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第4讲　功能关系和能量守恒定律
1.（2025·山东济宁模拟）某同学将一乒乓球从手中竖直向上抛出，随后在同一位置接住乒乓球，乒乓球在空中运动时不发生旋转，所受空气阻力与乒乓球的速率成正比。下列说法正确的是（　　）
A.下降过程中乒乓球的速度一定一直在增加
B.抛出时乒乓球的速度与接住时的速度大小相等
C.乒乓球在空中运动过程中机械能一直在减小
D.运动过程中在同一高度处乒乓球的加速度大小相等
2.（2025·湖南长沙期末）一种新型节能路灯如图所示，它“头顶”小风扇，“肩扛”太阳能电池板。关于节能路灯的设计解释合理的是（　　）
A.小风扇是用来给太阳能电池板散热的
B.小风扇是小型电动机，将电能转化为风能
C.太阳能电池板将太阳能转化为电能
D.蓄电池在夜晚放电时，将电能转化为化学能
3.（2025·浙江金华二模）如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.航天员处于完全失重状态
B.机械能增加了mgh
C.合力不做功，机械能守恒
D.重力做负功，机械能减少
4.〔多选〕（2024·黑龙江哈尔滨模拟预测）我国“天问一号”着陆器搭载“祝融号”火星车，经过“大气摩擦—降落伞—反推力”等制动过程减速后，成功着陆火星的平坦区域。下列关于着陆器的说法正确的是（　　）
A.“祝融号”对着陆器的作用力小于着陆器对“祝融号”的作用力
B.使用降落伞减速的过程中，着陆器处于超重状态
C.与大气摩擦的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能
D.使用降落伞减速的过程中，着陆器的重力势能转化为动能
5.（2024·湖南张家界期末）喷泉经常出现在广场和公园等公共场所，它给夜色增添了一抹灵动，也给人们的生活增添了无穷乐趣。某城市广场喷泉可看作竖直向上喷出，且上升和下降水流不发生碰撞，已知喷出的水柱高达125 m，喷管的半径为 m，不计水柱运动过程中受到的空气阻力，请你据此估算用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为（　　）
A.1.25×106 W B.1.50×106 W
C.2.50×106 W D.5.00×106 W
6.（2025·贵州遵义模拟）如图所示，某时刻物块以初速度v0沿粗糙斜面向下运动，此时加上沿斜面向上的恒力F，物块开始向下做匀减速直线运动直至静止。以该时刻物块所在位置为势能零点，若位移为x、速度为v、动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E，则下列图像可能正确的是（　　）
7.〔多选〕从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和，取地面为零势能参考平面，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2，根据图中数据可知（　　）
A.物体的质量为2 kg
B.物体上升过程中所受阻力大小为4 N
C.在物体上升至h＝2 m处，物体的动能为40 J
D.在物体上升后返回至h＝2 m处，物体的动能为30 J
8.（2025·浙江义乌期中）如图为敦煌熔盐塔式光热电站，站内总反射面积约1.4×106 m2的定日镜以同心圆状围绕着吸热塔，最后把光能转化为电能，光电转化效率为10％，已知太阳每秒辐射出的能量约为3.8×1026 J，太阳到地球的距离约为1.5×1011 m，地球半径约为6 400 km，则该发电站每年能向外输送的电能最接近（　　）
A.1010 J B.1015 J
C.1020 J D.1024 J
9.（2025·安徽六安期末）一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则有（　　）
A.返回斜面底端时的动能为
B.返回斜面底端时的动能为E
C.返回斜面底端时的速度大小为2v
D.克服摩擦阻力做的功仍为
10.〔多选〕（2025·广东梅州二模）“南方小土豆”到东北旅游时，滑雪是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面平滑连接，质量为m的游客从高度为h的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到水平面上的A点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，＝x，下列说法正确的是（　　）
A.游客沿斜面下滑过程中机械能守恒
B.游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小变大
C.水平距离＝x＝
D.游客下滑高度h一定时，斜面倾角θ越大，水平距离x越大
11.（2025·广东佛山期末）如图所示为推行节水工程的转动喷水“龙头”，“龙头”距地面为h，其喷灌半径可达10h，t时间内喷出水的质量为m，所用的水从地下2h深的井里抽取。设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，不计空气阻力。试求：
（1）喷水龙头喷出水的初速度大小v0；
（2）水泵t时间内对水所做的功W；
（3）带动水泵的电动机的最小输出功率Pmin。
12.如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与粗糙水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2 m的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧，弹簧一端固定于地面上，另一端恰好与管口D端平齐。一个质量为1.0 kg的物块放在曲面AB上，现从距BC高度为h＝0.6 m处由静止释放物块，它与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，物块进入管口C端时，它对上管壁有FN＝2.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中，物块速度最大时弹簧的弹性势能Ep＝0.5 J。重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）在压缩弹簧过程中物块的最大动能Ekm；
（2）物块最终停止的位置。
第4讲　功能关系和能量守恒定律
1.C　乒乓球下降过程中，空气阻力方向向上，当空气阻力与重力相等时，乒乓球速度达到最大，此后乒乓球做匀速直线运动，故A错误；乒乓球在运动过程中空气阻力一直做负功，根据功能关系可知，乒乓球在空中运动过程中的机械能一直减小，故乒乓球抛出时速度大于接住时的速度，故B错误，C正确；乒乓球在上升过程中，空气阻力方向向下，加速度大于重力加速度，乒乓球在下降过程中，空气阻力方向向上，加速度小于重力加速度，所以运动过程中在同一高度处乒乓球的加速度大小不相等，故D错误。
2.C　“头顶”的小风扇可以把风能转化为电能，这样只要有风，这种路灯就可以发电，填补了阴天和晚上不能发电的空白，可用于路灯晚上照明使用，故A、B错误；“肩扛”的太阳能电池板可以把太阳能转化为电能，故C正确；蓄电池在夜晚放电时，将化学能转化为电能，故D错误。
3.B　航天员匀速上升，处于平衡状态，故A错误；根据功能关系，除了重力外其他力做的功等于机械能的增加量，由题意可知F浮＝mg，浮力做的功W浮＝F浮h＝mgh，则航天员机械能增加了mgh，重力对航天员做的功WG＝－mgh，故B正确，C、D错误。
