资源简介 第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝（ ）A.＋ B.－C.＋ D.－2.若向量a＝（2，1），b＝（－1，2），c＝（0，），则c可用向量a，b表示为（ ）A.c＝a＋b B.c＝－a－bC.c＝a＋b D.c＝a－b3.在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝，＝λ，则λ＝（ ）A. B.C. D.4.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（ ）A.－ B.－C.－ D.－5.〔多选〕下列各组中a∥b的有（其中e1，e2是两个不共线的向量）（ ）A.a＝3e1，b＝－9e1B.a＝e1－e2，b＝3e1－2e2C.a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2D.a＝－e1＋e2，b＝e1－2e26.〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（ ）A.P为线段OC的中点时，μ＝B.P为线段OC的中点时，μ＝C.无论μ取何值，恒有λ＝D.存在μ∈R，λ＝7.已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜｜＝｜｜，则点P的坐标为 .8.在△ABC中，D为BC边上的点，且S△ABD＝2S△ADC，＝x＋y，则x＝ ，y＝ .9.已知a＝（1，0），b＝（2，1）.（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？（2）若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.10.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）A.（－2，4） B.（－30，25）C.（10，－5） D.（5，－10）11.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，＝λ＋μ，则λ－μ的最小值是（ ）A.0 B. C.2 D.－112.〔多选〕已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－2），则下列结论正确的是（ ）A.｜c｜＝2｜a｜B.向量c与向量b共线C.若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则λ1＝0，λ2＝－2D.对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c13.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且＝x＋y，则x的取值范围是 .当x＝－时，y的取值范围是 .14.如图，在直角梯形ABCD中，｜｜＝2，∠CDA＝，＝2，∠ABC为直角，E为AB的中点，＝λ（λ∈R，0≤λ≤1）.（1）当λ＝时，用向量，表示向量；（2）求｜｜的最小值，并指出相应的实数λ的值.15.（定义新运算）已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系用v＝f（u）表示.（1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标；（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标；（3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.B 如图，根据平面向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝－＋×（＋）＝－＋＋＝－.故选B.2.A 设c＝xa＋yb，易知解得∴c＝a＋b.故选A.3.A 如图，因为点M是BC的中点，所以＝＝×（＋）＝（＋）.因为N，D，C三点共线，所以＝μ＋（1－μ），又＝λ，所以（＋）＝μ＋（1－μ）λ，由平面向量基本定理可知解得4.B 设网格中小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b＝（3，3），a＝（－2，1），c＝（－1，－3），代入c＝λa＋μb（λ，μ∈R），得（－1，－3）＝λ（－2，1）＋μ（3，3），则解得所以λ＋μ＝－.故选B.5.ABD 选项A中，∵a＝3e1，b＝－9e1，∴b＝－3a，∴a，b共线.选项B中，∵a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，∴b＝6a，∴a，b共线.选项C中，假设a＝λb（λ∈R），则e1－e2＝λ（3e1＋3e2），∴（1－3λ）e1＋（－1－3λ）e2＝0.∵e1，e2不共线，∴此方程组无解.∴不存在实数λ，使得a＝λb成立，∴a，b不共线.选项D中，＝，∴a与b共线.故选A、B、D.6.AC ＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC的中点时，则＝＝μ＋×3μ，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C.7.（8，－15） 解析：因为点P在线段AB的延长线上，且｜｜＝｜｜，所以＝，所以＝＋2＝（4，－3）＋2（2，－6）＝（8，－15），所以点P的坐标为（8，－15）.8.3 －2 解析：设点A到BC的距离为h，则×BD×h＝2××DC×h，所以BD＝2DC，故＝＋＝＋3＝＋3（－）＝3－2.又＝x＋y，故x＝3，y＝－2.9.解：（1）ka－b＝k（1，0）－（2，1）＝（k－2，－1），a＋2b＝（1，0）＋2（2，1）＝（5，2）.