资源简介

第1讲　机械振动
1.把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是（　　）
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
2.（2025·甘肃酒泉模拟）2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生7.3级地震，震源深度12 km。如图所示，高度约为30 m的“天王星大楼”发生严重倾斜，是所受地震影响最大的建筑物之一。若钢混结构建筑物的固有频率与其高度的平方成正比，其比例系数为0.1，则地震波到达地面的频率最可能是（　　）
A.10 Hz B.30 Hz
C.60 Hz D.90 Hz
3.（2025·江苏南通模拟）如图所示，小球在半径为R的光滑圆弧轨道上A、B间来回运动，轨道弧长远小于R，则（　　）
A.弧长AB变小，周期不变 B.弧长AB变小，周期变大
C.小球质量变小，周期变小 D.小球质量变小，周期变大
4.（2025·湖北武汉期末）如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧始终在弹性限度内，则物体在振动过程中（　　）
A.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B.物体在最低点时的加速度大小应为2g
C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
5.（2025·江苏镇江模拟）如图甲，O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、B之间来回摆动。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，则该单摆的周期为（　　）
A.0.1π s B.0.2π s
C.0.4π s D.0.8π s
6.（2025·北京海淀区模拟）如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　）
A.两弹簧振子的初相位不同
B.甲系统的机械能比乙系统的大
C.甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D.t＝2 s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
7.（2024·浙江6月选考9题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，则（　　）
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
8.（2024·河北高考6题）如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为（　　）
A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m
9.将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作单摆，摆长为L。从手机加速度传感器中得到了其垂直于手机平面方向的a-t关系图像如图乙所示。则以下说法正确的是（　　）
A.秋千从摆动到停下的过程机械能守恒
B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C.秋千摆动的周期为t2－t1
D.该地的重力加速度g＝
10.（2024·浙江1月选考10题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　）
　
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
11.（2025·江苏常州模拟）如图所示，质量为m的物块放置在光滑水平面上，与劲度系数为k、左端固定在墙上的轻弹簧相连，组成弹簧振子。已知弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，物块经过平衡位置O点的速度大小为v。某时刻，质量为m的小球从O点正上方自由下落，恰好当物块运动至O点时落在物块上，并与物块粘在一起继续做简谐运动。
（1）求小球落在物块上后，整体经过O点的速度大小；
（2）以小球粘在物块上瞬间为t＝0时刻，求整体到达最左端的时刻。
12.如图甲所示，悬挂在天花板上的轻弹簧下端连着物体M，M和物体N又通过轻绳相连，M、N两物体的质量相等，并且都处于静止状态。t＝0时刻轻绳断裂，不计空气阻力，物体M做简谐运动，M偏离平衡位置的位移x随时间t变化的关系如图乙所示，以下说法正确的是（　　）
A.t1时刻M的回复力最大
B.t1时刻弹簧的形变量为0
C.t2时刻弹簧的弹性势能最大
D.t4时刻M的加速度与重力加速度大小相等、方向相反
第1讲　机械振动
1.A　小球在平衡位置时，动能最大，加速度最小；小球在A、B位置时，动能最小且为零，加速度最大；小球衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
2.D　建筑物高为h，结合题意知其固有频率为f0＝0.1h2，钢混建筑物发生共振时有f＝f0＝0.1h2＝90 Hz，地震波到达地面的频率与钢混结构建筑物的固有频率越接近，钢混建筑物因共振所受的影响越大，所以该地震波到达地面的频率最可能是90 Hz。故选D。
3.A　因为弧长远小于半径R，小球做单摆运动，根据单摆的周期公式T＝2π，可知小球的周期与弧长大小和小球质量无关，故选A。
4.D　系统机械能守恒，动能、重力势能、弹性势能总量不变，振动过程中重力势能一直变化，弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化，故A错误；受力分析如图，物体在最高点时所受回复力为mg，根据振动对称性，最低点的回复力也应为mg，则物体在最低点时的加速度为g，方向向上，故B错误；平衡位置处有kA＝mg，物体在最低点时弹簧形变量为2A，弹力2kA＝2mg，故C错误；振动至最低点时，弹簧的弹性势能最大，系统机械能守恒，重力势能转化为弹性势能，Ep＝2mgA，故D正确。
5.C　小球在一个周期内两次经过最低点，对小球受力分析可知F－mg＝m，在最低点时，细线对摆球的拉力F最大，结合题图乙可得，小球的单摆周期T＝0.4π s，故选C。
6.D　由题图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，故A错误；甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、两个弹簧劲度系数未知，无法判断甲、乙两系统的机械能大小，故B错误；甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相同，都沿x轴负方向，故C错误；x-t图像斜率的绝对值表示速度大小，t＝2 s时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负方向最大速度，由x-t图可知此时乙具有正方向最大位移，故D正确。
7.B　单摆的周期公式为T＝2π，则周期与摆角无关，故A错误；由题意可知，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图，根据数学关系可知，FA＝FB＝＝ N，故C、D错误；根据几何关系可知，等效摆长为1 m，则T＝2π≈2 s，故B正确。
8.C　由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s＝1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。
9.D　秋千从摆动到停下的过程受到阻力的作用，机械能不守恒，故A错误；在最低点时，根据牛顿第二定律FN－mg＝m可得，秋千对手机的支持力为FN＝mg＋m，可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B错误；秋千的周期为从最大偏角到另外一最大偏角位置再回到原来最大偏角位置所用的时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，秋千摆动的周期为T＝t3－t1，故C错误；根据单摆周期公式T＝t3－t1＝2π可得，当地重力加速度g＝，故D正确。
10.D　以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦函数图像，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光的直线传播可知在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。
11.（1）v　（2）见解析
解析：（1）小球与物块碰撞过程中水平方向动量守恒mv＝2mv共
解得v共＝v。
（2）小球落在物块上后，弹簧振子周期为T'＝2π
整体第一次到达最左端的时刻有两种情况分别为t1＝，t2＝
整体第N次到达最左侧的时刻有两种情况分别为
t1'＝，
t2'＝。
12.D　由题图乙可知，t1时刻M处于平衡位置，此时回复力为零，故A错误；t1时刻M处于平衡位置，即M能自由静止的位置，则此时弹簧处于伸长状态，故B错误；因为t2时刻弹簧处于负向最大位移处，且根据对称性，此时的加速度大小与正向最大位移处的加速度大小相等，由题意，开始时M加速度满足F－mg＝ma，而M、N两个物体等质量，故F＝2mg，解得a＝g，方向竖直向上，故在负向最大位移处加速度也为g，且方向竖直向下，故此时满足F'＋mg＝mg，故此时F'＝0，即此时弹簧处于原长，故t2时刻弹簧的弹性势能为零，而t4时刻M处于正向最大位移处，故t4时刻M的加速度与重力加速度大小相等、方向相反，故C错误，D正确。
4 / 4第1讲　机械振动
简谐运动
1.简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从　　　　的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条　　　　　　，这样的振动是一种简谐运动。
