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第三节　平面向量的数量积及应用
1.（2024·重庆部分学校联考）已知向量a＝（m，1），b＝（0，3），且a⊥（a－b），则m＝（　　）
A. B.2
C.± D.±2
2.（2025·肇庆质量检测）已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°.若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且｜a｜＝｜b｜，则λ＝（　　）
A.2 B.－2
C.2或－3 D.3或－2
3.（2025·河南五市第一次联考）平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜a＋b｜＝4，则b在a方向上的投影向量为（　　）
A.a B.a
C.a D.a
4.已知a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，则a与a－b的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（　　）
A.｜｜＝1 B.∥a
C.＝a D.·a＝｜a｜
6.〔多选〕已知向量m＋n＝（3，1），m－n＝（1，－1），则（　　）
A.（m－n）∥n B.（m－n）⊥n
C.｜m｜＝｜n｜ D.＜m，n＞＝45°
7.在四边形ABCD中，＝（3，－1），＝（2，m），⊥，则该四边形的面积是　　　　.
8.设a＝（－2，1），b＝（m，－1），m∈R，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是　　　　.
9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8.
（1）求｜a＋b｜的值；
（2）当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？
（3）求向量a与a＋b的夹角的余弦值.
10.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（－）·＝（　　）
A.　　　 B.
C.－　　　 D.－
11.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
12.在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，＝3，＝3，则·＝　　　　.
13.（定义新运算）（2024·北京人大附中统练）定义平面向量的一种运算a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜×sin＜a，b＞，其中＜a，b＞是a与b的夹角，给出下列命题：①若＜a，b＞＝90°，则a☉b＝a2＋b2；②若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）☉（a－b）＝4a·b；③若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤2｜a｜2；④若a＝（1，2），b＝（－2，2），则（a＋b）☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）.
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值.
15.（拓广创新题）设有n维向量a＝，b＝，称[a，b]＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn为向量a和b的内积.当[a，b]＝0时，称向量a和b正交.设Sn为全体由－1和1构成的n元有序数组对应的向量的集合.
（1）若a＝，写出一个向量b，使得[a，b]＝0；
（2）令B＝{[x，y]｜x，y∈Sn}，若m∈B，证明：m＋n为偶数；
（3）若n＝4，f（4）是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足[a，b]＝0，猜测f（4）的值，并给出一个实例.
第三节　平面向量的数量积及应用
1.C　因为a＝（m，1），b＝（0，3），所以｜a｜＝，a·b＝m×0＋1×3＝3.因为a⊥（a－b），所以a·（a－b）＝0，即a2－a·b＝m2＋1－3＝0，解得m＝±.
2.D　∵｜a｜＝｜b｜，即｜e1＋2e2｜＝｜λe1－e2｜，∴＋4e1·e2＋4＝λ2－2λe1·e2＋，∴1＋4×1×1×＋4＝λ2－2λ×1×1×＋1，解得λ＝3或λ＝－2.故选D.
3.C　由｜a＋b｜＝＝＝＝4可得a·b＝，而b在a方向上的投影向量为a＝a＝a＝a.故选C.
4.C　因为a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，所以（3a－5b）2＝49 9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49 a·b＝－，设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
5.ABD　因为表示与向量a同方向的单位向量，所以｜｜＝1，∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，≠a，所以C错误；因为·a＝｜｜｜a｜cos 0°＝1×｜a｜＝｜a｜，所以D正确.
6.BCD　依题意，m＝[（m＋n）＋（m－n）]＝（2，0），n＝[（m＋n）－（m－n）]＝（1，1），所以（m－n）·n＝（1，－1）·（1，1）＝0，所以（m－n）⊥n，选项A错误，选项B正确；｜m｜＝2，｜n｜＝，所以｜m｜＝｜n｜，选项C正确；cos＜m，n＞＝＝＝，因为0°≤＜m，n＞≤180°，所以＜m，n＞＝45°，选项D正确.故选B、C、D.
7.10　解析：由＝（3，－1），＝（2，m），⊥，可得·＝3×2＋（－1）×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为｜｜·｜｜＝××＝10.
