资源简介

第五节　复数
1.（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　）
A.10i B.2i
C.10 D.2
2.（2025·佛山一模）复数＝（　　）
A.－i B.i
C.－i D.＋i
3.已知复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），则“a＝2”是“z为纯虚数”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i（i为虚数单位），z3在复平面内对应的点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则＝（　　）
A.1－3i B.1＋3i
C.－1＋3i D.－1－3i
5.复数z满足｜z－（5＋5i）｜＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0（a∈R）的一个根，且｜z｜＝，则a＝（　　）
A.1 B.2
C.4 D.5
7.〔多选〕（2024·长沙长郡中学一模）已知i为虚数单位，复数z＝，下列说法正确的是（　　）
A.｜｜＝
B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
C.i－＜0
D.z＋为纯虚数
8.若z＝（a－）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝　　　　.
9.已知复数z＝（a＋cos θ）＋（2a－sin θ）i的模不超过2.
（1）若对于一切θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围；
（2）若存在θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围.
10.已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝（　　）
A.2i　　B.－1＋i　　C.1＋i　　D.－2i
11.（2024·南京模拟）若复数z满足｜z－1｜≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（　　）
A.π B.2π
C.3π D.4π
12.〔多选〕（2025·温州期末）设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（　　）
A.若｜z2｜＝｜z3｜，则z2＝±z3
B.若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C.若＝z3，则｜z1z2｜＝｜z1z3｜
D.若z1z2＝｜z1｜2，则z1＝z2
13.任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理.则（1－i）2 025＝　　　　.
14.设虚数z满足｜2z＋3｜＝｜＋2｜.
（1）求证：｜z｜为定值；
（2）是否存在实数k，使得＋为实数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
15.（概念深度理解）〔多选〕已知i是虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A.已知a，b，c，d∈R，若a＞c，b＝d，则a＋bi＞c＋di
B.复数z1，z2满足＝z2，则｜z1｜＝｜｜
C.复数z满足｜z－i｜＝｜z＋i｜，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足z（1＋i）＝｜1－i｜，则z＝（cos－isin）
16.（创新知识交汇）已知方程2x2＋px＋q＝0（p，q∈R）有两个共轭虚根，则p2＋（q＋3）2的取值范围为　　　　.
第五节　复数
1.A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A.
2.B　复数＝＝＝i.
3.A　因为复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）为纯虚数，等价于即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.故选A.
4.B　因为复数z1＝1＋2i，z2＝2－i（i为虚数单位），z3在复平面内对应的点分别为A，B，C，所以A（1，2），B（2，－1），设C（x，y），因为四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），所以＝，所以（1，－3）＝（x，y），所以所以z3＝1－3i，所以＝1＋3i.
5.A　设复数z＝a＋bi（a，b∈R），则z－（5＋5i）＝a－5＋（b－5）i，∵｜z－（5＋5i）｜＝2，∴（a－5）2＋（b－5）2＝4，∴复数z在复平面内对应的点Z在以（5，5）为圆心，2为半径的圆上，故z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选A.
6.D　法一 设z＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），代入原方程可得m2－n2－4m＋a＋（2mn－4n）i＝0，所以得因为｜z｜＝＝，所以n2＝1，则a＝5.故选D.
法二 因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所以a＝z·＝｜z｜2＝5，故选D.
7.ABC　z＝＝＝＝＝＝－i，故＝＋i，故｜｜＝，故A正确.z在复平面内对应的点为（，－），它在第四象限，故B正确.i－＝i－－i＝－＜0，故C正确.z＋＝＋－i＝－i，不是纯虚数，故D错误.故选A、B、C.
8.－i　解析：∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.
9.解：（1）由题意得｜z｜2≤4，即（a＋cos θ）2＋（2a－sin θ）2≤4对θ∈R恒成立，
即2a（cos θ－2sin θ）≤3－5a2对θ∈R恒成立，
于是3－5a2≥2｜a｜·，即5｜a｜2＋2｜a｜－3≤0，所以｜a｜≤.