2.平衡位置
振动物体　　　　　　时的位置。
3.回复力
（1）定义：使振动物体在平衡位置附近做　　　　　　的力。
（2）方向：总是指向　　　　　　。
（3）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4.描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由　　　　　　指向物体　　　　　的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于　　　　　　的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的　　　　　　 描述振动的　　　和能量的　　　　　　　
周期 做简谐运动的物体完成一次　　　　所需要的时间 描述振动的　　　，两者关系：T＝　　　　　　　
频率 物体完成全振动的次数与　　　　　之比
相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
简谐运动的公式和图像
1.表达式
（1）动力学表达式：F＝　　　　，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
（2）运动学表达式：x＝　　　　　　　，
其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作　　　　位。
2.简谐运动的图像
（1）图像：
（2）物理意义：表示振动质点的位移随　　　变化的规律。
单摆及其周期公式
1.定义：用不可伸长的细线悬挂小球的装置，细线的　　　与小球相比可以忽略，球的　　与线的长度相比也可以忽略。（如图所示）
2.做简谐运动的条件：最大摆角θ＜5°。
3.回复力：F＝mg　　　　。
4.周期公式：T＝　　　　　　　　。
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于　　　和　　　　　　　，与振幅和摆球质量　　　。
受迫振动和共振
1.振动中的能量损失
（1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然　　　　　　，这种振动称为阻尼振动。
（2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为　　　　　　　；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量　　　　　　　　　　。
2.受迫振动
系统在　　　　　　　作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期（或频率）等于　　　　　　　的周期（或频率），与物体的固有周期（或频率）　　　　关。
3.共振
如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，受迫振动的振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的　　　　　　时，受迫振动的振幅最大，这种现象称为共振。
1.弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。（　　）
2.简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。（　　）
3.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。（　　）
4.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。（　　）
5.物体在发生共振时的振动是受迫振动。（　　）
1.（人教版选择性必修第一册·P42“练习与应用”T2改编）已知物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sincm，下列说法正确的是（　　）
A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B.周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C.A振动的相位始终超前B振动的相位
D.A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
2.（2024·福建高考2题）某简谐振动的y-t图像如图所示，则以下说法正确的是（　　）
A.振幅2 cm
B.频率2.5 Hz
C.0.1 s时速度为0
D.0.2 s时加速度方向竖直向下
3.（人教版选择性必修第一册·P58“练习与应用”T4改编）
一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，则（　　）
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
考点一　简谐运动的五个特征
位移特征 x＝Asin（ωt＋φ）
受力特征 回复力：F＝－kx；F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
能量特征 系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
对称性 特征 质点经过关于平衡位置O对称的两点时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力作用，则下列关于微粒Q的情况有可能发生的是（　　）
A.速度增大，加速度增大
B.速度增大，加速度减小
C.速度增大，加速度不变
D.速度减小，加速度不变
尝试解答
如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为（　　）
A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm
尝试解答
〔多选〕在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法中正确的是（　　）
A.从某时刻起，在半个周期内，弹力做功一定为0
B.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0到mv2之间的某一个值
C.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为0
D.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量可能是0～2mv之间的某一个值
尝试解答
考点二　简谐运动图像的理解和应用
1.图像信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ0（如图所示）。
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
（4）某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，加速度和回复力的方向相同。
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性（如图所示）
（1）相隔Δt＝T（n＝0，1，2，…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）。
（2）相隔Δt＝nT（n＝1，2，3，…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
（2025·安徽宿州一模）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则（　　）
A.在t＝0.2 s时，振子的加速度为负向最大
B.在t＝0.6 s时，弹簧振子的弹性势能最小
C.在t＝0.4 s和t＝0.8 s两个时刻，振子的速度都为零
D.从t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子做加速度减小的减速运动
尝试解答
（2024·北京高考9题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A.t＝0时，弹簧弹力为0
B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
尝试解答
考点三　单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin θ≈－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
（3）两个特殊位置：
①当摆球在最高点时，Fn＝m＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。
2.等效重力加速度的理解
（1）对于不同星球表面：g＝，M与R分别为星球的质量与半径。
（2）单摆处于超重或失重状态时：g效＝g±a。
（3）重力场与匀强电场中：g效＝。
（2025·四川泸县第一中学期中）
如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0。下列说法正确的是（　　）
A.单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B.单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C.将该单摆悬挂在月球表面上，其摆动周期T＞T0
D.将该单摆置于高空上相对于地球静止的气球中，其摆动周期T＜T0
尝试解答
（2024·甘肃高考5题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
尝试解答
〔多选〕（2025·海南海口模拟）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　）
