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第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
1.（2025·江苏海安高级中学期中）超级电容的容量比通常的电容器大得多，其主要优点是高功率脉冲应用和瞬时功率保持，具有广泛的应用前景。如图所示，某超级电容标有“2.7 V　100 F”字样，将该电容器接在电动势为1.5 V的干电池两端，则电路稳定后该电容器的负极板上所带的电荷量为（　　）
A.－150 C　 B.－75 C
C.－270 C　 D.－135 C
2.（2025·山东潍坊模拟）心脏除颤器是目前临床上广泛使用的抢救设备之一，如图甲所示。心脏除颤器通过接触皮肤的电极板使电容器放电，实施电击治疗，如图乙。已知某款心脏除颤器，在短于一分钟内使电容器充电到4 000 V，存储电荷量为0.16 C。抢救病人时，电极板放电，使一部分电荷在4 ms的脉冲时间内经过身体。下列说法正确的是（　　）
A.电容器充电至4 000 V时，电容为20 μF
B.电容器放电过程中电容减小
C.电容器充电至2 000 V时，所带电荷量为0.08 C
D.电容器放电过程中电流恒定
3.（2025·内蒙古巴彦淖尔高三期末）电容位移传感器具有灵敏度高的优点，某电容位移传感器的工作原理可简化为如图所示的装置，电容器接在恒压直流电源上，其中A是固定极板，B是可动极板，B与被测物体连接在一起，○G 为灵敏电流计，当被测物体水平向左移动时，下列说法正确的是（　　）
A.电容器的电容变小
B.极板间的电场强度变大
C.电容器所带的电荷量减少
D.灵敏电流计中有从a到b方向的放电电流
4.（2025·宁夏银川模拟）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（　　）
A.极板X应带正电，极板Y应带正电
B.极板X'应带正电，极板Y'应带正电
C.极板X 应带正电， 极板Y应带负电
D.极板X'应带正电，极板Y'应带负电
5.（2025·江苏南通期末考试）如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两块平行金属板。质量为m、电荷量为q的带负电的粒子（不计重力）以初速度v0由小孔水平射入电场，当M、N间的电压为U时，粒子刚好能到达N板。如果要使这个带电粒子到达M、N两板中线位置处即返回，则下述措施能满足要求的是（　　）
A.使初速度减小为原来的
B.使M、N间的电压提高到原来的4倍
C.使M、N间的电压加倍
D.使初速度减小为原来的，同时M、N间的电压加倍
6.（2025·河北石家庄市二模）某种负离子空气净化器的原理如图所示，由空气和带一价负电的灰尘颗粒组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，带电颗粒入射时的最大动能为4×106 eV，金属板的长度为L，金属板的间距为d，且L＝100d。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，不考虑重力影响和颗粒间的相互作用。要使得全部颗粒被收集，两极板间的电势差至少为（　　）
A.1 600 V　 B.800 V
C.400 V　 D.200 V
7.〔多选〕（2025·浙江温州市一模）如图所示，加速电场的两极板P、Q竖直放置，间距为d，电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置，两极板长度及板间距均为L，电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场，经过偏转电场，到达探测器（探测器可上下移动）。整个装置处于真空环境，且不计离子重力。下列说法正确的是（　　）
A.离子在加速电场中运动时间为d
B.离子在M、N板间运动时间为L
C.离子到达探测器的最大动能为q（U1＋U2）
D.为保证离子不打在M、N极板上，U1与U2应满足的关系为U2＜2U1
8.（2024·吉林高考6题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中（　　）
A.动能减小，电势能增大 B.动能增大，电势能增大
C.动能减小，电势能减小 D.动能增大，电势能减小
9.（2025·黑龙江哈尔滨三中月考）如图所示，在长为2L、宽为L的矩形区域ABCD内有电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带负电的质点，以平行于AD的初速度从A点射入该区域，结果该质点恰能从C点射出。（已知重力加速度为g）
（1）求该质点从A点进入该区域时的初速度v0。
（2）若P、Q分别为AD、BC边的中点，现将PQCD区域内的电场撤去，则该质点的初速度v0为多大时仍能从C点射出？
10.如图所示，一静止的电子经过电压为U的电场加速后，立即从A点射入匀强电场中，射入方向与匀强电场的方向垂直，最终电子从B点离开电场。已知匀强电场的电场强度大小为E，宽度为L，方向竖直向上，电子的电荷量为e，质量为m，重力忽略不计。
（1）求电子在匀强电场中的偏转距离。
（2）若仅将加速电场的电压提高为原来的2倍，使电子仍经过B点，求匀强电场的电场强度E1。
11.将一个质量为m，带电荷量为＋q的微粒自A点以大小为4v的初速度垂直射入水平向右的匀强电场（如图所示），微粒运动到最高点B时速度变为3v，求：
（1）匀强电场的场强大小E；
（2）A、B两点间电势差UAB；
（3）微粒自A点至B点过程中速度的最小值。
第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
1.A　根据C＝可知电容器所带的电荷量为Q＝CU＝100×1.5 C＝150 C，则电路稳定后该电容器的负极板上所带的电荷量为－150 C，故选A。
2.C　电容器充电至4 000 V时，电容为C＝＝ F＝40 μF，故A错误；电容由电容器本身决定，不随电压、电荷量的变化而变化，即电容保持不变，故B错误；电容器充电至2 000 V时，所带电荷量为Q'＝CU'＝40×10－6×2 000 C＝0.08 C，故C正确；电容器放电过程中，电荷量减少，电容器两极板间电势差减小，电流减小，故D错误。
3.B　电容器接在恒压直流电源上，则电容器两端电压不变，当被测物体水平向左移动时，根据C＝，C＝，可知由于极板距离减小，则电容器的电容变大，电容器所带的电荷量增加，灵敏电流计中有从b到a方向的充电电流；根据E＝，可知极板间的电场强度变大。故选B。
4.A　根据亮斑的位置可知电子在偏转电极间的电场中分别向X极和Y极偏转，所以电子在两个电场中受到静电力的方向应分别朝向X极和Y极，所以极板X和极板Y都应带正电。故选A。
5.C　粒子从进入电场到到达N板的过程中，板间的电场强度为E＝，由动能定理得－qEd＝0－m，解得d＝，设带电粒子离开M板的最远距离为x，则若使初速度减为原来的，根据动能定理有－qEx＝0－m，解得x＝，故A错误；若电压提高到原来的4倍，则电场强度也变为原来的4倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x1，根据动能定理有－q·4Ex1＝0－m，解得x1＝，故B错误；同理，若电压提高到原来的2倍，则电场强度也变为原来的2倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x2，根据动能定理有－q·2Ex2＝0－m，解得x2＝，故C正确；若初速度减少一半，电压加倍，则电场强度加倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x3，根据动能定理有－q·2Ex3＝0－m，解得x3＝，故D错误。