8.（－，2）∪（2，＋∞）　解析：∵a与b的夹角为钝角，∴a·b＝－2m－1＜0且m×1≠－2×（－1）（a与b不共线），解得m＞－且m≠2.
9.解：（1）因为（a＋b）·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，所以a·b＝－1，所以｜a＋b｜＝＝＝＝.
（2）若ka－b与a＋2b垂直，则（ka－b）·（a＋2b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝4k－（2k－1）－18＝2k－17＝0，解得k＝.
（3）a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
10.B　如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则cos B＝＝，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，（－）·＝·＝｜｜·｜｜·cos∠CAD＝（｜｜·cos∠CAD）2＝（3×）2＝，故选B.
11.D　由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（＋）·＝0，∴角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.
12.－12　解析：因为＝3，所以＝4，因为＝3，所以＝4，所以＝－＝4－4＝4（－）＝4，又＝－，所以＝4（－），又OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，所以·＝4（－）·＝4·－4＝4×2×1×cos 60°－4×22＝－12.
13.①③　解析：对于①，若＜a，b＞＝90°，则｜a＋b｜＝｜a－b｜，a·b＝0，则a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜＝｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2，故①正确；对于②，若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）⊥（a－b），则（a＋b）与（a－b）的夹角为90°，则（a＋b）☉（a－b）＝｜（a＋b）＋（a－b）｜×｜（a＋b）－（a－b）｜sin 90°＝4｜a｜｜b｜，故②错误；对于③，若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤｜a＋b｜×｜a－b｜≤＝2｜a｜2，故③正确；对于④，若a＝（1，2），b＝（－2，2），则a＋b＝（－1，4），a＋2b＝（－3，6），则cos＜a＋b，b＞＝＝，sin＜a＋b，b＞＝，则（a＋b）☉b＝｜a＋2b｜×｜a｜×sin＜a＋b，b＞＝3××＝≠，故④错误.故真命题的序号为①③.
14.解：（1）由题设知＝（3，5），＝（－1，1），
则＋＝（2，6），－＝（4，4）.
所以｜＋｜＝2，｜－｜＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
（2）法一 由题设知＝（－2，－1），＝（3，5），－t＝（3＋2t，5＋t）.
由（－t）·＝0，
得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
法二 由题意得·＝t，
＝（－2，－1），＝（3，5），
t＝＝－.
15.解：（1）b＝（答案不唯一）.
（2）证明：对于m∈B，i＝1，2，…，n，存在x＝，xi∈{－1，1}，y＝，yi∈{－1，1}，使得[x，y]＝m，当xi＝yi时，xiyi＝1；当xi≠yi时，xiyi＝－1.
令λi＝k＝λi，所以[x，y]＝xiyi＝k－（n－k）＝2k－n.
所以m＋n＝2k－n＋n＝2k，为偶数.
（3）当n＝4时，猜测互相正交的4维向量最多有4个，即f（4）＝4.
实例如下.取a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，则有[a1，a2]＝0，[a1，a3]＝0，[a1，a4]＝0，[a2，a3]＝0，[a2，a4]＝0，[a3，a4]＝0，
若存在a5，使[a1，a5]＝0，则a5＝或或.
当a5＝时，[a4，a5]＝－4；当a5＝时，[a2，a5]＝－4；当a5＝时，[a3，a5]＝－4.
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.
2 / 2第三节　平面向量的数量积及应用
课标要求
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会运用数量积表示两个平面向量的夹角.
1.向量的夹角
（1）定义：已知两个　　　　向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞；
（2）范围：夹角θ的范围是　　　　　　.
提醒 当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝.
2.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　　　　　叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝　　　　　　　　.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影向量：
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·.
（3）运算律
①交换律：a·b＝b·a；
②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
提醒 向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·c b＝c.
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝　　　　　
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝　　　　　
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0
a∥b的充要条件 a＝λb（λ∈R）
｜a·b｜与｜a｜｜b｜ 的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤
提醒 （1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1.平面向量数量积运算的常用公式
（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；
（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.
