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实验八　验证动量守恒定律
1.（2025·江苏扬州模拟）小明利用如图甲所示的碰撞实验器材研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系，从而验证动量守恒定律。
（1）为完成此实验，以下提供的测量工具中，多余的是　　　　。
A.刻度尺　　　　B.天平　　　　C.秒表
（2）用螺旋测微器测量小球的直径D，测量结果如图乙所示，D＝　　　　 mm。
（3）下列说法中正确的是　　　　。
A.入射小球A的质量应小于被碰小球B的质量
B.需要测量轨道末端到地面的高度
C.入射小球每次必须从同一位置静止释放
D.轨道末端可以不水平
（4）图甲中，点O是小球抛出点在水平地面上的竖直投影，实验时，先让质量为mA的小球A多次从斜轨上S处静止释放，找到其平均落点P，再把质量为mB的小球B静置于轨道末端，接着使小球A从S处静止释放，在水平段末端与小球B相碰，多次实验，找到小球A、B的平均落点M、N，测得距离OP、OM、ON，验证两球相碰前后动量守恒的表达式为　　　　　　　　。（用题中物理量符号表示）
2.（2024·山东高考13题）在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了动量守恒实验。受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装a、b两个位移传感器，a测量滑块A与它的距离xA，b测量滑块B与它的距离xB。部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为200.0 g和400.0 g；
②接通气源，调整气垫导轨水平；
③拨动两滑块，使A、B均向右运动；
④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变化的图像，分别如图乙、图丙所示。
回答以下问题：
（1）从图像可知两滑块在t＝　　　 s时发生碰撞；
（2）滑块B碰撞前的速度大小v＝　　　　 m/s（保留2位有效数字）；
（3）通过分析，得出质量为200.0 g的滑块是　　　（选填“A”或“B”）。
3.（2025·浙江台州模拟）某同学借助图1所示装置验证动量守恒定律，长木板的一端垫有小木块，可以微调木板的倾斜程度，以平衡摩擦力，使两个小车均能在木板上做匀速直线运动。小车1前端贴有橡皮泥，后端与穿过打点计时器的纸带相连，接通打点计时器电源后，让小车1以某速度做匀速直线运动，与置于木板上静止的小车2相碰并粘在一起，之后继续做匀速直线运动。打点计时器电源频率为50 Hz，得到的纸带如图2所示，已将各计数点之间的距离标在图上。
（1）图2中的数据有AB、BC、CD、DE四段，计算小车1碰撞前的速度大小应选　　　　段，计算两车碰撞后的速度大小应选　　　　段。
（2）关于实验的操作与反思，下述说法正确的是　　　　。
A.实验中小车1必须从静止释放
B.若小车1前端没贴橡皮泥，不影响实验验证
C.上述实验装置不能验证弹性碰撞规律
（3）若小车1的质量（含橡皮泥）为0.4 kg，小车2的质量为0.2 kg，根据纸带数据，碰前两小车的总动量是　　　　 kg·m/s，碰后两小车的总动量是　　　　 kg·m/s。（结果均保留三位有效数字）
4.（2025·河北石家庄二模）某小组利用如图所示的装置做验证动量守恒定律的实验。滑块A、B的质量分别为mA、mB，气垫导轨已调节水平。
（1）甲同学在滑块B左端粘上少量橡皮泥，将滑块A从倾斜轨道上某点由静止释放，通过光电门C的挡光时间为t1，与滑块B碰后粘在一起，通过光电门D的挡光时间为t2，在误差允许的范围内，只需验证等式　　　　　　　　（用题中给出的字母表示）成立即说明碰撞过程中滑块A、B系统动量守恒。某次实验中，测得t1＝0.04 s、t2＝0.10 s，可知滑块A和滑块B的质量比为　　　　。
（2）乙同学在滑块B左端装上轻质弹性圈，将滑块A从倾斜轨道上某点由静止释放，A第一次通过光电门C的挡光时间为t3，与滑块B碰后，A向左运动，第二次通过光电门C的挡光时间为t4，滑块B通过光电门D的挡光时间为t5，则在误差允许的范围内，只需验证等式　　　　　　　　（用题中给出的字母表示）成立即说明碰撞过程中滑块A、B系统动量守恒。若使滑块A与B碰撞后均向右运动，应使滑块A的质量　　　　（选填“大于”“等于”或“小于”）滑块B的质量。
5.（2025·安徽合肥三模）某同学设计了一个如图所示的实验装置验证动量守恒定律。小球A底部竖直地粘住一片宽度为d的遮光条，用悬线悬挂在O点。光电门固定在O点正下方铁架台的托杆上，小球B放在竖直支撑杆上，杆下方悬挂一重锤，小球A（包含遮光条）和B的质量用天平测出分别为mA、mB，拉起小球A一定角度后释放，两小球碰撞前瞬间，遮光条刚好通过光电门，碰后小球B做平抛运动而落地，小球A反弹右摆一定角度，计时器的两次示数分别为t1、t2。小球B离地面的高度为h，小球B平抛的水平位移为x。
（1）关于实验过程中的注意事项，下列说法正确的是　　　　　（填正确答案标号）。
A.小球A的质量要大于小球B的质量
B.要使小球A和小球B发生对心碰撞
C.应使小球A由静止释放
（2）某次测量实验中，该同学测量数据如下：d＝0.3 cm，h＝0.8 m，x＝0.4 m，t1＝0.001 0 s，t2＝0.003 0 s，重力加速度g取10 m/s2，若小球A（包含遮光条）与小球B的质量之比为mA∶mB＝　　　　　　，则动量守恒定律得到验证，根据数据可以得知小球A和小球B发生的碰撞是　　　　　　（选填“弹性”或“非弹性”）碰撞。
6.（2025·安徽亳州期末）用如图甲所示的装置根据平抛运动规律验证两小球碰撞中的动量守恒。使用频闪相机对小球碰撞前后的运动情况进行拍摄。图中背景是放在竖直平面内带方格的纸板，纸板平面与小球运动轨迹所在的平面平行，每个小方格的边长为a＝5 cm，取g＝10 m/s2，实验核心步骤如下：
（1）让质量为m1的小球从挡板处由静止释放，从斜槽末端水平抛出后频闪照片如图乙中的A所示。
