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重难突破13　带电粒子在叠加场中的运动
1.（2025·广东茂名期中）速度选择器是质谱仪的重要组成部分，工作时电场和磁场联合作用，从各种速率的带电粒子中选择出具有一定速率的粒子。下列结构能成为速度选择器的是（　　）
2.（2025·江苏南京期中）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（　　）
A.如图甲所示的速度选择器能使速度大小v＝的粒子沿直线匀速通过，但与粒子的带电性质、带电荷量及速度方向无关
B.如图乙所示的磁流体发电机正常工作时电流方向为a→R→b，电阻R两端的电势差等于发电机的电动势
C.图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S3，粒子的比荷越小
D.图丁为霍尔元件，若载流子带负电，稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势
3.（2025·江西上饶期末）如图所示，在以坐标原点O为圆心的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P点射出，若仅撤去磁场，带电粒子经射出半圆形区域，不计粒子受到的重力，匀强磁场的磁感应强度大小为（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
4.〔多选〕（2025·黑龙江哈尔滨期末）一带电小球在相互垂直的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，匀强电场竖直向上，匀强磁场水平且垂直纸面向里，如图所示，下列说法正确的是（　　）
A.沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向
B.小球一定带正电且小球的电荷量q＝
C.由于合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变
D.由于洛伦兹力不做功，故小球在运动过程中机械能守恒
5.（2025·北京海淀模拟）磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体（含有大量正、负带电粒子）垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。稳定时两板间等离子体有电阻。忽略边缘效应，下列判断正确的是（　　）
A.上板为负极
B.上、下两极板间的电压U＝Bvd
C.等离子体浓度越高，电动势越大
D.垂直两极板方向（即上、下方向）等离子体离子受洛伦兹力（分力）和静电力平衡
6.（2024·江西高考7题）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图a所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当I＝1.00×10－3 A时，测得U-B关系图线如图b所示，元电荷e＝1.60×10－19 C，则此样品每平方米载流子数最接近（　　）
A.1.7×1019 B.1.7×1015
C.2.3×1020 D.2.3×1016
7.（2025·河北石家庄模拟）某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下。污水（含有大量的正、负离子）充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端的电压为U，显示仪器显示污水流量为Q（单位时间内排出的污水体积）。则（　　）
A.a侧电势比c侧电势低
B.污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大
C.污水流量Q与U成正比，与L、D无关
D.匀强磁场的磁感应强度B＝
8.（2025·北京清华附中质检）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧，则（　　）
A.粒子在y轴方向做匀加速运动
B.粒子在最高点P的速度大小为
C.磁场的磁感应强度大小为
D.磁场的磁感应强度大小为
9.（2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求：
（1）电场强度的大小和P点距y轴的距离；
（2）小球第一次到达最低点时速度的大小；
（3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
重难突破13　带电粒子在叠加场中的运动
1.B　A项中从入口射入的带正电荷的粒子受向上的静电力和向上的洛伦兹力，粒子向上偏转，则该结构不能成为速度选择器，故A错误；B项中从入口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向上的洛伦兹力，当二力大小相等时粒子沿直线从出口射出，则该结构能成为速度选择器，故B正确；C项中从入口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向下的洛伦兹力，粒子向下偏转，则该结构不能成为速度选择器，故C错误；D项中从入口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向下的洛伦兹力，粒子向下偏转，则该结构不能成为速度选择器，故D错误。
2.D　对A，电场的方向与B的方向垂直，带电粒子从左端进入复合场，受静电力和洛伦兹力，且二力是平衡力，即qE＝qvB，解得v＝，可知不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以与粒子的带电性质及带电荷量无关，但当带电粒子从右端进入时，所受静电力与洛伦兹力方向相同，粒子不能匀速直线通过。可见与速度方向有关，故A错误；对B，由左手定则知正离子向上偏转，负离子会向下偏转，所以P板是电源正极，Q板是电源负极，正常工作时电流方向为a→R→b，但电路工作时等离子体也有电阻，故电阻R两端的电势差等于发电机的路端电压，小于电动势，故B错误；对C，粒子先经过加速电场，然后进入速度选择器，从S3射入磁场时的速度相同，进入磁场后，根据公式qvB2＝m，得r＝，故粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S3，则r越小，比荷越大，故C错误；对D，若载流子带负电，由左手定则可知，负粒子向左端偏转，所以稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势，故D正确。
