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第一节　平面向量的概念及线性运算
1.设D为线段BC的中点，且＋＝－6，则下列结论正确的是（　　）
A.＝2 B.＝3
C.＝2 D.＝3
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　）
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.｜－λa｜≥｜a｜ D.｜－λa｜≥｜λ｜a
3.若｜｜＝8，｜｜＝5，则｜｜的取值范围是（　　）
A.[3，8] B.（3，8）
C.[3，13] D.（3，13）
4.（2024·重庆一模）在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.（2025·齐齐哈尔一模）已知向量a，b不共线，＝λa＋b，＝a＋μb，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ＋4μ的最小值为（　　）
A.5 B.4
C.3 D.2
6.设a，b是非零向量，则“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.〔多选〕在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A.－＝
B.｜＋2｜＝0
C.＝＋
D.＋＋＋＝0
8.若｜｜＝｜｜＝｜－｜＝2，则｜＋｜＝　　　　.
9.已知向量a，b不共线，且＝2a－b，＝3a＋b，＝a＋λb.
（1）将用a，b表示；
（2）若与共线，求λ的值.
10.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝（　　）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
11.在△ABC中，D是直线AB上的点.若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝　　　　.
12.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是　　　　.
13.已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且＝＋，其中x＞0，y＞0，则x＋8y的最小值为　　　　.
14.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
（1）试用a，b表示，，；
（2）证明：B，E，F三点共线.
15.（创新设问）设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜b＋ta｜的最小值为1，则（　　）
A.若θ确定，则｜a｜唯一确定　　 B.若θ确定，则｜b｜唯一确定
C.若｜a｜确定，则θ唯一确定 D.若｜b｜确定，则θ唯一确定
第一节　平面向量的概念及线性运算
1.D　由D为线段BC的中点，且＋＝－6，得2＝－6，则＝－3，所以＝3.
2.B　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确；对于B，显然λ2＞0，即B正确；对于C，｜－λa｜＝｜λ｜｜a｜，由于｜λ｜与1的大小不确定，故｜－λa｜与｜a｜的大小关系不确定，故C不正确；对于D，｜λ｜a是向量，而｜－λa｜表示长度，两者不能比较大小，故D不正确.故选B.
3.C　∵｜｜＝｜－｜，｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，∴｜｜∈[3，13]，故选C.
4.D　由＝，得出＝3，由＝＋m得＝＋m（－）＝（＋m）－m＝（＋3m）－m，因为B，N，M三点共线，所以（＋3m）＋（－m）＝1，解得m＝，故选D.
5.B　因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使＝k，即λa＋b＝k（a＋μb），又向量a，b不共线，所以 λμ＝1，由λ＞0，μ＞0，所以λ＋4μ≥2＝4，当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号，故选B.
6.A　对于充分性，易知｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的条件是a，b方向相反，且｜a｜≥｜b｜，所以由｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜可推出a∥b，所以充分性成立；对于必要性，若a∥b，a，b的方向也可以相同，此时满足｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，因此必要性不成立，所以“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
7.ABD　对于选项A，－＝＝，故选项A正确；对于选项B，由题知＝＝，所以＋2＝0，故｜＋2｜＝0，故选项B正确；对于选项C，＝＝（＋2）＝＋，故选项C错误；对于选项D，＋＋＋＝0，故选项D正确.故选A、B、D.
8.2　解析：因为｜｜＝｜｜＝｜－｜＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以｜＋｜为△ABC的边BC上的高的2倍，所以｜＋｜＝2.
9.解：（1）因为＝2a－b，＝3a＋b，
所以＝－＝3a＋b－（2a－b）＝a＋2b.
（2）因为与共线，＝2a－b，＝a＋λb，
所以存在实数t，使＝t，即2a－b＝t（a＋λb），
又向量a，b不共线，所以
解得t＝2，λ＝－，即λ的值为－.
10.B　由题得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋），解得＝＋，即＝a＋b，故选B.
11.　解析：法一 易知＝－，因为2＝＋λ，所以2（－）＝＋λ，得＝＋.因为A，B，D三点共线，所以＋＝1，所以λ＝－1.由2＝－，得2＝，即AB＝AD，由△ACB和△ACD同高，所以＝＝.
法二 因为A，B，D三点共线，所以存在唯一非零实数μ，使得＝μ.易知＝－，所以＝μ＝μ－μ.又由已知得＝＋，所以μ＝，－μ＝，所以λ＝－1.则2＝－，可得2＝，AB＝AD.由△ACB和△ACD同高，所以＝＝.