6.A　只要紧靠上极板的颗粒能够落到下极板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有L＝v0t，竖直方向有d＝at2，qE＝ma，又E＝，联立解得两金属板间的电压为U＝＝1 600 V，故选A。
7.BD　离子在加速电场做匀加速直线运动，加速度为a1＝，由公式d＝a1，得离子在加速电场中运动时间为t1＝d，故A错误；设离子进入偏转电场的速度为v0，由动能定理有U1q＝m，离子在M、N板间运动时间为t2＝，得t2＝L，故B正确；当离子打到M或N板时动能最大，由动能定理有Ekm＝U1q＋q，故C错误；为保证离子不打在M、N极板上，即离子在竖直方向的偏转位移应小于，有×＜，得U2＜2U1，故D正确。
8.D　根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。
9.（1）　（2）
解析：（1）质点在水平方向做匀速直线运动，有2L＝v0t，在竖直方向做匀加速直线运动，有mg－qE＝ma，质点恰好能从C点射出，有L＝at2，联立解得v0＝。
（2）在ABQP区域，质点在水平方向做匀速直线运动，有L＝v0t1，在竖直方向有y1＝a，v1＝at1，在PQCD区域，在水平方向有L＝v0t2，在竖直方向有y2＝v1t2＋g，质点恰好从C点射出，则y1＋y2＝L，联立解得v0＝。
10.（1）　（2）2E
解析：（1）电子在加速电场中加速，由动能定理得eU＝m，解得v0＝，
设电子在匀强电场中的偏转距离为y，根据类平抛运动规律可得L＝v0t，y＝at2，
由牛顿第二定律得a＝，解得y＝。
（2）由（1）可得电子在匀强电场中有x＝v1t1，y＝a1，
在加速电场中有eU1＝m，
由牛顿第二定律得eE1＝ma1，
联立解得E1＝，
根据题意可知x、y均不变，当加速电场的电压增大到原来的2倍，匀强电场的场强也增大为原来的2倍，即E1＝2E。
11.（1）　（2）　（3）v
解析：（1）若自A点至B点所用的时间为t1，微粒在水平方向的加速度为a，则
竖直方向，有0＝4v－gt1
水平方向，有Eq＝ma，3v＝at1
联立得E＝。
（2）若A、B间竖直高度差为h1，则
0－（4v）2＝－2gh1
－mgh1＋qUAB＝m（3v）2－m（4v）2
解得UAB＝。
（3）微粒速度与合力之间的夹角先为钝角，后为锐角，当二者垂直时，速度最小，若从A点到微粒速度最小时间为t2，速度最小时速度的水平分量为vx，竖直分量为vy，则
vx＝at2，vy＝4v－gt2，且＝
联立解得t2＝
vmin＝
解得vmin＝v。
4 / 4第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
电容器
1.电容器
（1）组成：由两个彼此　　　　又相互靠近的导体组成。
（2）带电荷量：一个极板所带电荷量的　　　。
（3）充电与放电
①充电：电容器充电的过程中，两极板的电荷量增加，极板间的电场强度增大，电源的能量不断储存在电容器中。
②放电：放电的过程中，电容器把储存的能量通过电流做功转化为电路中其他形式的能量。
2.电容
（1）定义：电容器所带的　　　　　　与电容器两极板之间的　　　　　　的比值。
（2）定义式：C＝　　　　　。
（3）单位：法拉（F）、微法（μF）、皮法（pF）。1 F＝　　　 μF＝　　　 pF。
（4）意义：表示电容器　　　　　　本领的高低。
3.平行板电容器的电容
（1）决定因素：正对面积、相对　　　　　　、两板间的　　　　。
（2）决定式：C＝　　　　，k为静电力常量。
带电粒子在电场中的运动
1.带电粒子在电场中的加速运动
（1）用动力学观点分析（只适用于匀强电场）
a＝，E＝，v2－＝　　　。
（2）用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝　　　　　。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
2.带电粒子在匀强电场中的偏转运动（v0⊥E）
（1）沿初速度方向做匀
速直线运动：t＝　　　　（如图所示）。
（2）沿静电力方向做初速度为零的匀加速直线运动：
①加速度：a＝＝＝　　　　。
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝　　　　。
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝＝　　　　。
3.示波管
（1）构造：　　　　、　　　　电极、荧光屏。
（2）原理：带电粒子在电场中的加速和偏转。
1.电容器的电荷量等于两个极板所带电荷量绝对值的和。（　　）
2.电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电压成反比。（　　）
3.放电后电容器的电荷量为零，电容为零。（　　）
4.带电粒子在匀强电场中可能做匀加速直线运动。（　　）
5.带电粒子以初速度v0进入匀强电场中一定做类平抛运动。（　　）
　　
1.〔多选〕（人教版必修第三册P43“练习与应用”T2改编）关于电容器的电荷量Q、电压U、电容C之间的相互关系，下列图像正确的是（　　）
2.（2024·江西高考1题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质，将其置于电压恒定的两平行金属板间，板间电场视为匀强电场，如图所示。若两金属板间距减小，关于火焰中电子所受的电场力，下列说法正确的是（　　）
A.电场力增大，方向向左
B.电场力增大，方向向右
C.电场力减小，方向向左
D.电场力减小，方向向右
3.（人教版必修第三册P49“练习与应用”T3）先后让一束电子和一束氢核通过同一对平行板形成的偏转电场，进入时速度方向与电场方向垂直。在下列两种情况下，分别求出电子偏转角的正切与氢核偏转角的正切之比。
（1）电子与氢核的初速度相同；
（2）电子与氢核的初动能相同。
考点一　平行板电容器的动态分析
　平行板电容器的动态分析思路
（2024·浙江6月选考6题）图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则（　　）
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
尝试解答
（2024·吉林高考5题）某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图a所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图b所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓度，则（　　）
A.电容器的电容减小
B.电容器所带的电荷量增大
C.电容器两极板之间的电势差增大
D.溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
尝试解答
考点二　带电粒子（体）在电场中的直线运动
1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理