A.由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B.只减小斜面倾角，则单摆周期将变大
C.摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D.只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
尝试解答
总结提升
1.类单摆模型：物体的受力及运动符合单摆模型的装置。例如：
（1）如图甲所示，为竖直面内的光滑圆弧，且 R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R。
（2）如图乙所示，用不可伸长的细线悬挂在光滑斜面上的小球，做小角度摆动时的运动也是类单摆运动，等效重力加速度为g效＝gsin θ。
2.类单摆问题的解题方法
（1）确认符合单摆模型的条件，即“类单摆”模型。
（2）寻找等效摆长l效及等效加速度g效，最后利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解问题。
考点四　对受迫振动和共振的理解
自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动项目 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
（2025·苏州期中调研）如图所示，铁架横梁上挂着几个不同摆长的摆。其中A与D、G的摆长相同，D的摆球质量最大。现使D摆偏离平衡位置后释放，D摆在振动中通过横梁对其他几个摆施加周期性的驱动力.在振动稳定后，下列说法中正确的是（　　）
A.A、D、G三个摆的固有频率不相同
B.所有摆的振动频率都相同
C.C摆振幅比B摆振幅大一点
D.C、E摆振幅是最大的
尝试解答
对共振曲线的理解
1.共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
2.受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，驱动力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维持下去。
3.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。
〔多选〕两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
尝试解答
简谐运动的对称性的应用
1.相隔或（n为正整数）的时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
2.如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P'（OP＝OP'）时，相对于平衡位置的位移大小、速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。
3.如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P'所用时间，即tPO＝tOP'。振子往复运动过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（　　）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝，则t和（t＋Δt）两时刻，振子的位移大小之和一定等于振幅
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子速度的大小一定相等
尝试解答
〔多选〕（2025·河北唐山统考）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动，从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，图像的坐标值为已知量，则下列说法正确的是（　　）
A.对乙图的F-t关系图像分析，小球是从处在最高点开始计时的
B.小球的质量为
C.弹簧振子的频率为
D.若弹簧振子的振幅为A，则从计时开始到13t0时，小球的路程为36A
尝试解答
方法总结
（1）分析简谐运动中各物理量的变化时，一定是以位移为桥梁，理清各物理量间的关系：回复力、加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反；速度大小随位移的增大而减小，方向有时和位移方向相同，有时相反。
（2）要充分利用简谐运动的对称性，对称点的位移、回复力、加速度等大反向，速度等大。
第1讲　机械振动
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.正弦函数　正弦曲线　2.原来静止　3.（1）往复运动
（2）平衡位置　4.平衡位置　所在位置　平衡位置
最大距离　强弱　大小　全振动　所用时间　快慢　
知识点2
1.（1）－kx　（2）Asin（ωt＋φ0）　初相　2.（2）时间
知识点3
1.质量　直径　3.sin θ　4.2π　5.摆长l
重力加速度g　无关
知识点4
1.（1）逐渐减小　（2）内能　向四周辐射出去　2.驱动力
驱动力　无　3.固有频率f0
易错易混辨析
1.×　2.×　3.×　4.√　5.√
双基落实筑牢
1.C　振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位移表达式可知，A振动的振幅是3 cm，B振动的振幅是5 cm，A、B振动的周期为TA＝TB＝＝ s，故A、B错误；根据两物体的位移表达式可知，A振动的初相位为φA0＝，B振动的初相位为φB0＝，因此两物体振动的相位差为Δφ＝φA0－φB0＝－＝，即A振动的相位始终超前B振动的相位，故C正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B振动的频率相同，频率大小均为fA＝fB＝＝ Hz，故D错误。
2.B　根据题图可知，振幅为1 cm；周期为T＝0.4 s，则频率为f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图可知，0.1 s时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据题图可知，0.2 s时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
3.B　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【例1】 B　由题意可知，微粒Q以P点为平衡位置做简谐运动，可知越衡位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，则微粒Q的速度增大，加速度一定减小，速度减小，加速度一定增大，A、C、D错误，B正确。
【例2】 B　做简谐运动的质点，先后以同样的速度依次通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么质点从平衡位置O到N点的时间t1＝0.5 s，因过过N点后再经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此质点的振动周期是T＝4（t1＋t2）＝4 s，质点在这2 s内质点通过的总路程的一半为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B。
【例3】 AD　弹力做功的大小等于弹性势能的变化量，从某时刻起，在半个周期内，由于位移大小具有对称性，所以弹力做功一定为0，故A正确，B错误；对于简谐运动，经过半个周期后速度与之前的速度大小相等、方向相反，从某时刻起（除最大位移处开始计时外），在半个周期速度变化量一定不为零，若从平衡位置开始计时，则速度的变化量大小最大为2v，根据动量定理可知，弹力的冲量I＝Δp＝mΔv，所以弹力的冲量大小可能是0～2mv间的某一个值，故C错误，D正确。
考点二
【例4】 A　由题图乙可知，t＝0.2 s时位移正向最大，根据F＝－kx知，回复力负向最大，所以振子的加速度为负向最大，故A正确；由题图乙可知，在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移最大，则弹簧的弹性势能最大，故B错误；x-t图像的斜率表示速度，由题图乙得，t＝0.4 s和t＝0.8 s时图像的斜率最大，振子的速度最大，故C错误；从t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子的位移减小，回复力减小，则振子的加速度减小，加速度方向与速度方向相同，则振子的速度增加，振子做加速度减小的加速运动，故D错误。
【例5】 D　由题图乙可知，t＝0时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为0，可知此时弹簧弹力大小F＝mg，A错误；由题图乙可知，t＝0.2 s时，手机加速度向上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此时弹簧伸长量大于平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下方，B错误；从t＝0至t＝0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向上，则合力对手机做负功，由动能定理可知，该过程手机的动能减小，C错误；由题图乙可知ω＝＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2，D正确。
考点三
【例6】 C　摆球运动到最高点时，绳子的拉力等于摆球重力的一个分力，此时绳子的拉力小于摆球的重力。摆球运动到最低点时，绳子的拉力和摆球的重力共同提供向心力，有F－mg＝ma，可知F大于mg，故A、B错误；月球表面的重力加速度比地球表面的重力加速度小，根据T＝2π可知，将该单摆悬挂在月球表面上，其摆动周期T＞T0，选项C正确；将该单摆置于高空上相对于地球静止的气球中，气球所在高度越高，重力加速度越小，根据T＝2π可知，其摆动周期T＞T0，故D错误。
