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2. 机械能守恒的判定方法
（1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力
均不做功，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能
的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其
他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
（2024·重庆高考2题）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开
启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减
速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（　　）
A. 减速阶段所受合外力为0
B. 悬停阶段不受力
C. 自由下落阶段机械能守恒
D. 自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
√
解析：组合体在减速阶段有加速度，所受合外力不为零，故A错误；组合
体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故
B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表
面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图
示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，
下列说法中正确的是（　　）
A. 斜劈对小球的弹力不做功
B. 斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C. 斜劈的机械能守恒
D. 小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
√
解析：不计一切摩擦，小球下滑时，斜劈和小球组成的系统只有小球
的重力做功，系统机械能守恒，B正确；斜劈动能增加，重力势能不
变，故斜劈的机械能增加，C错误；由系统机械能守恒可知，小球重力
势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和，D错
误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故斜劈对小球的
弹力做负功，A错误。
考点二　单物体的机械能守恒问题
1. 机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行
列式。
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（2025·海南海口期中）如图所示是体育课上某同学水平抛出铅球的
示意图，不考虑空气阻力，选地面作为参考平面，用h表示铅球离地面的
高度、E表示铅球的机械能，Ep表示铅球的重力势能、Ek表示铅球的动
能，则铅球下落过程中，下列图像可能正确的是（　　）
√
解析：不考虑空气阻力，抛出后的铅球机械能守恒，故A错误，B正确；铅
球的重力势能为Ep＝mgh，h表示铅球离地面的高度，铅球抛出后，h越来
越小，重力势能也越来越小，故C错误；设抛出时铅球的动能为E0，距地
面的高度为h0，根据机械能守恒定律得mgh0＋E0＝mgh＋Ek，可得Ek＝
mgh0＋E0－mgh，故D错误。
（2024·全国甲卷17题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质
量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑
至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作
用力大小（　　）
A. 在Q点最大 B. 在Q点最小
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
√
解析：设小环运动轨迹所对的圆心角为θ（0≤θ≤π），大圆环的半径为
R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR（1－cos θ）＝
mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mgcos θ＝m，联立得小环下滑过程中
受到大圆环的作用力F＝mg（2－3cos θ），则F的大小先减小后增大，且
当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合
牛顿第三定律可知，C正确。
　如图所示，滑雪运动员从被冰雪覆盖的斜坡顶端A以速度vA＝2 m/s滑
下，到达坡底B时的速度为vB＝16 m/s。运动过程中的阻力均忽略不计，g
取10 m/s2。求：
（1）A、B两点间的竖直高度差h；
答案： 12.6 m　
解析： 运动员在运动过程中，只有重力做功，因此运动员的机械能
守恒。将坡底B所在的水平面设为参考平面，根据机械能守恒定律，有
m＋mgh＝m
解得h＝12.6 m。
（2）如果运动员由坡底以速度vB'＝7 m/s冲上坡面，它能到达的最高点高
度h'。
答案： 2.45 m
解析：运动员从坡底B运动到最高点的过程中只有重力做功，机械能仍然守
恒，仍以坡底B所在的水平面为参考平面，则有mgh'＝mvB'2
解得h'＝2.45 m。
考点三　多物体系统的机械能守恒问题
1. 解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能
是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
（1）速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
（2）角速度相等情景
2. 三种实际情景的分析
①用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等
确定两物体线速度v的大小关系。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机
械能不守恒。
两点提醒
（3）某一方向分速度相等情景（关联速度情景）
两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。
如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨
过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面