4.BC　“祝融号”对着陆器的作用力与着陆器对“祝融号”的作用力大小相等、方向相反，为一对相互作用力，A错误；使用降落伞减速的过程中，加速度方向竖直向上，着陆器处于超重状态，B正确；与大气摩擦的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能，C正确；使用降落伞减速的过程中，重力做正功，阻力做负功，着陆器的重力势能、动能都减小，机械能不守恒，合外力做功等于动能变化，所以不是着陆器的重力势能转化为动能，D错误。
5.C　喷出水的初速度为v0＝＝ m/s＝50 m/s，在时间Δt内喷出水的质量为Δm＝ρv0ΔtS＝πr2ρv0Δt，则电动机输出功率P＝＝πr2ρ，代入数据解得P＝2.50×106 W，故选C。
6.D　根据运动学公式得v2－＝－2ax，速度v与位移x不是线性关系，图像不是直线，A错误；根据动能定理得mgxsin θ－Fx－Ffx＝Ek－Ek0，解得Ek＝（mgsin θ－F－Ff）x＋Ek0，动能Ek与位移x是线性关系，图像是直线，B错误；根据功能关系得mgxsin θ＝Ep0－Ep，解得Ep＝Ep0－mgxsin θ，重力势能Ep与位移x是线性关系，图像是直线，C错误；根据功能关系得－Fx－Ffx＝E－E0，解得E＝E0－（F＋Ff）x，机械能E和位移x是线性关系，D正确。
7.AD　根据Ep＝mgh结合题图可得物体的质量为2 kg，故A正确；根据ΔE＝－Ffh，解得Ff＝ N＝5 N，故B错误；由题图可知，物体初动能为100 J，在物体上升至h＝2 m处，根据动能定理得－Ffh－mgh＝Ek1－Ek0，解得Ek1＝50 J，故C错误；物体从地面上升后返回至h＝2 m处，根据动能定理得－Ffs－mgh＝Ek2－Ek0，又s＝6 m，解得Ek2＝30 J，故D正确。
8.B　太阳每秒钟射到地球上单位面积的能量为，定日镜每秒钟吸收太阳的能量，发电站每年能向外输送的电能E＝＝ J＝5.9×1015 J，故选B。
9.B　设物块以初动能为E冲上斜面的初速度为v0，则以初动能为2E冲上斜面时，初速度为v0，由于物块两次向上运动的加速度相同，根据2ax1＝0－，2ax2＝0－（v0）2，可知物块第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以第二次上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，第二次整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E；根据能量守恒定律可知第二次返回到底端时的动能为Ek'＝2E－E＝E，故A、D错误，B正确；第一次小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为，则有mv2＝E－E＝E，若小物块冲上斜面的初动能变为2E，设它返回斜面底端的速度大小为v'，由于克服摩擦阻力做功为E，则有mv'2＝2E－E＝E，联立可得v'＝v，故C错误。
10.BC　游客沿斜面下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减少，故A错误；游客沿斜面下滑过程中，速度越来越大，根据P＝Fv＝mgvy可知，重力的瞬时功率大小在变大，故B正确；游客从开始下滑到最后停在A点，设斜面投影长度为x1，斜面底端到A点距离为x2，由能量关系可知mgh＝μmgcos θ·＋μmgx2＝μmgx，求得＝x＝，游客下滑高度h一定时，斜面倾角θ与水平距离x无关，故C正确，D错误。
11.（1）5　（2）28mgh　（3）
解析：（1）喷水龙头喷出的水做平抛运动，在竖直方向，有h＝g，解得t1＝，水平方向做匀速运动，有10h＝v0t1，解得v0＝5。
（2）t时间内喷出水的动能为Ek＝m＝25mgh
水泵提水，t时间内水获得的重力势能为Ep＝mg（2h＋h）＝3mgh
所以t时间内水泵对水所做的功为W＝Ek＋Ep＝28mgh。
（3）带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵的输入功率Pmin＝
解得Pmin＝。
12.（1）6 J　（2）停在BC上距离C端0.3 m处（或距离B端0.2 m处）
解析：（1）在压缩弹簧过程中，物块速度最大时所受合力为零。设此时物块离D端的距离为x0，则有kx0＝mg
解得x0＝0.1 m
在C点，由牛顿第三定律知，物块受到上管壁向下的作用力FN'＝2.5mg，有
FN'＋mg＝m
解得vC＝ m/s
物块从C点到速度最大时，由能量守恒定律有
mg（r＋x0）＝Ep＋Ekm－m
解得Ekm＝6 J。
（2）物块从A点运动到C点的过程中，由动能定理得mgh－μmgs＝m－0
解得B、C间距离s＝0.5 m
物块与弹簧作用后返回C处时动能不变，物块的动能最终消耗在与BC水平面相互作用的过程中。
设物块第一次与弹簧作用返回C处后，物块在BC上运动的总路程为s'，由能量守恒定律有μmgs'＝m
解得s'＝0.7 m
故最终物块停在BC上与C点的距离为x1＝0.5 m－（0.7 m－0.5 m）＝0.3 m
或距离B端为x2＝0.7 m－0.5 m＝0.2 m处停下。
3 / 3第4讲　功能关系和能量守恒定律
功能关系
1.能的概念：一个物体　　　　　　，这个物体就具有能量。
2.功能关系
（1）功是　　　　　　的量度，即做了多少功就有　　　　　　发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着　　　　　　　，而且　　　　　　必通过做功来实现。
能量守恒定律
1.内容：　　　　既不会凭空　　　　，也不会凭空消失，它只能从一种形式　　　　为其他形式，或者从一个物体　　　　到别的物体，在　　　　　　　　的过程中，能量的总量　　　　　　。
2.适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中　　　　　　　的一条规律。
3.表达式
（1）E初＝E末，初状态各种能量的　　　　　等于末状态各种能量的　　　　。
（2）ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
1.物体下落h，重力做功mgh，物体具有了能量mgh。（　　）
2.在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。（　　）
3.一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。（　　）
4.重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过程。（　　）
1.（2024·江西高考5题）“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山爆布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70％，则发电功率大致为（　　）
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
2.（人教版必修第二册P100·T3改编）如图所示为风力发电机，其叶片转动时可形成半径为20 m的圆面，某时间内该地区的风速为6.0 m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2 kg/m3，假如这个风力发电机将此圆面内10％的空气动能转化为电能，取π＝3，则下列说法错误的是（　　）