【例7】 C　根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合单摆的周期公式T＝2π可得，单摆的摆长l＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，速度为零，A、B两点速度大小相等，方向相反，A、C两点速度相同，A、B、D错误，C正确。
【例8】 BC　由题图2可知，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s，故A错误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g'＝gsin θ，由单摆周期公式有T＝2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。
考点四
【例9】 B　A、D、G三个摆的摆长相同，则三个摆的固有频率相同，故A错误；所有摆的振动频率都等于驱动力频率，即都等于D摆的振动频率，故B正确；与C摆相比，B摆的摆长更接近D摆的摆长，所以B摆振幅比C摆振幅大一点，故C错误；C、E摆的摆长与D摆的摆长相差最多，则C、E摆振幅是最小的，故D错误。
【例10】 ABC　题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝ 可知，g越大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则＝＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示在地球上完成的， 根据重力加速度取g＝9.8 m/s2，可计算出该单摆LⅡ约为1 m，C正确，D错误。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 D　若t时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向相同，说明振子经过同一位置，但时间差Δt不一定等于T的整数倍，A错误；t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等、方向相反，说明振子经过同一位置或关于平衡位置对称的位置，故Δt不一定等于的整数倍，B错误；距离平衡位置越近速度越大，可知Δt＝时，t与t＋Δt两时刻振子的位移大小之和不一定等于振幅，只有从平衡位置开始运动，或从最大位移处开始运动，两时刻振子的位移大小之和才等于振幅，C错误；若Δt＝，t与t＋Δt两个时刻振子一定关于平衡位置对称，速度大小一定相等，方向一定相反，D正确。
【典例2】 BC　由题图乙可知，t＝0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，故A错误；根据对称性可知，小球在最高点和最低点的加速度大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律，对小球在最高点分析，有F2＋mg＝ma，对小球在最低点分析，有F1－mg＝ma，联立解得小球的质量m＝，故B正确；由题图乙可知T＝t0，T＝，解得弹簧振子的频率f＝，故C正确；由于13t0＝9T＋T，所以小球的路程为s＝9·4A＋3A＝39A，故D错误。
9 / 9(共92张PPT)
第1讲　机械振动
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
简谐运动
1. 简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图像
（x-t图像）是一条 ，这样的振动是一种简谐运动。
2. 平衡位置
振动物体 时的位置。
正弦函数　
正弦曲线　
原来静止　
3. 回复力
（1）定义：使振动物体在平衡位置附近做 的力。
（2）方向：总是指向 。
（3）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
往复运动　
平衡位置　
4. 描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由 指向物体 的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于 的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的 描述振动的 和能量的
平衡位置　
所在位置　
平衡位置　
最大距离　
强弱　
大小
物理量 定义 意义
周期 做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间 描述振动的 ，两者关系：T＝
频率 物体完成全振动的次数与 之比
相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
全振动
快慢　
　
所用时间　
简谐运动的公式和图像
1. 表达式
（1）动力学表达式：F＝ ，其中“－”表示回复力与位移的方向
相反。
（2）运动学表达式：x＝ ，其中A表示振幅，ω＝
＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫
作 位。
－kx　
Asin（ωt＋φ0）　
初相　
2. 简谐运动的图像
（1）图像：
（2）物理意义：表示振动质点的位移随 变化的规律。
时间　
单摆及其周期公式
1. 定义：用不可伸长的细线悬挂小球的装置，细线的 与小球相比
可以忽略，球的 与线的长度相比也可以忽略。（如图所示）
质量　
直径　
2. 做简谐运动的条件：最大摆角θ＜5°。
3. 回复力：F＝mg 。
4. 周期公式：T＝ 。
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
sin θ　
2π　
5. 单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 和 ，
与振幅和摆球质量 。
摆长l　
重力加速度g　
无关　
受迫振动和共振
1. 振动中的能量损失
（1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作
用，振幅必然 ，这种振动称为阻尼振动。
（2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统
的机械能逐渐转化为 ；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的
振动，使能量 。
逐渐减小　
内能　
向四周辐射出去　
2. 受迫振动
系统在 作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定
后，物体振动的周期（或频率）等于 的周期（或频率），与物
体的固有周期（或频率） 关。
驱动力　
驱动力　
无　
3. 共振
如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f
跟振动系统的固有频率f0相差越小，受迫振动的振幅越大；驱动力的频
率f等于振动系统的 时，受迫振动的振幅最大，这种现
象称为共振。
固有频率f0　
1. 弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。 （　×　）
2. 简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 （　×　）
3. 单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。 （　×　）
4. 物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 （　√　）
5. 物体在发生共振时的振动是受迫振动。 （　√　）
×
×
×
√
√
1. （人教版选择性必修第一册·P42“练习与应用”T2改编）已知物体A做
简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移
xB＝5sincm，下列说法正确的是（　　）
A. 振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B. 周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C. A振动的相位始终超前B振动的相位
D. A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
√
解析： 　振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位
移表达式可知，A振动的振幅是3 cm，B振动的振幅是5 cm，A、B振动的周
期为TA＝TB＝＝ s，故A、B错误；根据两物体的位移表达式可知，A振
动的初相位为φA0＝，B振动的初相位为φB0＝，因此两物体振动的相位差
为Δφ＝φA0－φB0＝－＝，即A振动的相位始终超前B振动的相位，故C
正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B振动的频率相同，频率大小
均为fA＝fB＝＝ Hz，故D错误。
2. （2024·福建高考2题）某简谐振动的y-t图像如图所示，则以下说法正确
的是（　　）
A. 振幅2 cm
B. 频率2.5 Hz
C. 0.1 s时速度为0
D. 0.2 s时加速度方向竖直向下
√
解析： 　根据题图可知，振幅为1 cm；周期为T＝0.4 s，则频率为f＝＝
Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图可知，0.1 s时质点处于平衡
位置，此时速度最大，故C错误；根据题图可知，0.2 s时质点处于负向最
大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