3.D　设粒子带正电，半圆形区域的半径为R，粒子射入时的速度大小为v，粒子能从P点射出，说明其受到的静电力和洛伦兹力相互平衡，则有qE＝qvB，R＝vt0，撤去磁场后，粒子沿y轴方向做匀速运动，经射出半圆形区域，则y方向位移为0.5R，由几何关系可知粒子从处离开半圆形区域，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，有＝，联立解得B＝，故D正确。
4.ABC　带电小球在正交场中做匀速圆周运动，则向下的重力和向上的静电力平衡，可知小球带正电，由左手定则可知，沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向，根据qE＝mg，可知，小球的电荷量q＝，选项A、B正确；由于静电力和重力平衡，则两力的合力做功为零，洛伦兹力不做功，则合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变，选项C正确；洛伦兹力不做功，但是除重力以外还有静电力做功，故小球在运动过程中机械能不守恒，选项D错误。
5.A　大量带正电和带负电的离子向右进入磁场时，由左手定则可以判断正离子受到的洛伦兹力向下，所以正离子会聚集到下极板上，负离子受到的洛伦兹力向上，负离子聚集到上极板上，故上极板为负极，故A正确；设电动势为E，根据qvB＝q得E＝Bdv，磁流体发电机具有内阻，上下极板两端为路端电压，故U＜Bdv，故B错误；由表达式E＝Bdv可知，电动势与等离子体的浓度无关，故C错误；垂直两极板方向等离子体离子由于电能的消耗，部分正离子向下极板运动，部分负离子向上极板运动，此时离子所受洛伦兹力大于静电力，故D错误。
6.D　设样品每平方米载流子（电子）数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量q＝nevtb，根据电流的定义式得I＝＝nevb，当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有e＝evB，联立解得U＝B，结合题图b可知k＝＝ V/T，解得n＝2.3×1016，D正确。
7.D　污水中正、负离子从左向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向后表面偏转，负离子向前表面偏转，所以a侧电势比c侧电势高，故A错误；最终正、负离子会在静电力和洛伦兹力作用下处于平衡状态，有qE＝qvB，可得＝vB，则污水流量Q＝＝·＝，可知Q与U、D成正比，与L无关，显示仪器的示数与离子浓度无关，匀强磁场的磁感应强度B＝，故D正确，B、C错误。
8.C　对粒子受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y轴方向的分力是变化的，故粒子在y轴方向的合力是变化的，加速度也是变化的，A错误；从O到P，洛伦兹力不做功，由动能定理得qEh＝m，解得vP＝，B错误；粒子经过最高点时，洛伦兹力和静电力的合力提供向心力，即qvPB－qE＝m，联立解得B＝，C正确，D错误。
9.（1）　　（2）（1＋）v0　（3）
解析：（1）依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力做功为零，所以，电场力与重力等大反向，可得qE＝mg
解得E＝
可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图
根据qv0B＝m
解得r＝
由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30°
联立，解得xP＝。
（2）把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg，小球沿x轴正方向做匀速直线运动，与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝（1＋）v0。
（3）由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图所示
由几何关系，可得小球从过坐标原点到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t＝T
根据q·v0·B＝m
又T＝
联立，解得t＝。
3 / 3　带电粒子在叠加场中的运动
突破点一　带电粒子（体）在叠加场中的运动
1.叠加场
在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等
〔多选〕（2025·福建泉州期末）如图，空间中存在沿水平方向且互相垂直的匀强磁场B和匀强电场E，一带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运动，则液滴（　　）
A.带负电
B.一定做匀速直线运动
C.可能做匀减速直线运动
D.电势能减小
尝试解答
〔多选〕（2024·安徽高考10题）
空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　）
A.油滴a带负电，所带电量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
尝试解答
（2025·四川宜宾模拟）
如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；
（2）油滴在P点得到的初速度大小；
（3）油滴在第一象限运动的时间。
尝试解答
突破点二　叠加场应用实例
速度选择器
1.原理
（1）平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直。（如图）
（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡，所以qvB＝qE，即v＝。
2.特点
（1）速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
（2）速度选择器具有单向性：粒子只能从一侧射入才可能做匀速直线运动，从另一侧射入则不能。
（2025·福建福州模拟）
一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响）（　　）
A.以速度射入的正电子e）