A.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为7 200 m3
B.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为155.52 kJ
C.此风力发电机的发电功率约为15.55 kW
D.若风速变为原来2倍 ，则电功率将变为原来4倍
考点一　功能关系的理解和应用
1.对功能关系的进一步理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加； （2）合力做负功，动能减少； （3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少； （2）重力做负功，重力势能增加； （3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少； （2）弹力做负功，弹性势能增加； （3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
静电力 做功 电势能 变化 （1）静电力做正功，电势能减少； （2）静电力做负功，电势能增加； （3）W电＝－ΔEp
安培力做功 电能 变化 （1）安培力做正功，电能减少； （2）安培力做负功，电能增加； （3）W安＝－ΔE电
除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能 变化 （1）其他力做正功，机械能增加； （2）其他力做负功，机械能减少； （3）W＝ΔE机
（2024·浙江1月选考3题）
如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　）
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
尝试解答
人教版必修第二册P82·T2
　如图，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。重力加速度为g。
（1）足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
（2）足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？
（2025·浙江杭州期中）如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地三百多米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为g，在运动员开伞前下落h的过程中，下列说法错误的是（　　）
A.重力对运动员做功为mgh
B.运动员克服阻力做功为mgh
C.运动员的动能增加了mgh
D.运动员的机械能减少了mgh
尝试解答
总结提升
功能关系的选用原则
（1）总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析。
（2）只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。
（3）只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
（4）只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。
考点二　能量守恒定律的理解和应用
1.对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2.应用能量守恒定律解题的思路
（1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。
（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
（3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
（2025·广东梅州期末）某水库泄洪情景如图所示，已知泄洪流量为240 m3/s，水位落差100 m，水的密度为1.0×103 kg/m3。泄洪时，水流的重力势能有25％转化为电能，取g＝10 m/s2，按照以上数据估算发电站的发电功率是（　　）
A.6.0×107 W B.6.0×108 W
C.2.4×107 W D.2.4×108 W
尝试解答
〔多选〕如图所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的斜面底端。一质量为m的物体从距弹簧上端d处由静止释放，向下运动位移L后停在最低点。已知弹簧始终在弹性限度内，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体向下运动过程中（　　）
A.摩擦产生的热量为μmgLcos θ
B.物体机械能的减少量为mgLsin θ
C.物体的最大动能为mgdsin θ－μmgdcos θ
D.弹簧弹性势能的最大值为mgLsin θ－μmgLcos θ
尝试解答
功能关系中的图像问题
常见图像的基本规律
Ek-x图像 Ep-x图像
斜率：合外力 ①合外力沿＋x方向 ②合外力沿－x方向 斜率：重力、弹力等 ①力沿－x方向 ②力沿＋x方向
E-x图像 E-t图像
斜率：除重力、弹力以外的力 ①力沿＋x方向 ②力沿－x方向 斜率：功率
（2025·河北邯郸三模）如图所示，两个倾角相同的斜面固定在水平地面上，底端通过光滑小圆弧连接，一物块从右侧斜面顶端由静止下滑，滑上左侧斜面至最高点，物块与两斜面间动摩擦因数相同，通过底端时无能量损失，此过程中下列图像正确的是（v为速率，Ep为重力势能，t为运动时间，Ek为动能，E为机械能，s为路程，选取地面为零势能面）（　　）
尝试解答
如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙的水平面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹簧弹性势能第一次达到最大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能Ek、弹簧的弹性势能Ep、物块和弹簧的机械能E随时间t或位移x变化的图像，其中可能正确的是（　　）
尝试解答
第4讲　功能关系和能量守恒定律
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.能对外做功　2.（1）能量转化　多少能量　（2）能量的转化　能量转化
知识点2
1.能量　产生　转化　转移　转化或转移　保持不变
2.普遍适用　3.（1）总和　总和
易错易混辨析
1.×　2.√　3.√　4.√
双基落实筑牢
1.B　发电功率P＝η·P＝P＝ηρQgh，代入数据解得P≈107 W，B正确。
2.D　单位时间内风力发电机叶片圆面的气流的体积为V0＝vS×1 s＝v·πr2 s＝6.0×3×202 m3＝7 200 m3，每秒流经涡轮机空气的动能约为Ek＝mv2＝ρV0v2＝×1.2×7 200×6.02 J＝155.52 kJ，故A、B正确；依题意，风力发动机产生的电功率约为P＝10％Ek＝15.55 kW，故C正确；风力发动机产生的电功率P＝10％Ek＝10％v·πr2·ρv2＝πρr2v3，若风速变为原来2倍，则电功率将变为8倍，故D错误。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【例1】 B　由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3，由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，C、D错误。