基本粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量）
带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力
2.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法
（2025·安徽黄山八校联考）
当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1.0×107 m/s。已知加速电场的场强为1.3×105 N/C，质子的质量为1.67×10－27 kg，电荷量为1.6×10－19 C，则下列说法正确的是（　　）
A.加速过程中质子电势能增加
B.质子所受到的电场力约为2×10－15 N
C.质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D.加速器加速的直线长度约为4 m
尝试解答
（2024·浙江1月选考11题）
如图所示，金属极板M受到紫外线照射会逸出光电子，最大速率为vm。正对M放置一金属网N，在M、N之间加恒定电压U。已知M、N间距为d（远小于板长），电子的质量为m，电荷量为e，则（　　）
A.M、N间距离增大时电子到达N的动能也增大
B.只有沿x方向逸出的电子到达N时才有最大动能
C.电子从M到N过程中y方向位移大小最大为vmd
D.M、N间加反向电压时电流表示数恰好为零
尝试解答
（本题取材于人教版必修第三册“练习与应用”P49，T2）
某种金属板M受到一束紫外线照射时会不停地发射电子，射出的电子具有不同的方向，速度大小也不相同。在M旁放置一个金属网N。如果用导线将M、N连起来，从M射出的电子落到N上便会沿导线返回M，从而形成电流。现在不把M、N直接相连，而按图10.5-7那样在M、N之间加电压U，发现当U＞12.5 V时电流表中就没有电流。
图10.5-7
问：被这束紫外线照射出的电子，最大速度是多少？
考点三　带电粒子在电场中的偏转
1.带电粒子在电场中的偏转规律
2.两个重要结论
（1）速度偏角正切值tan θ是位移偏角正切值tan α的2倍。
（2）粒子经电场偏转后射出时，瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点，即该交点到偏转电场边缘的距离为。
3.利用功能关系分析带电粒子的偏转
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解，qUy＝mv2－m，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。
（2025·江苏无锡高三期末）
如图所示，让两质子先、后以不同初速度从同一位置垂直射入一平行板电容器（两板间电压恒定），质子分别沿a、b轨迹落到极板上，则质子沿b轨迹运动时（　　）
A.加速度更大 B.运动时间更长
C.动能增量更大 D.电势能增量与沿a轨迹运动时相同
尝试解答
（2025·华中师大附中期末）示波器的示意图如图所示，金属丝发射出来的电子（带电荷量为e，质量为m）被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场。电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上。设加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长l＝4 cm，偏转极板间距d＝1 cm，当电子加速后从两偏转极板的正中央沿与板平行的方向进入偏转电场。
（1）偏转电压U2为多大时，电子束打在荧光屏上偏转距离最大？
（2）如果偏转极板右端到荧光屏的距离L＝20 cm，则电子到达荧光屏时最大偏转距离y为多少？
解题指导 （1）电子从偏转电场射出后沿着射出方向做匀速直线运动至打到荧光屏上。
（2）电子束打在荧光屏上偏转距离最大的条件是：电子经偏转电场后必须从下极板边缘射出。
尝试解答
带电粒子（体）在匀强电场中的类抛体运动
1.类抛体运动
（1）如果带电体的初速度方向与“等效重力”方向垂直，则带电体做类平抛运动。
（2）如果带电体的初速度方向与“等效重力”方向成某一锐角或钝角，则带电体做类斜抛运动。
2.处理方法：与处理平抛运动、斜抛运动的方法相同。
（1）利用运动的合成与分解的方法分析解决。
（2）利用动能定理等功能观点分析解决。
（2025·重庆一中月考）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q（q＞0）。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）B运动到P点时的动能。
尝试解答
〔多选〕（2023·湖北高考10题）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（　　）
A.L∶d＝2∶1
B.U1∶U2＝1∶1
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
尝试解答
第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.（1）绝缘　（2）绝对值　2.（1）电荷量Q　电势差U　（2）
（3）106　1012　（4）容纳电荷　3.（1）介电常数　距离
（2）
知识点2
1.（1）2ad　（2）①mv2－m　2.（1）　（2）①
②　③　3.（1）电子枪　偏转
易错易混辨析
1.×　2.×　3.×　4.√　5.×
双基落实筑牢
1.BCD　根据电容器定义式C＝可知，电容器所带的电荷量Q与电容器两极板之间的电势差U成正比，故C正确；电容C的大小由电容器本身的因素决定，与Q、U无关，故A错误，B、D正确。
2.B　
3.（1）　（2）1
解析：设偏转电压为U，带电粒子的电荷量为q，质量为m，垂直进入偏转电场的速度为v0，偏转电场两极板间距离为d，极板长为l，则粒子在偏转电场中的加速度a＝，在偏转电场中运动的时间为t＝，粒子离开偏转电场时沿静电力方向的速度vy＝at＝，粒子离开偏转电场时速度方向的偏转角的正切值tan θ＝＝。
（1）若电子与氢核的初速度相同，则＝。
（2）若电子与氢核的初动能相同，则＝1。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【例1】 D　静电计指针张角增大，说明极板间电势差增大，A错误；由C＝可知，当极板间距增大时，电容器的电容减小，B错误；极板间电场强度E＝＝＝，其与Q有关，与d无关，电荷量不变，则极板间电场强度不变，C错误；移动极板的过程中需要克服电场力做功，电容器储存的能量增大，D正确。
【例2】 B　根据题图a可知，降低溶液的浓度时，该不导电溶液的相对介电常数εr增大，结合电容的决定式C＝可知，电容器的电容增大，A错误；电容器一直与恒压电源相连，则电容器两极板之间的电势差不变，C错误；根据电容的定义式C＝结合A、C项分析可知，电容器所带的电荷量Q增大，则溶液浓度降低过程中，电容器充电，电路中的电流方向为N→M，B正确，D错误。
考点二
【例3】 D　质子加速过程中，电场力对质子做正功，质子的电势能减小，A错误；质子受到的电场力为F＝Eq＝1.3×105×1.6×10－19 N＝2.08×10－14 N，B错误；质子的加速度为a＝＝ m/s2≈1.25×1013 m/s2，根据v＝at得，加速时间t＝8×10－7 s，C错误；根据v2＝2ax得，加速的直线长度x＝4 m，D正确。