B.以速度v0射入的电子e）
C.以速度2v0射入的氘核H）
D.以速度4v0射入的α粒子He）
尝试解答
磁流体发电机
1.原理：
如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。
2.等效电源
（1）电动势正、负极：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B板是发电机的正极。
（2）电动势的大小：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝Bdv，则E＝U＝Bdv。
（3）等效内阻：r＝ρ（S为A、B平行金属板的面积）。
3.工作回路中的电流：I＝ 。
〔多选〕（2024·湖北高考9题）磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是（　　）
A.极板MN是发电机的正极
B.仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C.仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
尝试解答
电磁流量计
1.原理：
如图所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下会发生纵向偏转，使得a、b间出现电势差，形成电场。当自由电荷所受的静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间电势差就保持稳定，只要测得圆形导管直径d、平衡时a、b间电势差U 、磁感应强度B等有关量，即可求得液体流量Q（即单位时间流过导管某一横截面的导电液体的体积）。
2.四个关键关系
（1）导管的横截面积S＝ 。
（2）导电液体的流速v：自由电荷所受的静电力和洛伦兹力平衡时有qvB＝qE＝q ，可得v＝ 。
（3）液体流量Q＝Sv＝ ·＝ 。
（4）a、b电势高低关系：根据左手定则和平衡条件可得φa＜φb。
（2025·广东佛山模拟）医院常用到血流量计检查患者身体情况。某种电磁血流量计的原理可以简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间的电压稳定时测量值为U，流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（　　）
A.血液中负离子多时，M点的电势高于N点的电势
B.血液中正离子多时，M点的电势高于N点的电势
C.血液流量Q＝
D.电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
尝试解答
霍尔元件
1.霍尔效应：高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A'的电势低。
3.霍尔电压：导体中的自由电荷（电荷量为q）在洛伦兹力作用下偏转，A、A'间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A'间的电势差（U）就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝＝k，k＝，称为霍尔系数。
〔多选〕（2025·四川绵阳模拟）如图所示是利用霍尔效应测量磁场的传感器，由运算芯片LM393和霍尔元件组成，LM393输出的时钟电流（交变电流）经二极管整流后成为恒定电流I从霍尔元件的A端流入，从F端流出。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面水平向左，测得C、D两端间电压为U。已知霍尔元件的载流子为自由电子，单位体积的自由电子数为n，电子的电荷量为e，霍尔元件沿AF方向的长度为d1，沿C、D方向的宽度为d2，沿磁场方向的厚度为h，下列说法正确的是（　　）
A.C端的电势高于D端
B.若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将增大
C.自由电子的平均速率为v＝
D.可测得此时磁感应强度B＝
尝试解答
重难突破13　带电粒子在叠加场中的运动
【着眼“四翼”·探考点】
突破点一
【例1】 BD　带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运动，由于洛伦兹力会随速度变化而变化，所以带电液滴一定做匀速直线运动，则油滴的受力如图所示，由于静电力与电场方向相同，所以液滴带正电，故B正确，A、C错误；由于静电力对带电液滴做正功，可知带电液滴的电势能减小，故D正确。
【例2】 ABD　油滴a做圆周运动，故其所受的重力与电场力平衡，可知油滴带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝＝，周期为T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。
【例3】 （1）1∶1∶　油滴带负电荷　（2）4 m/s
（3）0.828 s
解析：（1）对油滴受力分析及作出油滴的运动轨迹如图所示。根据油滴受力平衡可知油滴带负电荷，设油滴质量为m，由平衡条件得mg∶qE∶F＝1∶1∶。
（2）由第（1）问得qvB＝qE，
解得v＝＝4 m/s。
（3）进入第一象限，电场力和重力平衡，可知油滴先做匀速直线运动，进入y≥h的区域后做匀速圆周运动，最后从x轴上的N点离开第一象限。
油滴由O→A做匀速运动的位移为
s1＝＝h，
其运动时间t1＝＝0.1 s，
由qvB＝m，T＝得T＝
由mg＝qE，得＝，油滴从A→C做圆周运动的时间为t2＝T＝≈0.628 s，
由对称性知，油滴从C→N运动的时间t3＝t1，
所以油滴在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝0.828 s。
突破点二
【例4】 B　质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直线运动，质子将受到向上的洛伦兹力和竖直向下的静电力，满足qv0B＝qE，解得v0＝，即质子的速度满足速度选择器的条件，以速度射入的正电子e），所受的洛伦兹力小于静电力，正电子将向下偏转，故A错误；以速度v0射入的电子e），依然满足静电力等于洛伦兹力，做匀速直线运动，即速度选择器不选择电性而只选择速度，故B正确；以速度2v0射入的氘核H）和以速度4v0射入的α粒子He），其速度都不满足速度选择器的条件v0＝，所以都不能做匀速直线运动，故C、D错误。