3. （人教版选择性必修第一册·P58“练习与应用”T4改编）一个单摆在地
面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，
则（　　）
A. 此单摆的固有周期约为0.5 s
B. 此单摆的摆长约为1 m
C. 若摆长增大，单摆的固有频率增大
D. 若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
√
解析： 　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2
s，A错误；由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增
大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移
动，C、D错误。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　简谐运动的五个特征
位移特征 x＝Asin（ωt＋φ）
受力特征 回复力：F＝－kx；F（或a）的大小与x的大小成正比，方
向相反
能量特征 系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
位移特征 x＝Asin（ωt＋φ）
对称性特征 质点经过关于平衡位置O对称的两点时，速度的大小、动
能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称
点到平衡位置用时相等
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变
化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间
做周期性变化，其变化周期为
真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位
移成正比的回复力作用，则下列关于微粒Q的情况有可能发生的是（　　）
A. 速度增大，加速度增大
B. 速度增大，加速度减小
C. 速度增大，加速度不变
D. 速度减小，加速度不变
解析：由题意可知，微粒Q以P点为平衡位置做简谐运动，可知越衡
位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，则微粒Q的速度增大，加速度一定
减小，速度减小，加速度一定增大，A、C、D错误，B正确。
√
如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两
点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通
过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为（　　）
A. 3 s、6 cm B. 4 s、6 cm
C. 4 s、9 cm D. 2 s、8 cm
√
解析：做简谐运动的质点，先后以同样的速度依次通过M、N两点，则可
判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的
时间相等，那么质点从平衡位置O到N点的时间t1＝0.5 s，因过过N点后再
经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点
到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此质点的振动周期是T＝4（t1＋t2）＝4
s，质点在这2 s内质点通过的总路程的一半为振幅，所以振幅A＝＝6
cm，故选B。
〔多选〕在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率
为v，则下列说法中正确的是（　　）
A. 从某时刻起，在半个周期内，弹力做功一定为0
B. 从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0到mv2之间的某一个
值
C. 从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为0
D. 从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量可能是0～2mv之间的某一个
值
√
√
解析：弹力做功的大小等于弹性势能的变化量，从某时刻起，在半个周期
内，由于位移大小具有对称性，所以弹力做功一定为0，故A正确，B错
误；对于简谐运动，经过半个周期后速度与之前的速度大小相等、方向相
反，从某时刻起（除最大位移处开始计时外），在半个周期速度变化量一
定不为零，若从平衡位置开始计时，则速度的变化量大小最大为2v，根据
动量定理可知，弹力的冲量I＝Δp＝mΔv，所以弹力的冲量大小可能是0～
2mv间的某一个值，故C错误，D正确。
考点二　简谐运动图像的理解和应用
1. 图像信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ0（如图所示）。
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正
负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻
时刻质点的位移的变化来确定。
（4）某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，
加速度和回复力的方向相同。
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变
化情况。
2. 简谐运动的对称性（如图所示）
（1）相隔Δt＝T（n＝0，1，2，…）的两个时刻，弹簧振子的位置
关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都
为零）。
（2）相隔Δt＝nT（n＝1，2，3，…）的两个时刻，弹簧振子在同一位
置，位移和速度都相同。
（2025·安徽宿州一模）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在
光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的
位移x随时间t的变化如图乙所示，则（　　）
A. 在t＝0.2 s时，振子的加速度为负向最大
B. 在t＝0.6 s时，弹簧振子的弹性势能最小
C. 在t＝0.4 s和t＝0.8 s两个时刻，振子的速度都为零
D. 从t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子做加速度减小的减速运动
√
解析：由题图乙可知，t＝0.2 s时位移正向最大，根据F＝－kx知，回复力
负向最大，所以振子的加速度为负向最大，故A正确；由题图乙可知，在t
＝0.6 s时，弹簧振子的位移最大，则弹簧的弹性势能最大，故B错误；x-t
图像的斜率表示速度，由题图乙得，t＝0.4 s和t＝0.8 s时图像的斜率最
大，振子的速度最大，故C错误；从t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子的位
移减小，回复力减小，则振子的加速度减小，加速度方向与速度方向相
同，则振子的速度增加，振子做加速度减小的加速运动，故D错误。
（2024·北京高考9题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。
手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，
得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所
示。下列说法正确的是（　　）
A. t＝0时，弹簧弹力为0
B. t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C. 从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D. a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
√
解析：由题图乙可知，t＝0时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为
0，可知此时弹簧弹力大小F＝mg，A错误；由题图乙可知，t＝0.2 s时，
手机加速度向上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此
时弹簧伸长量大于平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下
方，B错误；从t＝0至t＝0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向
上，则合力对手机做负功，由动能定理可知，该过程手机的动能减小，C
错误；由题图乙可知ω＝＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝
4sin（2.5πt）m/s2，D正确。
　（2025·黑龙江哈尔滨模拟）如图甲所示，一个小球与轻弹簧连接套在光
滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原
点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球的振动图像如图乙所示。下
列结论正确的是（　　）
A. 小球振动的频率是2 Hz
B. t＝0.5 s时，小球在A位置
C. t＝1 s时，小球经过O点向右运动
D. 小球的振动方程是x＝10sin（πt）cm
√
解析： 　小球的振动周期为2 s，频率f＝ Hz＝0.5 Hz，故A错误；因为
水平向右为正方向，t＝0.5 s时，小球在B位置，故B错误；t＝1 s时，小球