考教衔接
　（1）－mgh　mgh　（2）mgh　mgh
【例2】 A　在运动员开伞前下落h的过程中，重力对运动员做功为WG＝mgh，故A错误，符合题意；运动员下落的加速度为g，则阻力为F阻＝mg－ma＝mg，即运动员克服阻力做功为Wf＝F阻h＝mgh，故B正确，不符合题意；由动能定理可知W合＝F合h＝mah＝mgh＝ΔEk，即运动员的动能增加了mgh，故C正确，不符合题意；根据能量守恒定律可知，阻力所做负功等于运动员机械能的减少，有ΔE机＝mgh，即运动员的机械能减少了mgh，故D正确，不符合题意。
考点二
【例3】 A　由题意可知t时间内水流的体积V＝Qt，发电站的发电功率为P＝＝＝＝25％ρQgh，代入数据可得P＝25％×1.0×103×240×10×100 W＝6.0×107 W，故选A。
【例4】 ABD　根据功能关系得摩擦产生的热量为Q＝FfΔx＝μmgLcos θ，故A正确；物体从最高点运动到最低点时，初、末动能相等，则物体机械能的减少量即为重力势能的减少量，为mgLsin θ，故B正确；物体速度最大时，动能最大，而速度最大时，物体所受合力为零，此时弹簧一定发生形变，而C项中mgdsin θ－μmgdcos θ是物体在弹簧原长位置具有的动能，故C错误；当弹簧被压缩到最短时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒定律可知，物体的重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能，即mgLsin θ＝Q＋Ep，解得Ep＝mgLsin θ－μmgLcos θ，故D正确。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 D　根据牛顿第二定律知，物块沿斜面下滑时有mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，解得加速度a1＝gsin θ－μgcos θ，根据牛顿第二定律知，物块沿斜面上滑时有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得加速度a2＝gsin θ＋μgcos θ，故a1＜a2，v-t图像的斜率表示加速度，故A错误；Ep-t图像的斜率大小表示重力的瞬时功率，物块沿斜面下滑，速度越来越大，竖直方向的速度也越来越大，故重力的功率越来越大，故B错误；动能随路程变化图像的斜率大小表示合外力，根据牛顿第二定律知，沿斜面下滑的合力F1＝ma1，是定值，沿斜面上滑的合力F2＝ma2，也是定值，故C错误；根据功能关系知，摩擦力做负功，机械能减少，又机械能随路程变化图像的斜率大小表示摩擦力，根据题意可知摩擦力为μmgcos θ，为定值，故D正确。
【典例2】 D　根据牛顿第二定律知F－Ff－kx＝ma，从原长到速度最大的过程中，弹簧弹力一直增大，加速度一直减小到0，所以速度增加得越来越缓慢，故A错误；根据＝F合，可知合力一直减小到零，故B错误；机械能的增加量等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功，则E＝ΔE＝（F－Ff）x，则E-x图像斜率不变，由此可知C错误；从原长到物块的速度达到最大的过程中，弹簧弹力的形变量大小等于位移，弹簧弹力方向不变，大小随位移均匀增大，则ΔEp＝Ep＝x＝kx2，可知D正确。
5 / 5(共67张PPT)
第4讲　功能关系和能量守恒定律
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
功能关系
1. 能的概念：一个物体 ，这个物体就具有能量。
2. 功能关系
能对外做功　
（1）功是 的量度，即做了多少功就有 发生了
转化。
（2）做功的过程一定伴随着 ，而且 必通过
做功来实现。
能量转化　
多少能量　
能量的转化　
能量转化　
能量守恒定律
1. 内容： 既不会凭空 ，也不会凭空消失，它只能从一种
形式 为其他形式，或者从一个物体 到别的物体，在
的过程中，能量的总量 。
2. 适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象
中 的一条规律。
能量　
产生　
转化　
转移　
转
化或转移　
保持不变　
普遍适用　
（1）E初＝E末，初状态各种能量的 等于末状态各种能量的
。
（2）ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
总和　
总
和　
3. 表达式
1. 物体下落h，重力做功mgh，物体具有了能量mgh。 （　×　）
2. 在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。 （　√　）
3. 一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。 （　√　）
4. 重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过
程。 （　√　）
×
√
√
√
1. （2024·江西高考5题）“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山爆布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70％，则发电功率大致为（　　）
A. 109 W B. 107 W
C. 105 W D. 103 W
√
解析： 发电功率P＝η· P＝ P＝ηρQgh，代入数据解得P≈107 W，B正确。
2. （人教版必修第二册P100·T3改编）如图所示为风力发电机，其叶片转
动时可形成半径为20 m的圆面，某时间内该地区的风速为6.0 m/s，风向恰
好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2 kg/m3，假如这个风力发
电机将此圆面内10％的空气动能转化为电能，取π＝3，则下列说法错误的
是（　　）
A. 单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为7 200
m3
B. 单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为155.52
kJ
C. 此风力发电机的发电功率约为15.55 kW
D. 若风速变为原来2倍 ，则电功率将变为原来4倍
√
解析： 　单位时间内风力发电机叶片圆面的气流的体积为V0＝vS×1 s＝
v·πr2 s＝6.0×3×202 m3＝7 200 m3，每秒流经涡轮机空气的动能约为Ek＝
mv2＝ρV0v2＝×1.2×7 200×6.02 J＝155.52 kJ，故A、B正确；依题
意，风力发动机产生的电功率约为P＝10％Ek＝15.55 kW，故C正确；风力
发动机产生的电功率P＝10％Ek＝10％v·πr2·ρv2＝πρr2v3，若风速变为原
来2倍，则电功率将变为8倍，故D错误。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　功能关系的理解和应用
1. 对功能关系的进一步理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是
通过做功来实现的。
（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，