【例5】 AC　由左手定则可知，带正电粒子在磁场中受到向上的洛伦兹力，带负电粒子在磁场中受到向下的洛伦兹力，则等离子体从左侧喷入磁场时，带正电粒子向上偏转，带负电粒子向下偏转，所以极板MN带正电，为发电机的正极，A正确；极板间的电压稳定后，对在极板间运动的某个带电粒子，有qE＝qvB，又U＝Ed，可得U＝vBd，所以仅增大两极板间的距离d，极板间的电压增大，B错误；仅增大等离子体的喷入速率v，极板间的电压增大，C正确；仅增大等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压不变，D错误。
【例6】 C　根据左手定则，水平向左入射的正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则正离子聚集在N点一侧，负离子聚集在M点一侧，则M点的电势低于N点的电势，A、B错误；正、负离子达到稳定状态时，离子所受洛伦兹力与电场力平衡，有qvB＝q，可得流速v＝，流量Q＝Sv＝·＝，C正确，D错误。
【例7】 AD　已知霍尔元件的载流子为自由电子，电流方向从A流向F，根据左手定则可得电子偏向D端，则C端的电势高于D端，故A正确；根据Bev＝，可得U＝Bd2v，若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将减小，故B错误；根据电流微观表达式I＝neSv，可得v＝＝，故C错误；由Bev＝，v＝，联立可得B＝，故D正确。
5 / 5(共54张PPT)
重难突破13 带电粒子在叠加场中的运动
高中总复习·物理
目 录
01
着眼“四翼”·探考点
02
培养“思维”·重落实
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
突破点一　带电粒子（体）在叠加场中的运动
1. 叠加场
在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。
2. 带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线
运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周
运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹
力提供向心力 牛顿第二定律、圆
周运动的规律
较复杂的
曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守
恒定律等
〔多选〕（2025·福建泉州期末）如图，空间中存在沿水平方向且互
相垂直的匀强磁场B和匀强电场E，一带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线
做直线运动，则液滴（　　）
A. 带负电 B. 一定做匀速直线运动
C. 可能做匀减速直线运动 D. 电势能减小
√
√
解析：带电液滴以一定速度沿斜向上的虚线做直线运
动，由于洛伦兹力会随速度变化而变化，所以带电液滴
一定做匀速直线运动，则油滴的受力如图所示，由于静
电力与电场方向相同，所以液滴带正电，故B正确，
A、C错误；由于静电力对带电液滴做正功，可知带电液滴的电势能减小，故D正确。
〔多选〕（2024·安徽高考10题）空间中存在竖直向下的匀强电场和
垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一
质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。
当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相
同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图
所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以
及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　）
A. 油滴a带负电，所带电量的大小为
B. 油滴a做圆周运动的速度大小为
C. 小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D. 小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
√
√
√
解析：油滴a做圆周运动，故其所受的重力与电场力平衡，可知油滴带负
电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv
＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确；
设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝＝，周期为T＝
＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。
（2025·四川宜宾模拟）如图所示，位于
竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间
有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大
小为B＝0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，
电场强度大小为E＝2 N/C。在其第一象限空间
有沿y轴负方向的、电场强度大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝
0.4 m的区域有磁感应强度也为B的、垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带
电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速
直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°），并从原点O进入第一象
限。已知重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小
之比，并指出油滴带何种电荷；
答案： 1∶1∶　油滴带负电荷　
解析： 对油滴受力分析及作出油滴的运动
轨迹如图所示。
根据油滴受力平衡可知油滴带负电荷，设油滴质