（2）把质量为m2的小球静置于轨道末端，让质量为m1的小球从挡板处由静止释放，两球在斜槽末端碰撞。碰撞后两小球从斜槽末端水平抛出。抛出后的频闪照片分别如图乙中的B、C所示。
（3）由图乙结合已知数据可计算出频闪相机闪光的周期T＝　　　　 s（结果保留2位有效数字）。
（4）由图乙结合已知数据可计算出碰撞后质量为m2的小球速度v2＝　　　　 m/s（结果保留2位有效数字）。
（5）若碰撞过程中动量守恒，则m1∶m2＝　　　　。
实验八　验证动量守恒定律
1.（1）C　（2）17.805　（3）C　（4）mAOP＝mAOM＋mBON
解析：（1）由于小球在竖直方向上运动的时间相等，根据x＝vt可知，测出水平位移大小的关系即可得出对应的速度关系，故不需要秒表测量时间，故选C。
（2）由题图可知，小球的直径D＝17.5 mm＋30.5×0.01 mm＝17.805 mm。
（3）入射小球A的质量应大于被碰小球B的质量，A错误；由于运动时间相等，根据x＝vt可知，测出水平位移大小的关系即可得出对应的速度关系，故不需要测量时间，也就无需测量轨道末端下落的高度了，B错误；入射小球每次必须从同一位置静止释放，使其初速度是相同的，C正确；轨道末端不水平，其初速度不是沿水平方向，D错误。
（4）根据动量守恒定律及抛体运动的规律可知，mAvA＝mAvA'＋mBvB等式两边同时乘以时间t得，mAvAt＝mAvA't＋mBvBt，由此可知，当mAOP＝mAOM＋mBON成立，则系统的动量守恒。
2.（1）1.0　（2）0.20　（3）B
解析：（1）由x-t图像的斜率表示速度可知，两滑块的速度在t＝1.0 s时发生突变，即发生了碰撞；
（2）由x-t图像斜率的绝对值表示速度大小可知，碰撞前瞬间B的速度大小v＝ cm/s＝0.20 m/s；
（3）由题图乙知，碰撞前A的速度大小vA＝0.50 m/s，碰撞后A的速度大小约为vA'＝0.36 m/s，由题图丙可知，碰撞后B的速度大小为v'＝0.5 m/s，对A和B的碰撞过程由动量守恒定律有mAvA＋mBv＝mAvA'＋mBv'，代入数据解得≈2，所以质量为200.0 g的滑块是B。
3.（1）BC　DE　（2）C　（3）0.685　0.684
解析：（1）接通打点计时器电源后，推动小车1由静止开始运动，故小车有个加速过程，在碰撞前做匀速直线运动，即在相同的时间内通过的位移相同，故BC段为匀速运动的阶段，故选BC计算小车1碰前的速度大小；碰撞过程是一个变速运动的过程，而小车1和2碰后共同运动时做匀速直线运动，即在相同的时间内通过相同的位移，应选DE段来计算两车碰后共同的速度大小。
（2）实验中小车1不一定从静止释放，只要碰撞前做匀速运动即可，故A错误；若小车1前端没贴橡皮泥，则两车不能粘在一起，小车2的速度不好测量，所以小车1前端没贴橡皮泥，会影响实验验证，故B错误；上述实验装置中两小车碰撞后粘在一起，是非弹性碰撞，弹性碰撞的话小车2碰撞后的速度无法测量，因此该实验装置不能验证弹性碰撞规律，故C正确。
（3）碰前小车1的速度为v0＝＝ m/s＝1.712 m/s
碰前的总动量为p＝m1v0＝0.4×1.712 kg·m/s≈0.685 kg·m/s
碰后小车的共同速度为v＝＝ m/s＝1.140 m/s
碰后的总动量为p'＝（mA＋mB）v＝（0.4＋0.2）×1.140 kg·m/s＝0.684 kg·m/s。
4.（1）＝　　（2）＝－　大于
解析：（1）甲同学实验中，滑块A碰前的速度vA＝
碰后的共同速度vAB＝
若动量守恒则只需满足mAvA＝（mA＋mB）vAB
即＝
某次实验中，测得t1＝0.04 s、t2＝0.10 s，可知滑块A和滑块B的质量比为＝＝。
（2）乙同学实验中，A第一次通过光电门C的vA1＝
碰后A的速度vA2＝
碰后B的速度vB＝
若动量守恒则只需满足mAvA1＝－mAvA2＋mBvB
即＝－
若使滑块A与B碰撞后均向右运动，根据动量守恒和能量关系
mAv0＝mAv1＋mBv2
mA＝mA＋mB
解得v1＝v0＞0
则mA＞mB
应使滑块A的质量大于滑块B的质量。
5.（1）B　（2）1∶4　非弹性
解析：（1）根据题意可知，碰撞后入射球反弹，则要求入射小球A的质量小于被碰小球B的质量，故A错误；实验时要使小球A和小球B发生对心碰撞，故B正确；由于碰撞前后小球A的速度由光电门测出，则小球A释放不一定从静止开始，故C错误。
（2）碰撞前后小球A的速度由光电门测出，则有
v1＝＝ m/s＝3 m/s
v1'＝＝ m/s＝1 m/s
设小球B被碰撞后的速度为v2，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v2t
联立解得v2＝＝ m/s＝1 m/s
若碰撞前后动量守恒，则有
mAv1＝mA（－v1'）＋mBv2
解得小球A与小球B的质量之比为
＝＝，
碰撞前系统的动能为E1＝mA＝4.5mA
而碰撞后系统的动能为E2＝mAv1'2＋mB＝2.5mA
由于E1＞E2
故小球A和小球B发生的碰撞是非弹性碰撞。
6.（3）0.10　（4）3.0　（5）3∶1
解析：（3）小球在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，竖直方向上有Δy＝y2－y1＝2a＝gT2，解得频闪相机闪光的周期为T＝＝ s＝0.10 s；
（4）小球在水平方向上做匀速直线运动，由题图乙可知碰撞后质量为m2的小球水平速度为v2＝＝ m/s＝3.0 m/s；
（5）碰撞前质量为m1的小球水平速度为v1＝＝ m/s＝2.0 m/s，碰撞后质量为m1的小球水平速度为v1'＝＝ m/s＝1.0 m/s，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得m1v1＝m1v1'＋m2v2，代入数据解得＝、＝。
3 / 3实验八　验证动量守恒定律
一、实验原理
　在一维碰撞中，测出相碰的两物体的质量m1、m2和碰撞前、后物体的速度v1、v2、v1'、v2'，算出碰撞前的动量p＝　　　　　　　　　　　　　及碰撞后的动量p'＝　　　　　　　　　　，比较碰撞前、后动量是否相等。
二、实验方案及实验过程
方案一：研究气垫导轨上滑块碰撞时的动量守恒
1.实验器材