所以实数a的取值范围是［－，］.
（2）由（1）可知存在θ∈R使得2a·（cos θ－2sin θ）≤3－5a2，于是3－5a2≥－2｜a｜·，即5｜a｜2－2｜a｜－3≤0，所以｜a｜≤，
所以实数a的取值范围是［－，］.
10.B　因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i，故选B.
11.D　法一　令z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z－1｜＝｜（a－1）＋bi｜＝≤2，即（a－1）2＋b2≤4，所以复数z在复平面内对应的点在以（1，0）为圆心，2为半径的圆内（含边界），所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22＝4π，故选D.
法二　｜z－1｜≤2表示z在复平面内对应的点和点（1，0）间的距离恒小于等于2，所以z在复平面内对应的点在以（1，0）为圆心，2为半径的圆内（含边界），所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22＝4π，故选D.
12.BC　由复数模的概念可知，由｜z2｜＝｜z3｜不一定能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A中命题错误；由z1z2＝z1z3可得z1（z2－z3）＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B中命题正确；因为｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜z1z3｜＝｜z1｜｜z3｜，＝z3，z1≠0，所以｜｜＝｜z2｜＝｜z3｜，所以｜z1z2｜＝｜z1z3｜，C中命题正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝｜z1｜2，但z1≠z2，D中命题错误.故选B、C.
13.－22 025　解析：1－i＝2（－i）＝2［cos（－）＋isin（－）］，∴（1－i）2 025＝22 025［cos（－π）＋isin（－π）］＝－22 025.
14.解：设z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）.
（1）证明：将z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）代入｜2z＋3｜＝｜＋2｜，
得｜（2x＋3）＋2yi｜＝｜（x＋2）－yi｜，
即＝·，
整理得x2＋y2＝3，即｜z｜＝，∴｜z｜为定值.
（2）假设存在实数k，使得＋为实数，
即＋＝＋＝＋
＝＋＝（＋）＋（－）i为实数，
∴－＝0，∵y≠0，∴k＝±，故存在实数k，
使得＋为实数.
15.BCD　对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，故A错误.对于B，因为｜z1｜＝｜｜，｜z2｜＝｜｜，＝z2，所以｜z1｜＝｜｜，故B正确.对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi－i｜＝｜a＋bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝0，所以z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确.对于D，z＝＝1－i，（cos－isin）＝（－i·）＝1－i，故D正确.综上，选B、C、D.
16.（9，＋∞）　解析：由题意得p2－8q＜0，即q＞p2.由q＞p2知点A（p，q）在抛物线y＝x2上方（如图）.p2＋（q＋3）2表示点A（p，q）到点B（0，－3）的距离的平方.显然｜AB｜2＞｜OB｜2＝9.所以p2＋（q＋3）2＞9.即p2＋（q＋3）2的取值范围为（9，＋∞）.
2 / 2第五节　复数
课标要求
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的　　　　和　　　　.当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；
（2）复数相等：a＋bi＝c＋di 　　　　　　（a，b，c，d∈R）；
（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 　　　　　　（a，b，c，d∈R）；
（4）复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　　　　　.
2.复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）；
（2）复数z＝a＋bi平面向量.
提醒 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）.
3.复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
（2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝　　　　　　；
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　　.
（3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律：
①交换律：z1z2＝　　　　　　；
②结合律：（z1z2）z3＝　　　　　　；
③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝　　　　　　.
1.（1±i）2＝±2i， ＝i， ＝－i.
2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.
3.z·＝｜z｜2＝｜｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜｜＝， ｜zn｜＝｜z｜n.
4.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是A（a，b），B（c，d）则
（1）｜z1－z2｜＝｜AB｜＝，则｜z1－z2｜的几何意义是复平面内复数z1，z2对应的点A，B的距离.