经过O点向负方向运动，即向左运动，故C错误；由题图乙可得小球的振动
方程为x＝10sincm＝10sin（πt）cm，故D正确。
考点三　单摆及其周期公式
1. 单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin θ≈－x
＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心
力，Fn＝FT－mgcos θ。
（3）两个特殊位置：
①当摆球在最高点时，Fn＝m＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。
2. 等效重力加速度的理解
（1）对于不同星球表面：g＝，M与R分别为星球的质量与半径。
（2）单摆处于超重或失重状态时：g效＝g±a。
（3）重力场与匀强电场中：g效＝。
（2025·四川泸县第一中学期中）如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0。下列说法正确的是（　　）
A. 单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B. 单摆摆动的过程中，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C. 将该单摆悬挂在月球表面上，其摆动周期T＞T0
D. 将该单摆置于高空上相对于地球静止的气球中，其摆动周期T＜T0
√
解析：摆球运动到最高点时，绳子的拉力等于摆球重力的一个分力，此时
绳子的拉力小于摆球的重力。摆球运动到最低点时，绳子的拉力和摆球的
重力共同提供向心力，有F－mg＝ma，可知F大于mg，故A、B错误；月球
表面的重力加速度比地球表面的重力加速度小，根据T＝2π可知，将该
单摆悬挂在月球表面上，其摆动周期T＞T0，选项C正确；将该单摆置于高
空上相对于地球静止的气球中，气球所在高度越高，重力加速度越小，根
据T＝2π可知，其摆动周期T＞T0，故D错误。
（2024·甘肃高考5题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10
m/s2。下列说法正确的是（　　）
A. 摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B. 摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C. 摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D. 摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
√
解析：根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合单摆
的周期公式T＝2π可得，单摆的摆长l＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移
最大，加速度最大，速度为零，A、B两点速度大小相等，方向相反，A、
C两点速度相同，A、B、D错误，C正确。
　〔多选〕（2025·广东深圳模拟）下图是某单摆振动的x-t图像，由此图
像，以下说法正确的有（　　）
A. 在t时刻和（2n＋t）时刻（n取正整数）摆球速度大小相等
B. 每个奇数秒时间内摆球所受合力的冲量均相同
C. 每分钟摆球通过的路程约18 m
D. 摆球做简谐运动的最大加速度可以达到1 m/s2
√
√
解析： 　在t时刻和（2n＋t）时刻，摆球所处的位置相同或关于平衡位
置对称，其摆球速度大小相同，故A正确；第1秒内，摆球由平衡位置运动
到一侧最高点，此时合外力冲量大小为m。第3秒内，摆
球由平衡位置运动到另一侧最高点，合外力冲量大小为m，但方向不同，故B错误；每分钟单摆经历15个周期，每个周期路程约为4A＝1.2 m，故每分钟路程为s＝4A×15＝18 m，故C正确；摆球在最大位移处加速度最大，此时am＝gsin θ＝g，可知am＝0.74 m/s2，故D错误。
〔多选〕（2025·海南海口模拟）某研究性学习小组设计了如图1所示
的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力
传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小
球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉
力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B. 只减小斜面倾角，则单摆周期将变大
C. 摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D. 只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
√
√
解析：由题图2可知，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s，故A错
误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g'＝gsin θ，由单
摆周期公式有T＝2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大
摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程
中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。
总结提升
1. 类单摆模型：物体的受力及运动符合单摆模型的装置。例如：
（1）如图甲所示，为竖直面内的光滑圆弧，且 R，当小球在间
运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R。
（2）如图乙所示，用不可伸长的细线悬挂在光滑斜面上的小球，做小角
度摆动时的运动也是类单摆运动，等效重力加速度为g效＝gsin θ。
2. 类单摆问题的解题方法
（1）确认符合单摆模型的条件，即“类单摆”模型。
（2）寻找等效摆长l效及等效加速度g效，最后利用公式T＝2π或简谐运
动规律分析求解问题。
考点四　对受迫振动和共振的理解
自由振动、受迫振动和共振的关
系比较
振动项目 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作
用
振动周期 或频率 由系统本身性质决
定，即固有周期T0或
固有频率f0 由驱动力的周期或频率
决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱
＝f0
振动项目 自由振动 受迫振动 共振
振动能量 振动物体的机械能不
变 由产生驱动力的物体提
供 振动物体获
得的能量最
大
常见例子 弹簧振子或单摆
（θ≤5°） 机械工作时底座发生的
振动 共振筛、声
音的共鸣等
（2025·苏州期中调研）如图所示，铁架横梁上挂着几个不同摆长的
摆。其中A与D、G的摆长相同，D的摆球质量最大。现使D摆偏离平衡位
置后释放，D摆在振动中通过横梁对其他几个摆施加周期性的驱动力.在振
动稳定后，下列说法中正确的是（　　）
A. A、D、G三个摆的固有频率不相同
B. 所有摆的振动频率都相同
C. C摆振幅比B摆振幅大一点
D. C、E摆振幅是最大的
√
解析：A、D、G三个摆的摆长相同，则三个摆的固有频率相同，故A错
误；所有摆的振动频率都等于驱动力频率，即都等于D摆的振动频率，故B
正确；与C摆相比，B摆的摆长更接近D摆的摆长，所以B摆振幅比C摆振幅
大一点，故C错误；C、E摆的摆长与D摆的摆长相差最多，则C、E摆振幅
是最小的，故D错误。
对共振曲线的理解
1. 共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱
动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图
可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
2. 受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，驱动力对系统做功，补偿系统的能量
损耗，使系统的振动维持下去。
3. 无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生
共振现象时振幅才能达到最大。
〔多选〕两单摆分别在受迫振动中的共振曲
线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，
且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B. 若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝
25∶4
C. 若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D. 若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
√
√
√
解析：题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相
等，由题图可知，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz。当两摆在月球
和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝ 可知，g越
大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可知图线Ⅰ表示月球上单摆的
共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则