【例4】 C　根据动能定理，从金属板M上逸出的光电子到达N板的过程中有eU＝Ekm－m，则到达N板时的动能为Ekm＝eU＋m，与两极板间距无关，与电子从金属板中逸出的方向无关，选项A、B错误；平行极板M射出的电子到达N板时在y方向的位移最大，则电子从M到N过程中y方向最大位移为y＝vmt，d＝·t2，解得y＝vmd，选项C正确；M、N间加反向电压电流表示数恰好为零时，则eUc＝m，解得Uc＝，选项D错误。
考教衔接
　v＝2.1×106 m/s
考点三
【例5】 D　加速度为a＝，由于带电粒子都是质子，比荷相同，所以加速度相同，故A错误；质子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则偏转距离y＝at2，质子的加速度相同，由图看出，y相同，则运动时间相同，故B错误；静电力做功为W＝qEy，所以两次静电力做功相同，电势能的增量相同，由动能定理可知，两次动能的增量相同，故C错误，D正确。
【例6】 （1）205 V　（2）0.055 m
解析：（1）要使电子束打在荧光屏上偏转距离最大，电子经偏转电场后必须从下极板边缘出来。
在加速电场中，由动能定理得eU1＝
电子进入偏转电场的初速度v0＝
电子在偏转电场中的飞行时间t1＝
电子在偏转电场中的加速度a＝＝
电子从下极板边缘出来，则有
＝a＝＝
解得U2＝U1＝205 V。
（2）电子束打在荧光屏上最大偏转距离y＝＋y2
电子离开偏转电场时垂直极板方向的分速度
vy＝at1＝
电子从离开偏转电场到达荧光屏经过的时间t2＝
则y2＝vyt2＝＝＝0.05 m
所以电子到达荧光屏时的最大偏转距离y＝＋y2＝0.055 m。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 （1）　（2）2m（＋g2t2）
解析：（1）设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma ①
a＝gt2 ②
联立①②式得E＝。 ③
（2）设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有mgh＋qEh＝Ek－m ④
且有v1·＝v0t ⑤
h＝gt2 ⑥
联立③④⑤⑥式得Ek＝2m（＋g2t2）。
【典例2】 BD　设微粒射入偏转电场的速度为v0，微粒在偏转电场中上升阶段，水平方向做匀速运动，有2L＝v0cos 45°·t，竖直方向做匀减速运动，有d＝ t，得L∶d＝1∶1，A错误；微粒经电压U1加速，由动能定理得qU1＝ m－0，微粒从一开始静止到在平行板电容器中的最高点，根据动能定理有qU1－q ＝m（v0cos 45°）2－0，得U1∶U2＝1∶1，B正确；设微粒射出平行板电容器时速度与水平方向间的夹角为θ，从最高点到射出，微粒做类平抛运动，根据平抛运动推论及匀变速直线运动推论，有tan θ＝＝＝，则穿过电容器的偏转角正切值tan（45°＋θ）＝＝3，C错误；以最高点为坐标原点，向左为x轴正方向，向下为y轴正方向建立坐标系，y＝×＝，可得微粒轨迹与质量、电荷量无关，D正确。
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第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
电容器
1. 电容器
（1）组成：由两个彼此 又相互靠近的导体组成。
（2）带电荷量：一个极板所带电荷量的 。
（3）充电与放电
绝缘　
绝对值　
①充电：电容器充电的过程中，两极板的电荷量增加，极板间的电场强度
增大，电源的能量不断储存在电容器中。
②放电：放电的过程中，电容器把储存的能量通过电流做功转化为电路中
其他形式的能量。
2. 电容
（1）定义：电容器所带的 与电容器两极板之间的
的比值。
（2）定义式：C＝ 。
（3）单位：法拉（F）、微法（μF）、皮法（pF）。1 F＝ μF
＝ pF。
（4）意义：表示电容器 本领的高低。
电荷量Q　
电势差
U　
　
106　
1012　
容纳电荷　
3. 平行板电容器的电容
（1）决定因素：正对面积、相对 、两板间的 。
（2）决定式：C＝ ，k为静电力常量。
介电常数　
距离　
　
带电粒子在电场中的运动
1. 带电粒子在电场中的加速运动
（1）用动力学观点分析（只适用于匀强电场）
a＝，E＝，v2－＝ 。
（2）用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝ 。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
2ad　
mv2－m　
2. 带电粒子在匀强电场中的偏转运动（v0⊥E）
（1）沿初速度方向做匀速直线运动：t＝ （如图所示）。
（2）沿静电力方向做初速度为零的匀加速直线运动：
①加速度：a＝＝＝ 　　。
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ 　　。
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝＝ 　　。
　
　
　
　
3. 示波管
（1）构造： 、 电极、荧光屏。
（2）原理：带电粒子在电场中的加速和偏转。
电子枪　
偏转　
1. 电容器的电荷量等于两个极板所带电荷量绝对值的和。 （　×　）
2. 电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电压成反比。
（　×　）
3. 放电后电容器的电荷量为零，电容为零。 （　×　）
4. 带电粒子在匀强电场中可能做匀加速直线运动。 （　√　）
5. 带电粒子以初速度v0进入匀强电场中一定做类平抛运动。 （　×　）
×
×
×
√
×
1. 〔多选〕（人教版必修第三册P43“练习与应用”T2改编）关于电容器
的电荷量Q、电压U、电容C之间的相互关系，下列图像正确的是（　　）
解析： 　根据电容器定义式C＝可知，电容器所带的电荷量Q与电容
器两极板之间的电势差U成正比，故C正确；电容C的大小由电容器本身的
因素决定，与Q、U无关，故A错误，B、D正确。
√
√
√
2. （2024·江西高考1题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的
气体状物质，将其置于电压恒定的两平行金属板间，板间电场视为匀强电
场，如图所示。若两金属板间距减小，关于火焰中电子所受的电场力，下
列说法正确的是（　　）
A. 电场力增大，方向向左
B. 电场力增大，方向向右
C. 电场力减小，方向向左
D. 电场力减小，方向向右
√
解析： 　 B正确。
3. （人教版必修第三册P49“练习与应用”T3）先后让一束电子和一
束氢核通过同一对平行板形成的偏转电场，进入时速度方向与电场方
向垂直。在下列两种情况下，分别求出电子偏转角的正切与氢核偏转
角的正切之比。
（1）电子与氢核的初速度相同；
答案： 　
（2）电子与氢核的初动能相同。
答案： 1
解析：设偏转电压为U，带电粒子的电荷量为q，质量为m，垂直进入偏转
电场的速度为v0，偏转电场两极板间距离为d，极板长为l，则粒子在偏转
电场中的加速度a＝，在偏转电场中运动的时间为t＝，粒子离开偏转
电场时沿静电力方向的速度vy＝at＝，粒子离开偏转电场时速度方向的
偏转角的正切值tan θ＝＝。
（1）若电子与氢核的初速度相同，则＝。