气垫导轨、数字计时器、天平、滑块（两个）、弹簧、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥等。
2.实验过程
（1）测质量：用天平测出滑块的　　　　。
（2）安装：正确安装好气垫导轨，如图所示。
（3）实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前、后的速度。
（4）改变条件，重复实验：
①改变滑块的质量；
②改变滑块的　　　　　大小和方向。
（5）验证：一维碰撞中的动量守恒。
3.数据处理
（1）滑块速度的测量：v＝，式中Δx为滑块上挡光片的　　　　（仪器说明书上给出，也可直接测量），Δt为数字计时器显示的滑块（挡光片）经过光电门的时间。
（2）验证的表达式：m1v1＋m2v2＝　　　　　　　　　　　　。
方案二：研究斜槽末端小球碰撞时的动量守恒
1.实验器材
斜槽、小球（两个）、天平、复写纸、白纸、圆规、铅垂线等。
2.实验过程
（1）测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为　　　　　　。
（2）安装：按照如图甲所示安装实验装置。调整固定斜槽使斜槽末端　　　　。
（3）铺纸：白纸在下，复写纸在上，且在适当位置铺放好。记下铅垂线所指的位置O。
（4）放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某　　　　　　处自由滚下，重复10次。用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面。圆心P就是小球落点的　　　　　　　。
（5）碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽　　　　　　[同步骤（4）中的高度]自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次。用步骤（4）的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被撞小球落点的平均位置N，如图乙所示。
（6）验证：连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度。将测量数据制成表，最后代入到m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，计算并判断在误差允许的范围内是否成立。
（7）整理：将实验器材放回原处。
3.数据处理
验证的表达式：m1·OP＝　　　　　　　。
三、注意事项
1.前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。
2.方案提醒
（1）若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应确保导轨　　　　。
（2）若利用平抛运动规律进行验证：
①斜槽末端的切线必须　　　　；
②入射小球每次都必须从斜槽　　　　　　由　　　　释放；
③选质量较大的小球作为　　　　　　；
④实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持　　　　。
考点一　教材原型实验
某实验小组利用气垫导轨验证动量守恒定律，实验装置如图所示。
（1）将滑块b放置在气垫导轨上，打开气泵，待气流稳定后，调节气垫导轨，直至观察到滑块b能在短时间内保持静止，说明气垫导轨已调至　　　　。
（2）用天平测得滑块a、b质量分别为ma、mb。
（3）在滑块上安装配套的粘扣，并按图示方式放置两滑块。使滑块a获得向右的速度，滑块a通过光电门1后与静止的滑块b碰撞粘在一起，并一起通过光电门2，遮光条通过光电门1、2的时间分别为t1、t2，则上述物理量间如果满足关系式　　　　　　　　，则证明碰撞过程中两滑块的总动量守恒。
（4）本实验　　　　（选填“需要”或“不需要”）测量遮光条的宽度。
尝试解答
（2024·新课标卷22题）某同学用如图所示的装置验证动量守恒定律，将斜槽轨道固定在水平桌面上，轨道末段水平，右侧端点在水平木板上的垂直投影为O，木板上叠放着白纸和复写纸。实验时先将小球a从斜槽轨道上Q处由静止释放，a从轨道右端水平飞出后落在木板上；重复多次，测出落点的平均位置P与O点的距离xP。将与a半径相等的小球b置于轨道右侧端点，再将小球a从Q处由静止释放，两球碰撞后均落在木板上；重复多次，分别测出a、b两球落点的平均位置M、N与O点的距离xM、xN。
完成下列填空：
（1）记a、b两球的质量分别为ma、mb，实验中须满足条件ma　　　（选填“＞”或“＜”）mb；
（2）如果测得的xP、xM、xN，ma和mb在实验误差范围内满足关系式　　　　　　　　，则验证了两小球在碰撞中满足动量守恒定律。实验中，用小球落点与O点的距离来代替小球水平飞出时的速度。依据是　　　　　　　
　　　　　　　。
尝试解答
考点二　创新拓展实验
（2023·辽宁高考11题）某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律，设计了如下实验：用纸板搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上，其中OA为水平段。选择相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验。
测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为m1和m2（m1＞m2）。将硬币甲放置在斜面上某一位置，标记此位置为B。由静止释放甲，当甲停在水平面上某处时，测量甲从O点到停止处的滑行距离OP。将硬币乙放置在O处，左侧与O点重合，将甲放置于B点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后，分别测量甲、乙从O点到停止处的滑行距离OM和ON。保持释放位置不变，重复实验若干次，得到OP、OM、ON的平均值分别为s0、s1、s2。
（1）在本实验中，甲选用的是　　　　（选填“一元”或“一角”）硬币；
