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实验九　用单摆测量重力加速度
1.（2025·江西鹰潭期末）科技文化节中，某兴趣小组做了如下实验。利用单摆测量重力加速度，实验操作如下：
（1）使用游标卡尺测量实心钢球的直径，钢球直径为d；
（2）将器材按图甲方式连接，用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l，使钢球按照图乙方式运动，摆角小于5°，钢球第1次经过最低点处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则重力加速度g＝　　　　　　　；（用测得的物理量表示）
（3）若钢球实际按图丙方式在水平面内做圆周运动，但仍然视作单摆，则测算出的重力加速度值　　　　（选填“偏大”或“偏小”）；
（4）另一位同学直接用米尺和三角板测量了单摆的摆长，如图丁，则单摆摆长是　　　　m。
2.（2025·天津河东区模拟）某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在家利用手边的物品测量本地的重力加速度。用不规则的钥匙扣代替小球做成简易单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下：
（1）用家中软尺测得悬挂点O到钥匙扣连接处M的长度为l；
（2）拉开单摆较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，用手机记录钥匙扣发生N次全振动的时间为t，则单摆的周期T为　　　　；
（3）若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出得到T2-l图像，得到的图像可能是图中三条曲线的　　　　（选填“a”“b”或“c”）曲线；
（4）钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度　　　　（选填“有”或者“无”）影响。
3.（2025·江西抚州模拟）某同学利用单摆测量重力加速度。
（1）该同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用　　　　。（用器材前的字母表示）
a.长度为30 cm左右的细绳
b.长度为1 m左右的细绳
c.直径为1.8 cm的铁球
d.直径为1.6 cm的塑料球
e.最小刻度为10 mm的米尺
f.最小刻度为1 mm的米尺
②用游标卡尺测量小球直径，示数如图丙所示，读数为　　　　cm。
（2）①该同学测出单摆的摆长为l，不同摆长时对应的单摆周期为T，利用图像方法处理数据，作T2-l图时描点如图丁。若他在图上将各数据点拟合成一条直线，可以得到的当地重力加速度为　　　　　m/s2（保留3位有效数字，π2＝9.86）。
②该同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图戊所示的v-t图线。估算小球能摆到的最大高度约为　　　　m（保留1位有效数字）。
4.（2025·八省联考河南卷）学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
（1）实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ（θ＜5°），释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至　　　　　（填“最低点”或“最高点”）时开始计时。
（2）选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间（t）为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为　　　m/s2。（取π2＝9.870，结果保留3位有效数字）
（3）选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度（l）和单摆周期的二次方（T2）的关系曲线，如图2所示。
l/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200
t/s 54.17 57.54 60.60 63.55 66.34
T2/s2 3.26 3.68 4.08 4.49 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝　　　　（用k表示）。由图2求得当地的重力加速度大小为　　　　m/s2（结果保留3位有效数字）。
（4）用图像法得到的重力加速度数值要比（2）中得到的结果更精确，原因是　　　　　　　　　　　　　。
5.（2025·辽宁葫芦岛模拟）智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大，通过分析就可以得到物体位置随时间变化的规律。某兴趣小组用智能手机、磁化小球、支架等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。
（1）按照如图甲所示，让小球做简谐运动，运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。记录实验中磁感应强度的变化情况如图乙所示，测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为　　　　　　　。
（2）用刻度尺测得摆线长度l，用螺旋测微器测量摆球直径如图丙所示，摆球直径d＝　　　　　mm。则单摆的摆长L＝l＋。
（3）改变摆线长度，测量出不同摆长L及对应的周期T。作出T2-L图像如图丁所示，π取3.14。根据图丁中数据可求得当地重力加速度g＝　　　　　　
m/s2。（结果保留三位有效数字）
（4）请你写出一条在该实验中影响结果的可能原因　　　　　　　　　　　　　。
实验九　用单摆测量重力加速度
1.（2）　（3）偏大　（4）0.900 0
解析：（2）根据题意可知单摆的摆长为L＝l＋
钢球第1次经过最低点处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则T＝t
由单摆的周期公式有T＝2π
联立解得g＝。
（3）设绳与中心线的夹角为θ，由牛顿第二定律有mgtan θ＝mLsin θ
解得圆锥摆的周期为T1＝2π＜T
故小球做圆锥摆运动比单摆的周期短，在时间t内完成周期性的次数n变多，因此测算出的重力加速度值偏大。
（4）米尺的最小分度为0.1 cm，读数时需要估读到下一位，则单摆摆长是90.00 cm＝0.900 0 m。
2.（2）　（3）c　（4）无
解析：（2）钥匙扣发生N次全振动的时间为t，则单摆的周期T为T＝。
（3）令钥匙扣的重心到钥匙扣与细线连接处的间距为d，根据周期公式有T＝2π
变形得T2＝l＋
可知，T2-l图像与纵轴的截距为正值，即得到的图像可能是题图中三条曲线的c曲线。
（4）结合上述与T2-l图像，若图像的斜率为k，则有＝k
解得g＝