量为m，由平衡条件得mg∶qE∶F＝1∶1∶。
（2）油滴在P点得到的初速度大小；
答案： 4 m/s　
解析： 由第（1）问得qvB＝qE，
解得v＝＝4 m/s。
（3）油滴在第一象限运动的时间。
答案： 0.828 s
解析： 进入第一象限，电场力和重力平衡，可知油滴先做匀速直
线运动，进入y≥h的区域后做匀速圆周运动，最后从x轴上的N点离开
第一象限。
油滴由O→A做匀速运动的位移为
s1＝＝h，
其运动时间t1＝＝0.1 s，
由qvB＝m，T＝得T＝
由mg＝qE，得＝，油滴从A→C做圆周运动的时间为t2＝T＝
≈0.628 s，
由对称性知，油滴从C→N运动的时间t3＝t1，
所以油滴在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝
0.828 s。
突破点二　叠加场应用实例
速度选择器
1. 原理
（1）平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直。（如图）
（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电
力平衡，所以qvB＝qE，即v＝。
2. 特点
（1）速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、
质量。
（2）速度选择器具有单向性：粒子只能从一侧射入才可能做匀速直线运
动，从另一侧射入则不能。
（2025·福建福州模拟）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁
场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面
向里，如图所示。一质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中
轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直
线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响）（　　）
A. 以速度射入的正电子e）
B. 以速度v0射入的电子e）
C. 以速度2v0射入的氘核H）
D. 以速度4v0射入的α粒子He）
√
解析：质子H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰好沿中轴线做匀速直
线运动，质子将受到向上的洛伦兹力和竖直向下的静电力，满足qv0B＝
qE，解得v0＝，即质子的速度满足速度选择器的条件，以速度射入的正
电子e），所受的洛伦兹力小于静电力，正电子将向下偏转，故A错
误；以速度v0射入的电子e），依然满足静电力等于洛伦兹力，做匀
速直线运动，即速度选择器不选择电性而只选择速度，故B正确；以速度
2v0射入的氘核H）和以速度4v0射入的α粒子He），其速度都不满足
速度选择器的条件v0＝，所以都不能做匀速直线运动，故C、D错误。
磁流体发电机
1. 原理：
如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生
偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场
转化为电能。
2. 等效电源
（1）电动势正、负极：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B
板是发电机的正极。
（2）电动势的大小：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和
洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝
Bdv，则E＝U＝Bdv。
（3）等效内阻：r＝ρ（S为A、B平行金属板的面积）。
3. 工作回路中的电流：I＝ 。
〔多选〕（2024·湖北高考9题）磁流体发电机的原理如图所示，MN
和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体（即高温下
电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧以某一速度平行于极板喷
入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是（　　）
A. 极板MN是发电机的正极
B. 仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C. 仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
D. 仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
√
√
解析：由左手定则可知，带正电粒子在磁场中受到向上的洛伦兹力，带负
电粒子在磁场中受到向下的洛伦兹力，则等离子体从左侧喷入磁场时，带
正电粒子向上偏转，带负电粒子向下偏转，所以极板MN带正电，为发电
机的正极，A正确；极板间的电压稳定后，对在极板间运动的某个带电粒
子，有qE＝qvB，又U＝Ed，可得U＝vBd，所以仅增大两极板间的距离d，
极板间的电压增大，B错误；仅增大等离子体的喷入速率v，极板间的电压
增大，C正确；仅增大等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压
不变，D错误。
电磁流量计
1. 原理：
如图所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左
流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下会发生纵
向偏转，使得a、b间出现电势差，形成电场。当自由电荷所受的静电力和
洛伦兹力平衡时，a、b间电势差就保持稳定，只要测得圆形导管直径d、
平衡时a、b间电势差U 、磁感应强度B等有关量，即可求得液体流量Q（即
单位时间流过导管某一横截面的导电液体的体积）。
2. 四个关键关系
（1）导管的横截面积S＝ 。
（2）导电液体的流速v：自由电荷所受的静电力和洛伦兹力平衡时有qvB
＝qE＝q ，可得v＝ 。
（3）液体流量Q＝Sv＝ ·＝ 。
（4）a、b电势高低关系：根据左手定则和平衡条件可得φa＜φb。
（2025·广东佛山模拟）医院常用到血流量计检查患者身体情况。某