对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化
的多少在数值上相等。
2. 几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加；
（2）合力做负功，动能减少；
（3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少；
（2）重力做负功，重力势能增加；
（3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少；
（2）弹力做负功，弹性势能增加；
（3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
力做功 能的变化 定量关系
静电力做功 电势能变化 （1）静电力做正功，电势能减少；
（2）静电力做负功，电势能增加；
（3）W电＝－ΔEp
安培力做功 电能变化 （1）安培力做正功，电能减少；
（2）安培力做负功，电能增加；
（3）W安＝－ΔE电
除重力和系统内弹力之外的 其他力做功　　　 机械能变化 （1）其他力做正功，机械能增加；
（2）其他力做负功，机械能减少；
（3）W＝ΔE机
（2024·浙江1月选考3题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位
置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　）
A. 从1到2动能减少mgh
B. 从1到2重力势能增加mgh
C. 从2到3动能增加mgh
D. 从2到3机械能不变
√
解析：由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作
用，则从1到2重力势能增加mgh，动能减少量大于mgh，A错误，B正确；
从2到3，由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能
增加小于mgh，C、D错误。
如图，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落
到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。
重力加速度为g。
（1）足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球的重力势能增
加了多少？
答案： －mgh　mgh　
人教版必修第二册P82·T2
（2）足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减
少了多少？
答案： mgh　mgh
（2025·浙江杭州期中）如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员
从离地三百多米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结
合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定
阻力作用，下落的加速度为g，在运动员开伞前下落h的过程中，下列说法
错误的是（　　）
A. 重力对运动员做功为mgh
B. 运动员克服阻力做功为mgh
C. 运动员的动能增加了mgh
D. 运动员的机械能减少了mgh
√
解析：在运动员开伞前下落h的过程中，重力对运动员做功为WG＝mgh，
故A错误，符合题意；运动员下落的加速度为g，则阻力为F阻＝mg－ma＝
mg，即运动员克服阻力做功为Wf＝F阻h＝mgh，故B正确，不符合题意；
由动能定理可知W合＝F合h＝mah＝mgh＝ΔEk，即运动员的动能增加了
mgh，故C正确，不符合题意；根据能量守恒定律可知，阻力所做负功等
于运动员机械能的减少，有ΔE机＝mgh，即运动员的机械能减少了mgh，
故D正确，不符合题意。
　（2025·河南三门峡一模）蹦极是一项紧张刺激的户外运
动。如图所示，某景区蹦极所用的橡皮绳原长为L＝80 m、
劲度系数为k＝25 N/m，橡皮绳一端固定在跳台上，另一端
拴接在游客脚踝处。已知游客的质量m＝50 kg，重力加速度
g取10 m/s2，不计橡皮绳的重力和空气阻力，橡皮绳始终在
弹性限度内，假设游客始终在同一竖直线上运动，则游客无初速度地从
跳台跳下后，橡皮绳的最大伸长量为（　　）
A. 20 m B. 40 m
C. 60 m D. 80 m
√
解析： 　当游客运动到最低点时，橡皮绳的伸长量最大，设橡皮绳的最
大伸长量为x，则橡皮绳从原长到伸长x的过程中游客克服橡皮绳的拉力做
的功为W1＝·x＝kx2，游客无初速度从跳台跳下到最低点速度减为0的
过程中，由功能关系可知mg（L＋x）－W1＝0，解得橡皮绳的最大伸长量x
＝80 m，D正确。
总结提升
功能关系的选用原则
（1）总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定
理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析。
（2）只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。
（3）只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化
的关系分析。
（4）只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。
考点二　能量守恒定律的理解和应用
1. 对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和
增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和
增加量一定相等。
2. 应用能量守恒定律解题的思路
（1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。
（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的
能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
（3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
（2025·广东梅州期末）某水库泄洪情景如图所示，已知泄洪流量为
240 m3/s，水位落差100 m，水的密度为1.0×103 kg/m3。泄洪时，水流的
重力势能有25％转化为电能，取g＝10 m/s2，按照以上数据估算发电站的
发电功率是（　　）
A. 6.0×107 W B. 6.0×108 W
C. 2.4×107 W D. 2.4×108 W
√
解析：由题意可知t时间内水流的体积V＝Qt，发电站的发电功率为P＝
＝＝＝25％ρQgh，代入数据可得P＝25％
×1.0×103×240×10×100 W＝6.0×107 W，故选A。
〔多选〕如图所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的斜面底端。一质量
为m的物体从距弹簧上端d处由静止释放，向下运动位移L后停在最低点。
已知弹簧始终在弹性限度内，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速
度为g，则物体向下运动过程中（　　）
A. 摩擦产生的热量为μmgLcos θ
B. 物体机械能的减少量为mgLsin θ