可知，钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度无影响。
3.（1）①bcf　②1.86　（2）①9.86　②0.05
解析：（1）①根据实验要求，为了控制角度，方便计算，摆长应选长度接近1 m的细绳；为减小空气阻力的影响，应选用体积较小的实心金属球，故选直径为1.8 cm的铁球；根据T＝2π得g＝，可知需要测量摆长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺。故选b、c、f。②读数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm＝1.86 cm。
（2）①根据T＝2π得T2＝l
知图线的斜率k＝＝ s2/m＝4 s2/m
解得g＝9.86 m/s2。
②由题图戊可知，该单摆的最大速度v＝100 cm/s＝1 m/s
根据机械能守恒定律有mgh＝mv2
解得小球能摆到的最大高度约为h＝0.05 m。
4.（1）最低点　（2）9.68　（3）4π2k　9.69　（4）见解析
解析：（1）摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得周期误差最小；所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。
（2）根据题意可知摆球摆动的周期T＝＝2.02 s
根据单摆周期公式T＝2π
其中l＝100.0 cm＝1.000 m
代入数据可得g≈9.68 m/s2。
（3）根据单摆周期公式T＝2π
整理可得l＝·T2
可知l-T2图线斜率k＝
则重力加速度可表示为g＝4π2k
由题图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
（4）图像法得到的重力加速度数值要比（2）中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率均为，对g的测量没有影响。
5.（1）　（2）13.870　（3）9.86　（4）存在空气阻力（摆线有质量、周期测量及长度测量存在误差）
解析：（1）小球每次经过最右端位置时，距离手机最近，手机“磁传感器”记录的磁感应强度就最大，可知相邻两次磁感应强度最大值之间的时间间隔为一个周期，则单摆周期T＝。
（2）螺旋测微器测量摆球直径d为13.5 mm＋37.0×0.01 mm＝13.870 mm。
（3）T＝2π
T2＝·l＋
故斜率为k＝＝ s2/m＝4 s2/m
解得g≈9.86 m/s2。
（4）存在空气阻力、摆线有质量、周期测量及长度测量存在误差。
4 / 4实验九　用单摆测量重力加速度
一、实验原理
　当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出　　　　和　　　　　　，就可以求出当地的重力加速度g的值。
二、实验器材
　铁架台、单摆、　　　　　　　、毫米刻度尺、　　　　。
三、实验过程
1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。
2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。
3.用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，得出金属小球半径r，计算出摆长l＝　　　　　　。
4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（小于5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。
5.根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
6.改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
1.公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。
2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条　　　　　　　　，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝　　　　　　求出重力加速度。
五、注意事项
1.一般选用一米左右的细线。
2.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
3.应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
4.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于　　　　。
5.选择在摆球摆到　　　　　　　　　　开始计时，并数准全振动的次数。
六、误差分析
1.系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。
2.偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
考点一　教材原型实验
（2024·广西高考11题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
（1）制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
（2）用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为　　　　cm。
（3）若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　　　。
尝试解答
（2025·安徽芜湖模拟）某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验的装置示意图如图甲所示。
　
（1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d的示数如图乙所示，则d＝　　　　　mm。
（2）该同学在实验中各测量数据均正确无误，但他在用图像法处理实验数据时，作出的T2-L图像如图丙所示，图线与纵轴正半轴有交点，造成图线不通过原点的原因是　　　　　　　。分析原因后，该同学认为不用重新绘制图像也能得出重力加速度的大小，则该同学本次实验测量的重力加速度g＝　　　　　m/s2（取π2＝9.86，结果保留3位有效数字）。由于图线没有通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比　　　　 （选填“偏大”“偏小”或“相等”）。
尝试解答
考点二　创新拓展实验
如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。
（1）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期为T＝　　　　 s。
