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广东省2025年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的相反数是
A． B． C． D．
2．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是
A． B． C． D．
3．1846年，法国数学家、天文学家勒维耶，以自己的热忱独立完成了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王星被发现，与勒维耶预测的位置相距不到1”，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．海王星围绕太阳公转的轨道半长径为，数据4500000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是
一天加工该工件的个数（个 70 80 90 100 110
工人人数 4 11 10 8 7
A．90，80 B．90，90 C．95，90 D．95，80
7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为
A． B． C． D．
9．如图，在△中，，，．将△折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为
A． B． C．2 D．
10．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；⑤为任意实数）．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.
11．不等式组的解集为 ．
12．已知，，则多项式的值为 ．
13．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图，是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为 ．
14．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点，若反比例函数经过点，则 ．
15．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．计算：．
17．已知：如图，在△中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图2，先作的平分线，然后
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头到地面的距离．
（参考数据：，，，结果保留一位小数）
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分.
19．某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛．为了解学生知识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理制作成统计图．（说明：满分为100分，学生成绩均为不小于60分的整数，分为四个等级：，，，．
素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图：
素材二：初一年级学生成绩在等级的数据（单位：分）如下：
80 84 85 86 87 87 87 87 89
素材三：如初一年级学生扇形统计图所示
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“”或“”或“”或“” ；
（2）求初一扇形统计图中等级对应扇形的圆心角度数；
（3）该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为等级的学生人数；
（4）推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
20．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的款纯电动汽车和款燃油车．经过家庭会议之后分析如下：
纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高．
项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义．
数据收集1 （行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据． 车车每千米行驶费用元元总行驶费用7.5元18.75元
数据收集2 （其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为 车保险6500元年车机服务1230元年车保险2900元年保养元
项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程，帮小明家确定购车方案．
21．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、Ⅱ分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分．
（1）请说出点将边三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段．
（2）请说出被、三等分的理由；
（3）如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ．
五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分.
22．如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为．
①求与的函数关系式；
②若△和△相似，求取最大值时，的值．
23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省2025年中考数学模拟卷
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是
A． B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答．
【解答】解：从正面看下面是一个长方形，长方形上面是一个矩形，故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解答本题的关键．
3．1846年，法国数学家、天文学家勒维耶，以自己的热忱独立完成了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王星被发现，与勒维耶预测的位置相距不到1”，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．海王星围绕太阳公转的轨道半长径为，数据4500000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．
【解答】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
，
由题意可知，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是
一天加工该工件的个数（个 70 80 90 100 110
工人人数 4 11 10 8 7
A．90，80 B．90，90 C．95，90 D．95，80
【分析】根据表格中的数据可知工人共有40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，加工80件的有11人，故众数为80，
加工工件的第20个数90和第21个数是90，故该工厂一天加工该工件的中位数为，
故选：．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．
7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即：，
则．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键．
8．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为
A． B． C． D．
【分析】设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
【解答】解：轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，如图，连接，
设半径为，则，
，，
在△中，由勾股定理得；
，
，
解得，
则该桨轮船的轮子直径为，
故选：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助本，构造直角三角形解决问题．
9．如图，在△中，，，．将△折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为
A． B． C．2 D．
【分析】根据题意得出，设，则，在△中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：由题意可得
，
设，
由题意可得：
，
，
在△中，，即，
解得：，
即线段的长为．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理与折叠问题，正确进行计算是解题关键．
10．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；⑤为任意实数）．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线经过可判断①，由抛物线开口向上及抛物线对称轴可得与的关系，从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断④，由时取最小值可判断⑤．
【解答】解：抛物线经过，
，①正确，
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，②正确．
由抛物线对称性可得抛物线与轴另一交点坐标为，即抛物线与轴交点坐标为，，
方程的两根分别为和1，③正确．
，
，④错误．
时函数取最小值，
，
，⑤正确．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
第Ⅱ卷
填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.
11．不等式组的解集为 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组的方法．
12．已知，，则多项式的值为 42 ．
【分析】本题应先提公因式，把分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解：．
把，代入上式：原式．
故答案为：42．
【点评】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
13．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图，是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为 5米 ．
【分析】过作，过作于点，求出，再由锐角三角函数定义求出米，即可求解．
【解答】解：如图，过作，过作于点，
米，，
米，
，，
，
在中，（米，
点位于最高点时到地面的距离为（米，
故答案为：5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
14．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点，若反比例函数经过点，则 ．
【分析】过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得，的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值．
【解答】解：过作轴于，
，
则，
设，
则，
由条件可知是的中点，
，
，
，
点的坐标是，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键．
15．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接，，，推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接，，，
由旋转知，，
，，
，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．已知：如图，在△中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图2，先作的平分线，然后
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质解决问题；
（2）以为圆心，为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求．
【解答】解：（1）小成作法正确．
理由：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
；
（2）如图，直线即为所求．
理由：由作图可知平分，，
，，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头到地面的距离．
（参考数据：，，，结果保留一位小数）
【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）解：，与水平地面所成的角的度数为，
显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．
过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则．
，
，
（2）如图，连接，作垂直反向延长线于点，
，为的中点，
．
，，
．
，，
四边形为矩形，．
，
．
．
，
镜头到地面的距离为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分.