＝＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示在地球上完成的， 根据重力加速度取g＝9.8 m/s2，可计算出该单摆LⅡ约为1 m，C正确，D错误。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
简谐运动的对称性的应用
1. 相隔或（n为正整数）的时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t
时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－
vC，加速度aD＝－aC。
2. 如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P'（OP＝OP'）
时，相对于平衡位置的位移大小、速度的大小、加速度的大小、回复力的
大小、动能、势能相等。
3. 如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P'所用时间，即tPO＝
tOP'。振子往复运动过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即
tOP＝tPO。
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（　　）
A. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向相
同，则Δt一定等于T的整数倍
B. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt一定
等于的整数倍
C. 若Δt＝，则t和（t＋Δt）两时刻，振子的位移大小之和一定等于振幅
D. 若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子速度的大小一定相等
√
解析：若t时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向
相同，说明振子经过同一位置，但时间差Δt不一定等于T的整数倍，A错
误；t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等、方向相反，说明振子
经过同一位置或关于平衡位置对称的位置，故Δt不一定等于的整数倍，B
错误；距离平衡位置越近速度越大，可知Δt＝时，t与t＋Δt两时刻振子的
位移大小之和不一定等于振幅，只有从平衡位置开始运动，或从最大位移
处开始运动，两时刻振子的位移大小之和才等于振幅，C错误；若Δt＝，t
与t＋Δt两个时刻振子一定关于平衡位置对称，速度大小一定相等，方向一
定相反，D正确。
〔多选〕（2025·河北唐山统考）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方
向做简谐运动，从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧
对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，图
像的坐标值为已知量，则下列说法正确的是（　　）
A. 对乙图的F-t关系图像分析，小球是从处在最高点开始计时的
B. 小球的质量为
C. 弹簧振子的频率为
D. 若弹簧振子的振幅为A，则从计时开始到13t0时，小球的路程为36A
√
√
解析：由题图乙可知，t＝0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以
小球处于最低点，故A错误；根据对称性可知，小球在最高点和最低点的
加速度大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律，对小球在最高点分析，
有F2＋mg＝ma，对小球在最低点分析，有F1－mg＝ma，联立解得小球的
质量m＝，故B正确；由题图乙可知T＝t0，T＝，解得弹簧振子的频
率f＝，故C正确；由于13t0＝9T＋T，所以小球的路程为s＝9·4A＋3A＝
39A，故D错误。
方法总结
（1）分析简谐运动中各物理量的变化时，一定是以位移为桥梁，理清各
物理量间的关系：回复力、加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方
向相反；速度大小随位移的增大而减小，方向有时和位移方向相同，有时
相反。
（2）要充分利用简谐运动的对称性，对称点的位移、回复力、加速度等
大反向，速度等大。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. 把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿
杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所
示，下列结论正确的是（　　）
A. 小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B. 小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C. 小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D. 小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
解析： 　小球在平衡位置时，动能最大，加速度最小；小球在A、B
位置时，动能最小且为零，加速度最大；小球衡位置时，回复
力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功，因此A选项正确，B、
C、D选项错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025·甘肃酒泉模拟）2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生7.3级
地震，震源深度12 km。如图所示，高度约为30 m的“天王星大楼”发生
严重倾斜，是所受地震影响最大的建筑物之一。若钢混结构建筑物的固有
频率与其高度的平方成正比，其比例系数为0.1，则地震波到达地面的频
率最可能是（　　）
A. 10 Hz B. 30 Hz
C. 60 Hz D. 90 Hz
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 建筑物高为h，结合题意知其固有频率为f0＝0.1h2，钢混建筑物
发生共振时有f＝f0＝0.1h2＝90 Hz，地震波到达地面的频率与钢混结构建
筑物的固有频率越接近，钢混建筑物因共振所受的影响越大，所以该地震
波到达地面的频率最可能是90 Hz。故选D。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025·江苏南通模拟）如图所示，小球在半径为R的光滑圆弧轨道上
A、B间来回运动，轨道弧长远小于R，则（　　）
A. 弧长AB变小，周期不变
B. 弧长AB变小，周期变大
C. 小球质量变小，周期变小
D. 小球质量变小，周期变大
解析： 　因为弧长远小于半径R，小球做单摆运动，根据单摆的周期公式
T＝2π，可知小球的周期与弧长大小和小球质量无关，故选A。
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2025·湖北武汉期末）如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体
在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好
处于原长，弹簧始终在弹性限度内，则物体在振动过程中（　　）
A. 弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B. 物体在最低点时的加速度大小应为2g
C. 物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D. 弹簧的最大弹性势能等于2mgA
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　系统机械能守恒，动能、重力势能、
弹性势能总量不变，振动过程中重力势能一直变
化，弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化，
故A错误；受力分析如图，物体在最高点时所受
回复力为mg，根据振动对称性，最低点的回复力
也应为mg，则物体在最低点时的加速度为g，方
向向上，故B错误；平衡位置处有kA＝mg，物体在最低点时弹簧形变量为2A，弹力2kA＝2mg，故C错误；振动至最低点时，弹簧的弹性势能最大，系统机械能守恒，重力势能转化为弹性势能，Ep＝2mgA，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2025·江苏镇江模拟）如图甲，O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉到
A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、B之间来回摆动。图乙表示细线
对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的
时刻，则该单摆的周期为（　　）
A. 0.1π s B. 0.2π s
C. 0.4π s D. 0.8π s
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 小球在一个周期内两次经过最低点，对小球受力分析可知F－
mg＝m，在最低点时，细线对摆球的拉力F最大，结合题图乙可得，小球
的单摆周期T＝0.4π s，故选C。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （2025·北京海淀区模拟）如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下