（2）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（T2-L）图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝　　　　　　　，摆球半径r＝　　　　（用k、b、π表示）。
尝试解答
创新分析
1.实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“探究单摆的周期与摆长的关系”，但实验原理不变。
2.实验器材创新：使用拉力传感器绘制拉力随时间变化的F-t图像。
3.数据处理创新：由F-t图线分析单摆的周期。
（2024·吉林高考12题）图a为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
（1）用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图b所示，从图中读出D＝　　　　 cm。
（2）将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图c所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了　　　　个周期。
（3）换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 …… 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图d所示，则T与D的近似关系为　　　　。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
（4）请写出一条提高该实验精度的改进措施：　　　　　　　　　　　　　。
尝试解答
创新分析
1.实验目的创新：探究积木小幅摆动周期T与外径D之间的关系。
2.数据处理创新：利用ln T-ln D图像，确定T与D的关系。
实验九　用单摆测量重力加速度
【立足“四层”·夯基础】
一、摆长l　振动周期T
二、游标卡尺　停表
三、3.l'＋r
四、2.过原点的直线　4π2k
五、4.5°　5.平衡位置处时
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【典例1】 （1）摆长　（2）1.06　（3）x＝cos
解析：（1）选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
（2）摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
（3）根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为l＝
从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝lsin 5°
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。
【典例2】 （1）20.00　（2）计算摆长时没有加小球的半径　9.81
相等
解析：（1）该游标卡尺为20分度的游标卡尺，游标尺每小格与主尺每小格相差0.05 mm，由游标卡尺的读数规则可知摆球直径d＝20 mm＋0×0.05 mm＝20.00 mm。
（2）根据单摆周期公式有T＝2π
得T2＝
图线不通过原点，且图线向左移动，横坐标变小，是由于计算摆长时没有加小球的半径。根据数学知识可知，T2-L图线的斜率k＝
则当地的重力加速度g＝
由于L＝l＋r，
则T2＝＝＝＋
把l当作L，图线在横轴上的截距的绝对值等于摆球半径r。根据数学知识可知，对于T2-L图像来说两种情况下图线的斜率不变，所以测得的g值不变。结合题图丙可知图线的斜率k＝ s2/m＝ s2/m
所以重力加速度g＝＝9.81 m/s2
故求出的重力加速度g值与当地真实值相等。
考点二
【典例3】 （1）2.0　（2）　
解析：（1）单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0 s，故单摆的周期为2.0 s。
（2）根据T＝2π得T2＝l＝L＋r，知图线的斜率k＝，因此g＝；而l＝L＋r，图线拟合得到方程为T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝。
【典例4】 （1）7.54（7.53～7.55均可）　（2）10　（3）A
（4）多次测量同一颜色的积木的周期求平均值
解析：（1）根据刻度尺的读数规则可知D＝7.54 cm。
（2）结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下（向上）运动后再次与O点等高，之后向上（向下）运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
（3）根据题图d有ln T＝kln D＋b，其中k＝＝，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
（4）可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
4 / 4(共52张PPT)
实验九　用单摆测量重力加速度
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
一、实验原理
　当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝
，因此，只要测出 和 ，就可以求出当地的重力
加速度g的值。
二、实验器材
　铁架台、单摆、 、毫米刻度尺、 。
摆长l　
振动周期T　
游标卡尺　
停表　
三、实验过程
1. 让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。
2. 把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使
铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，
如图所示。
3. 用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，得出
金属小球半径r，计算出摆长l＝ 。
4. 把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（小于5°），然后放开金属
小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用
的时间t，计算出单摆的振动周期T。
5. 根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
6. 改变摆长，重做几次实验。
l'＋r　
四、数据处理
1. 公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用
公式g＝求重力加速度。
2.