∵ka－b与a＋2b共线，∴2（k－2）－（－1）×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.（2）法一 ∵A，B，C三点共线，∴存在唯一的实数λ，使＝λ，即2a＋3b＝λ（a＋mb），∴解得m＝.法二 ＝2a＋3b＝2（1，0）＋3（2，1）＝（8，3），＝a＋mb＝（1，0）＋m（2，1）＝（2m＋1，m），∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3（2m＋1）＝0，即2m－3＝0，∴m＝.10.C 设5秒后点P的坐标为（x，y），由题意，得v＝（4，－3），则｜v｜＝5.∵点P的运动方向与v相同，且每秒移动的速度是5，∴（x＋10，y－10）＝5v＝5（4，－3），解得x＝10，y＝－5，∴5秒后点P的坐标为（10，－5）.11.D 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（cos 150°，sin 150°）＝（－，），设P（cos θ，sin θ）（0°≤θ≤150°），因为＝λ＋μ，所以（cos θ，sin θ）＝λ（1，0）＋μ（－，），整理得解得λ＝cos θ＋sin θ，μ＝2sin θ，则λ－μ＝sin θ＋cos θ＝2sin（θ＋60°），因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故1≥sin（θ＋60°）≥－，因此λ－μ的最小值为－1.故选D.12.ABC 对于A，｜a｜＝＝，｜c｜＝＝2，故A正确；对于B，因为b＝（2，1），c＝（－4，－2），所以c＝－2b，所以向量c与向量b共线，故B正确；对于C，若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则（－4，－2）＝（λ1＋2λ2，－2λ1＋λ2），所以解得故C正确；对于D，因为c＝－2b，所以d＝k1b＋k2c＝k1b－2k2b＝（k1－2k2）b，所以当d不与b共线，且d≠0时，不存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c，故D错误.13.（－∞，0） 解析：∵点P在阴影区域内，∴过点P作OB的平行线交AO的延长线，且只能交AO于延长线上一点，故x＜0.＝x＋y＝－＋y（＋）＝（－＋y）＋y，则由－＋y＞0，得y＞，又（－＋y）＋y＝（－＋y）＋（－＋y）＋＝（－＋y）＋，则－＋y＜1，得y＜，∴＜y＜.14.解：（1）当λ＝时，＝，∴＝（＋）＝[（－）＋（＋）]＝＋.（2）∵＝（＋）＝[（－）＋（＋）]＝［－λ＋（1－λ）＋］＝［＋（1－2λ）］＝＋，易知｜｜＝｜｜＝2，∴｜｜2＝＋＋（1－2λ）··＝4λ2－7λ＋＝4（λ－）2＋，∵0≤λ≤1，∴当λ＝时，｜｜2有最小值，即｜｜有最小值.15.解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.（2）设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（p，q），∴∴∴c＝（2p－q，p）.（3）证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.故对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.3 / 3第二节 平面向量基本定理及坐标表示课标要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒 （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐标运算（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝ ，｜a｜＝ .（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ ，｜｜＝ .提醒 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b 3.平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b .提醒 （1）a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2.三角形的重心坐标公式已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（，）.3.线段的定比分点坐标公式如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P（x，y）是直线P1P2上的一点.当＝λ时，则点P的坐标满足（λ≠－1），特别地，λ＝1时，即P为P1P2的中点时满足1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）在△ABC中，{，}可以作为基底.（ ）（2）向量的坐标就是向量终点的坐标.（ ）（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成＝.（ ）（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（ ）2.（人A必修二P60复习参考题2（6）题改编）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－2，3），e2＝（－，）3.（人A必修二P33练习5题改编）已知＝（5，－2），＝（－4，－3），且＋＋＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（ ）A.