（2）若电子与氢核的初动能相同，则＝1。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　平行板电容器的动态分析
　平行板电容器的动态分析思路
（2024·浙江6月选考6题）图示是“研究电容器两极板间距对电容大
小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角
增大，则（　　）
A. 极板间电势差减小 B. 电容器的电容增大
C. 极板间电场强度增大 D. 电容器储存能量增大
√
解析：静电计指针张角增大，说明极板间电势差增大，A错误；由C＝
可知，当极板间距增大时，电容器的电容减小，B错误；极板间电场强度E
＝＝＝，其与Q有关，与d无关，电荷量不变，则极板间电场强度
不变，C错误；移动极板的过程中需要克服电场力做功，电容器储存的能
量增大，D正确。
（2024·吉林高考5题）某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的
关系曲线如图a所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒
压电源、电流表等构成如图b所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓
度，则（　　）
A. 电容器的电容减小
B. 电容器所带的电荷量增大
C. 电容器两极板之间的电势差增大
D. 溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
√
解析：根据题图a可知，降低溶液的浓度时，该不导电溶液的相对介电常数
εr增大，结合电容的决定式C＝可知，电容器的电容增大，A错误；电
容器一直与恒压电源相连，则电容器两极板之间的电势差不变，C错误；
根据电容的定义式C＝结合A、C项分析可知，电容器所带的电荷量Q增
大，则溶液浓度降低过程中，电容器充电，电路中的电流方向为N→M，B
正确，D错误。
　〔多选〕如图所示的电路中，闭合开关，待电路稳定后，可看成质点的带电小球恰好静止在平行板电容器之间的M点，其中二极管可视为理想二极管，下列说法正确的是（　　）
A. 向右移动R3的滑片，小球向下移动
B. 向右移动R1的滑片，小球的电势能将减小
C. 向下移动电容器的下极板，二极管右端电势高于左端电势
D. 断开S后，紧贴电容器的上极板附近插入金属板，M点的电势将升高
√
√
解析： 　向右移动R3的滑片，电容器两端电压不变，两极板之间的电场
强度不变，因此小球仍静止不动，A错误；向右移动R1的滑片，R2两端电
压增大，电容器两端电压增大，两极板之间的电场强度增大，小球受到的
静电力增大，小球将向上运动，静电力做正功，小球的电势能减小，B正
确；向下移动电容器的下极板，电容器极板间距d增大，根据C＝，C
＝，可知C减小，若U不变时，Q将减小，但由于二极管的存在，电容器
无法放电，所以Q不变，U增大，二极管右端电势高于左端电势，C正确；
断开S后，紧贴电容器的上极板附近插入金属板，电容器极板间距d减小，
根据C＝，C＝，E＝可得E＝，可知极板间电场强度不变，M点
到下极板间距不变，电势差不变，因此M点电势不变，D错误。
考点二　带电粒子（体）在电场中的直线运动
1. 带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理
基本 粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示以外，一
般都不考虑重力（但并不忽略质量）
带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以
外，一般都不能忽略重力
2. 带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法
（2025·安徽黄山八校联考）当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进
行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加
速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1.0×107 m/s。已知加速电场
的场强为1.3×105 N/C，质子的质量为1.67×10－27 kg，电荷量为1.6×10
－19 C，则下列说法正确的是（　　）
A. 加速过程中质子电势能增加
B. 质子所受到的电场力约为2×10－15 N
C. 质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D. 加速器加速的直线长度约为4 m
√
解析：质子加速过程中，电场力对质子做正功，质子的电势能减小，A错
误；质子受到的电场力为F＝Eq＝1.3×105×1.6×10－19 N＝2.08×10－14
N，B错误；质子的加速度为a＝＝ m/s2≈1.25×1013 m/s2，根据
v＝at得，加速时间t＝8×10－7 s，C错误；根据v2＝2ax得，加速的直线长
度x＝4 m，D正确。
（2024·浙江1月选考11题）如图所示，金属极板M受到紫外线照射会
逸出光电子，最大速率为vm。正对M放置一金属网N，在M、N之间加恒定
电压U。已知M、N间距为d（远小于板长），电子的质量为m，电荷量为
e，则（　　）
A. M、N间距离增大时电子到达N的动能也增大
B. 只有沿x方向逸出的电子到达N时才有最大动能
C. 电子从M到N过程中y方向位移大小最大为vmd
D. M、N间加反向电压时电流表示数恰好为零
√
解析：根据动能定理，从金属板M上逸出的光电子到达N板的过程中有eU
＝Ekm－m，则到达N板时的动能为Ekm＝eU＋m，与两极板间距无
关，与电子从金属板中逸出的方向无关，选项A、B错误；平行极板M射出
的电子到达N板时在y方向的位移最大，则电子从M到N过程中y方向最大位
移为y＝vmt，d＝·t2，解得y＝vmd，选项C正确；M、N间加反向电
压电流表示数恰好为零时，则eUc＝m，解得Uc＝，选项D错误。
（本题取材于人教版必修第三册“练习与应用”P49，T2）
图10.5-7
某种金属板M受到一束紫外线照射时会不停地发射电子，
射出的电子具有不同的方向，速度大小也不相同。在M
旁放置一个金属网N。如果用导线将M、N连起来，从M
射出的电子落到N上便会沿导线返回M，从而形成电流。
现在不把M、N直接相连，而按图10.5-7那样在M、N之
间加电压U，发现当U＞12.5 V时电流表中就没有电流。
问：被这束紫外线照射出的电子，最大速度是多少？
答案：v＝2.1×106 m/s
　〔多选〕如图所示，一质量为m、电荷量为＋q的小球在电场强度为E、
区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON在竖直面内做匀变速直线运
动。ON与水平面的夹角为30°，重力加速度为g，且mg＝Eq，则（　　）
A. 电场方向垂直于ON向上
B. 小球运动的加速度大小为g
C. 小球上升的最大高度为
D. 小球运动到最高点所需时间为
√
√
解析： 　由于带电小球在竖直面内做匀变速直线运动，
其合力沿ON方向，而mg＝qE，由三角形定则可知，电
场方向与ON方向成120°角，选项A错误；由图中几何
关系可知，其合力为mg，由牛顿第二定律可知a＝g，方向与初速度方向相反，选项B正确；设带电小球上升的最大高度为h，由动能定理可得－mg·2h＝0－m，解得h＝，选项C正确；小球运动到最高点所需时间为t＝＝，选项D错误。