C. 物体的最大动能为mgdsin θ－μmgdcos θ
D. 弹簧弹性势能的最大值为mgLsin θ－μmgLcos θ
√
√
√
解析：根据功能关系得摩擦产生的热量为Q＝FfΔx＝μmgLcos θ，故A正
确；物体从最高点运动到最低点时，初、末动能相等，则物体机械能的减
少量即为重力势能的减少量，为mgLsin θ，故B正确；物体速度最大时，动
能最大，而速度最大时，物体所受合力为零，此时弹簧一定发生形变，而
C项中mgdsin θ－μmgdcos θ是物体在弹簧原长位置具有的动能，故C错误；
当弹簧被压缩到最短时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒定律可知，物
体的重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能，即mgLsin θ＝Q＋Ep，解得Ep
＝mgLsin θ－μmgLcos θ，故D正确。
　（2025·辽宁沈阳模拟）如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜
面之间的动摩擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时
上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和
B，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2
kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给两物体A、B一大小v0＝3 m/s
的初速度，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最
短后又恰好能弹回到C点。重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力，
整个过程中轻绳始终处于伸直状态。求在此过程中：
（1）物体A向下运动到C点时的速度大小；
答案： 2 m/s　
解析： 在物体A向下运动到C点的过程中，对两物体A、B组成的系
统，根据能量守恒定律可得μ·2mgcos θ·L＝×3m－×3mv2＋2mgLsin θ
－mgL，解得v＝2 m/s。
（2）弹簧的最大压缩量；
答案： 0.4 m　
解析：对两物体A、B组成的系统，在物体A从C点压缩弹簧至最短后恰
好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即
×3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x，其中x为弹簧的最大压缩量，解得x＝0.4 m。
（3）弹簧的最大弹性势能。
答案： 6 J
解析：设弹簧的最大弹性势能为Epm，从C点到弹簧被压缩至最短过程
中，由能量守恒定律可得×3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋Epm，
解得Epm＝6 J。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
功能关系中的图像问题
常见图像的基本规律
Ek-x图像 Ep-x图像
斜率：合外力 ①合外力沿＋x方向 ②合外力沿－x方向 斜率：重力、弹力等
①力沿－x方向
②力沿＋x方向
E-x图像 E-t图像
斜率：除重力、弹力以外的力 ①力沿＋x方向 ②力沿－x方向 斜率：功率
（2025·河北邯郸三模）如图所示，两个倾角相同的斜面固定在水
平地面上，底端通过光滑小圆弧连接，一物块从右侧斜面顶端由静止下
滑，滑上左侧斜面至最高点，物块与两斜面间动摩擦因数相同，通过底端
时无能量损失，此过程中下列图像正确的是（v为速率，Ep为重力势能，t
为运动时间，Ek为动能，E为机械能，s为路程，选取地面为零势能面）
（　　）
√
解析：根据牛顿第二定律知，物块沿斜面下滑时有mgsin θ－μmgcos θ＝
ma1，解得加速度a1＝gsin θ－μgcos θ，根据牛顿第二定律知，物块沿斜面
上滑时有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得加速度a2＝gsin θ＋μgcos θ，故a1
＜a2，v-t图像的斜率表示加速度，故A错误；Ep-t图像的斜率大小表示重力
的瞬时功率，物块沿斜面下滑，速度越来越大，竖直方向的速度也越来越
大，故重力的功率越来越大，故B错误；动能随路程变化图像的斜率大小
表示合外力，根据牛顿第二定律知，沿斜面下滑的合力F1＝ma1，是定
值，沿斜面上滑的合力F2＝ma2，也是定值，故C错误；根据功能关系知，
摩擦力做负功，机械能减少，又机械能随路程变化图像的斜率大小表示摩
擦力，根据题意可知摩擦力为μmgcos θ，为定值，故D正确。
如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙的水平
面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹
簧弹性势能第一次达到最大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能
Ek、弹簧的弹性势能Ep、物块和弹簧的机械能E随时间t或位移x变化的图
像，其中可能正确的是（　　）
√
解析：根据牛顿第二定律知F－Ff－kx＝ma，从原长到速度最大的过程
中，弹簧弹力一直增大，加速度一直减小到0，所以速度增加得越来越缓
慢，故A错误；根据＝F合，可知合力一直减小到零，故B错误；机械能
的增加量等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功，则E＝ΔE＝（F－Ff）
x，则E-x图像斜率不变，由此可知C错误；从原长到物块的速度达到最大
的过程中，弹簧弹力的形变量大小等于位移，弹簧弹力方向不变，大小随
位移均匀增大，则ΔEp＝Ep＝x＝kx2，可知D正确。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·山东济宁模拟）某同学将一乒乓球从手中竖直向上抛出，随后
在同一位置接住乒乓球，乒乓球在空中运动时不发生旋转，所受空气阻力
与乒乓球的速率成正比。下列说法正确的是（　　）
A. 下降过程中乒乓球的速度一定一直在增加
B. 抛出时乒乓球的速度与接住时的速度大小相等
C. 乒乓球在空中运动过程中机械能一直在减小
D. 运动过程中在同一高度处乒乓球的加速度大小相等
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√
解析： 　乒乓球下降过程中，空气阻力方向向上，当空气阻力与重力相
等时，乒乓球速度达到最大，此后乒乓球做匀速直线运动，故A错误；乒
乓球在运动过程中空气阻力一直做负功，根据功能关系可知，乒乓球在空
中运动过程中的机械能一直减小，故乒乓球抛出时速度大于接住时的速
度，故B错误，C正确；乒乓球在上升过程中，空气阻力方向向下，加速度
大于重力加速度，乒乓球在下降过程中，空气阻力方向向上，加速度小于
重力加速度，所以运动过程中在同一高度处乒乓球的加速度大小不相等，
故D错误。
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2. （2025·湖南长沙期末）一种新型节能路灯如图所示，它“头顶”小风
扇，“肩扛”太阳能电池板。关于节能路灯的设计解释合理的是（　　）
A. 小风扇是用来给太阳能电池板散热的
B. 小风扇是小型电动机，将电能转化为风能