（－9，－1） B.（，－） C.（1，－5） D.（3，－）4.（苏教必修二P40习题2题改编）已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝ .5.已知 ABCD的顶点A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），则顶点D的坐标为 .平面向量基本定理的应用（师生共研过关）（1）如图所示，在△ABC中，＝3，＝2，＝a，＝b，则＝（ ）A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且＝m（m∈R），若＝λ＋μ（λ，μ∈R），且λ＋2μ＝0，则m＝ .听课记录 解题技法应用平面向量基本定理表示向量的策略（1）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来；（2）强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.1.已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则＝（ ）A.a＋b B.a＋bC.a－b D.－a＋b2.在正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝（ ）A.－＋ B.－＋C.－＋ D.－＋平面向量的坐标运算（师生共研过关）（1）在平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则的坐标为（ ）A.（－，5） B.（，5）C.（－，－5） D.（，－5）（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（ ）A. B. C.2 D.听课记录 解题技法平面向量坐标运算的技巧（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.1.（2024·保定期末）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝（ ）A. B.C. D.2.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4，3），＝（1，5），则＝ ，＝ .平面向量共线的坐标表示（定向精析突破）考向1 利用向量共线求参数〔多选〕已知向量a＝（3，1），b＝（2，3），c＝（－1，2），若（ma＋c）∥（a＋nb）（m，n∈R），则（m，n）可能是（ ）A.（2，1） B.（0，－1）C.（3，2） D.（－1，－）听课记录 解题技法 已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题.考向2 利用向量共线求向量或点的坐标（人A必修二P33探究改编）已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜｜＝｜｜，则点P的坐标为 .听课记录 解题技法利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路（1）求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程（组），求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量；（2）求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值.1.已知A（1，－2），B（－1，3），O（0，0），若向量－k与a＝（2，3）共线，则实数k＝（ ）A. B.－ C. D.－2.在△ABC中，已知点O（0，0），A（0，5），B（4，3），＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 .第二节 平面向量基本定理及坐标表示【知识·逐点夯实】知识梳理夯基1.（1）有且只有 （2）不共线2.（1）（λx1，λy1） （2）②（x2－x1，y2－y1） 3.x1y2－x2y1＝0对点自测诊断1.（1）√ （2）× （3）× （4）√2.B 3.B 4.3 5.（2，1） 【考点·分类突破】考点1【例1】 （1）B （2）3 解析：（1）＝－＝－＝（＋）－＝＋（－）－＝－＝a－b，故选B.（2）在平行四边形ABCD中，因为＝m，所以－＝m（－），所以＝＋.又＝＝－.所以＝（－）＋，所以＝（1＋m）·＋（1－m）.又＝λ＋μ，所以λ＝1＋m，μ＝1－m，又λ＋2μ＝0，所以1＋m＋2（1－m）＝0，解得m＝3.跟踪训练1.B ∵AD为边BC上的中线，∴＝－＝－，又BE为边AC上的中线，∴＝＋，∴a＝－，b＝＋，∴＝a＋b.2.B 设正六边形的边长为2，如图，设AD与EC交于点O，则有OD＝1，AO＝3，所以＝＋＝（＋）＋（＋）＝－＋.考点2【例2】 （1）C （2）B 解析：（1）因为在平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－（＋）＝（－，－5）.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴＝（－2，2），＝（－2，1），＝（1，2），∵＝λ＋μ，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴解得故λ＋μ＝.跟踪训练1.A 因为a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），所以c＝ma＋nb＝（2m＋n，－3m＋2n）＝（9，4），所以解得所以＋＝＋＝.故选A.2.