2.有关向量夹角的两个结论
（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；
（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个向量的夹角的范围是［0，］.（　　）
（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（　　）
（3）若非零向量a，b满足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，则a∥b.（　　）
（4）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.（　　）
2.（人A必修二P17例9改编）已知｜a｜＝5，｜b｜＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（　　）
A.45° B.135°
C.－45° D.30°
3.（苏教必修二P37习题10题改编）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，则｜a－b｜＝（　　）
A.4　　B.5　　C.6　　D.7
4.（人A必修二P24习题21题改编）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则在上的投影向量为（　　）
A. B.
C. D.
5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝　　　　时，λa＋b与b垂直.
　　
平面向量数量积的基本运算
（基础自学过关）
1.已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（　　）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
2.已知向量a，b夹角的余弦值为－，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（　　）
A.－36 B.－12
C.6 D.36
3.（2024·湖北七市州联合测试）已知正方形ABCD的边长为2，若＝，则·＝（　　）
A.2 B.－2
C.4 D.－4
4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是　　　　.
用结论
　极化恒等式
设a，b为两个平面向量，则a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2].如图所示.
（1）在 ABDC中，＝a，＝b，则a·b＝（｜｜2－｜｜2）；
（2）在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝｜｜2－｜｜2.
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值是（　　）
A.－2　　　　　　　 B.－
C.－ D.－1
练后悟通
求两个向量的数量积的三种方法
平面向量数量积的应用
（定向精析突破）
考向1　平面向量的模
（人A必修二P61复习参考题13（6）题改编）若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（　　）
A.0 B.6
C.0或 D.0或6
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求平面向量的模的两种方法
考向2　平面向量的夹角与平面向量的垂直
（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
（2）（2024·兰州高三诊断考试）在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
1.求平面向量的夹角的方法
2.两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.
1.（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　）
A. B.
C. D.1
2.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
3.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知·＝－1，则线段CE的长为（　　）
A. B.
C. D.1
投影向量
（师生共研过关）
（2025·南宁适应性测试）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，｜｜＝｜｜，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A.　B.　C.－　D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
投影向量的两种求法
（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；
（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·.
1.（2025·深圳一调）已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝（　　）
A.－2 B.2
C.－ D.
2.（2024·南昌二中适应性测试）已知向量a＝（2，0），b＝（sin α，），若向量b在向量a上的投影向量c＝（，0），则｜a＋b｜＝（　　）
A. B.
C.3 D.7
第三节　平面向量的数量积及应用
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）非零　（2）[0，π]
2.（1）｜a｜｜b｜cos θ　｜a｜｜b｜cos θ
3.x1x2＋y1y2　　x1x2＋y1y2＝0　x1y2－x2y1＝0
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.A　3.C　4.D　5.－2　
【考点·分类突破】
考点1
1.C　因为＝－＝（1，t－3），所以｜｜＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2.
2.A　（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（－）－1－2×16＝－36.故选A.
3.B　法一（基向量法） 由题意知点P为BC的中点，所以·＝（＋）·（－）＝（＋）·（－）＝·－＋·－·＝－＋＝－22＋×22＝－2，故选B.
法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），P（1，0），所以＝（1，－2），＝（2，2），所以·＝1×2＋（－2）×2＝－2，故选B.
4.（－2，6）
解析：画图可得，当点P位于点C处时，｜｜cos＜，＞最大，此时·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝2×3＝6；当点P位于点F处时，｜｜cos＜，＞最小，此时·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝2×（－1）＝－2.因为点P在正六边形内，所以·的取值范围为（－2，6）.
用结论
B　法一（极化恒等式法） 结合题意画出图形，如图1所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，则·（＋）＝2·＝2（＋）·（－）＝2（－）.而＝（）2＝，当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·（＋）取得最小值，最小值为－2＝－2×＝－.
法二（坐标法） 如图2，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y），则＝（－x，－y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），所以·（＋）＝（－x，－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2（y－）2－，当x＝0，y＝时，·（＋）取得最小值，最小值为－.故选B.