（2）设复数z对应的点是Z，
①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；
②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括边界；
③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；
④若｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹为椭圆；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为线段；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；
⑤若｜z－z1｜－｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为一条射线；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹为双曲线的一支.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a∈C，则a2≥0.（　　）
（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数.（　　）
（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi.（　　）
（4）方程x2＋x＋1＝0没有解.（　　）
2.以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A.2－2i B.2＋i
C.－5＋i D.＋i
3.在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是（　　）
A.1－2i B.－1＋2i
C.3＋4i D.－3－4i
4.（人A必修二P94复习参考题1（2）题改编）已知复数z＝（）24＋（）23，则z的共轭复数＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
5.（人A必修二P81习题7题改编）已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p，q的值分别为　　　　　，　　　　　.　
复数的有关概念
（基础自学过关）
1.若复数（m2－5m＋6）＋（m2－3m）i＞0，则实数m＝（　　）
A.0 B.2 C.3 D.0或2或3
2.（2025·湖南师大附中模拟）已知z是虚数，z2＋2z是实数，则z的（　　）
A.实部为1 B.实部为－1
C.虚部为1 D.虚部为－1
3.（2024·徐州模拟）若纯虚数z满足（z＋m）i＝2－i（其中i为虚数单位，m为实数），则m＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
4.设复数z＝－1－i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则｜（1－z）｜＝　　　　.
练后悟通
解决复数概念问题的两个注意事项
复数的四则运算
（基础自学过关）
1.（人A必修二P81习题4题改编）若复数z满足（1＋i）2z＝2＋i，则＝（　　）
A.－－i B.－＋i
C.－i D.＋i
2.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
3.若z＝，则z100＋z50＋1＝（　　）
A.1 B.i
C.－1 D.－i
4.（2024·沈阳教学质量监测）设复数z满足＝－i，则｜z｜＝（　　）
A.i B.
C.1 D.
练后悟通
复数代数形式运算的策略
复数的几何意义
（师生共研过关）
（1）若复数（2＋i）·（a－i）（i是虚数单位，a∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－，3） B.（，2）
C.（－，2） D.（，3）
（2）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
对复数几何意义的再理解
（1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R） Z（a，b） ；
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
1.已知复数z在复平面内对应的向量为（O为坐标原点），按逆时针方向，与实轴正方向的夹角为120°，且｜z｜＝2，则＝（　　）
A.1＋i B.2
C.－1－i D.－1＋i
2.设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（　　）
A.1 B.3
C.5 D.7
复数与方程
（师生共研过关）
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0（a，b∈R）的一个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解题技法
1.对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
　〔多选〕在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则（　　）
A.p＝2 B.x2＝1－i
C.x1·＝－2i D.＝i
第五节　复数
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）实部　虚部　（2）a＝c且b＝d
（3）a＝c，b＝－d　（4）
3.（1）（a±c）＋（b±d）i　（ac－bd）＋（bc＋ad）i　＋i
（2）①z2＋z1　②z1＋（z2＋z3）
（3）①z2z1　②z1（z2z3）　③z1z2＋z1z3
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.A　3.D　4.A　5.12　26
【考点·分类突破】
考点1
1.A　若复数能比较大小，则此复数必为实数，所以解得m＝0，故选A.
2.B　设虚数z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则z2＋2z＝（a＋bi）2＋2（a＋bi）＝a2－b2＋2a＋2b（a＋1）i，由z2＋2z是实数，得2b（a＋1）＝0，得a＝－1，故选B.
3.B　由题意可设z＝bi（b≠0），则（z＋m）i＝（bi＋m）i＝－b＋mi＝2－i，所以m＝－1，故选B.
4.　解析：法一 ＝－1＋i，｜（1－z）｜＝｜（1＋1＋i）·（－1＋i）｜＝｜（2＋i）·（－1＋i）｜＝｜－3＋i｜＝.
法二 ｜（1－z）｜＝｜－｜z｜2｜＝｜－1＋i－2｜＝｜－3＋i｜＝.