（－3，2） （－6，21） 解析：＝－＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），＝＋＝＋2＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），＝3＝3（－2，7）＝（－6，21）.考点3【例3】 ABD 由题意得ma＋c＝（3m－1，m＋2），a＋nb＝（3＋2n，1＋3n）.由（ma＋c）∥（a＋nb）可得（3＋2n）（m＋2）－（1＋3n）（3m－1）＝0，整理得mn＝n＋1.A中，2×1＝1＋1，满足；B中，0×（－1）＝－1＋1，满足；C中，3×2≠2＋1，不满足；D中，（－1）×（－）＝－＋1，满足.【例4】 （10，－21） 解析：法一 由点P在线段AB的延长线上，｜｜＝｜｜，知＝－.设P（x，y），则（x－2，y－3）＝－（4－x，－3－y），即解得故点P的坐标为（10，－21）.法二 因为点P在线段AB的延长线上，所以与方向相反，由｜｜＝｜｜，知＝－.设P（x，y），则x＝＝10，y＝＝－21.即点P的坐标为（10，－21）.跟踪训练1.B ∵－k＝（1，－2）－（－k，3k）＝（1＋k，－2－3k）与a＝（2，3）共线，∴3（1＋k）＝2（－2－3k），解得k＝－.故选B.2.（，2） 解析：因为点O（0，0），A（0，5），B（4，3），所以点C（0，），同理点D（2，）.设点M的坐标为（x，y），则＝（x，y－5），而＝（2，－）.因为A，M，D三点共线，所以与共线，所以－x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.而＝（x，y－），＝（4，），因为C，M，B三点共线，所以与共线，所以x－4（y－）＝0，即7x－16y＝－20.由得所以点M的坐标为（，2）.4 / 4(共64张PPT)第二节 平面向量基本定理及坐标表示高中总复习·数学课标要求1. 理解平面向量基本定理及其意义.2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4. 能用坐标表示平面向量共线的条件.目 录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART 01知识·逐点夯实必备知识 | 课前自修1. 平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒 （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.有且只有 不共线 （1）向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝ ，｜a｜＝ ；（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ ，｜ ｜＝ .提醒 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b （λx1，λy1） （x2－x1，y2－y1） 2. 平面向量的坐标运算3. 平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b .提醒 （1）a∥b的充要条件不能表示为 ＝ ，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.x1y2－x2y1＝0 1. 若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2. 三角形的重心坐标公式已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（ ， ）.3. 线段的定比分点坐标公式如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P（x，y）是直线P1P2上的一点.当＝λ 时，则点P的坐标满足（λ≠－1），特别地，λ＝1时，即P为P1P2的中点时满足1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）在△ABC中，{ ， }可以作为基底. （ √ ）（2）向量的坐标就是向量终点的坐标. （ × ）（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成＝ . （ × ）（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. （ √ ）√××√2. （人A必修二P60复习参考题2（6）题改编）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A. e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B. e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C. e1＝（3，5），e2＝（6，10）解析： 两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C、D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线.故选B.√3. （人A必修二P33练习5题改编）已知 ＝（5，－2）， ＝（－4，－3），且 ＋ ＋ ＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（ ）A. （－9，－1）C. （1，－5）解析： 由题意得，P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），所以P点坐标为（ ，－ ）.故选B.√4. （苏教必修二P40习题2题改编）已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝ .解析：∵向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，故4y－2×6＝0，解得y＝3.5. 已知 ABCD的顶点A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），则顶点D的坐标为 .解析：设D（x，y），则由 ＝ ，得（3，1）＝（5－x，2－y），即 解得3 （2，1） PART 02考点·分类突破精选考点 | 课堂演练平面向量基本定理的应用（师生共研过关）（1）如图所示，在△ABC中， ＝3 ， ＝2 ， ＝a，＝b，则 ＝（ B ）B解析： ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝＋ （ － ）－ ＝ － ＝ a－ b，故选B.（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且 ＝m （m∈R），若 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），且λ＋2μ＝0，则m＝ .3 解析： 在平行四边形ABCD中，因为 ＝m ，所以 － ＝m（ － ），所以 ＝ ＋ .又 ＝ ＝ － .所以 ＝ （ － ）＋ ，所以 ＝（1＋m）· ＋（1－m） .又 ＝λ ＋μ ，所以λ＝1＋m，μ＝1－m，又λ＋2μ＝0，所以1＋m＋2（1－m）＝0，解得m＝3.解题技法应用平面向量基本定理表示向量的策略（1）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来；（2）强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.1. 已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设 ＝a，＝b，则 ＝（ ）解析： ∵AD为边BC上的中线，∴ ＝ － ＝ － ，又BE为边AC上的中线，∴ ＝ ＋ ，∴a＝ － ，b＝＋ ，∴ ＝ a＋ b.√2. 在正六边形ABCDEF中，用 和 表示 ，则 ＝（ ）解析： 设正六边形的边长为2，如图，设AD与EC交于点O，则有OD＝1，AO＝3，所以 ＝ ＋ ＝（ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝－ ＋ .√平面向量的坐标运算（师生共研过关）（1）在平行四边形ABCD中， ＝（3，7）， ＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则 的坐标为（ C ）C解析： 因为在平行四边形ABCD中， ＝（3，7）， ＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，所以 ＝－ ＝－ （ ＋ ）＝（－ ，－5）.（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ＝（ B ）C. 2B解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴ ＝（－2，2），＝（－2，1）， ＝（1，2），∵ ＝λ ＋μ ，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴ 解得 故λ＋μ＝ .解题技法平面向量坐标运算的技巧（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.1. （2024·保定期末）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则 ＋ ＝（ ）√解析： 因为a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），所以c＝ma＋nb＝（2m＋n，－3m＋2n）＝（9，4），所以解得 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .故选A.2. 在△ABC中，点P在BC上，且 ＝2 ，点Q是AC的中点，若 ＝（4，3）， ＝（1，5），则 ＝ ， ＝ .解析： ＝ － ＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2）， ＝ ＋＝ ＋2 ＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7）， ＝3 ＝3（－2，7）＝（－6，21）.（－3，2） （－6，21） 平面向量共线的坐标表示（定向精析突破）考向1 利用向量共线求参数〔多选〕已知向量a＝（3，1），b＝（2，3），c＝（－1，2），若（ma＋c）∥（a＋nb）（m，n∈R），则（m，n）可能是（ ）A. （2，1） B. （0，－1）C. （3，2）√√√解析： 由题意得ma＋c＝（3m－1，m＋2），a＋nb＝（3＋2n，1＋3n）.由（ma＋c）∥（a＋nb）可得（3＋2n）（m＋2）－（1＋3n）（3m－1）＝0，整理得mn＝n＋1.A中，2×1＝1＋1，满足；B中，0×（－1）＝－1＋1，满足；C中，3×2≠2＋1，不满足；D中，（－1）×（－ ）＝－ ＋1，满足.解题技法 已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题.考向2 利用向量共线求向量或点的坐标解析：法一 由点P在线段AB的延长线上，｜ ｜＝ ｜ ｜，知 ＝－ .设P（x，y），则（x－2，y－3）＝－ （4－x，－3－y），即 解得 故点P的坐标为（10，－21）.（人A必修二P33探究改编）已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜ ｜＝ ｜ ｜，则点P的坐标为 .