考点2
【例1】 D　①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－）－4×1×4×（－）－4×1×4×（－）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或6.故选D.
【例2】 （1）D　（2）A　解析：（1）法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
（2）法一（坐标法） 如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边三角形ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
法二（定义法） 不妨设等边三角形ABC的边长为1，以{，}为这一平面内所有向量的一个基底，则＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－－·＝－cos 60°＝－，又｜｜＝＝＝＝，｜｜＝＝＝＝，所以cos＜，＞＝＝＝－.
跟踪训练
1.B　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
2.C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
3.A　因为点E是线段BC上的一点，所以·＝（＋）·＝·＋·＝－1，所以｜｜｜｜cos 120°＋｜｜·｜｜cos 0°＝2×2×（－）＋｜｜×2＝－1.解得｜｜＝，即线段BE的长为，所以CE＝2－＝.
考点3
【例3】 A　因为2＝＋，所以O为BC的中点，又O为△ABC的外接圆圆心，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，如图，因为｜｜＝｜｜，所以△AOC为等边三角形，则∠ACB＝60°，所以向量在向量上的投影向量为｜｜cos 60°·＝·cos 60°·＝cos260°·＝.故选A.
跟踪训练
1.A　a＋λb在向量a上的投影向量为a＝2a，即＝2，即（a＋λb）·a＝｜a｜2＋λ｜a｜·｜b｜cos 120°＝1－λ＝2，解得λ＝－2.故选A.
2.B　由题可得，b在a上的投影向量为·＝（2，0）＝（sin α，0）.又b在a上的投影向量c＝（，0），所以sin α＝，所以b＝（，），所以a＋b＝（，），所以｜a＋b｜＝＝.故选B.
6 / 6(共75张PPT)
第三节　平面向量的数量积及应用
高中总复习·数学
课标要求
1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2. 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3. 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4. 能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会运用数量积
表示两个平面向量的夹角.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 向量的夹角
（1）定义：已知两个 向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞；
非零　
（2）范围：夹角θ的范围是 .
提醒 当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝
.
[0，π]　
2. 平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量
叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即
a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
｜
a｜｜b｜ cos θ　
｜a｜｜b｜ cos θ　
（2）投影向量：
如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量，记为 ＝ · .
②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
提醒 向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满
足消去律.即a·b＝a·c / b＝c.
（3）运算律
①交换律：a·b＝b·a；
3. 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ a·b＝
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
x1x2＋y1y2　
　
几何表示 坐标表示
a⊥b的充要条件 a·b＝0
a∥b的充要条件 a＝λb（λ∈R）
｜a·b｜与｜
a｜｜b｜ 的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜
b｜（当且仅当a∥b
时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤
提醒 （1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b a·b＝0是
对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
1. 平面向量数量积运算的常用公式
（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；
（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.
2. 有关向量夹角的两个结论
（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角
为0时不成立）；
（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角
为π时不成立）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个向量的夹角的范围是［0， ］. （　×　）
（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量. （　×　）
（3）若非零向量a，b满足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，则a∥b.
（　√　）
（4）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. （　√　）
×
×
√
√
2. （人A必修二P17例9改编）已知｜a｜＝5，｜b｜＝ ，a·b＝5，则
a与b的夹角θ＝（　　）
A. 45° B. 135°
C. －45° D. 30°
解析： 　 cos θ＝ ＝ ，所以θ＝45°.
√
3. （苏教必修二P37习题10题改编）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋
b｜＝16，则｜a－b｜＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　由｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2得162＋｜a－
b｜2＝2×（82＋102），所以｜a－b｜＝6 .故选C.
√
4. （人A必修二P24习题21题改编）如图，在边长为2的正方形ABCD中，
M是CD的中点.则 在 上的投影向量为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由题意知｜ ｜＝2，｜ ｜＝ .由于 ＝ ，所以
∠MBC即为 与 的夹角.易求得 cos ∠MBC＝ .所以 在 上
的投影向量为｜ ｜ cos ∠MBC· ＝2× × ＝ .故选D.