图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条 ，如图所示，求出图线
的斜率k，即可利用g＝ 求出重力加速度。
过原点的直线　
4π2k　
五、注意事项
1. 一般选用一米左右的细线。
2. 悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
3. 应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。
4. 单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于 。
5. 选择在摆球摆到 开始计时，并数准全振动的次数。
5°　
平衡位置处时　
六、误差分析
1. 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，
即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直
平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。
2. 偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。
为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　教材原型实验
（2024·广西高考11题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
（1）制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式
的目的是要保持摆动中 不变。
解析： 选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
摆长　
（2）用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径
为 cm。
解析： 摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
1.06　
（3）若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空
气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻
作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为
。
解析： 根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为l＝
从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝lsin 5°
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与
时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。
x＝
cos　
（2025·安徽芜湖模拟）某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验的装置示意图如图甲所示。
（1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d的示数如图乙所示，则d＝ mm。
20.00　
解析： 该游标卡尺为20分度的游标卡尺，游标尺每小格与主尺每小
格相差0.05 mm，由游标卡尺的读数规则可知摆球直径d＝20 mm＋
0×0.05 mm＝20.00 mm。
（2）该同学在实验中各测量数据均正确无误，但他在
用图像法处理实验数据时，作出的T2-L图像如图丙所
示，图线与纵轴正半轴有交点，造成图线不通过原点
的原因是 。分析原
因后，该同学认为不用重新绘制图像也能得出重力加速度的大小，则该同学本次实验测量的重力加速度g＝ m/s2（取π2＝9.86，结果保留3位有效数字）。由于图线没有通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实
值相比 （选填“偏大”“偏小”或“相等”）。
计算摆长时没有加小球的半径　
9.81　
相等　
解析： 根据单摆周期公式有T＝2π
得T2＝
图线不通过原点，且图线向左移动，横坐标变小，是由于计算摆长时没有
加小球的半径。根据数学知识可知，T2-L图线的斜率k＝
则当地的重力加速度g＝
由于L＝l＋r，
则T2＝＝＝＋
把l当作L，图线在横轴上的截距的绝对值等于摆球半径r。根据数学知识可
知，对于T2-L图像来说两种情况下图线的斜率不变，所以测得的g值不变。
结合题图丙可知图线的斜率k＝ s2/m＝ s2/m
所以重力加速度g＝＝9.81 m/s2
故求出的重力加速度g值与当地真实值相等。
考点二　创新拓展实验
如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关
系”的实验。
（1）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期为T＝ s。
解析： 单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最
高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0 s，故单摆的周期为2.0 s。
2.0　
（2）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期
与摆线长度的关系（T2-L）图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由
此可知当地的重力加速度g＝ 　　，摆球半径r＝ 　　（用k、b、π表
示）。
解析： 根据T＝2π得T2＝l＝L＋r，知图线的斜率k＝，
因此g＝；而l＝L＋r，图线拟合得到方程为T2＝kL＋b，因此摆球半径r
＝。
　
　
创新分析
1. 实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“探究单摆的周期
与摆长的关系”，但实验原理不变。
2. 实验器材创新：使用拉力传感器绘制拉力随时间变化的F-t图像。
3. 数据处理创新：由F-t图线分析单摆的周期。
（2024·吉林高考12题）图a为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，