（10，－21） 法二 因为点P在线段AB的延长线上，所以 与 方向相反，由｜ ｜＝ ｜ ｜，知 ＝－ .设P（x，y），则x＝ ＝10，y＝ ＝－21.即点P的坐标为（10，－21）.解题技法利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路（1）求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程（组），求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量；（2）求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值.1. 已知A（1，－2），B（－1，3），O（0，0），若向量 －k 与a＝（2，3）共线，则实数k＝（ ）解析： ∵ －k ＝（1，－2）－（－k，3k）＝（1＋k，－2－3k）与a＝（2，3）共线，∴3（1＋k）＝2（－2－3k），解得k＝－ .故选B.√2. 在△ABC中，已知点O（0，0），A（0，5），B（4，3）， ＝， ＝ ，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 （ ，2） .解析：因为点O（0，0），A（0，5），B（4，3），所以点C（0，），同理点D（2， ）.设点M的坐标为（x，y），则 ＝（x，y－5），而 ＝（2，－ ）.因为A，M，D三点共线，所以 与 共线，所以－ x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.而 ＝（x，y－ ），＝（4， ），因为C，M，B三点共线，所以 与 共线，所以 x－4（y－ ）＝0，即7x－16y＝－20.由 得所以点M的坐标为（ ，2）.（ ，2） PART 03课时·跟踪检测关键能力 | 课后练习123456789101112131415161718192020222324251. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量 ＝（ ）解析： 如图，根据平面向量的运算法则，可得 ＝＋ ＝ ＋ ＝ － ＋ × （ ＋ ）＝ － ＋ ＋ ＝ － .故选B.√2. 若向量a＝（2，1），b＝（－1，2），c＝（0， ），则c可用向量a，b表示为（ ）解析： 设c＝xa＋yb，易知 解得 ∴c＝ a＋b.故选A.√3. 在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且 ＝ ， ＝λ ，则λ＝（ ）√解析： 如图，因为点M是BC的中点，所以 ＝＝ × （ ＋ ）＝ （ ＋ ）.因为N，D，C三点共线，所以 ＝μ ＋（1－μ） ，又 ＝λ ，所以 （ ＋ ）＝μ ＋（1－μ）λ ，由平面向量基本定理可知 解得4. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（ ）√解析： 设网格中小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b＝（3，3），a＝（－2，1），c＝（－1，－3），代入c＝λa＋μb（λ，μ∈R），得（－1，－3）＝λ（－2，1）＋μ（3，3），则解得 所以λ＋μ＝－ .故选B.5. 〔多选〕下列各组中a∥b的有（其中e1，e2是两个不共线的向量）（ ）A. a＝3e1，b＝－9e1C. a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2√√√解析： 选项A中，∵a＝3e1，b＝－9e1，∴b＝－3a，∴a，b共线.选项B中，∵a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2，∴b＝6a，∴a，b共线.选项C中，假设a＝λb（λ∈R），则e1－e2＝λ（3e1＋3e2），∴（1－3λ）e1＋（－1－3λ）e2＝0.∵e1，e2不共线，∴ 此方程组无解.∴不存在实数λ，使得a＝λb成立，∴a，b不共线.选项D中，＝ ，∴a与b共线.故选A、B、D.6. 〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，则（ ）√√解析：AC ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝（1－λ） ＋λ ，因为 与 共线，所以 ＝ ，解得λ＝ ，故C正确，D错误；当P为线段OC的中点时，则 ＝ ＝ μ ＋×3μ ，则1－λ＝ μ，λ＝ ×3μ，解得μ＝ ，故A正确，B错误.故选A、C.7. 已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜｜＝ ｜ ｜，则点P的坐标为 .解析：因为点P在线段AB的延长线上，且｜ ｜＝ ｜ ｜，所以＝ ，所以 ＝ ＋2 ＝（4，－3）＋2（2，－6）＝（8，－15），所以点P的坐标为（8，－15）.（8，－15） 8. 在△ABC中，D为BC边上的点，且S△ABD＝2S△ADC， ＝x ＋y ，则x＝ ，y＝ .解析：设点A到BC的距离为h，则 ×BD×h＝2× ×DC×h，所以BD＝2DC，故 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ － ）＝3－2 .又 ＝x ＋y ，故x＝3，y＝－2.3 －2 9. 已知a＝（1，0），b＝（2，1）.（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？解： ka－b＝k（1，0）－（2，1）＝（k－2，－1），a＋2b＝（1，0）＋2（2，1）＝（5，2）.∵ka－b与a＋2b共线，∴2（k－2）－（－1）×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－ .