√
5. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝ 时，λa＋b
与b垂直.
解析：因为λa＋b＝λ（1，2）＋（－1，1）＝（λ－1，2λ＋1），且
λa＋b与b垂直，所以（λa＋b）·b＝（λ－1）·（－1）＋2λ＋1＝λ
＋2＝0，所以λ＝－2.
－2　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）
1. 已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），｜ ｜＝1，则 · ＝
（　　）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
解析： 　因为 ＝ － ＝（1，t－3），所以｜ ｜＝
＝1，解得t＝3，所以 ＝（1，0），所以 · ＝
2×1＋3×0＝2.
√
2. 已知向量a，b夹角的余弦值为－ ，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a
－b）·（b－2a）＝（　　）
A. －36 B. －12
C. 6 D. 36
解析： 　（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－
2a2＝3×4×1×（－ ）－1－2×16＝－36.故选A.
√
3. （2024·湖北七市州联合测试）已知正方形ABCD的边长为2，若 ＝
，则 · ＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －4
√
解析： 　法一（基向量法） 由题意知点P为BC的中
点，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝（
＋ ）·（ － ）＝ · － ＋ · －
· ＝－ ＋ ＝－22＋ ×22＝－2，故选B.
法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），P（1，0），所以 ＝（1，－2）， ＝（2，2），所以 · ＝1×2＋（－2）×2＝－2，故选B.
4. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 · 的取值范围
是 .
解析：画图可得，当点P位于点C处时，｜ ｜ cos
＜ ， ＞最大，此时 · ＝｜ ｜｜ ｜·
cos ＜ ， ＞＝2×3＝6；当点P位于点F处时，
｜ ｜ cos ＜ ， ＞最小，此时 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝2×（－1）＝－2.因为点P在正六边形内，所以 · 的取值范围为（－2，6）.
（－2，6）　
用结论
　极化恒等式
设a，b为两个平面向量，则a·b＝ [（a＋b）2－（a－b）2].如图所
示.
（1）在 ABDC中， ＝a， ＝b，则a·b＝ （｜ ｜2－｜ ｜
2）；
（2）在△ABC中， ＝a， ＝b，AM为中线，则a·b＝｜ ｜2－
｜ ｜2.
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
·（ ＋ ）的最小值是（　　）
A. －2 B. －
C. － D. －1
√
解析： 　法一（极化恒等式法） 结合题意画出图形，如
图1所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接
AD，PE，PD，则有 ＋ ＝2 ，则 ·（ ＋
）＝2 · ＝2（ ＋ ）·（ － ）＝2
（ － ）.而 ＝（ ）2＝ ，当点P与点E重
合时， 有最小值0，故此时 ·（ ＋ ）取得最小值，最小值为－2 ＝－2× ＝－ .
法二（坐标法） 如图2，以等边△ABC的底边BC所在直
线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标
系，则A（0， ），B（－1，0），C（1，0），设P
（x，y），则 ＝（－x， －y）， ＝（－1－x，
－y）， ＝（1－x，－y），所以 ·（ ＋ ）＝
（－x， －y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2（y－ ）2－ ，当x＝0，y＝ 时， ·（ ＋ ）取得最小值，最小值为－ .故选B.
练后悟通
求两个向量的数量积的三种方法
平面向量数量积的应用（定向精析突破）
考向1　平面向量的模
（人A必修二P61复习参考题13（6）题改编）若平面向量a，b，c
两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜
＝（　　）
A. 0 B. 6
C. 0或 D. 0或6
√
解析： 　①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2
－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为 时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2
＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－ ）－
4×1×4×（－ ）－4×1×4×（－ ）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.
综上，｜2a＋2b－c｜＝0或6.故选D.
解题技法
求平面向量的模的两种方法
考向2　平面向量的夹角与平面向量的垂直
（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，
x），若b⊥（b－4a），则x＝（　D　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
D
解析： 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－
4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，
1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以
b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得
x＝2，故选D.