12.［0，］　解析：由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ（0≤λ≤1）.因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
13.25　解析：由题意可得＋＝1，所以x＋8y＝（x＋8y）·（＋）＝1＋＋＋16≥17＋2＝25，当且仅当x＝5，y＝时等号成立.
14.解：（1）在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝a＋（b－a）＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
（2）证明：因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋（a＋b）＝－a＋b＝（－a＋b），
所以＝，所以与共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
15.B　设a＝，b＝，过点B作OA的平行线l，设＝ta，则P点在l上 ，即＝b＋ta，显然当⊥时，｜｜最小.此时，｜｜＝｜b｜sin θ（图1），或者｜｜＝｜b｜sin（π－θ）（图2），即1＝｜b｜sin θ.所以若θ确定，则｜b｜唯一确定；若｜b｜确定，则θ可能有两解，故选B.
2 / 2第一节　平面向量的概念及线性运算
课标要求
1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.
2.掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有　　　　的量叫做向量，向量的大小叫做向量的　　　　；
（2）零向量：长度为　　　　的向量，记作0；
（3）单位向量：长度等于　　　　长度的向量；
（4）相等向量：长度相等且方向　　　的向量；
（5）相反向量：长度相等且方向　　　的向量；
（6）平行向量：方向相同或　　　　的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝　　　　　
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋（－b）　
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向　　； 当λ＜0时，λa与a的方向　　； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝　　　　　　； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb
提醒 向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量.
3.共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使　　　　.
提醒 当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一.
1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）.
2.若G为△ABC的重心，则＋＋＝0；＝（＋）.
3.＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
4.对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关.（　　）
（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b.（　　）
（3）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（　　）
（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（　　）
2.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　）
A.若a与b都是单位向量，则a＝b
B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C.若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
D.海拔、温度、角度都不是向量
3.（人A必修二P22习题4题改编）化简：（1）（＋）＋＋＝　　　　；
（2）＋＋－＝　　　　.
4.（人A必修二P16例8改编）设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－2a）共线，则λ＝　　　　.
5.（苏教必修二P47复习题9题改编）设A，B，C三点在一条直线上，点O在该直线外，已知＝3x＋（2－5x），则x＝　　　　.
平面向量的有关概念
（基础自学过关）
1.如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　）
A. B.
C. D.
2.〔多选〕给出下列命题，其中正确的有（　　）
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C.a＝b的必要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b
D.两个相等向量的模相等
3.〔多选〕对于任意两个向量a，b，下列命题中正确的是（　　）
A.｜a＋b｜≥｜a｜＋｜b｜
B.｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜
C.若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa
D.设a，b都是非零向量，则使＝成立的充分条件是a＝2b
练后悟通
理解向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向与长度；
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；
（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度；
（5）零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量平行.
平面向量的线性运算
（定向精析突破）
考向1　向量的线性运算
（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足＝2，则＝（　　）
A.－＋
B.－
C.－
D.－＋
（2）（人A必修二P14例6改编）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝（　　）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
平面向量的线性运算的求解策略
考向2　根据向量线性运算求参数
（2024·西安模拟）在△ABC中，D在BC上，且＝2，E在AD上，且＝4.若＝x＋y，则x＋y＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值.
1.如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝（　　）
A.－
B.2－2
C.－
D.2－2
2.（2025·常德阶段练习）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且＝＋m，则m＝（　　）
A. B.
C. D.
共线向量定理的应用
（师生共研过关）
（人A必修二P15例7改编）设两向量a与b不共线.
（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
解题技法
提醒 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.
1.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d共线反向，则实数λ的值为（　　）
A.1　　　B.－　　　C.　　　D.－2
2.设a，b是两个非零且不共线的向量，＝a＋b，＝a＋2b，＝λa＋μb.若A，B，C三点共线，则λ，μ的一组可能的值为　　　　.
第一节　平面向量的概念及线性运算
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）方向　长度（模）　（2）0　（3）1个单位　（4）相同　（5）相反　（6）相反
2.a＋（b＋c）　相同　相反　（λμ）a
3.b＝λa　
对点自测诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.CD　3.（1）　（2）0
4.－　5.　
【考点·分类突破】
考点1
1.D　∵，，与方向不同，∴，，与均不相等.∵与方向相同，长度相等，∴＝.
2.BCD　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为＝，所以｜｜＝｜｜且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C正确，由a＝b可推出｜a｜＝｜b｜且a∥b；D正确，两个相等向量的模一定相等，故选B、C、D.