考点三　带电粒子在电场中的偏转
1. 带电粒子在电场中的偏转规律
2. 两个重要结论
（1）速度偏角正切值tan θ是位移偏角正切值tan α的2倍。
（2）粒子经电场偏转后射出时，瞬时速度的反向延长线与初速度延长线
的交点为粒子水平位移的中点，即该交点到偏转电场边缘的距离为。
3. 利用功能关系分析带电粒子的偏转
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解，qUy＝mv2－
m，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。
（2025·江苏无锡高三期末）如图所示，让两质子先、后以不同初速
度从同一位置垂直射入一平行板电容器（两板间电压恒定），质子分别沿
a、b轨迹落到极板上，则质子沿b轨迹运动时（　　）
A. 加速度更大
B. 运动时间更长
C. 动能增量更大
D. 电势能增量与沿a轨迹运动时相同
√
解析：加速度为a＝，由于带电粒子都是质子，比荷相同，所以加速度相
同，故A错误；质子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则偏转
距离y＝at2，质子的加速度相同，由图看出，y相同，则运动时间相同，故
B错误；静电力做功为W＝qEy，所以两次静电力做功相同，电势能的增量
相同，由动能定理可知，两次动能的增量相同，故C错误，D正确。
（2025·华中师大附中期末）示波器的示意图如图所示，金属丝发射
出来的电子（带电荷量为e，质量为m）被加速后从金属板的小孔穿出，进
入偏转电场。电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上。设
加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长l＝4 cm，偏转极板间距d＝1 cm，当电
子加速后从两偏转极板的正中央沿与板平行的方向进入偏转电场。
（1）偏转电压U2为多大时，电子束打在荧光屏上偏转距离最大？
（2）如果偏转极板右端到荧光屏的距离L＝20 cm，则电子到达荧光屏时
最大偏转距离y为多少？
解题指导 （1）电子从偏转电场射出后沿着射出方向做匀速直线运动至打
到荧光屏上。
（2）电子束打在荧光屏上偏转距离最大的条件是：电子经偏转电场后必
须从下极板边缘射出。
答案：（1）205 V　（2）0.055 m
解析：（1）要使电子束打在荧光屏上偏转距离最大，电子经偏转电场后
必须从下极板边缘出来。
在加速电场中，由动能定理得eU1＝
电子进入偏转电场的初速度v0＝
电子在偏转电场中的飞行时间t1＝
电子在偏转电场中的加速度a＝＝
电子从下极板边缘出来，则有
＝a＝＝
解得U2＝U1＝205 V。
（2）电子束打在荧光屏上最大偏转距离y＝＋y2
电子离开偏转电场时垂直极板方向的分速度
vy＝at1＝
电子从离开偏转电场到达荧光屏经过的时间t2＝
则y2＝vyt2＝＝＝0.05 m
所以电子到达荧光屏时的最大偏转距离y＝＋y2＝0.055 m。
　（2025·广东珠海模拟）如图，氕核、氘核、氚核三种粒子从S点无初速
释放。经电压为U1的加速电场加速后，又进入电压为U2的偏转电场偏转，
最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，则
（　　）
A. 三种粒子将打到屏上的不同位置
B. 偏转电场对三种粒子做功一样多
C. 三种粒子打到屏上的动能不同
D. 三种粒子运动到屏上所用时间相同
√
解析： 　粒子在加速电场中加速，由动能定理可知qU1＝m－0，解得
v0＝，粒子在加速电场中的运动时间t1＝＝2L1；粒子在偏转
电场中做类平抛运动，运动时间t2＝＝L2；在偏转电场中竖直分位
移y＝a2＝··；联立解得y＝，y与q、m无关，所以三种粒
子在偏转电场中轨迹重合，离开偏转电场后粒子做匀速直线运动，因此三
种粒子一定打到屏上的同一位置；加速电场对粒子做功为W1＝qU1，q和U1
相等，所以加速电场U1对三种粒子做功相等。
偏转电场U2对粒子做功W2＝qy，q、U2、d、y相等，则知偏转电场U2对
三种粒子做功相等，故A错误，B正确。对整个过程，根据动能定理得W＝
mv2，由于W相等，所以三种粒子达到屏上的动能相同，故C错误。离开偏
转电场后粒子的运动时间t3＝＝L3；粒子运动到屏上所用时间t＝t1
＋t2＋t3＝（2L1＋L2＋L3）；因为不等，所以t不等，故D错误。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
带电粒子（体）在匀强电场中的类抛体运动
1. 类抛体运动
（1）如果带电体的初速度方向与“等效重力”方向垂直，则带电体做类
平抛运动。
（2）如果带电体的初速度方向与“等效重力”方向成某一锐角或钝角，
则带电体做类斜抛运动。
2. 处理方法：与处理平抛运动、斜抛运动的方法相同。
（1）利用运动的合成与分解的方法分析解决。
（2）利用动能定理等功能观点分析解决。
（2025·重庆一中月考）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、
P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m
的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q（q＞0）。A从O点发射时的速度大
小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度
为g，求：
（1）电场强度的大小；
答案： 　
解析： 设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第
二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma　①
a＝gt2　②
联立①②式得E＝。　③
解析： 设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P
两点的高度差为h，根据动能定理有mgh＋qEh＝Ek－m　④
且有v1·＝v0t　⑤
h＝gt2　⑥
联立③④⑤⑥式得Ek＝2m（＋g2t2）。
（2）B运动到P点时的动能。
答案： 2m（＋g2t2）
〔多选〕（2023·湖北高考10题）一带正电微粒从静止开始经电压
U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时
紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到
极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。
忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（　　）
A. L∶d＝2∶1
B. U1∶U2＝1∶1
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
√
√
解析：设微粒射入偏转电场的速度为v0，微粒在偏转电场中上升阶段，水
平方向做匀速运动，有2L＝v0cos 45°·t，竖直方向做匀减速运动，有d＝
t，得L∶d＝1∶1，A错误；微粒经电压U1加速，由动能定理得