（2）（2024·兰州高三诊断考试）在等边三角形ABC中，点D是AC的中
点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则 cos ＜ ， ＞＝（　A　）
A. － B.
C. － D.
A
解析： 法一（坐标法） 如图，取AB的中点O，连
接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边三角形ABC的
边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，
），所以D（－ ， ），E（ ， ），则 ＝
（ ， ）， ＝（－ ， ），所以 cos ＜ ，
＞＝ ＝ ＝－ .
法二（定义法） 不妨设等边三角形ABC的边长为1，以
{ ， }为这一平面内所有向量的一个基底，则 ＝
＋ ， ＝ － ，所以 · ＝（
＋ ）·（ － ）＝ － － · ＝
－ cos 60°＝－ ，又｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .
解题技法
1. 求平面向量的夹角的方法
2. 两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.
1. （2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝
2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　）
A. B.
C. D. 1
解析： 　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又
因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从
而｜b｜＝ .故选B.
√
2. 已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜
b，c＞，则t＝（　　）
A. －6 B. －5
C. 5 D. 6
解析： 　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）
＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜
b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即 ＝ ，
即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C.
√
3. 在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，
已知 · ＝－1，则线段CE的长为（　　）
A. B.
C. D. 1
√
解析： 　因为点E是线段BC上的一点，所以 · ＝（ ＋
）· ＝ · ＋ · ＝－1，所以｜ ｜｜ ｜ cos 120°＋｜
｜·｜ ｜ cos 0°＝2×2×（－ ）＋｜ ｜×2＝－1.解得｜ ｜
＝ ，即线段BE的长为 ，所以CE＝2－ ＝ .
投影向量（师生共研过关）
（2025·南宁适应性测试）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2 ＝
＋ ，｜ ｜＝｜ ｜，则向量 在向量 上的投影向量为
（　　）
A. B.
C. － D.
√
解析： 　因为2 ＝ ＋ ，所以O为BC的中点，
又O为△ABC的外接圆圆心，所以△ABC是直角三角形，
且∠BAC＝90°，如图，因为｜ ｜＝｜ ｜，所以
△AOC为等边三角形，则∠ACB＝60°，所以向量 在向量 上的投影向量为｜ ｜ cos 60°· ＝ · cos 60°· ＝ cos 260°· ＝ .故选A.
解题技法
投影向量的两种求法
（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；
（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜· cos ＜a，b
＞· .
1. （2025·深圳一调）已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a
＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝（　　）
A. －2 B. 2
C. － D.
解析： 　a＋λb在向量a上的投影向量为 a＝2a，即
＝2，即（a＋λb）·a＝｜a｜2＋λ｜a｜·｜b｜ cos 120°＝
1－ λ＝2，解得λ＝－2.故选A.
√
2. （2024·南昌二中适应性测试）已知向量a＝（2，0），b＝（ sin α，
），若向量b在向量a上的投影向量c＝（ ，0），则｜a＋b｜＝
（　　）
A. B.
C. 3 D. 7
√
解析： 　由题可得，b在a上的投影向量为 · ＝ （2，0）
＝（ sin α，0）.又b在a上的投影向量c＝（ ，0），所以 sin α＝ ，所
以b＝（ ， ），所以a＋b＝（ ， ），所以｜a＋b｜＝
＝ .故选B.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2024·重庆部分学校联考）已知向量a＝（m，1），b＝（0，3），
且a⊥（a－b），则m＝（　　）
A. B. 2
C. ± D. ±2
解析： 　因为a＝（m，1），b＝（0，3），所以｜a｜＝ ，
a·b＝m×0＋1×3＝3.因为a⊥（a－b），所以a·（a－b）＝0，即a2
－a·b＝m2＋1－3＝0，解得m＝± .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2025·肇庆质量检测）已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°.
若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且｜a｜＝｜b｜，则λ＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 2或－3 D. 3或－2
解析： 　∵｜a｜＝｜b｜，即｜e1＋2e2｜＝｜λe1－e2｜，∴ ＋
4e1·e2＋4 ＝λ2 －2λe1·e2＋ ，∴1＋4×1×1× ＋4＝λ2－
2λ×1×1× ＋1，解得λ＝3或λ＝－2.故选D.