不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期
T与外径D之间的关系。
（1）用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如
图b所示，从图中读出D＝ cm。
7.54（7.53～7.55均可）　
解析： 根据刻度尺的读数规则可知D＝7.54 cm。
（2）将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考
点O，将积木的右端按下后释放，如图c所示。当积木左端某次与O点等高
时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动
了 个周期。
解析： 结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下（向
上）运动后再次与O点等高，之后向上（向下）运动后又一次与O点等高，
此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
10　
（3）换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的
函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据
如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 …… 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图d所示，则T与D的近似关系为 。
A　
A. T∝ B. T∝D2
C. T∝ D. T∝
解析： 根据题图d有ln T＝kln D＋b，其中k＝＝，则
有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为
T∝，A正确。
（4）请写出一条提高该实验精度的改进措施：
。
解析： 可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实
验误差。
多次测量同一颜色的积
木的周期求平均值
创新分析
1. 实验目的创新：探究积木小幅摆动周期T与外径D之间的关系。
2. 数据处理创新：利用ln T-ln D图像，确定T与D的关系。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·江西鹰潭期末）科技文化节中，某兴趣小组做了如下实验。利
用单摆测量重力加速度，实验操作如下：
1
2
3
4
5
（1）使用游标卡尺测量实心钢球的直径，钢球直径为d；
（2）将器材按图甲方式连接，用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线
长度为l，使钢球按照图乙方式运动，摆角小于5°，钢球第1次经过最低点
处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则重力加速度g
＝ ；（用测得的物理量表示）
　
1
2
3
4
5
解析： 根据题意可知单摆的摆长为L＝l＋
钢球第1次经过最低点处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则
T＝t
由单摆的周期公式有T＝2π
联立解得g＝。
1
2
3
4
5
（3）若钢球实际按图丙方式在水平面内做圆周运动，但仍然视作单摆，
则测算出的重力加速度值 （选填“偏大”或“偏小”）；
解析： 设绳与中心线的夹角为θ，由牛顿第二定律有mgtan θ＝
mLsin θ
解得圆锥摆的周期为T1＝2π＜T
故小球做圆锥摆运动比单摆的周期短，在时间t内完成周期性的次数n变
多，因此测算出的重力加速度值偏大。
偏大　
1
2
3
4
5
（4）另一位同学直接用米尺和三角板测量了单摆的摆长，如图丁，则单
摆摆长是 m。
解析： 米尺的最小分度为0.1 cm，读数时需要估读到下一位，则单
摆摆长是90.00 cm＝0.900 0 m。
0.900 0　
1
2
3
4
5
2. （2025·天津河东区模拟）某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在
家利用手边的物品测量本地的重力加速度。用不规则的钥匙扣代替小球做
成简易单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下：
（1）用家中软尺测得悬挂点O到钥匙扣连接处M的长度为l；
1
2
3
4
5
（2）拉开单摆较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最
低点按下计时“开始”按钮，用手机记录钥匙扣发生N次全振动的时间为
t，则单摆的周期T为 ；
解析： 钥匙扣发生N次全振动的
时间为t，则单摆的周期T为T＝。
　
1
2
3
4
5
（3）若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出得到T2-l图
像，得到的图像可能是图中三条曲线的 （选填“a”“b”或
“c”）曲线；
解析： 令钥匙扣的重心到钥匙扣与细线连接处的间距为d，根据周期
公式有T＝2π
变形得T2＝l＋
可知，T2-l图像与纵轴的截距为正值，即得到的图像可能是题图中三条曲
线的c曲线。
c　
1
2
3
4
5
（4）钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度 （选填
“有”或者“无”）影响。
解析： 结合上述与T2-l图像，若图像的斜率为k，则有＝k
解得g＝
可知，钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度无影响。
无　
1
2
3
4
5
3. （2025·江西抚州模拟）某同学利用单摆测量重力加速度。
1
2
3
4
5
（1）该同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材
中，还应该选用 。（用器材前的字母表示）
a.长度为30 cm左右的细绳
b.长度为1 m左右的细绳
c.直径为1.8 cm的铁球
d.直径为1.6 cm的塑料球
e.最小刻度为10 mm的米尺
f.最小刻度为1 mm的米尺
bcf　
②用游标卡尺测量小球直径，示数如图丙所示，读数为 cm。
1.86　
1
2
3
4
5
解析： ①根据实验要求，为了控制角度，方便计算，摆长应选长度