19．某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛．为了解学生知识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理制作成统计图．（说明：满分为100分，学生成绩均为不小于60分的整数，分为四个等级：，，，．
素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图：
素材二：初一年级学生成绩在等级的数据（单位：分）如下：
80 84 85 86 87 87 87 87 89
素材三：如初一年级学生扇形统计图所示
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“”或“”或“”或“” ；
（2）求初一扇形统计图中等级对应扇形的圆心角度数；
（3）该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为等级的学生人数；
（4）推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
【分析】（1）由频数分布直方图可得答案．
（2）用乘以等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用320乘以样本中等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由初一学生成绩的频数分布直方图可知，本次调查抽取的初一学生成绩为等级的学生人数最多．
故答案为：．
（2）初一扇形统计图中等级对应扇形的圆心角度数为．
（3）（人．
答：估计成绩为等级的学生人数约64人．
（4）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作，，，，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的结果有：，，，，，，，，共8种结果，
瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键．
20．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的款纯电动汽车和款燃油车．经过家庭会议之后分析如下：
纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高．
项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义．
数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据． 车车每千米行驶费用元元总行驶费用7.5元18.75元
数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为 车保险6500元年车机服务1230元年车保险2900元年保养元
项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程，帮小明家确定购车方案．
【分析】（任务利用行驶路程总行驶费用每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行驶里程相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即纯电动汽车的每千米行驶费用），再将其代入中，即可求出燃油车的每千米行驶费用；
（任务利用年使用费用行驶费用其它费用，可用含的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用，再分，及三种情况，求出的取值范围或的值，即可得出结论．
【解答】解：（任务根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元；
（任务纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元，
当时，，
当时，购买燃油车比较划算；
当时，，
当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；
当时，，
当时，购买纯电动汽车比较划算．
答：当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算．
【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务找准等量关系，正确列出分式方程；（任务根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用．
21．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、Ⅱ分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分．
（1）请说出点将边三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段．
（2）请说出被、三等分的理由；
（3）如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ．
【分析】（1）由，得到，求得，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论；
（2）由折叠的性质得到，，，求得，，于是得到和三等分；
（3）由折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
点将边三等分；
（2）由折叠的性质可知，，，，
，，
，
，
，
和三等分；
（3）由折叠的性质得，，，，
△△，
，，，
，，
，
设，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的苹果现在，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分.
22．如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为．
①求与的函数关系式；
②若△和△相似，求取最大值时，的值．
【分析】（1）根据同圆的半径相等可得点的坐标，由勾股定理可得点的坐标；
（2）①先确定点的坐标为，根据交点式设抛物线的解析式为：，将点的坐标代入可得，最后根据面积差即可解答；
②分两种情况：如图2，△△或△△，列比例式可得的值，代入所求式配方后即可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接，
，，
，
，
△中，，，
，
；
（2）①是的切线，
，
经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，
设抛物线的解析式为：，
把点的坐标代入得：，
，
，
当时，，
点的坐标为，
；
②△中，，，
分两种情况：
如图2，△△，
，
，
，
，
当时，有最大值是82；
当△△时，
，
，
，
，
当时，有最大值是；
，
取最大值时，．
【点评】本题考查圆，二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的切线的性质，多边形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想解决相似三角形的问题．
23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）证明△△即可解答；
（2）如图2，通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
【解答】解：（1），，，
，
由旋转得：，
，
△△，
；
（2）如图2，延长交于，连接交于，
由（1）知：△△，
，
是中线，，
，
，
，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形，
，，
，
，
设，
，，
△△，
，
，
，，，
△△，
，
由勾股定理得：，即，
解得，
；
（3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于，
，
四边形是矩形，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
，
△中，，
，
解得：（负值舍），
△△，
，即，
；
②如图4，，过点作于，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
由勾股定理得：；
综上，的长是或．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键．广东省2025年中考数学模拟卷
数学·答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
B
D
A
E
M
地面
图2
图1
初一年级学生成绩频数直方图
初二年级学生成绩频数直方冬
人数（频数）
人数（频数）
9
987
6
6
65
4
4321
9876543210
0
60
70
80
90
100
成绩分
60
70
80
90
100
成绩/分
初一年级学生扇形统计图
A
B
D
C
N
D
A
G
K
H
E
F
I
B
C
图1
图2
A
M
M
D
A
D
7
E
F
E
F
N
N
G
B
C
B
C
图3
图4
F
E
B
A
C
E
A
E
A
A
D
G
◇
D
分
B
C
B
C
B
C
图1
图2
备用图
A
D
B
C
A
A
D
E
B
B
图1
图2
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