考点2
1.D　因为（1＋i）2z＝2＋i，所以z＝＝＝＝－i，所以＝＋i.故选D.
2.C　法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
3.B　因为z＝，所以z2＝（）2＝＝i，所以z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.故选B.
4.C　因为＝－i，所以1＋z＝－i（1－z），z＝.
法一 所以｜z｜＝＝＝1，故选C.
法二 因为z＝＝＝＝－i，所以｜z｜＝｜－i｜＝1，故选C.
考点3
【例1】 （1）C　（2）2　解析：（1）复数（2＋i）（a－i）＝2a＋1＋（a－2）i，其对应点（2a＋1，a－2）在第四象限，则解得－＜a＜2，所以实数a的取值范围是（－，2），故选C.
（2）设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.由题知｜｜＝｜｜＝｜＋｜＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作 OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2.故｜z1－z2｜＝｜｜＝2.
跟踪训练
1.C　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），因为按逆时针方向向量与实轴正方向的夹角为120°，且｜z｜＝2，所以x＝｜｜cos 120°＝2×（－）＝－1，y＝｜｜sin 120°＝2×＝，所以z＝－1＋i，＝－1－i，故选C.
2.C　法一 设z1＝a＋bi（a，b∈R），因为｜z1｜＝2，所以a2＋b2＝4.因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i，所以Z1（a，b），Z2（0，3），连接Z1Z2，｜Z1Z2｜＝＝，易知b∈[－2，2]，故当b＝－2时，｜Z1Z2｜取得最大值，为＝5，故选C.
法二 因为｜z1｜＝2，所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点O为圆心，半径r＝2的圆.因为z2＝3i，所以复数z2在复平面内对应点Z2（0，3），因为｜OZ2｜＝3，所以｜Z1Z2｜max＝｜OZ2｜＋r＝3＋2＝5，故选C.
考点4
【例2】 解：（1）把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得（－a＋b）＋（a－2）i＝0，
∴解得
（2）由（1）知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝（－1－i）2＋2（－1－i）＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
跟踪训练
BD　因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝＝＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由＝1＋i，所以x1·＝（1＋i）2＝2i≠－2i，故C错误；＝＝＝＝i，故D正确.故选B、D.
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第五节　复数
高中总复习·数学
课标要求
1. 通过方程的解，认识复数.
2. 理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3. 掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 复数的有关概念
（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚
数单位，a，b分别是它的 和 .当且仅当b＝0时，a＋bi
为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；
（2）复数相等：a＋bi＝c＋di （a，b，c，
d∈R）；
实部　
虚部　
a＝c且b＝d　
（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 （a，b，
c，d∈R）；
（4）复数的模：向量 的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝
对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
a＝c，b＝－d　
　
2. 复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b）；
（2）复数z＝a＋bi 平面向量 .
提醒 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，
b），而不是（a，bi）.
（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，
b，c，d∈R）.
3. 复数的运算
（3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算
律：
①交换律：z1z2＝ ；
②结合律：（z1z2）z3＝ ；
③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝ .
z2z1　
z1（z2z3）　
z1z2＋z1z3　
（2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算
律：
①交换律：z1＋z2＝ ；
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
z2＋z1　
z1＋（z2＋z3）　
1. （1±i）2＝±2i， ＝i， ＝－i.
2. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0
（n∈N*）.
3. z· ＝｜z｜2＝｜ ｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜ ｜＝
， ｜zn｜＝｜z｜n.
4. 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的
点分别是A（a，b），B（c，d）则
（1）｜z1－z2｜＝｜AB｜＝ ，则｜z1－z2｜的
几何意义是复平面内复数z1，z2对应的点A，B的距离.
（2）设复数z对应的点是Z，
①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；
②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括
边界；
③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；
④若｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹
为椭圆；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为线段；当常数小于｜AB｜
时，点Z的轨迹不存在；
⑤若｜z－z1｜－｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹
不存在；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为一条射线；当常数小于｜
AB｜时，点Z的轨迹为双曲线的一支.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a∈C，则a2≥0. （　×　）
（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数.