qU1＝ m－0，微粒从一开始静止到在平行板电容器中的最高点，根据
动能定理有qU1－q ＝m（v0cos 45°）2－0，得U1∶U2＝1∶1，B正确；
设微粒射出平行板电容器时速度与水平方向间的夹角为
θ，从最高点到射出，微粒做类平抛运动，根据平抛运
动推论及匀变速直线运动推论，有tan θ＝＝＝，则
穿过电容器的偏转角正切值tan（45°＋θ）＝＝3，C错误；以最高点为坐标原点，向左为x轴正方向，向下为y轴正方向建立坐标系，y＝×＝，可得微粒轨迹与质量、电荷量无关，D正确。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
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1. （2025·江苏海安高级中学期中）超级电容的容量比通常的电容器大得
多，其主要优点是高功率脉冲应用和瞬时功率保持，具有广泛的应用前
景。如图所示，某超级电容标有“2.7 V　100 F”字样，将该电容器接在
电动势为1.5 V的干电池两端，则电路稳定后该电容器的负极板上所带的电
荷量为（　　）
A. －150 C B. －75 C
C. －270 C D. －135 C
√
解析： 　根据C＝可知电容器所带的电荷量为Q＝CU＝100×1.5 C
＝150 C，则电路稳定后该电容器的负极板上所带的电荷量为－150
C，故选A。
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2. （2025·山东潍坊模拟）心脏除颤器是目前临床上广泛使用的抢救设备
之一，如图甲所示。心脏除颤器通过接触皮肤的电极板使电容器放电，实
施电击治疗，如图乙。已知某款心脏除颤器，在短于一分钟内使电容器充
电到4 000 V，存储电荷量为0.16 C。抢救病人时，电极板放电，使一部分
电荷在4 ms的脉冲时间内经过身体。下列说法正确的是（　　）
A. 电容器充电至4 000 V时，电容为20 μF
B. 电容器放电过程中电容减小
C. 电容器充电至2 000 V时，所带电荷量
为0.08 C
D. 电容器放电过程中电流恒定
√
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解析： 　电容器充电至4 000 V时，电容为C＝＝ F＝40 μF，故A错
误；电容由电容器本身决定，不随电压、电荷量的变化而变化，即电容保
持不变，故B错误；电容器充电至2 000 V时，所带电荷量为Q'＝CU'＝
40×10－6×2 000 C＝0.08 C，故C正确；电容器放电过程中，电荷量减
少，电容器两极板间电势差减小，电流减小，故D错误。
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3. （2025·内蒙古巴彦淖尔高三期末）电容位移传感器具有灵敏度高的优
点，某电容位移传感器的工作原理可简化为如图所示的装置，电容器接在
恒压直流电源上，其中A是固定极板，B是可动极板，B与被测物体连接在
一起，G 为灵敏电流计，当被测物体水平向左移动时，下列说法正确的
是（　　）
A. 电容器的电容变小
B. 极板间的电场强度变大
C. 电容器所带的电荷量减少
D. 灵敏电流计中有从a到b方向的放电电流
√
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解析： 　电容器接在恒压直流电源上，则电容器两端电压不变，当被测
物体水平向左移动时，根据C＝，C＝，可知由于极板距离减小，则
电容器的电容变大，电容器所带的电荷量增加，灵敏电流计中有从b到a方
向的充电电流；根据E＝，可知极板间的电场强度变大。故选B。
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4. （2025·宁夏银川模拟）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏
转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示
波管中的（　　）
A. 极板X应带正电，极板Y应带正电
B. 极板X'应带正电，极板Y'应带正电
C. 极板X 应带正电， 极板Y应带负电
D. 极板X'应带正电，极板Y'应带负电
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解析： 　根据亮斑的位置可知电子在偏转电极间的电场中分别向X极和Y
极偏转，所以电子在两个电场中受到静电力的方向应分别朝向X极和Y极，
所以极板X和极板Y都应带正电。故选A。
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5. （2025·江苏南通期末考试）如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两
块平行金属板。质量为m、电荷量为q的带负电的粒子（不计重力）以初速
度v0由小孔水平射入电场，当M、N间的电压为U时，粒子刚好能到达N
板。如果要使这个带电粒子到达M、N两板中线位置处即返回，则下述措
施能满足要求的是（　　）
A. 使初速度减小为原来的
B. 使M、N间的电压提高到原来的4倍
C. 使M、N间的电压加倍
D. 使初速度减小为原来的，同时M、N间的电压加倍
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解析： 　粒子从进入电场到到达N板的过程中，板间的电场强度为E＝
，由动能定理得－qEd＝0－m，解得d＝，设带电粒子离开M板
的最远距离为x，则若使初速度减为原来的，根据动能定理有－qEx＝0－
m，解得x＝，故A错误；若电压提高到原来的4倍，则电场强度也
变为原来的4倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x1，根据动能定理有－
q·4Ex1＝0－m，解得x1＝，故B错误；同理，若电压提高到原来的2
倍，则电场强度也变为原来的2倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x2，
根据动能定理有－q·2Ex2＝0－m，解得x2＝，故C正确；若初速度减少一半，电压加倍，则电场强度加倍，设带电粒子离开M板的最远距离为x3，根据动能定理有－q·2Ex3＝0－m，解得x3＝，故D错误。
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6. （2025·河北石家庄市二模）某种负离子空气净化
器的原理如图所示，由空气和带一价负电的灰尘颗粒
组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。
在收集器中，带电颗粒入射时的最大动能为4×106 eV，
金属板的长度为L，金属板的间距为d，且L＝100d。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，不考虑重力影响和颗粒间的相互作用。要使得
全部颗粒被收集，两极板间的电势差至少为（　　）
A. 1 600 V B. 800 V
C. 400 V D. 200 V
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解析： 　只要紧靠上极板的颗粒能够落到下极板右侧，颗粒就能够全部