上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是
（　　）
A. 2R B. C. D.
√
解析：设小球B的质量为m，则小球A的质量为2m，小球A刚落地时，两球
速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝×（2m＋m）v2＋mgR，
小球B继续上升的过程，由动能定理可得－mgh＝0－mv2，联立解得h＝
，小球B上升的最大高度为h＋R＝，故选C。
（2025·江苏赣榆中学质检）质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中
间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定转轴O，如图
所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，小球Q顺时针摆动到最低位
置，则（重力加速度为g）（　　）
A. 小球P在最高位置的速度大小为
B. 小球Q在最低位置的速度大小为
C. 小球P在此过程中机械能增加mgL
D. 小球Q在此过程中机械能减少mgL
√
解析：设小球Q顺时针摆动到最低位置时的速度为v1，此时P运动到最高点
的速度为v2，整个系统机械能守恒，有2mg·L－mg·＝×2m＋m，
又由于两球都绕O点转动，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝，v2
＝，A、B错误；在此过程中，小球P的机械能增加ΔE＝mg·＋m
＝mgL，由于整个系统机械能守恒，因此小球Q在此过程中机械能减少
mgL，C正确，D错误。
〔多选〕（2025·福建厦门一中检测）如图所示，质量均为m的物块A
和B，用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿
光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处
由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与
水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B. 物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C. 物块A的速度大于物块B的速度
D. 物块B的末速度为
√
√
√
解析：在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝
Ltan θ，则物块B的重力势能减少量为ΔEpB＝mgLtan θ，物块A沿斜面上升
的距离为x＝－L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B
组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，所以物块B的
机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ－m＝m＋
mgxsin θ，物块A沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B
的速度分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin
θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；联立以上表达式可得vB＝
，故D正确。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
含弹簧系统的机械能守恒问题
　由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时
系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能
守恒。分析含弹簧问题时，注意以下两点：
（1）对同一弹簧，弹簧的弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无
论弹簧伸长还是压缩。
（2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体
具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。
〔多选〕如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮
两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A
使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A
下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不
计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是
（　　）
A. 物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B. 弹簧的劲度系数为
C. 物体A着地时的加速度大小为
D. 物体A着地时弹簧的弹性势能为2mgh
√
√
解析：物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的
系统，只有重力和弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A
正确；A即将触地时，物体B对地面的压力恰好为零，故弹簧的拉力为FT＝
mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知F＝kΔx，得弹簧的劲度系数为k
＝，故B错误；物体A着地时，细绳对A的拉力等于mg，对A受力分析，
根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，得a＝，故C正确；物体A与弹簧组
成的系统机械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2mv2，所以Ep＝2mgh－mv2，故D
错误。
如图所示，A、B两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A放在
固定的倾角为30°的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数
为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，使细线恰好