接近1 m的细绳；为减小空气阻力的影响，应选用体积较小的实心金属
球，故选直径为1.8 cm的铁球；根据T＝2π得g＝，可知需要测量摆
长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺。故选b、c、f。②读数为18 mm＋
6×0.1 mm＝18.6 mm＝1.86 cm。
1
2
3
4
5
（2）①该同学测出单摆的摆长为l，不同摆长时对应的单摆周期为T，利用
图像方法处理数据，作T2-l图时描点如图丁。若他在图上将各数据点拟合
成一条直线，可以得到的当地重力加速度为 m/s2（保留3位有效数
字，π2＝9.86）。
9.86　
1
2
3
4
5
②该同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示，
将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中
速度随时间变化的关系，如图戊所示的v-t图线。估算小球能摆到的最大高
度约为 m（保留1位有效数字）。
0.05　
解析：①根据T＝2π得T2＝l
知图线的斜率k＝＝ s2/m＝4 s2/m
解得g＝9.86 m/s2。
②由题图戊可知，该单摆的最大速度v＝100 cm/s＝1 m/s
根据机械能守恒定律有mgh＝mv2
解得小球能摆到的最大高度约为h＝0.05 m。
1
2
3
4
5
4. （2025·八省联考河南卷）学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
（1）实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台
上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖
直方向成夹角θ（θ＜5°），释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至 （填“最低点”或“最高点”）时开始计时。
解析： 摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引
起的时间误差最小，测得周期误差最小；所以为了减小测量周期的误差，
摆球应选经过最低点的位置时开始计时。
最低点　
1
2
3
4
5
（2）选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间
（t）为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小
为 m/s2。（取π2＝9.870，结果保留3位有效数字）
解析： 根据题意可知摆球摆动的周期T＝＝2.02 s
根据单摆周期公式T＝2π
其中l＝100.0 cm＝1.000 m
代入数据可得g≈9.68 m/s2。
9.68　
1
2
3
4
5
（3）选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度（l）和单摆周期的二次方（T2）的关系曲线，如图2
所示。
l/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200
t/s 54.17 57.54 60.60 63.55 66.34
T2/s2 3.26 3.68 4.08 4.49 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝ （用k表示）。由图2
求得当地的重力加速度大小为 m/s2（结果保留3位有效数字）。
4π2k　
9.69　
1
2
3
4
5
解析： 根据单摆周期公式T＝2π
整理可得l＝·T2
可知l-T2图线斜率k＝
则重力加速度可表示为g＝4π2k
由题图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
1
2
3
4
5
（4）用图像法得到的重力加速度数值要比（2）中得到的结果更精确，原
因是 　　　　　　　。
答案： 见解析
解析： 图像法得到的重力加速度数值要比（2）中得到的结果更精
确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率
均为，对g的测量没有影响。
1
2
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4
5
5. （2025·辽宁葫芦岛模拟）智能手机中的“磁传
感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁
极越靠近手机，磁感应强度越大，通过分析就可
以得到物体位置随时间变化的规律。某兴趣小组
用智能手机、磁化小球、支架等实验器材组装成
如图甲所示的装置来测量重力加速度。
（1）按照如图甲所示，让小球做简谐运动，运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。记录实验中磁感应强度的变化情况如图乙所示，测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为 。
　
1
2
3
4
5
解析： 小球每次经过最右端位置时，距离手机最近，手机“磁传感
器”记录的磁感应强度就最大，可知相邻两次磁感应强度最大值之间的时
间间隔为一个周期，则单摆周期T＝。
1
2
3
4
5
（2）用刻度尺测得摆线长度l，用螺旋测微器测量摆球直径如图丙所示，
摆球直径d＝ mm。则单摆的摆长L＝l＋。
13.870　
解析： 螺旋测微器测量摆球直径d为13.5 mm＋37.0×0.01 mm＝
13.870 mm。
1
2
3
4
5
（3）改变摆线长度，测量出不同摆长L及对应的周期T。作出T2-L图像如图
丁所示，π取3.14。根据图丁中数据可求得当地重力加速度g
＝ m/s2。（结果保留三位有效数字）
9.86　
解析： T＝2π
T2＝·l＋
故斜率为k＝＝ s2/m＝4 s2/m
解得g≈9.86 m/s2。
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5
（4）请你写出一条在该实验中影响结果的可能原因
。
解析：存在空气阻力、摆线有质量、周期测量及长度测量存在误差。
存在空气阻力（摆
线有质量、周期测量及长度测量存在误差）
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THANKS
演示完毕 感谢观看

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