收集，水平方向有L＝v0t，竖直方向有d＝at2，qE＝ma，又E＝，联立解
得两金属板间的电压为U＝＝1 600 V，故选A。
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7. 〔多选〕（2025·浙江温州市一模）如图所示，加速电场的两极板P、Q
竖直放置，间距为d，电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置，两极
板长度及板间距均为L，电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与
偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度
进入加速电场，经过偏转电场，到达探测器（探测器可上下移动）。整个
装置处于真空环境，且不计离子重力。下列说法正确的是（　　）
A. 离子在加速电场中运动时间为d
B. 离子在M、N板间运动时间为L
C. 离子到达探测器的最大动能为q（U1＋U2）
D. 为保证离子不打在M、N极板上，U1与U2应满足的关系为U2＜2U1
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解析： 　离子在加速电场做匀加速直线运动，加速度为a1＝，由公
式d＝a1，得离子在加速电场中运动时间为t1＝d，故A错误；设离
子进入偏转电场的速度为v0，由动能定理有U1q＝m，离子在M、N板间
运动时间为t2＝，得t2＝L，故B正确；当离子打到M或N板时动能最
大，由动能定理有Ekm＝U1q＋q，故C错误；为保证离子不打在M、N极
板上，即离子在竖直方向的偏转位移应小于，有×＜，得U2＜
2U1，故D正确。
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8. （2024·吉林高考6题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力
和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿
虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O
点出发运动到与O点等高处的过程中（　　）
A. 动能减小，电势能增大 B. 动能增大，电势能增大
C. 动能减小，电势能减小 D. 动能增大，电势能减小
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解析： 　根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场
力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小
球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为
锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。
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9. （2025·黑龙江哈尔滨三中月考）如图所示，在长为2L、宽为L的矩形区
域ABCD内有电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、
电荷量为q的带负电的质点，以平行于AD的初速度从A点射入该区域，结果
该质点恰能从C点射出。（已知重力加速度为g）
（1）求该质点从A点进入该区域时的初速度v0。
答案： 　
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解析： 质点在水平方向做匀速直线运动，有2L＝v0t，在竖直方向做
匀加速直线运动，有mg－qE＝ma，质点恰好能从C点射出，有L＝at2，联
立解得v0＝。
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（2）若P、Q分别为AD、BC边的中点，现将PQCD区域内的电场撤去，则
该质点的初速度v0为多大时仍能从C点射出？
答案：
解析：在ABQP区域，质点在水平方向做匀速直线运动，有L＝v0t1，在
竖直方向有y1＝a，v1＝at1，在PQCD区域，在水平方向有L＝v0t2，在
竖直方向有y2＝v1t2＋g，质点恰好从C点射出，则y1＋y2＝L，联立解得
v0＝。
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10. 如图所示，一静止的电子经过电压为U的电场加速后，立即从A点射入
匀强电场中，射入方向与匀强电场的方向垂直，最终电子从B点离开电
场。已知匀强电场的电场强度大小为E，宽度为L，方向竖直向上，电子的
电荷量为e，质量为m，重力忽略不计。
（1）求电子在匀强电场中的偏转距离。
答案： 　
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解析： 电子在加速电场中加速，由动能定理得eU＝m，解得v0＝
，
设电子在匀强电场中的偏转距离为y，根据类平抛运动规律可得L＝v0t，y
＝at2，
由牛顿第二定律得a＝，解得y＝。
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（2）若仅将加速电场的电压提高为原来的2倍，使电子仍经过B点，求匀强电场的电场强度E1。
答案： 2E
解析：由（1）可得电子在匀强电场中有x＝v1t1，y＝a1，
在加速电场中有eU1＝m，
由牛顿第二定律得eE1＝ma1，
联立解得E1＝，
根据题意可知x、y均不变，当加速电场的电压增大到原来的2倍，匀强电场
的场强也增大为原来的2倍，即E1＝2E。
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11. 将一个质量为m，带电荷量为＋q的微粒自A点以大小为4v的初速度垂
直射入水平向右的匀强电场（如图所示），微粒运动到最高点B时速度变
为3v，求：
（1）匀强电场的场强大小E；
答案： 　
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解析： 若自A点至B点所用的时间为t1，微粒在水平方向的加速度为
a，则
竖直方向，有0＝4v－gt1
水平方向，有Eq＝ma，3v＝at1
联立得E＝。
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（2）A、B两点间电势差UAB；
答案： 　
解析：若A、B间竖直高度差为h1，则0－（4v）2＝－2gh1
－mgh1＋qUAB＝m（3v）2－m（4v）2
解得UAB＝。
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（3）微粒自A点至B点过程中速度的最小值。
答案： v
解析：微粒速度与合力之间的夹角先为钝角，后为锐角，当二者垂直时，
速度最小，若从A点到微粒速度最小时间为t2，速度最小时速度的水平分量
为vx，竖直分量为vy，则
vx＝at2，vy＝4v－gt2，且＝
联立解得t2＝
vmin＝
解得vmin＝v。
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