种电磁血流量计的原理可以简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负
离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直纸面向里、磁
感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间的电压稳定时测量值为U，
流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（　　）
A. 血液中负离子多时，M点的电势高于N点的电势
B. 血液中正离子多时，M点的电势高于N点的电势
C. 血液流量Q＝
D. 电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
√
解析：根据左手定则，水平向左入射的正离子受到竖直向下的洛伦兹力，
负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则正离子聚集在N点一侧，负离子聚集
在M点一侧，则M点的电势低于N点的电势，A、B错误；正、负离子达到
稳定状态时，离子所受洛伦兹力与电场力平衡，有qvB＝q，可得流速v＝
，流量Q＝Sv＝·＝，C正确，D错误。
霍尔元件
1. 霍尔效应：高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强
磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势
差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2. 电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，
若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表
面A'的电势低。
3. 霍尔电压：导体中的自由电荷（电荷量为q）在洛伦兹力作用下偏转，
A、A'间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A'间
的电势差（U）就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝
＝k，k＝，称为霍尔系数。
〔多选〕（2025·四川绵阳模拟）如图所示
是利用霍尔效应测量磁场的传感器，由运算芯片
LM393和霍尔元件组成，LM393输出的时钟电流
（交变电流）经二极管整流后成为恒定电流I从霍
尔元件的A端流入，从F端流出。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面水平向左，测得C、D两端间电压为U。已知霍尔元件的载流子为自由电子，单位体积的自由电子数为n，电子的电荷量为e，霍尔元件沿AF方向的长度为d1，沿C、D方向的宽度为d2，沿磁场方向的厚度为h，下列说法正确的是（　　）
A. C端的电势高于D端
B. 若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将增大
C. 自由电子的平均速率为v＝
D. 可测得此时磁感应强度B＝
√
√
解析：已知霍尔元件的载流子为自由电子，电流方向从A流向F，根据左手
定则可得电子偏向D端，则C端的电势高于D端，故A正确；根据Bev＝，
可得U＝Bd2v，若将匀强磁场的磁感应强度减小，C、D间的电压将减小，
故B错误；根据电流微观表达式I＝neSv，可得v＝＝，故C错误；
由Bev＝，v＝，联立可得B＝，故D正确。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
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1. （2025·广东茂名期中）速度选择器是质谱仪的重要组成部分，工作时
电场和磁场联合作用，从各种速率的带电粒子中选择出具有一定速率的粒
子。下列结构能成为速度选择器的是（　　）
√
解析： 　A项中从入口射入的带正电荷的粒子受向上的静电力和向上的洛
伦兹力，粒子向上偏转，则该结构不能成为速度选择器，故A错误；B项中
从入口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向上的洛伦兹力，当二力
大小相等时粒子沿直线从出口射出，则该结构能成为速度选择器，故B正
确；C项中从入口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向下的洛伦兹
力，粒子向下偏转，则该结构不能成为速度选择器，故C错误；D项中从入
口射入的带正电荷的粒子受向下的静电力和向下的洛伦兹力，粒子向下偏
转，则该结构不能成为速度选择器，故D错误。
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2. （2025·江苏南京期中）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（　　）
A. 如图甲所示的速度选择器能使速度大小v＝的粒子沿直线匀速通过，但
与粒子的带电性质、带电荷量及速度方向无关
B. 如图乙所示的磁流体发电机正常工作时电流方向为a→R→b，电阻R两
端的电势差等于发电机的电动势
C. 图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S3，
粒子的比荷越小
D. 图丁为霍尔元件，若载流子带负电，稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势
√
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解析： 　对A，电场的方向与B的方向垂直，带电粒子从左端进入复合
场，受静电力和洛伦兹力，且二力是平衡力，即qE＝qvB，解得v＝，可
知不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以与粒子的带电性
质及带电荷量无关，但当带电粒子从右端进入时，所受静电力与洛伦兹力
方向相同，粒子不能匀速直线通过。可见与速度方向有关，故A错误；对
B，由左手定则知正离子向上偏转，负离子会向下偏转，所以P板是电源正
极，Q板是电源负极，正常工作时电流方向为a→R→b，但电路工作时等离
子体也有电阻，故电阻R两端的电势差等于发电机的路端电压，小于电动
势，故B错误；