（　×　）
（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi. （　×　）
（4）方程x2＋x＋1＝0没有解. （　×　）
×
×
×
×
2. 以2i－ 的虚部为实部，以 i＋2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A. 2－2i B. 2＋i
C. －5＋ i D. ＋ i
解析： 　2i－ 的虚部为2， i＋2i2＝－2＋ i的实部为－2，所以所
求的新复数是2－2i.故选A.
√
3. 在复平面内，向量 对应的复数是2＋i，向量 对应的复数是－1－
3i，则向量 对应的复数是（　　）
A. 1－2i B. －1＋2i
C. 3＋4i D. －3－4i
解析： 　 ＝ ＋ ＝ － ＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.
√
4. （人A必修二P94复习参考题1（2）题改编）已知复数z＝（ ）24＋
（ ）23，则z的共轭复数 ＝（　　）
A. 1＋i B. 1－i
C. －1＋i D. －1－i
解析： 　因为 ＝ ＝－i， ＝ ＝i，所以z＝
（－i）24＋i23＝1－i，则 ＝1＋i.故选A.
√
5. （人A必修二P81习题7题改编）已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝
0的一个根，则实数p，q的值分别为 ， .
解析：法一 由题知x＝－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根.所以2（－3＋
2i）2＋p（－3＋2i）＋q＝0，即（10－3p＋q）＋（－24＋2p）i＝0，
因为p，q∈R，所以 解得p＝12，q＝26.
法二 由于x1＝－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0（p，q∈R）的一个根，所
以x2＝－3－2i也是方程2x2＋px＋q＝0的根.由x1＋x2＝－ ，x1x2＝ 得p
＝－2[（－3＋2i）＋（－3－2i）]＝12，q＝2（－3＋2i）（－3－2i）＝
26.
12　
26　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
复数的有关概念（基础自学过关）
1. 若复数（m2－5m＋6）＋（m2－3m）i＞0，则实数m＝（　　）
A. 0 B. 2
C. 3 D. 0或2或3
解析： 　若复数能比较大小，则此复数必为实数，所以
解得m＝0，故选A.
√
2. （2025·湖南师大附中模拟）已知z是虚数，z2＋2z是实数，则z的
（　　）
A. 实部为1 B. 实部为－1
C. 虚部为1 D. 虚部为－1
解析： 　设虚数z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则z2＋2z＝（a＋
bi）2＋2（a＋bi）＝a2－b2＋2a＋2b（a＋1）i，由z2＋2z是实数，得
2b（a＋1）＝0，得a＝－1，故选B.
√
3. （2024·徐州模拟）若纯虚数z满足（z＋m）i＝2－i（其中i为虚数单
位，m为实数），则m＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　由题意可设z＝bi（b≠0），则（z＋m）i＝（bi＋m）i＝－
b＋mi＝2－i，所以m＝－1，故选B.
√
4. 设复数z＝－1－i（i是虚数单位），z的共轭复数为 ，则｜（1－z）
｜＝ .
解析：法一 ＝－1＋i，｜（1－z） ｜＝｜（1＋1＋i）·（－1＋i）｜
＝｜（2＋i）·（－1＋i）｜＝｜－3＋i｜＝ .
法二 ｜（1－z） ｜＝｜ －｜z｜2｜＝｜－1＋i－2｜＝｜－3＋i｜＝
.
　
练后悟通
解决复数概念问题的两个注意事项
复数的四则运算（基础自学过关）
1. （人A必修二P81习题4题改编）若复数z满足（1＋i）2z＝2＋i，则 ＝
（　　）
A. － －i B. － ＋i
C. －i D. ＋i
解析： 　因为（1＋i）2z＝2＋i，所以z＝ ＝ ＝ ＝
－i，所以 ＝ ＋i.故选D.
√
2. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
解析： 法一 因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i.故
选C.