伸直，保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知B、C的质量均
为m，重力加速度为g。松手后A由静止开始沿斜面下滑，当A速度最大时C
恰好离开地面，则A下滑的最大速度为（　　）
A. 2g B. g
C. D. g
√
解析：对A、B两小球组成的整体，由平衡条件可得mAgsin 30°＝F＋mg，
F为此时弹簧的弹力，因此时C恰好离开地面，则有F＝mg，联立解得mA＝
4m，C恰好离开地面时，对C，有kx2＝mg，解得x2＝，此时A、B有最大
速度，且A、B速度大小相等。开始时系统静止，弹簧被压缩，绳上无拉
力，对B，有kx1＝mg，解得x1＝，从释放A到C恰好离开地面的过程中，
弹簧的弹性势能变化量是零，在此过程中A、B、C组成的系统机械能守
恒，由机械能守恒定律可得4mg（x1＋x2）sin 30°＝mg（x1＋x2）＋·（4m
＋m），解得vAm＝2g ，故选A。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
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1. 〔多选〕（2025·湖北黄冈期末）如图所示，下列关于机械能是否守恒
的判断正确的是（　　）
A. 图甲中，物体A竖直向下压缩弹簧，不计空气阻力，物体A、弹簧和地
球组成的系统机械能守恒
B. 图乙中，物体B沿固定斜面匀速下滑，物体B机械能守恒
C. 图丙中，物体A竖直加速下落，物体B竖直加速上升，不计定滑轮质量
和任何阻力，物体A的机械能守恒
D. 图丁中，小球沿水平面做匀速圆周运动，小球的机械能不变
√
√
解析： 　题图甲中，物体A竖直向下将弹簧压缩的过程中，物体A的机
械能转化为弹簧的弹性势能，物体A的重力势能是物体A与地球所共有，所
以物体A、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，故A正确；题图乙中，物体
B沿固定斜面匀速下滑，说明B受到向上的摩擦力作用，对物体B做负功，
物体B机械能减少，故B错误；题图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时A
加速下落，B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，B物体的机
械能增加，所以A物体的机械能减少，物体A的机械能不守恒，故C错误；
题图丁中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的动能和重力势能都不
变，故小球的机械能不变，故D正确。
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2. 质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升到最高
点时离抛出点距离为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则
（　　）
A. 小球在抛出点（刚抛出时）的机械能为零
B. 小球落回抛出点时的机械能为－mgH
C. 小球落到地面时的动能为m－mgh
D. 小球落到地面时的重力势能为－mgh
√
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解析： 　小球上升到最高点时，动能为0，势能也为0，所以在最高点的
机械能为0，在小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故任意位置
的机械能都为0，所以小球落回到抛出点时的机械能是0，故A正确，B错
误；小球从抛出点到落地过程中，只有重力做功，由动能定理得mgh＝
mv2－m，解得小球落地时的动能Ek＝mv2＝m＋mgh，故C错误；
小球落到地面时的重力势能为－mg（h＋H），D错误。
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3. （2025·北京海淀模拟）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面
上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压
弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB
的中点，则（　　）
A. 从B到A过程中，小球的机械能守恒
B. 从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C. 从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D. 从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力
对小球做功
√
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解析： 　从B到A过程中，小球除受重力外还受弹簧对小球的弹力，且弹
力做正功，故小球的机械能不守恒，故A错误；从B到A过程中，弹簧弹力
和重力平衡位置处动能最大，合力对小球先做正功后做负功，小球的动能
先增大后减小，故B错误；从B到A过程中，弹簧的压缩量一直在减小，故
弹簧的弹性势能一直减小，故C错误；因为从B到C过程弹簧的平均作用力
大于从C到A过程弹簧的平均作用力，两过程位移大小相等，故从B到C过
程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功，故D正确。
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4. （2024·北京高考7题）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半
圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释
放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法
正确的是（　　）
A. 物体在C点所受合力为零
B. 物体在C点的速度为零
C. 物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D. 物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
√
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解析： 　设物体恰好到达C点的速度大小为v，则在C点，根据恰好由重力
提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B
错误，C正确；物体从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可知，弹簧的
弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。
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5. 一长为L、质量可不计的刚性硬杆，左端通过铰链固定于O点，中点及
右端分别固定质量为m和质量为2m的小球，两球与杆可在竖直平面内绕O
点无摩擦地转动。开始时使杆处于水平状态并由静止释放，如图所示。当
杆下落到竖直位置时，在杆中点的球的速率为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　两球转动的角速度相等，根据v＝ωr可知两球的线速度大小之比
为1∶2，设杆中点处小球的速度为v，则外端小球的速度为2v，杆由初状态
下落到竖直位置过程中，对系统由机械能守恒定律得2mgL＋mg＝mv2＋
×2m（2v）2，可解得在杆中点的球的速率为v＝，故A正确。
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6. （2024·江西抚州一模）如图所示，某人站在山顶上，将一质量m＝0.5
kg的石块沿与水平方向成θ＝45°夹角的方向斜向上抛出，石块出手时离
地面的高度h＝40 m，石块落在水平地面上的动能Ek＝400 J，不计空气阻
力作用，重力加速度g取10 m/s2，则（　　）
A. 石块抛出时的速度大小为40 m/s
B. 石块在空中运动的时间约为2.8 s
C. 石块在运动过程中，最大速度为50 m/s
D. 石块在运动过程中，最小速度为20 m/s
√
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解析： 　石块落地时速度最大，根据Ek＝mv2，可得石块的最大速度
v＝40 m/s，故C错误；根据机械能守恒定律有mgh＋m＝mv2，解
得石块抛出时的速度大小v0＝20 m/s，故A错误；石块抛出后，在竖
直方向上做上抛运动，总运动时间比自由落体运动时间要长，即t＞
≈2.8 s，故B错误；石块运动到轨迹最高点时，竖直方向速度为
零，其速度最小，最小速度等于抛出时速度的水平分速度，即vx＝
v0cos 45°＝20 m/s，故D正确。
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7. （2025·青海西宁模拟）如图所示，顶角P为53°的光滑“ ”形硬杆固
定在竖直平面内，质量均为m的小球甲、乙（均视为质点）用长度为L的轻
质硬杆连接，分别套在“ ”形硬杆的倾斜和水平部分，当轻质硬杆呈竖
直状态时甲静止在A点，乙静止在C点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，
当甲运动到B点时，轻质硬杆与“ ”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度
大小为g，则甲在B点的速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由于甲在B位置时，轻质硬杆与AP倾斜部分垂直，根据关联速
度的分解规律可知，甲沿轻质硬杆的分速度为0，即此时乙的速度为0，甲
小球减小的重力势能转化为甲的动能，则有mg（L－Lsin 37°）＝mv2，
解得v＝，故选B。
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8. （2025·山东菏泽期末）如图所示，ABC为固定于竖直平面内的一段内
壁光滑的中空细管，BC段被弯成以O为圆心、半径R＝0.2 m的一小段圆
弧，A点、O点位于地面，OC连线竖直。一质量m＝0.4 kg的小球（可视为
质点）从圆弧底端A点沿切线以初速度v0进入细管ABC，从C点水平飞出，
落地点到O点的距离x＝0.2 m。已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻
力，小球横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
（1）小球在C点对细管壁的压力FN；
答案： 2 N，方向竖直向下　
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解析： 小球从C点飞出后做平拋运动，则有R＝gt2，x＝vCt
解得vC＝1 m/s
在C点的速度vC＝1 m/s＜
则有mg－F＝m
解得F＝2 N
根据牛顿第三定律，小球在C点对细管壁的压力FN＝2 N，方向竖直向下。
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（2）小球在A点的初速度大小v0。
答案： m/s
解析：小球从A到C过程，根据机械能守恒定律，有mgR＝m－m
解得v0＝ m/s。
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9. （2025·江苏苏州三模）如图所示，一半径为R的
光滑硬质圆环固定在竖直平面内与光滑足够长的水
平杆相连，在圆环最高点的竖直切线和最低点的水
平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C，质量为m的小球A穿在环上，且可以自由滑动，小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B，细线搭在滑轮上，现将小球A从环上最高点由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
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解析： 对小球A，有F＝ma
对小球B，有mg－F＝ma
联立解得张力F＝0.5mg。
（1）小球A到达D点时细线中的张力；
答案： 0.5mg　
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（2）小球A到达D点时小球B的速度；
答案： 　
解析：小球A到达D点时，小球B回到原位置，系统机械能守恒，有mgR＝
m＋m
此时两小球速度大小相等，有vA＝vB
联立解得vB＝。
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（3）小球A运动一个周期小球B的路程。
答案： （10－4）R
解析：小球A过D点后沿杆向左运动，小球B高度上升，到两者速度为零。假
设小球B上升距离为x，由机械能守恒定律可知mgR＝mgx
解得x＝R
小球A恰好经过OC与圆环的交点处，此时小球B下降的高度hB＝R－（R
－R）＝（2－）R
由于系统机械能守恒，系统做周期性运动，在小球A再次回到最高点的过
程中，小球B的路程为s＝2（2hB＋x）
解得s＝（10－4）R。
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