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对C，粒子先经过加速电场，然后进入速度选择器，从S3射入磁场时的速
度相同，进入磁场后，根据公式qvB2＝m，得r＝，故粒子打在胶片上
的位置越靠近狭缝S3，则r越小，比荷越大，故C错误；对D，若载流子带
负电，由左手定则可知，负粒子向左端偏转，所以稳定时元件左侧的电势
低于右侧的电势，故D正确。
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3. （2025·江西上饶期末）如图所示，在以坐标原点O为圆心的半圆形区域
内，有相互垂直的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，电场方向沿x轴正
方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒
子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P
点射出，若仅撤去磁场，带电粒子经射出半圆形区域，不计粒子受到的
重力，匀强磁场的磁感应强度大小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设粒子带正电，半圆形区域的半径为R，粒子射入时的速度大小
为v，粒子能从P点射出，说明其受到的静电力和洛伦兹力相互平衡，则有
qE＝qvB，R＝vt0，撤去磁场后，粒子沿y轴方向做匀速运动，经射出半
圆形区域，则y方向位移为0.5R，由几何关系可知粒子从处离开
半圆形区域，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，有＝，联立解
得B＝，故D正确。
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4. 〔多选〕（2025·黑龙江哈尔滨期末）一带电小球在相互垂直的匀强电
场、匀强磁场中做匀速圆周运动，匀强电场竖直向上，匀强磁场水平且垂
直纸面向里，如图所示，下列说法正确的是（　　）
A. 沿垂直纸面方向向里看，小球的绕行方向为逆时针方向
B. 小球一定带正电且小球的电荷量q＝
C. 由于合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不变
D. 由于洛伦兹力不做功，故小球在运动过程中机械能守恒
√
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解析： 　带电小球在正交场中做匀速圆周运动，则向下的重力和向上
的静电力平衡，可知小球带正电，由左手定则可知，沿垂直纸面方向向里
看，小球的绕行方向为逆时针方向，根据qE＝mg，可知，小球的电荷量q
＝，选项A、B正确；由于静电力和重力平衡，则两力的合力做功为
零，洛伦兹力不做功，则合外力做功等于零，故小球在运动过程中动能不
变，选项C正确；洛伦兹力不做功，但是除重力以外还有静电力做功，故
小球在运动过程中机械能不守恒，选项D错误。
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5. （2025·北京海淀模拟）磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的
等离子体（含有大量正、负带电粒子）垂直于磁场方向喷入磁感应强度为
B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电
压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。
稳定时两板间等离子体有电阻。忽略边缘效应，下列判断正确的是（　　）
A. 上板为负极
B. 上、下两极板间的电压U＝Bvd
C. 等离子体浓度越高，电动势越大
D. 垂直两极板方向（即上、下方向）等离子体离子受洛
伦兹力（分力）和静电力平衡
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解析： 　大量带正电和带负电的离子向右进入磁场时，由左手定则可以
判断正离子受到的洛伦兹力向下，所以正离子会聚集到下极板上，负离子
受到的洛伦兹力向上，负离子聚集到上极板上，故上极板为负极，故A正
确；设电动势为E，根据qvB＝q得E＝Bdv，磁流体发电机具有内阻，上下
极板两端为路端电压，故U＜Bdv，故B错误；由表达式E＝Bdv可知，电动
势与等离子体的浓度无关，故C错误；垂直两极板方向等离子体离子由于
电能的消耗，部分正离子向下极板运动，部分负离子向上极板运动，此时
离子所受洛伦兹力大于静电力，故D错误。
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6. （2024·江西高考7题）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶
格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样
品的载流子（电子）浓度。如图a所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一
垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极
2、4间将产生电压U。当I＝1.00×10－3 A时，测得U-B关系图线如图b所
示，元电荷e＝1.60×10－19 C，则此样品每平方米载流子数最接近（　　）
A. 1.7×1019
B. 1.7×1015
C. 2.3×1020
D. 2.3×1016
√
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解析： 设样品每平方米载流子（电子）数为n，电子定向移动的速率为
v，则时间t内通过样品的电荷量q＝nevtb，根据电流的定义式得I＝＝
nevb，当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有e＝
evB，联立解得U＝B，结合题图b可知k＝＝ V/T，解得n＝
2.3×1016，D正确。
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7. （2025·河北石家庄模拟）某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流