法二 由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1－i.
√
3. 若z＝ ，则z100＋z50＋1＝（　　）
A. 1 B. i
C. －1 D. －i
解析： 　因为z＝ ，所以z2＝（ ）2＝ ＝i，所以z100＋z50＋1
＝（z2）50＋（z2）25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.故选B.
√
4. （2024·沈阳教学质量监测）设复数z满足 ＝－i，则｜z｜＝
（　　）
A. i B.
C. 1 D.
√
解析： 　因为 ＝－i，所以1＋z＝－i（1－z），z＝ .
法一 所以｜z｜＝ ＝ ＝1，故选C.
法二 因为z＝ ＝ ＝ ＝－i，所以｜z｜＝｜－i｜＝1，故
选C.
练后悟通
复数代数形式运算的策略
复数的几何意义（师生共研过关）
（1）若复数（2＋i）·（a－i）（i是虚数单位，a∈R）在复平面内
对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（　C　）
A. （－ ，3） B. （ ，2）
C. （－ ，2） D. （ ，3）
C
解析： 复数（2＋i）（a－i）＝2a＋1＋（a－2）i，其对应点（2a
＋1，a－2）在第四象限，则 解得－ ＜a＜2，所以实数a
的取值范围是（－ ，2），故选C.
（2）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝ ＋i，则｜z1－
z2｜＝ .
解析： 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量 ，
，则z1＋z2对应向量 ＋ .由题知｜ ｜＝｜
｜＝｜ ＋ ｜＝2，如图所示，以OA，OB为邻边
作 OACB，则z1－z2对应向量 ，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OA sin 60°＝2 .故｜z1－z2｜＝｜ ｜＝2 .
2 　
解题技法
对复数几何意义的再理解
（1）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi（a，
b∈R） Z（a，b） ；
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、
向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解
决更加直观.
1. 已知复数z在复平面内对应的向量为 （O为坐标原点），按逆时针方
向， 与实轴正方向的夹角为120°，且｜z｜＝2，则 ＝（　　）
A. 1＋ i B. 2
C. －1－ i D. －1＋ i
解析： 　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），因为按逆时针方向向量 与
实轴正方向的夹角为120°，且｜z｜＝2，所以x＝｜ ｜ cos 120°＝
2×（－ ）＝－1，y＝｜ ｜ sin 120°＝2× ＝ ，所以z＝－1＋
i， ＝－1－ i，故选C.
√
2. 设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝3i，
则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（　　）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
√
解析： 　法一 设z1＝a＋bi（a，b∈R），因为｜z1｜＝2，所以a2＋b2
＝4.因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i，所以Z1
（a，b），Z2（0，3），连接Z1Z2，｜Z1Z2｜＝
＝ ，易知b∈[－2，2]，故当b＝－2
时，｜Z1Z2｜取得最大值，为 ＝5，故选C.
法二 因为｜z1｜＝2，所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点
O为圆心，半径r＝2的圆.因为z2＝3i，所以复数z2在复平面内对应点Z2
（0，3），因为｜OZ2｜＝3，所以｜Z1Z2｜max＝｜OZ2｜＋r＝3＋2＝5，
故选C.
复数与方程（师生共研过关）
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0（a，b∈R）的一个根.
（1）求实数a，b的值；
解： 把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得（－a＋b）＋（a－
2）i＝0，
∴ 解得
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解： 由（1）知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝（－1－i）2＋2（－1－i）＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
解题技法
1. 对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功
能没有变化，仍然适用.
2. 对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去
了，其他仍适用.
　〔多选〕在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两
根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则（　　）
A. p＝2 B. x2＝1－i
C. x1· ＝－2i D. ＝i
√
√
解析： 　因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1
＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝ ＝ ＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1
＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由 ＝1＋i，所以x1· ＝
（1＋i）2＝2i≠－2i，故C错误； ＝ ＝ ＝ ＝i，故D正确.故
选B、D.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝（　　）
A. 10i B. 2i
C. 10 D. 2
解析： 　因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2025·佛山一模）复数 ＝（　　）
A. －i B. i
C. －i D. ＋i
解析： 　复数 ＝ ＝ ＝i.