（2）碰撞前，甲到O点时速度的大小可表示为　　　　（设硬币与纸板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）；
（3）若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则＝　　　（用m1和m2表示），然后通过测得的具体数据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒；
（4）由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1，写出一条产生这种误差可能的原因：　　　　　　　。
尝试解答
创新分析
1.实验器材创新：用纸板搭建“倾斜＋水平”的滑道，使用相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验。
2.测量方法创新：通过测量硬币在水平滑道上的滑行距离，间接计算硬币碰撞前后的速度大小。
（2025·河南郑州模拟）某同学用教学用的大号量角器验证动量守恒定律和机械能守恒定律。如图所示，先将量角器固定在竖直黑板上（90°刻线沿竖直方向），再用两根长度相同的细绳，分别悬挂两个大小相同、质量分别为m1、m2的金属小球A、B，且两球并排放置。已知重力加速度大小为g。
ⅰ.将A拉到细绳处于水平位置，由静止释放；
ⅱ.A在最低点与B碰撞后，A向左侧弹起、B向右侧弹起；
ⅲ.多次测量，记录下A弹起的最高点对应的角度平均值为α，记录下B弹起的最高点对应的角度平均值为β。
（1）为实现实验目的，两个小球的质量关系m1　　　　（选填“＜”“＝”或“＞”）m2；
（2）若表达式　　　　　　成立，则可以验证动量守恒定律；
（3）该同学在验证机械能守恒定律时，发现A、B碰撞前的总动能总是大于碰撞后的总动能，造成这个现象的原因可能是　　　　　　　。
尝试解答
创新分析
1.实验目的创新：同一实验装置既能验证动量守恒定律，又能分析碰撞过程的能量转化。
2.实验器材创新：利用量角器测量A球释放时的偏角，和碰后A、B两球的最大摆角α、β。
3.数据处理创新：利用机械能守恒定律计算两球碰撞前、后的速度大小。
实验八　验证动量守恒定律
【立足“四层”·夯基础】
一、m1v1＋m2v2　m1v1'＋m2v2'
二、方案一2.（1）质量　（4）②初速度　3.（1）宽度
（2）m1v1'＋m2v2'
方案二2.（1）入射小球　（2）水平　（4）固定高度　平均位置
（5）同一高度　3.m1·OM＋m2·ON
三、2.（1）水平　（2）①水平　②同一高度　静止
③入射小球　④不变
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【典例1】 （1）水平　（3）＝　（4）不需要
解析：（1）将滑块b放置在气垫导轨上，打开气泵，待气流稳定后，调节气垫导轨，直至观察到滑块b能在短时间内保持静止，说明气垫导轨已调至水平。
（3）根据动量守恒定律可知mav1＝（ma＋mb）v2
根据速度公式可知v1＝，v2＝
代入上式可得应满足的公式为＝。
（4）由以上分析的结果＝可知本实验不需要测量遮光条的宽度。
【典例2】 （1）＞　（2）maxP＝maxM＋mbxN　小球从轨道右端飞出后做平抛运动，且小球落点与轨道右端的竖直高度相同，结合平抛运动规律可知小球从轨道右端飞出后在空中运动的时间相等（合理即可）
解析：（1）由于实验中需保证向右运动的小球a与静止的小球b碰撞后两球均向右运动，则实验中小球a的质量应大于小球b的质量，即ma＞mb；
（2）对两小球的碰撞过程，由动量守恒定律有mav＝mava＋mbvb，由于小球从轨道右端飞出后做平抛运动，且小球落点与轨道右端的竖直高度相同，则结合平抛运动规律可知小球从轨道右端飞出后在空中运动的时间相等，设此时间为t，则mavt＝mavat＋mbvbt，即maxP＝maxM＋mbxN。
考点二
【典例3】 （1）一元　（2）　（3）　（4）见解析
解析：（1）要使两硬币碰后都向右运动，硬币甲的质量应大于硬币乙的质量，由于一元硬币的质量大于一角硬币的质量，所以甲选用的是一元硬币。
（2）设碰撞前甲到O点时速度的大小为v0，甲从O点到停止处P点的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得－μm1gs0＝0－m1，解得v0＝，即甲碰撞前到O点时速度的大小为。
（3）若甲、乙碰撞过程中满足动量守恒，设甲碰撞后速度的大小为v1，甲从O点运动到停止处M点的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得－μm1gs1＝0－m1，解得v1＝，设乙碰撞后速度的大小为v2，乙从O点运动到停止处N点的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得－μm2gs2＝0－m2，解得v2＝，由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2，代入数据得m1＝m1＋m2，等式两边同时约去得m1＝m1＋m2，整理得＝。
（4）碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1的原因：①可能两个硬币厚度不同，两硬币重心连线与水平面不平行；②两硬币碰撞内力不远大于外力，动量只是近似守恒，即如果摩擦力非常大，动量只是近似守恒。
【典例4】 （1）＜　（2）m1＝m2－m1
（3）小球碰撞过程有能量损失或空气阻力的影响等
解析：（1）实验中碰撞后A球反弹，则A球质量m1小于B球质量m2。
（2）由机械能守恒定律有
m1gl＝m1
m1gl（1－cos α）＝m1
m2gl（1－cos β）＝m2
碰撞过程动量守恒，有m1v0＝－m1v1＋m2v2
联立可得m1＝m2－m1。
（3）造成碰撞过程动能减少的原因可能是小球碰撞过程不是弹性碰撞，有能量损失，或者碰撞过程有空气阻力的影响等。
4 / 4(共62张PPT)
实验八　验证动量守恒定律
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