√
3. （2025·河南五市第一次联考）平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝
3，｜a＋b｜＝4，则b在a方向上的投影向量为（　　）
A. a B. a
C. a D. a
解析： 　由｜a＋b｜＝ ＝ ＝
＝4可得a·b＝ ，而b在a方向上的投影向量为
a＝ a＝ a＝ a.故选C.
√
4. 已知a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，则a与a－b的夹角为
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，所以（3a－5b）2
＝49 9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49 a·b＝－ ，设a
与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝
＝ ，又θ∈[0，π]，所以θ＝ .故选C.
5. 〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量 的描述正确的是
（　　）
A. ｜ ｜＝1 B. ∥a
C. ＝a D. ·a＝｜a｜
√
√
√
解析： 　因为 表示与向量a同方向的单位向量，所以
｜＝1， ∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，
≠a，所以C错误；因为 ·a＝｜ ｜｜a｜ cos 0°＝1×｜a｜
＝｜a｜，所以D正确.
6. 〔多选〕已知向量m＋n＝（3，1），m－n＝（1，－1），则
（　　）
A. （m－n）∥n B. （m－n）⊥n
C. ｜m｜＝ ｜n｜ D. ＜m，n＞＝45°
√
√
√
解析： 　依题意，m＝ [（m＋n）＋（m－n）]＝（2，0），n
＝ [（m＋n）－（m－n）]＝（1，1），所以（m－n）·n＝（1，－
1）·（1，1）＝0，所以（m－n）⊥n，选项A错误，选项B正确；｜m｜
＝2，｜n｜＝ ，所以｜m｜＝ ｜n｜，选项C正确； cos ＜m，n
＞＝ ＝ ＝ ，因为0°≤＜m，n＞≤180°，所以＜m，n
＞＝45°，选项D正确.故选B、C、D.
7. 在四边形ABCD中， ＝（3，－1）， ＝（2，m）， ⊥ ，
则该四边形的面积是 .
解析：由 ＝（3，－1）， ＝（2，m）， ⊥ ，可得 · ＝
3×2＋（－1）×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为 ｜ ｜·｜
｜＝ × × ＝10.
10　
8. 设a＝（－2，1），b＝（m，－1），m∈R，若a与b的夹角为钝
角，则m的取值范围是 .
解析：∵a与b的夹角为钝角，∴a·b＝－2m－1＜0且m×1≠－2×（－
1）（a与b不共线），解得m＞－ 且m≠2.
（－ ，2）∪（2，＋∞）　
9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8.
（1）求｜a＋b｜的值；
解： 因为（a＋b）·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，所以a·b＝－1，所
以｜a＋b｜＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？
解： 若ka－b与a＋2b垂直，则（ka－b）·（a＋2b）＝ka2＋（2k
－1）a·b－2b2＝4k－（2k－1）－18＝2k－17＝0，解得k＝ .
（3）求向量a与a＋b的夹角的余弦值.
解： a·（a＋b）＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为
θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .
10. 早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，
《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为
3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.
现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦
BC上的射影为点D，则（ － ）· ＝（　　）
A. B.
C. － D. －
√
解析： 　如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC
＝5，则 cos B＝ ＝ ，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋
∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝
∠ABC，（ － ）· ＝ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ∠CAD＝（｜ ｜· cos ∠CAD）2＝（3× ）2＝ ，故选B.
11. 已知非零向量 ， 满足 ＝ ，且 · ＝
，则△ABC为（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析： 　由 · ＝ ，得 cos A＝ ，又0＜A＜π，∴A＝ .
由 ＝ ，得（ ＋ ）· ＝0，∴角A的平分线垂
直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.
√
12. 在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，
＝3 ， ＝3 ，则 · ＝ .