3.BD　A项，根据平面向量的加法法则，可知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，故错误；B项，根据平面向量的减法法则，可知｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜，故正确；C项，若a与b共线，a为零向量且b不是零向量，则不存在实数λ，使得b＝λa成立，故错误；D项，因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件，故正确.
考点2
【例1】 （1）A　（2）B
解析：（1）如图所示，∵D为BC的中点，∴＝（＋），∵＝2，∴＝＝＋，∴＝－＝－（＋）＝－＋，故选A.
（2）如图，作OG∥FE交DC于G，由DE＝EO，得DF＝FG，又由AO＝OC，得FG＝GC，于是＝＝（－b＋a），那么＝＋＝（a＋b）＋（－b＋a）＝a＋b.
【例2】 C　因为＝2，所以＝，则＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又＝4，所以＝＝＋，则＝－＝－＋，又＝x＋y，所以x＝－，y＝，则x＋y＝－＋＝－.故选C.
跟踪训练
1.D　连接CD（图略），∵C，D是半圆弧的三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此＝2＝2（－）＝2－2.
2.B　设＝λ，因为M是边BC的中点，所以＝，所以＝－＝－，＝＋＝＋λ＝＋λ－λ＝（1－λ）＋λ，又＝＋m，所以解得m＝，故选B.
考点3
【例3】 解：（1）证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.
∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，∴，共线.
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
（2）∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，
∴（k－λ）a＝（λk－1）b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
跟踪训练
1.B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0），于是λa＋b＝k[a＋（2λ－1）b]，整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.故选B.
2.λ＝1，μ＝3（答案不唯一）　解析：因为＝a＋b，＝a＋2b，＝λa＋μb，所以＝－＝b，＝－＝（λ－1）a＋（μ－1）b.由于A，B，C三点共线，故存在t∈R，使＝t.所以（λ－1）a＋（μ－1）b＝tb，所以解得
5 / 5(共62张PPT)
第一节　平面向量的概念及线性运算
高中总复习·数学
课标要求
1. 理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.
2. 掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两
个平面向量共线的含义.
3. 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量
的 ；
（2）零向量：长度为 的向量，记作0；
（3）单位向量：长度等于 长度的向量；
（4）相等向量：长度相等且方向 的向量；
（5）相反向量：长度相等且方向 的向量；
方向　
长度（模）　
0　
1个单位　
相同　
相反　
（6）平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规
定：零向量与任意向量平行.
提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平
行的单位向量有两个，即向量 和－ .
相反　
2. 向量的线性运算
向量运
算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个 向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：（a＋b）＋c＝ 　
a＋（b＋c）
向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
数乘 求实数
λ与向
量a的
积的运
算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当
λ＞0时，λa与a的方
向 ； 当λ＜0时，λa与a的方
向 ； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）
＝ ；
（λ＋μ）a＝λa＋
μa；
λ（a＋b）＝λa＋
λb
相同　
相反　
（λμ）a　
多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表
示从始点指向终点的向量.
提醒 向量加法的多边形法则
3. 共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使
.
提醒 当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一.
b＝
λa　
1. 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 ＝ （ ＋ ）.
2. 若G为△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝0； ＝ （ ＋ ）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋
μ＝1.
4. 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜
a｜＋｜b｜.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关. （　√　）
（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b. （　×　）
（3）若向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线
上. （　×　）
（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. （　√　）
√
×
×
√
2. 〔多选〕下列命题中，正确的是（　　）
A. 若a与b都是单位向量，则a＝b
B. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C. 若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点M与N不重合
D. 海拔、温度、角度都不是向量
解析： 　A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于
只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相
同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角
度只有大小，没有方向，故不是向量.
√
√
3. （人A必修二P22习题4题改编）化简：（1）（ ＋ ）＋ ＋
＝ ；
解析： 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ － ＝ .
解析： 原式＝ ＋ ＝0.
　
0　
4. （人A必修二P16例8改编）设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb
与－（b－2a）共线，则λ＝ .　
解析：依题意知2a－b≠0，向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k
（2a－b），则有（1－2k）a＋（k＋λ）b＝0，因为a，b是两个不共
线向量，故a与b均不为零向量，所以 解得k＝ ，λ＝－ .
5. （苏教必修二P47复习题9题改编）设A，B，C三点在一条直线上，点
O在该直线外，已知 ＝3x ＋（2－5x） ，则x＝ .
解析：因为A，B，C三点共线，所以3x＋（2－5x）＝1，解得x＝ .