量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前
后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下。污水
（含有大量的正、负离子）充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端
的电压为U，显示仪器显示污水流量为Q（单位时间内排出的污水体积）。
则（　　）
A. a侧电势比c侧电势低
B. 污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大
C. 污水流量Q与U成正比，与L、D无关
D. 匀强磁场的磁感应强度B＝
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解析： 　污水中正、负离子从左向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定
则，正离子向后表面偏转，负离子向前表面偏转，所以a侧电势比c侧电势
高，故A错误；最终正、负离子会在静电力和洛伦兹力作用下处于平衡状
态，有qE＝qvB，可得＝vB，则污水流量Q＝＝·＝，可知Q
与U、D成正比，与L无关，显示仪器的示数与离子浓度无关，匀强磁场的
磁感应强度B＝，故D正确，B、C错误。
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8. （2025·北京清华附中质检）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强
电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质
量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放
后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲
线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧，
则（　　）
A. 粒子在y轴方向做匀加速运动
B. 粒子在最高点P的速度大小为
C. 磁场的磁感应强度大小为
D. 磁场的磁感应强度大小为
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解析： 　对粒子受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y轴方向的分力是变
化的，故粒子在y轴方向的合力是变化的，加速度也是变化的，A错误；从
O到P，洛伦兹力不做功，由动能定理得qEh＝m，解得vP＝，B
错误；粒子经过最高点时，洛伦兹力和静电力的合力提供向心力，即qvPB
－qE＝m，联立解得B＝，C正确，D错误。
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9. （2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边
界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、
二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第
三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。
在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正
电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求：
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答案： 　　
（1）电场强度的大小和P点距y轴的距离；
解析： 依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力做功为零，所以，电场力与重力等大反
向，可得qE＝mg
解得E＝
可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
轨迹如图
根据qv0B＝m
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解得r＝
由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30°
联立，解得xP＝。
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（2）小球第一次到达最低点时速度的大小；
答案： （1＋）v0　
解析：把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴
正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图
其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小
球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg，小球沿x轴正
方向做匀速直线运动，
与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝（1＋）v0。
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（3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
答案：
解析：由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀
速圆周运动的分运动轨迹如图所示
由几何关系，可得小球从过坐标原点到第一次
到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，
则所用时间为t＝T
根据q·v0·B＝m
又T＝
联立，解得t＝。
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THANKS
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