C. 太阳能电池板将太阳能转化为电能
D. 蓄电池在夜晚放电时，将电能转化为化学能
解析： 　“头顶”的小风扇可以把风能转化为电能，这样只要有风，这
种路灯就可以发电，填补了阴天和晚上不能发电的空白，可用于路灯晚上
照明使用，故A、B错误；“肩扛”的太阳能电池板可以把太阳能转化为电
能，故C正确；蓄电池在夜晚放电时，将化学能转化为电能，故D错误。
√
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3. （2025·浙江金华二模）如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的
一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受
到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g
且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说
法正确的是（　　）
A. 航天员处于完全失重状态
B. 机械能增加了mgh
C. 合力不做功，机械能守恒
D. 重力做负功，机械能减少
√
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解析： 　航天员匀速上升，处于平衡状态，故A错误；根据功能关系，除
了重力外其他力做的功等于机械能的增加量，由题意可知F浮＝mg，浮力
做的功W浮＝F浮h＝mgh，则航天员机械能增加了mgh，重力对航天员做的
功WG＝－mgh，故B正确，C、D错误。
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4. 〔多选〕（2024·黑龙江哈尔滨模拟预测）我国“天问一号”着陆器搭
载“祝融号”火星车，经过“大气摩擦—降落伞—反推力”等制动过程减
速后，成功着陆火星的平坦区域。下列关于着陆器的说法正确的是
（　　）
A. “祝融号”对着陆器的作用力小于着陆器对“祝融号”的作用力
B. 使用降落伞减速的过程中，着陆器处于超重状态
C. 与大气摩擦的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能
D. 使用降落伞减速的过程中，着陆器的重力势能转化为动能
√
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解析： 　“祝融号”对着陆器的作用力与着陆器对“祝融号”的作用力
大小相等、方向相反，为一对相互作用力，A错误；使用降落伞减速的过
程中，加速度方向竖直向上，着陆器处于超重状态，B正确；与大气摩擦
的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能，C正确；使用降落伞减速的
过程中，重力做正功，阻力做负功，着陆器的重力势能、动能都减小，机
械能不守恒，合外力做功等于动能变化，所以不是着陆器的重力势能转化
为动能，D错误。
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5. （2024·湖南张家界期末）喷泉经常出现在广场和公
园等公共场所，它给夜色增添了一抹灵动，也给人们的
生活增添了无穷乐趣。某城市广场喷泉可看作竖直向上
喷出，且上升和下降水流不发生碰撞，已知喷出的水柱
高达125 m，喷管的半径为 m，不计水柱运动过程中受到的空气阻力，
请你据此估算用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为（　　）
A. 1.25×106 W B. 1.50×106 W
C. 2.50×106 W D. 5.00×106 W
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解析： 　喷出水的初速度为v0＝＝ m/s＝50 m/s，在
时间Δt内喷出水的质量为Δm＝ρv0ΔtS＝πr2ρv0Δt，则电动机输出功率P＝
＝πr2ρ，代入数据解得P＝2.50×106 W，故选C。
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6. （2025·贵州遵义模拟）如图所示，某时刻物块以初速度v0沿粗糙斜面向
下运动，此时加上沿斜面向上的恒力F，物块开始向下做匀减速直线运动
直至静止。以该时刻物块所在位置为势能零点，若位移为x、速度为v、动
能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E，则下列图像可能正确的是（　　）
√
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解析： 　根据运动学公式得v2－＝－2ax，速度v与位移x不是线性关
系，图像不是直线，A错误；根据动能定理得mgxsin θ－Fx－Ffx＝Ek－
Ek0，解得Ek＝（mgsin θ－F－Ff）x＋Ek0，动能Ek与位移x是线性关系，图
像是直线，B错误；根据功能关系得mgxsin θ＝Ep0－Ep，解得Ep＝Ep0－
mgxsin θ，重力势能Ep与位移x是线性关系，图像是直线，C错误；根据功
能关系得－Fx－Ffx＝E－E0，解得E＝E0－（F＋Ff）x，机械能E和位移x是
线性关系，D正确。
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7. 〔多选〕从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力
势能Ep之和，取地面为零势能参考平面，该物体的E总和Ep随它离开地面的
高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2，根据图中数据可知
（　　）
A. 物体的质量为2 kg
B. 物体上升过程中所受阻力大小为4 N
C. 在物体上升至h＝2 m处，物体的动能为40 J
D. 在物体上升后返回至h＝2 m处，物体的动能为30 J
√
√
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解析： 　根据Ep＝mgh结合题图可得物体的质量为2 kg，故A正确；根
据ΔE＝－Ffh，解得Ff＝ N＝5 N，故B错误；由题图可知，物体初动能为
100 J，在物体上升至h＝2 m处，根据动能定理得－Ffh－mgh＝Ek1－Ek0，
解得Ek1＝50 J，故C错误；物体从地面上升后返回至h＝2 m处，根据动能
定理得－Ffs－mgh＝Ek2－Ek0，又s＝6 m，解得Ek2＝30 J，故D正确。
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8. （2025·浙江义乌期中）如图为敦煌熔盐塔式光热电站，站内总反射面
积约1.4×106 m2的定日镜以同心圆状围绕着吸热塔，最后把光能转化为电
能，光电转化效率为10％，已知太阳每秒辐射出的能量约为3.8×1026 J，
太阳到地球的距离约为1.5×1011 m，地球半径约为6 400 km，则该发电站
每年能向外输送的电能最接近（　　）
A. 1010 J B. 1015 J
C. 1020 J D. 1024 J
√
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解析： 　太阳每秒钟射到地球上单位面积的能量为，定日镜每秒钟吸
收太阳的能量，发电站每年能向外输送的电能E＝＝
J＝5.9×1015 J，故选B。