√
3. 已知复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），则“a＝2”是“z为纯
虚数”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）为纯虚数，等价
于 即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是
“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不
必要条件.故选A.
√
4. 已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i（i为虚数单位），z3在复平面内对应的点
分别为A，B，C. 若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原
点），则 ＝（　　）
A. 1－3i B. 1＋3i
C. －1＋3i D. －1－3i
解析： 　因为复数z1＝1＋2i，z2＝2－i（i为虚数单位），z3在复平面内
对应的点分别为A，B，C，所以A（1，2），B（2，－1），设C（x，
y），因为四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），所以
＝ ，所以（1，－3）＝（x，y），所以 所以z3＝1－
3i，所以 ＝1＋3i.
√
5. 复数z满足｜z－（5＋5i）｜＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限
为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　设复数z＝a＋bi（a，b∈R），则z－（5＋5i）＝a－5＋（b
－5）i，∵｜z－（5＋5i）｜＝2，∴（a－5）2＋（b－5）2＝4，∴复数
z在复平面内对应的点Z在以（5，5）为圆心，2为半径的圆上，故z在复
平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选A.
√
6. 已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0（a∈R）的一个根，且｜z｜
＝ ，则a＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
√
解析： 　法一 设z＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），代入原方程可得m2
－n2－4m＋a＋（2mn－4n）i＝0，所以 得
因为｜z｜＝ ＝ ，所以n2＝1，则a＝5.
故选D.
法二 因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所
以a＝z· ＝｜z｜2＝5，故选D.
7. 〔多选〕（2024·长沙长郡中学一模）已知i为虚数单位，复数z＝
，下列说法正确的是（　　）
A. ｜ ｜＝
B. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限
C. i－ ＜0
D. z＋ 为纯虚数
√
√
√
解析： 　z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ － i，
故 ＝ ＋ i，故｜ ｜＝ ，故A正确.z在复平面内对应的点为（ ，
－ ），它在第四象限，故B正确. i－ ＝ i－ － i＝－ ＜0，故C正
确.z＋ ＝ ＋ － i＝ － i，不是纯虚数，故D错误.故选A、B、C.
8. 若z＝（a－ ）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则 ＝ .
解析：∵z为纯虚数，∴ ∴a＝ ，∴ ＝ ＝
＝ ＝－i.
－i　
9. 已知复数z＝（a＋ cos θ）＋（2a－ sin θ）i的模不超过2.
（1）若对于一切θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围；
解： 由题意得｜z｜2≤4，即（a＋ cos θ）2＋（2a－ sin θ）2≤4
对θ∈R恒成立，
即2a（ cos θ－2 sin θ）≤3－5a2对θ∈R恒成立，
于是3－5a2≥2｜a｜· ，即5｜a｜2＋2 ｜a｜－3≤0，所以｜a｜
≤ .
所以实数a的取值范围是［－ ， ］.
（2）若存在θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围.
解： 由（1）可知存在θ∈R使得2a·（ cos θ－2 sin θ）≤3－5a2，
于是3－5a2≥－2｜a｜· ，即5｜a｜2－2 ｜a｜－3≤0，所以｜a｜
≤ ，
所以实数a的取值范围是［－ ， ］.
10. 已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单
位，则a10＝（　　）
A. 2i B. －1＋i
C. 1＋i D. －2i
解析： 　因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3
＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝
2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝
a2＝－1＋i，故选B.
√
11. （2024·南京模拟）若复数z满足｜z－1｜≤2，则复数z在复平面内对
应点组成图形的面积为（　　）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
√
解析： 法一 令z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z－1｜＝｜（a－1）＋
bi｜＝ ≤2，即（a－1）2＋b2≤4，所以复数z在复平面
内对应的点在以（1，0）为圆心，2为半径的圆内（含边界），所以复数z
在复平面内对应点组成图形的面积为π×22＝4π，故选D.