列说法正确的是（　　）
A. 两弹簧振子的初相位不同
B. 甲系统的机械能比乙系统的大
C. 甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D. t＝2 s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由题图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，故A错误；
甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、两个弹簧劲度系数未知，无
法判断甲、乙两系统的机械能大小，故B错误；甲、乙两个弹簧振子在前2
s内加速度方向相同，都沿x轴负方向，故C错误；x-t图像斜率的绝对值表
示速度大小，t＝2 s时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负
方向最大速度，由x-t图可知此时乙具有正方向最大位移，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （2024·浙江6月选考9题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为
0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5
m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微
小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，则（　　）
A. 摆角变小，周期变大
B. 小球摆动周期约为2 s
C. 小球平衡时，A端拉力为N
D. 小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　单摆的周期公式为T＝2π，则周期与摆角无关，故A
错误；由题意可知，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分
析如图，根据数学关系可知，FA＝FB＝＝ N，故C、D错
误；根据几何关系可知，等效摆长为1 m，则T＝2π≈2 s，故B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （2024·河北高考6题）如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速
转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时
紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖
动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面
内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通
过的路程分别为（　　）
A. 0.2 rad/s，1.0 m
B. 0.2 rad/s，1.25 m
C. 1.26 rad/s，1.0 m
D. 1.26 rad/s，1.25 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光
点振动的周期T＝＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π
rad/s＝1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝
12.5 s＝2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C
正确，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 将一台智能手机水平粘在秋千的座
椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图
甲），让秋千以小摆角（小于5°）自
由摆动，此时秋千可看作单摆，摆长为
L。从手机加速度传感器中得到了其垂直于手机平面方向的a-t关系图像如图乙所示。则以下说法正确的是（　　）
A. 秋千从摆动到停下的过程机械能守恒
B. 当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C. 秋千摆动的周期为t2－t1
D. 该地的重力加速度g＝
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　秋千从摆动到停下的过程受到阻力的作用，机械能不守恒，故A
错误；在最低点时，根据牛顿第二定律FN－mg＝m可得，秋千对手机的
支持力为FN＝mg＋m，可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，
故B错误；秋千的周期为从最大偏角到另外一最大偏角位置再回到原来最
大偏角位置所用的时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，
秋千摆动的周期为T＝t3－t1，故C错误；根据单摆周期公式T＝t3－t1＝
2π可得，当地重力加速度g＝，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （2024·浙江1月选考10题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分
别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与
小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球
影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，
则（　　）
　
A. t1时刻小球向上运动
B. t2时刻光源的加速度向上
C. t2时刻小球与影子相位差为π
D. t3时刻影子的位移为5A
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻，小球位于平衡
位置，随后位移为负值，且位移增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错
误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正
弦函数图像，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向
与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题
图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被
小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知影子与小球的振动步调总是相同，
即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光的直线传播可知在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （2025·江苏常州模拟）如图所示，质量为m的物块放置在光滑水平面
上，与劲度系数为k、左端固定在墙上的轻弹簧相连，组成弹簧振子。已知
弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，物块经过平衡位置O点的速度大小
为v。某时刻，质量为m的小球从O点正上方自由下落，恰好当物块运动至
O点时落在物块上，并与物块粘在一起继续做简谐运动。
（1）求小球落在物块上后，整体经过O点的速度大小；
答案： v　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 小球与物块碰撞过程中水平方向动量守恒mv＝2mv共
解得v共＝v。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）以小球粘在物块上瞬间为t＝0时刻，求整体
到达最左端的时刻。
答案： 见解析
解析：小球落在物块上后，弹簧振子周期为T'＝2π
整体第一次到达最左端的时刻有两种情况分别为t1＝，t2＝
整体第N次到达最左侧的时刻有两种情况分别为t1'＝，t2'＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 如图甲所示，悬挂在天花板上的轻弹
簧下端连着物体M，M和物体N又通过轻
绳相连，M、N两物体的质量相等，并且
都处于静止状态。t＝0时刻轻绳断裂，不
计空气阻力，物体M做简谐运动，M偏离
平衡位置的位移x随时间t变化的关系如图乙所示，以下说法正确的是（　）
A. t1时刻M的回复力最大
B. t1时刻弹簧的形变量为0
C. t2时刻弹簧的弹性势能最大
D. t4时刻M的加速度与重力加速度大小相等、方向相反
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由题图乙可知，t1时刻M处于平衡位置，此时回复力为零，故A
错误；t1时刻M处于平衡位置，即M能自由静止的位置，则此时弹簧处于伸
长状态，故B错误；因为t2时刻弹簧处于负向最大位移处，且根据对称性，
此时的加速度大小与正向最大位移处的加速度大小相等，由题意，开始时
M加速度满足F－mg＝ma，而M、N两个物体等质量，故F＝2mg，解得a＝
g，方向竖直向上，故在负向最大位移处加速度也为g，且方向竖直向下，
故此时满足F'＋mg＝mg，故此时F'＝0，即此时弹簧处于原长，故t2时刻弹
簧的弹性势能为零，而t4时刻M处于正向最大位移处，故t4时刻M的加速度
与重力加速度大小相等、方向相反，故C错误，D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