一、实验原理
　在一维碰撞中，测出相碰的两物体的质量m1、m2和碰撞前、后物体的速
度v1、v2、v1'、v2'，算出碰撞前的动量p＝ 及碰撞后的动量p'
＝ ，比较碰撞前、后动量是否相等。
m1v1＋m2v2　
m1v1'＋m2v2'　
二、实验方案及实验过程
方案一：研究气垫导轨上滑块碰撞时的动量守恒
1. 实验器材
气垫导轨、数字计时器、天平、滑块（两个）、弹簧、细绳、弹性碰撞
架、胶布、撞针、橡皮泥等。
（1）测质量：用天平测出滑块的 。
（2）安装：正确安装好气垫导轨，如图所示。
（3）实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下
碰撞前、后的速度。
（4）改变条件，重复实验：
①改变滑块的质量；
②改变滑块的 大小和方向。
质量　
初速度　
2. 实验过程
（5）验证：一维碰撞中的动量守恒。
3. 数据处理
（1）滑块速度的测量：v＝，式中Δx为滑块上挡光片的 （仪器
说明书上给出，也可直接测量），Δt为数字计时器显示的滑块（挡光片）
经过光电门的时间。
（2）验证的表达式：m1v1＋m2v2＝ 。
方案二：研究斜槽末端小球碰撞时的动量守恒
1. 实验器材
斜槽、小球（两个）、天平、复写纸、白纸、圆规、铅垂线等。
宽度　
m1v1'＋m2v2'　
2. 实验过程
（1）测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为
。
入射
小球　
（2）安装：按照如图甲所示安装实验装置。调整固定斜槽使斜槽末
端 。
水平　
（3）铺纸：白纸在下，复写纸在上，且在适当位置铺放好。记下铅垂线
所指的位置O。
（4）放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某
处自由滚下，重复10次。用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在
里面。圆心P就是小球落点的 。
固定高
度　
平均位置　
（5）碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽
[同步骤（4）中的高度]自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验
10次。用步骤（4）的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被撞小
球落点的平均位置N，如图乙所示。
同
一高度　
（6）验证：连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度。将测量数据制成
表，最后代入到m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，计算并判断在误差允许的范围内
是否成立。
（7）整理：将实验器材放回原处。
3. 数据处理
验证的表达式：m1·OP＝ 。
m1·OM＋m2·ON　
三、注意事项
1. 前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。
2. 方案提醒
（1）若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应确保导轨
。
（2）若利用平抛运动规律进行验证：
①斜槽末端的切线必须 ；
②入射小球每次都必须从斜槽 由 释放；
③选质量较大的小球作为 ；
④实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持 。
水
平　
水平　
同一高度　
静止　
入射小球　
不变　
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　教材原型实验
某实验小组利用气垫导轨验证动量守恒定律，实验装置如图所示。
（1）将滑块b放置在气垫导轨上，打开气泵，待气流稳定后，调节气垫导
轨，直至观察到滑块b能在短时间内保持静止，说明气垫导轨已调至
。
解析： 将滑块b放置在气垫导轨上，打开气泵，待气流稳定后，调节
气垫导轨，直至观察到滑块b能在短时间内保持静止，说明气垫导轨已调
至水平。
（2）用天平测得滑块a、b质量分别为ma、mb。
水
平　
（3）在滑块上安装配套的粘扣，并按图示方式放置两滑块。使滑块a
获得向右的速度，滑块a通过光电门1后与静止的滑块b碰撞粘在一起，
并一起通过光电门2，遮光条通过光电门1、2的时间分别为t1、t2，则
上述物理量间如果满足关系式 ，则证明碰撞过程中两
滑块的总动量守恒。
＝　
解析： 根据动量守恒定律可知mav1＝（ma＋mb）v2
根据速度公式可知v1＝，v2＝
代入上式可得应满足的公式为＝。
（4）本实验 （选填“需要”或“不需要”）测量遮光条的
宽度。
解析： 由以上分析的结果＝可知本实验不需要测量遮光条
的宽度。
不需要　
（2024·新课标卷22题）某同学用如图所
示的装置验证动量守恒定律，将斜槽轨道固定在
水平桌面上，轨道末段水平，右侧端点在水平木
板上的垂直投影为O，木板上叠放着白纸和复写
纸。实验时先将小球a从斜槽轨道上Q处由静止释
放，a从轨道右端水平飞出后落在木板上；重复多次，测出落点的平均位置P与O点的距离xP。将与a半径相等的小球b置于轨道右侧端点，再将小球a从Q处由静止释放，两球碰撞后均落在木板上；重复多次，分别测出a、b两球落点的平均位置M、N与O点的距离xM、xN。
完成下列填空：
（1）记a、b两球的质量分别为ma、mb，实验中须满足条件ma （选
填“＞”或“＜”）mb；
解析： 由于实验中需保证向右运动的小球a与静止的小球b碰撞后两
球均向右运动，则实验中小球a的质量应大于小球b的质量，即ma＞mb；
＞　
（2）如果测得的xP、xM、xN，ma和mb在实验误差范围内满足关系式
，则验证了两小球在碰撞中满足动量守恒定律。实验中，
用小球落点与O点的距离来代替小球水平飞出时的速度。依据是


。
解析： 对两小球的碰撞过程，由动量守恒定律有mav＝mava＋mbvb，
由于小球从轨道右端飞出后做平抛运动，且小球落点与轨道右端的竖直高