－12　
解析：因为 ＝3 ，所以 ＝4 ，因为 ＝3 ，所以 ＝
4 ，所以 ＝ － ＝4 －4 ＝4（ － ）＝4 ，又
＝ － ，所以 ＝4（ － ），又OM＝2，ON＝1，
∠MON＝60°，所以 · ＝4（ － ）· ＝4 · －4
＝4×2×1× cos 60°－4×22＝－12.
13. （定义新运算）（2024·北京人大附中统练）定义平面向量的一种运算
a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜× sin ＜a，b＞，其中＜a，b＞是a与b
的夹角，给出下列命题：①若＜a，b＞＝90°，则a☉b＝a2＋b2；②
若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）☉（a－b）＝4a·b；③若｜a｜＝｜
b｜，则a☉b≤2｜a｜2；④若a＝（1，2），b＝（－2，2），则（a＋
b）☉b＝ .其中真命题的序号是 .
①③　
解析：对于①，若＜a，b＞＝90°，则｜a＋b｜＝｜a－b｜，a·b＝
0，则a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜＝｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋
b2，故①正确；对于②，若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）⊥（a－b），则
（a＋b）与（a－b）的夹角为90°，则（a＋b）☉（a－b）＝｜（a
＋b）＋（a－b）｜×｜（a＋b）－（a－b）｜ sin 90°＝4｜a｜｜
b｜，故②错误；对于③，若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤｜a＋b｜×｜a
－b｜≤ ＝2｜a｜2，故③正确；
对于④，若a＝（1，2），b＝（－2，2），则a＋b＝（－1，4），a＋
2b＝（－3，6），则 cos ＜a＋b，b＞＝ ＝ ， sin ＜a＋b，b
＞＝ ，则（a＋b）☉b＝｜a＋2b｜×｜a｜× sin ＜a＋b，b＞＝
3 × × ＝ ≠ ，故④错误.故真命题的序号为①③.
14. 在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－
2，－1）.
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
解： 由题设知 ＝（3，5）， ＝（－1，1），
则 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）.
所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 .
故所求的两条对角线的长分别为2 ，4 .
（2）设实数t满足（ －t ）· ＝0，求t的值.
解： 法一 由题设知 ＝（－2，－1）， ＝（3，5）， －t
＝（3＋2t，5＋t）.
由（ －t ）· ＝0，
得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－ .
法二 由题意得 · ＝t ，
＝（－2，－1）， ＝（3，5），t＝ ＝－ .
15. （拓广创新题）设有n维向量a＝ ，b＝ ，称[a，b]＝
a1b1＋a2b2＋…＋anbn为向量a和b的内积.当[a，b]＝0时，称向量a和b
正交.设Sn为全体由－1和1构成的n元有序数组对应的向量的集合.
解： b＝ （答案不唯一）.
（1）若a＝ ，写出一个向量b，使得[a，b]＝0；
（2）令B＝{[x，y]｜x，y∈Sn}，若m∈B，证明：m＋n为偶数；
解： 证明：对于m∈B，i＝1，2，…，n，存在x＝ ，
xi∈{－1，1}，y＝ ，yi∈{－1，1}，使得[x，y]＝m，当xi＝yi
时，xiyi＝1；当xi≠yi时，xiyi＝－1.
令λi＝ k＝ λi，所以[x，y]＝ xiyi＝k－（n－k）＝
2k－n.
所以m＋n＝2k－n＋n＝2k，为偶数.
（3）若n＝4，f（4）是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量
均满足[a，b]＝0，猜测f（4）的值，并给出一个实例.
解： 当n＝4时，猜测互相正交的4维向量最多有4个，即f（4）＝4.
实例如下.取a1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，则有
[a1，a2]＝0，[a1，a3]＝0，[a1，a4]＝0，[a2，a3]＝0，[a2，a4]＝0，
[a3，a4]＝0，
若存在a5，使[a1，a5]＝0，则a5＝ 或 或 .
当a5＝ 时，[a4，a5]＝－4；当a5＝ 时，[a2，a5]＝－4；当
a5＝ 时，[a3，a5]＝－4.
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.
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