法二 ｜z－1｜≤2表示z在复平面内对应的点和点（1，0）间的距离恒小
于等于2，所以z在复平面内对应的点在以（1，0）为圆心，2为半径的圆
内（含边界），所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22＝
4π，故选D.
12. 〔多选〕（2025·温州期末）设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中
正确的是（　　）
A. 若｜z2｜＝｜z3｜，则z2＝±z3
B. 若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C. 若 ＝z3，则｜z1z2｜＝｜z1z3｜
D. 若z1z2＝｜z1｜2，则z1＝z2
√
√
解析： 　由复数模的概念可知，由｜z2｜＝｜z3｜不一定能得到z2＝
±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A中命题错误；由z1z2＝z1z3可得z1（z2
－z3）＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B中命题正确；因
为｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜z1z3｜＝｜z1｜｜z3｜， ＝z3，z1≠0，
所以｜ ｜＝｜z2｜＝｜z3｜，所以｜z1z2｜＝｜z1z3｜，C中命题正
确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝｜z1｜2，但z1≠z2，D中命
题错误.故选B、C.
13. 任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（ cos θ＋i
sin θ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学
家棣莫弗发现：[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn（ cos nθ＋i sin nθ）
（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理.则（1－ i）2 025＝
.
解析：1－ i＝2（ － i）＝2［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］，∴（1
－ i）2 025＝22 025［ cos （－ π）＋i sin （－ π）］＝－22 025.
－22
025　
14. 设虚数z满足｜2z＋3｜＝ ｜ ＋2｜.
（1）求证：｜z｜为定值；
（1）证明：将z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）代入｜2z＋3｜＝ ｜ ＋
2｜，
得｜（2x＋3）＋2yi｜＝ ｜（x＋2）－yi｜，
即 ＝ · ，
整理得x2＋y2＝3，即｜z｜＝ ，
∴｜z｜为定值.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0）.
（2）是否存在实数k，使得 ＋ 为实数？若存在，求出k的值；若不存
在，说明理由.
解：假设存在实数k，使得 ＋ 为实数，
即 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ － ）i为实数，
∴ － ＝0，∵y≠0，∴k＝± ，故存在实数k，
使得 ＋ 为实数.
15. （概念深度理解）〔多选〕已知i是虚数单位，下列说法正确的是
（　　）
A. 已知a，b，c，d∈R，若a＞c，b＝d，则a＋bi＞c＋di
B. 复数z1，z2满足 ＝z2，则｜z1｜＝｜ ｜
C. 复数z满足｜z－i｜＝｜z＋i｜，则z在复平面内对应的点的轨迹为一
条直线
D. 复数z满足z（1＋i）＝｜1－ i｜，则z＝ （ cos －i sin ）
√
√
√
解析： 　对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，故A
错误.对于B，因为｜z1｜＝｜ ｜，｜z2｜＝｜ ｜， ＝z2，所以｜
z1｜＝｜ ｜，故B正确.对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi
－i｜＝｜a＋bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝
0，所以z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确.对于D，z＝ ＝1
－i， （ cos －i sin ）＝ （ －i· ）＝1－i，故D正确.综上，选
B、C、D.
16. （创新知识交汇）已知方程2x2＋px＋q＝0（p，q∈R）有两个共轭
虚根，则p2＋（q＋3）2的取值范围为 .
解析：由题意得p2－8q＜0，即q＞ p2.由q＞ p2知点
A（p，q）在抛物线y＝ x2上方（如图）.p2＋（q＋
3）2表示点A（p，q）到点B（0，－3）的距离的平方.
显然｜AB｜2＞｜OB｜2＝9.所以p2＋（q＋3）2＞9.即p2＋（q＋3）2的取值范围为（9，＋∞）.
（9，＋∞）　
THANKS
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