度相同，则结合平抛运动规律可知小球从轨道右端飞出后在空中运动的时
间相等，设此时间为t，则mavt＝mavat＋mbvbt，即maxP＝maxM＋mbxN。
maxP
＝maxM＋mbxN　
小球从
轨道右端飞出后做平抛运动，且小球落点与轨道右端的竖直高度相同，结
合平抛运动规律可知小球从轨道右端飞出后在空中运动的时间相等（合理
即可）
考点二　创新拓展实验
（2023·辽宁高考11题）某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守
恒定律，设计了如下实验：用纸板搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑
地从斜面滑到水平面上，其中OA为水平段。选择相同材质的一元硬币和一
角硬币进行实验。
测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为m1和m2（m1＞m2）。
将硬币甲放置在斜面上某一位置，标记此位置为B。由静止释放甲，当甲
停在水平面上某处时，测量甲从O点到停止处的滑行距离OP。将硬币乙放
置在O处，左侧与O点重合，将甲放置于B点由静止释放。当两枚硬币发生
碰撞后，分别测量甲、乙从O点到停止处的滑行距离OM和ON。保持释放
位置不变，重复实验若干次，得到OP、OM、ON的平均值分别为s0、s1、
s2。
（1）在本实验中，甲选用的是 （选填“一元”或“一角”）
硬币；
解析： 要使两硬币碰后都向右运动，硬币甲的质量应大于硬币乙
的质量，由于一元硬币的质量大于一角硬币的质量，所以甲选用的是
一元硬币。
一元　
（2）碰撞前，甲到O点时速度的大小可表示为 （设硬币与
纸板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）；
解析： 设碰撞前甲到O点时速度的大小为v0，甲从O点到停止处P点的
过程中只有摩擦力做功，由动能定理得－μm1gs0＝0－m1，解得v0＝
，即甲碰撞前到O点时速度的大小为。
　　
（3）若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则＝ 　　（用m1和m2表
示），然后通过测得的具体数据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒；
　
解析： 若甲、乙碰撞过程中满足动量守恒，设甲碰撞后速度的大小
为v1，甲从O点运动到停止处M点的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得
－μm1gs1＝0－m1，解得v1＝，设乙碰撞后速度的大小为v2，乙
从O点运动到停止处N点的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得－μm2gs2
＝0－m2，解得v2＝，由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2，代
入数据得m1＝m1＋m2，等式两边同时约去得
m1＝m1＋m2，整理得＝。
（4）由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大
小与乙动量变化量大小的比值不是1，写出一条产生这种误差可能的原
因： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案：见解析
解析： 碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1
的原因：①可能两个硬币厚度不同，两硬币重心连线与水平面不平行；②
两硬币碰撞内力不远大于外力，动量只是近似守恒，即如果摩擦力非常
大，动量只是近似守恒。
创新分析
1. 实验器材创新：用纸板搭建“倾斜＋水平”的滑道，使用相同材质的一
元硬币和一角硬币进行实验。
2. 测量方法创新：通过测量硬币在水平滑道上的滑行距离，间接计算硬币
碰撞前后的速度大小。
（2025·河南郑州模拟）某同学用教学用的
大号量角器验证动量守恒定律和机械能守恒定律。
如图所示，先将量角器固定在竖直黑板上（90°刻
线沿竖直方向），再用两根长度相同的细绳，分别
悬挂两个大小相同、质量分别为m1、m2的金属小球A、B，且两球并排放置。已知重力加速度大小为g。
ⅰ.将A拉到细绳处于水平位置，由静止释放；
ⅱ.A在最低点与B碰撞后，A向左侧弹起、B向右侧弹起；
ⅲ.多次测量，记录下A弹起的最高点对应的角度平均值为α，记录下B弹起
的最高点对应的角度平均值为β。
（1）为实现实验目的，两个小球的质量关系m1 （选填
“＜”“＝”或“＞”）m2；
解析： 实验中碰撞后A球反弹，则A球质量m1小于B球质量m2。
＜　
（2）若表达式 成立，则可以验证动
量守恒定律；
解析： 由机械能守恒定律有
m1gl＝m1
m1gl（1－cos α）＝m1
m2gl（1－cos β）＝m2
碰撞过程动量守恒，有m1v0＝－m1v1＋m2v2
联立可得m1＝m2－m1。
m1＝m2－m1　
（3）该同学在验证机械能守恒定律时，发现A、B碰撞前的总动能总是大
于碰撞后的总动能，造成这个现象的原因可能是
。
解析： 造成碰撞过程动能减少的原因可能是小球碰撞过程不是弹性
碰撞，有能量损失，或者碰撞过程有空气阻力的影响等。
小球碰撞过程有能量损
失或空气阻力的影响等
创新分析
1. 实验目的创新：同一实验装置既能验证动量守恒定律，又能分析碰撞过
程的能量转化。
2. 实验器材创新：利用量角器测量A球释放时的偏角，和碰后A、B两球的
最大摆角α、β。
3. 数据处理创新：利用机械能守恒定律计算两球碰撞前、后的速度大小。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·江苏扬州模拟）小明利用如图甲所示的碰撞实验器材研究两个
小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系，从而验证动量守恒定律。
（1）为完成此实验，以下提供的测量工具中，多余的是 。