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9. （2025·安徽六安期末）一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，
返回到斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小
为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则有
（　　）
A. 返回斜面底端时的动能为
B. 返回斜面底端时的动能为E
C. 返回斜面底端时的速度大小为2v
D. 克服摩擦阻力做的功仍为
√
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解析： 设物块以初动能为E冲上斜面的初速度为v0，则以初动能为2E冲
上斜面时，初速度为v0，由于物块两次向上运动的加速度相同，根据
2ax1＝0－，2ax2＝0－（v0）2，可知物块第二次冲上斜面的位移是第
一次的两倍，所以第二次上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，第
二次整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E；根据
能量守恒定律可知第二次返回到底端时的动能为Ek'＝2E－E＝E，故A、D
错误，B正确；第一次小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为
v，克服摩擦阻力做功为，则有mv2＝E－E＝E，若小物块冲上斜面的
初动能变为2E，设它返回斜面底端的速度大小为v'，由于克服摩擦阻力做
功为E，则有mv'2＝2E－E＝E，联立可得v'＝v，故C错误。
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10. 〔多选〕（2025·广东梅州二模）“南方小土豆”到东北旅游时，滑雪
是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面
平滑连接，质量为m的游客从高度为h的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到
水平面上的A点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，
＝x，下列说法正确的是（　　）
A. 游客沿斜面下滑过程中机械能守恒
B. 游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小变大
C. 水平距离＝x＝
D. 游客下滑高度h一定时，斜面倾角θ越大，水平距离x越大
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解析： 　游客沿斜面下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减少，故A错
误；游客沿斜面下滑过程中，速度越来越大，根据P＝Fv＝mgvy可知，重
力的瞬时功率大小在变大，故B正确；游客从开始下滑到最后停在A点，设
斜面投影长度为x1，斜面底端到A点距离为x2，由能量关系可知mgh＝
μmgcos θ·＋μmgx2＝μmgx，求得＝x＝，游客下滑高度h一定时，斜
面倾角θ与水平距离x无关，故C正确，D错误。
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11. （2025·广东佛山期末）如图所示为推行节水工程的转动喷水“龙
头”，“龙头”距地面为h，其喷灌半径可达10h，t时间内喷出水的质量为
m，所用的水从地下2h深的井里抽取。设水以相同的速率喷出，水泵的效
率为η，不计空气阻力。试求：
（1）喷水龙头喷出水的初速度大小v0；
答案： 5　
解析： 喷水龙头喷出的水做平抛运动，在竖直方向，有h＝g，解
得t1＝，水平方向做匀速运动，有10h＝v0t1，解得v0＝5。
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（2）水泵t时间内对水所做的功W；
答案： 28mgh　
解析： t时间内喷出水的动能为Ek＝m＝25mgh
水泵提水，t时间内水获得的重力势能为Ep＝mg（2h＋h）＝3mgh
所以t时间内水泵对水所做的功为W＝Ek＋Ep＝28mgh。
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（3）带动水泵的电动机的最小输出功率Pmin。
答案：
解析：带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵的输入功率Pmin＝
解得Pmin＝。
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12. 如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与
粗糙水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁
光滑、半径r＝0.2 m的细圆管CD，管口D端正
下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧，
弹簧一端固定于地面上，另一端恰好与管口D端
平齐。一个质量为1.0 kg的物块放在曲面AB上，现从距BC高度为h＝0.6 m处由静止释放物块，它与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，物块进入管口C端时，它对上管壁有FN＝2.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中，物块速度最大时弹簧的弹性势能Ep＝0.5 J。重力加速度g取10 m/s2。求：
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答案： 6 J　
（1）在压缩弹簧过程中物块的最大动能Ekm；
解析： 在压缩弹簧过程中，物块速度最大时所受合力为零。设此时
物块离D端的距离为x0，则有kx0＝mg
解得x0＝0.1 m
在C点，由牛顿第三定律知，物块受到上管壁向下的作用力FN'＝
2.5mg，有FN'＋mg＝m
解得vC＝ m/s
物块从C点到速度最大时，由能量守恒定律有mg（r＋x0）＝Ep＋Ekm－m
解得Ekm＝6 J。
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（2）物块最终停止的位置。
答案： 停在BC上距离C端0.3 m处（或距离B端0.2 m处）
解析：物块从A点运动到C点的过程中，由动能定理得mgh－μmgs＝
m－0
解得B、C间距离s＝0.5 m
物块与弹簧作用后返回C处时动能不变，物块的动能最终消耗在与BC水平
面相互作用的过程中。
设物块第一次与弹簧作用返回C处后，物块在BC上运动的总路程为s'，由
能量守恒定律有μmgs'＝m
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解得s'＝0.7 m
故最终物块停在BC上与C点的距离为x1＝0.5 m－（0.7 m－0.5 m）＝
0.3 m
或距离B端为x2＝0.7 m－0.5 m＝0.2 m处停下。
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