（2）若 ＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.解： 法一 ∵A，B，C三点共线，∴存在唯一的实数λ，使 ＝λ ，即2a＋3b＝λ（a＋mb），∴ 解得m＝ .法二 ＝2a＋3b＝2（1，0）＋3（2，1）＝（8，3），＝a＋mb＝（1，0）＋m（2，1）＝（2m＋1，m），∵A，B，C三点共线，∴ ∥ ，∴8m－3（2m＋1）＝0，即2m－3＝0，∴m＝ .10. 点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）A. （－2，4） B. （－30，25）C. （10，－5） D. （5，－10）解析： 设5秒后点P的坐标为（x，y），由题意，得v＝（4，－3），则｜v｜＝5.∵点P的运动方向与v相同，且每秒移动的速度是5，∴（x＋10，y－10）＝5v＝5（4，－3），解得x＝10，y＝－5，∴5秒后点P的坐标为（10，－5）.√11. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动， ＝λ ＋μ ，则 λ－μ的最小值是（ ）A. 0C. 2 D. －1√解析： 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（ cos 150°， sin 150°）＝（－ ， ），设P（ cos θ， sin θ）（0°≤θ≤150°），因为 ＝λ ＋μ ，所以（ cos θ， sin θ）＝λ（1，0）＋μ（－ ， ），整理得 解得λ＝ cos θ＋ sin θ，μ＝2 sin θ，则 λ－μ＝ sin θ＋ cos θ＝2 sin （θ＋60°），因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故1≥ sin （θ＋60°）≥－ ，因此 λ－μ的最小值为－1.故选D.12. 〔多选〕已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－2），则下列结论正确的是（ ）A. ｜c｜＝2｜a｜B. 向量c与向量b共线C. 若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则λ1＝0，λ2＝－2D. 对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c√√√解析： 对于A，｜a｜＝ ＝ ，｜c｜＝＝2 ，故A正确；对于B，因为b＝（2，1），c＝（－4，－2），所以c＝－2b，所以向量c与向量b共线，故B正确；对于C，若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则（－4，－2）＝（λ1＋2λ2，－2λ1＋λ2），所以 解得 故C正确；对于D，因为c＝－2b，所以d＝k1b＋k2c＝k1b－2k2b＝（k1－2k2）b，所以当d不与b共线，且d≠0时，不存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c，故D错误.13. 如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 ＝x ＋y ，则x的取值范围是 .当x＝－ 时，y的取值范围是 .（－∞，0） 解析：∵点P在阴影区域内，∴过点P作OB的平行线交AO的延长线，且只能交AO于延长线上一点，故x＜0. ＝x ＋y ＝－ ＋y（ ＋ ）＝（－ ＋y） ＋y ，则由－ ＋y＞0，得y＞ ，又（－ ＋y） ＋y ＝（－ ＋y） ＋（－ ＋y） ＋ ＝（－＋y） ＋ ，则－ ＋y＜1，得y＜ ，∴ ＜y＜ .14. 如图，在直角梯形ABCD中，｜ ｜＝2，∠CDA＝ ， ＝2 ，∠ABC为直角，E为AB的中点， ＝λ （λ∈R，0≤λ≤1）.（1）当λ＝ 时，用向量 ， 表示向量 ；解： 当λ＝ 时， ＝ ，∴ ＝ （ ＋ ）＝ [（ － ）＋（ ＋）]＝ ＋ .（2）求｜ ｜的最小值，并指出相应的实数λ的值.解： ∵ ＝ （ ＋ ）＝ [（ － ）＋（ ＋ ）]＝ ［ －λ ＋（1－λ） ＋］＝ ［ ＋（1－2λ） ］＝ ＋，易知｜ ｜＝｜ ｜＝2，∴｜ ｜2＝ ＋ ＋ （1－2λ）· · ＝4λ2－7λ＋ ＝4（λ－ ）2＋ ，∵0≤λ≤1，∴当λ＝ 时，｜ ｜2有最小值 ，即｜ ｜有最小值.15. （定义新运算）已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系用v＝f（u）表示.（1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标；解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标；解： 设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（p，q），∴ ∴ ∴c＝（2p－q，p）.（3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.解： 证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.故对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第二节 平面向量基本定理及坐标表示.docx 第二节 平面向量基本定理及坐标表示.pptx 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（练习，含解析）.docx
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