A. 刻度尺 B. 天平 C. 秒表
C　
1
2
3
4
5
6
解析： 由于小球在竖直方向上运动的时间相等，根据x＝vt可知，测
出水平位移大小的关系即可得出对应的速度关系，故不需要秒表测量时
间，故选C。
1
2
3
4
5
6
（2）用螺旋测微器测量小球的直径D，测量结果如图乙所示，D
＝ mm。
解析： 由题图可知，小球的直径D＝17.5 mm＋30.5×0.01 mm＝
17.805 mm。
17.805　
1
2
3
4
5
6
（3）下列说法中正确的是 。
A. 入射小球A的质量应小于被碰小球B的质量
B. 需要测量轨道末端到地面的高度
C. 入射小球每次必须从同一位置静止释放
D. 轨道末端可以不水平
解析： 入射小球A的质量应大于被碰小球B的质量，A错误；由于运动
时间相等，根据x＝vt可知，测出水平位移大小的关系即可得出对应的速度
关系，故不需要测量时间，也就无需测量轨道末端下落的高度了，B错
误；入射小球每次必须从同一位置静止释放，使其初速度是相同的，C正
确；轨道末端不水平，其初速度不是沿水平方向，D错误。
C　
1
2
3
4
5
6
（4）图甲中，点O是小球抛出点在水平地面上的竖直投影，实验时，先让
质量为mA的小球A多次从斜轨上S处静止释放，找到其平均落点P，再把质
量为mB的小球B静置于轨道末端，接着使小球A从S处静止释放，在水平段
末端与小球B相碰，多次实验，找到小球A、B的平均落点M、N，测得距离
OP、OM、ON，验证两球相碰前后动量守恒的表达式为
。（用题中物理量符号表示）
mAOP＝mAOM＋
mBON　
1
2
3
4
5
6
解析： 根据动量守恒定律及抛体运动的规律可知，mAvA＝mAvA'＋
mBvB等式两边同时乘以时间t得，mAvAt＝mAvA't＋mBvBt，由此可知，当
mAOP＝mAOM＋mBON成立，则系统的动量守恒。
1
2
3
4
5
6
2. （2024·山东高考13题）在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了动量
守恒实验。受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气
垫导轨两端分别安装a、b两个位移传感器，a测量滑块A与它的距离xA，b测
量滑块B与它的距离xB。部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为200.0 g和400.0 g；
②接通气源，调整气垫导轨水平；
③拨动两滑块，使A、B均向右运动；
④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变化的图像，分别如图乙、
图丙所示。
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
回答以下问题：
（1）从图像可知两滑块在t＝ s时发生碰撞；
解析： 由x-t图像的斜率表示速度可知，两滑块的速度在t＝1.0 s时发
生突变，即发生了碰撞；
（2）滑块B碰撞前的速度大小v＝ m/s（保留2位有效数字）；
解析： 由x-t图像斜率的绝对值表示速度大小可知，碰撞前瞬间B的速
度大小v＝ cm/s＝0.20 m/s；
1.0　
0.20　
1
2
3
4
5
6
（3）通过分析，得出质量为200.0 g的滑块是 （选填“A”或
“B”）。
解析： 由题图乙知，碰撞前A的速度大小vA＝0.50 m/s，碰撞后A的速
度大小约为vA'＝0.36 m/s，由题图丙可知，碰撞后B的速度大小为v'＝0.5
m/s，对A和B的碰撞过程由动量守恒定律有mAvA＋mBv＝mAvA'＋mBv'，代入
数据解得≈2，所以质量为200.0 g的滑块是B。
B　
1
2
3
4
5
6
3. （2025·浙江台州模拟）某同学借助图1所示装置验证动量守恒定律，长
木板的一端垫有小木块，可以微调木板的倾斜程度，以平衡摩擦力，使两
个小车均能在木板上做匀速直线运动。小车1前端贴有橡皮泥，后端与穿
过打点计时器的纸带相连，接通打点计时器电源后，让小车1以某速度做
匀速直线运动，与置于木板上静止的小车2相碰并粘在一起，之后继续做
匀速直线运动。打点计时器电源频率为50 Hz，得到的纸带如图2所示，已
将各计数点之间的距离标在图上。
1
2
3
4
5
6
（1）图2中的数据有AB、BC、CD、DE四段，计算小车1碰撞前的速度大
小应选 段，计算两车碰撞后的速度大小应选 段。
解析： 接通打点计时器电源后，推动小车1由静止开始运动，故小车
有个加速过程，在碰撞前做匀速直线运动，即在相同的时间内通过的位移
相同，故BC段为匀速运动的阶段，故选BC计算小车1碰前的速度大小；碰
撞过程是一个变速运动的过程，而小车1和2碰后共同运动时做匀速直线运
动，即在相同的时间内通过相同的位移，应选DE段来计算两车碰后共同的
速度大小。
BC　
DE　
1
2
3
4
5
6
（2）关于实验的操作与反思，下述说法正确的是 。
A. 实验中小车1必须从静止释放
B. 若小车1前端没贴橡皮泥，不影响实验验证
C. 上述实验装置不能验证弹性碰撞规律
解析： 实验中小车1不一定从静止释放，只要碰撞前做匀速运动即
可，故A错误；若小车1前端没贴橡皮泥，则两车不能粘在一起，小车2的
速度不好测量，所以小车1前端没贴橡皮泥，会影响实验验证，故B错误；
上述实验装置中两小车碰撞后粘在一起，是非弹性碰撞，弹性碰撞的话小
车2碰撞后的速度无法测量，因此该实验装置不能验证弹性碰撞规律，故C
正确。
C　
1
2
3
4
5
6
（3）若小车1的质量（含橡皮泥）为0.4 kg，小车2的质量为0.2 kg，根据
纸带数据，碰前两小车的总动量是 kg·m/s，碰后两小车的总动
量是 kg·m/s。（结果均保留三位有效数字）
解析： 碰前小车1的速度为v0＝＝ m/s＝1.712 m/s
碰前的总动量为p＝m1v0＝0.4×1.712 kg·m/s≈0.685 kg·m/s
碰后小车的共同速度为v＝＝ m/s＝1.140 m/s
碰后的总动量为p'＝（mA＋mB）v＝（0.4＋0.2）×1.140 kg·m/s＝0.684
kg·m/s。
0.685　
0.684　
1
2
3
4
5
6
4. （2025·河北石家庄二模）某小组利用如图所示的装置做验证动量守恒
定律的实验。滑块A、B的质量分别为mA、mB，气垫导轨已调节水平。
1
2
3
4
5
6
（1）甲同学在滑块B左端粘上少量橡皮泥，将滑块A从倾斜轨道上某点由
静止释放，通过光电门C的挡光时间为t1，与滑块B碰后粘在一起，通过光
电门D的挡光时间为t2，在误差允许的范围内，只需验证等式
（用题中给出的字母表示）成立即说明碰撞过程中滑块A、B系
统动量守恒。某次实验中，测得t1＝0.04 s、t2＝0.10 s，可知滑块A和滑块
B的质量比为 。
＝
　
　
1
2
3
4
5
6
解析： 甲同学实验中，滑块A碰前的速度vA＝
碰后的共同速度vAB＝
若动量守恒则只需满足mAvA＝（mA＋mB）vAB
即＝
某次实验中，测得t1＝0.04 s、t2＝0.10 s，可知滑块A和滑块B的质量比为
＝＝。
1
2
3
4
5
6
（2）乙同学在滑块B左端装上轻质弹性圈，将滑块A从倾斜轨道上某点由
静止释放，A第一次通过光电门C的挡光时间为t3，与滑块B碰后，A向左运
动，第二次通过光电门C的挡光时间为t4，滑块B通过光电门D的挡光时间
为t5，则在误差允许的范围内，只需验证等式 （用题中给
出的字母表示）成立即说明碰撞过程中滑块A、B系统动量守恒。若使滑块
A与B碰撞后均向右运动，应使滑块A的质量 （选填“大于”“等
于”或“小于”）滑块B的质量。
＝－　
大于　
1
2
3
4
5
6
解析： 乙同学实验中，A第一次通过光电门C的vA1＝
碰后A的速度vA2＝
碰后B的速度vB＝
若动量守恒则只需满足mAvA1＝－mAvA2＋mBvB
即＝－
若使滑块A与B碰撞后均向右运动，根据动量守恒和能量关系
mAv0＝mAv1＋mBv2
mA＝mA＋mB
解得v1＝v0＞0
则mA＞mB
应使滑块A的质量大于滑块B的质量。
1
2
3
4
5
6
5. （2025·安徽合肥三模）某同学设计了一个如图
所示的实验装置验证动量守恒定律。小球A底部竖
直地粘住一片宽度为d的遮光条，用悬线悬挂在O
点。光电门固定在O点正下方铁架台的托杆上，小
球B放在竖直支撑杆上，杆下方悬挂一重锤，小球
A（包含遮光条）和B的质量用天平测出分别为mA、
mB，拉起小球A一定角度后释放，两小球碰撞前瞬间，遮光条刚好
通过光电门，碰后小球B做平抛运动而落地，小球A反弹右摆一定角度，计
时器的两次示数分别为t1、t2。小球B离地面的高度为h，小球B平抛的水平
位移为x。
1
2
3
4
5
6
（1）关于实验过程中的注意事项，下列说法正确的是 （填正确答案
标号）。
A. 小球A的质量要大于小球B的质量
B. 要使小球A和小球B发生对心碰撞
C. 应使小球A由静止释放
解析： 根据题意可知，碰撞后入射球反弹，则要求入射小球A的质量
小于被碰小球B的质量，故A错误；实验时要使小球A和小球B发生对心碰
撞，故B正确；由于碰撞前后小球A的速度由光电门测出，则小球A释放不
一定从静止开始，故C错误。
B　
1
2
3
4
5
6
（2）某次测量实验中，该同学测量数据如下：d＝0.3 cm，h＝0.8 m，x＝
0.4 m，t1＝0.001 0 s，t2＝0.003 0 s，重力加速度g取10 m/s2，若小球A
（包含遮光条）与小球B的质量之比为mA∶mB＝ ，则动量守恒定
律得到验证，根据数据可以得知小球A和小球B发生的碰撞是
（选填“弹性”或“非弹性”）碰撞。
1∶4　
非弹性　
1
2
3
4
5
6
解析： 碰撞前后小球A的速度由光电门测出，则有
v1＝＝ m/s＝3 m/s
v1'＝＝ m/s＝1 m/s
设小球B被碰撞后的速度为v2，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v2t
联立解得v2＝＝ m/s＝1 m/s
若碰撞前后动量守恒，则有
mAv1＝mA（－v1'）＋mBv2
1
2
3
4
5
6
解得小球A与小球B的质量之比为
＝＝，
碰撞前系统的动能为E1＝mA＝4.5mA
而碰撞后系统的动能为E2＝mAv1'2＋mB＝2.5mA
由于E1＞E2
故小球A和小球B发生的碰撞是非弹性碰撞。
1
2
3
4
5
6
6. （2025·安徽亳州期末）用如图甲所示的装置根据平抛运动规律验证两
小球碰撞中的动量守恒。使用频闪相机对小球碰撞前后的运动情况进行拍
摄。图中背景是放在竖直平面内带方格的纸板，纸板平面与小球运动轨迹
所在的平面平行，每个小方格的边长为a＝5 cm，取g＝10 m/s2，实验核心
步骤如下：
（1）让质量为m1的小球从挡板处由静止释放，从斜槽末端水平抛出后频
闪照片如图乙中的A所示。
1
2
3
4
5
6
（2）把质量为m2的小球静置于轨道末端，让质量为m1的小球从挡板处由
静止释放，两球在斜槽末端碰撞。碰撞后两小球从斜槽末端水平抛出。抛
出后的频闪照片分别如图乙中的B、C所示。
（3）由图乙结合已知数据可计算出频闪相机闪光的周期T＝ s
（结果保留2位有效数字）。
解析： 小球在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，竖直方向上有Δy＝y2－y1＝2a＝gT2，解得频闪相机闪光的周期为T＝＝ s＝0.10 s；
0.10　
1
2
3
4
5
6
（4）由图乙结合已知数据可计算出碰撞后质量为m2的小球速度v2
＝ m/s（结果保留2位有效数字）。
解析： 小球在水平方向上做匀速直线运动，由题图乙可知碰撞后质
量为m2的小球水平速度为v2＝＝ m/s＝3.0 m/s；
3.0　
1
2
3
4
5
6
（5）若碰撞过程中动量守恒，则m1∶m2＝ 。
解析： 碰撞前质量为m1的小球水平速度为v1＝＝ m/s＝2.0
m/s，碰撞后质量为m1的小球水平速度为v1'＝＝ m/s＝1.0 m/s，
取水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得m1v1＝m1v1'＋m2v2，代入数
据解得＝、＝。
3∶1　
1
2
3
4
5
6
THANKS
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