－ 　
　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
平面向量的有关概念（基础自学过关）
1. 如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和 相等的是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　∵ ， ， 与 方向不同，∴ ， ， 与 均不
相等.∵ 与 方向相同，长度相等，∴ ＝ .
√
2. 〔多选〕给出下列命题，其中正确的有（　　）
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若A，B，C，D是不共线的四点，且 ＝ ，则四边形ABCD为平
行四边形
C. a＝b的必要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b
D. 两个相等向量的模相等
√
√
√
解析： A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为 ＝ ，
所以｜ ｜＝｜ ｜且 ∥ ，又A，B，C，D是不共线的四点，
所以四边形ABCD为平行四边形；C正确，由a＝b可推出｜a｜＝｜b｜
且a∥b；D正确，两个相等向量的模一定相等，故选B、C、D.
3. 〔多选〕对于任意两个向量a，b，下列命题中正确的是（　　）
A. ｜a＋b｜≥｜a｜＋｜b｜
B. ｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜
C. 若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa
D. 设a，b都是非零向量，则使 ＝ 成立的充分条件是a＝2b
√
√
解析： 　A项，根据平面向量的加法法则，可知｜a＋b｜≤｜a｜
＋｜b｜，故错误；B项，根据平面向量的减法法则，可知｜a－b｜≥｜
a｜－｜b｜，故正确；C项，若a与b共线，a为零向量且b不是零向量，
则不存在实数λ，使得b＝λa成立，故错误；D项，因为向量 的方
向与向量a方向相同，向量 的方向与向量b方向相同，且 ＝
，所以向量a与向量b方向相同，当a＝2b时， ＝ ＝
，故a＝2b是 ＝ 成立的充分条件，故正确.
练后悟通
理解向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向与长度；
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；
（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度；
（5）零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量平行.
平面向量的线性运算（定向精析突破）
考向1　向量的线性运算
（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足 ＝2 ，
则 ＝（　A　）
A. － ＋ B. －
C. － D. － ＋
A
解析： 如图所示，∵D为BC的中点，∴ ＝ （
＋ ），∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ＋ ，
∴ ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ ＋ ，故选A.
（2）（人A必修二P14例6改编）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点
O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若 ＝a， ＝
b，则 ＝（　B　）
A. a＋ b B. a＋ b
解析： 如图，作OG∥FE交DC于G，由DE＝
EO，得DF＝FG，又由AO＝OC，得FG＝GC，于
是 ＝ ＝ （－ b＋ a），那么 ＝ ＋ ＝（ a＋ b）＋ （－ b＋ a）＝ a＋ b.
B
C. a＋ b D. a＋ b
解题技法
平面向量的线性运算的求解策略
考向2　根据向量线性运算求参数
（2024·西安模拟）在△ABC中，D在BC上，且 ＝2 ，E在
AD上，且 ＝4 .若 ＝x ＋y ，则x＋y＝（　　）
A. B.
C. － D. －
√
解析： 　因为 ＝2 ，所以 ＝ ，则 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ － ）＝ ＋ .又 ＝4 ，所以 ＝
＝ ＋ ，则 ＝ － ＝－ ＋ ，又 ＝x
＋y ，所以x＝－ ，y＝ ，则x＋y＝－ ＋ ＝－ .故选C.
解题技法
　　解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四
边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进
行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值.
1. 如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则
＝（　　）
A. －
B. 2 －2
C. －
D. 2 －2
解析： 　连接CD（图略），∵C，D是半圆弧的三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此 ＝2 ＝2（ － ）＝2 －2 .
√
2. （2025·常德阶段练习）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且 ＝ ＋m ，则m＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　设 ＝λ ，因为M是边BC的中点，所以 ＝ ，所
以 ＝ － ＝ － ， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋
λ －λ ＝（1－λ） ＋ λ ，又 ＝ ＋m ，所以
解得m＝ ，故选B.
共线向量定理的应用（师生共研过关）
（人A必修二P15例7改编）设两向量a与b不共线.
（1）若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）.求证：A，B，
D三点共线；
解： 证明：∵ ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）.
∴ ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋
b）＝5 ，∴ ， 共线.
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
解： ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，
∴（k－λ）a＝（λk－1）b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
解题技法
提醒 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.
1. 已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与
d共线反向，则实数λ的值为（　　）
A. 1 B. －
C. D. －2
解析： 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0），于是
λa＋b＝k[a＋（2λ－1）b]，整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.由
于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝
1或λ＝－ .又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－ .故选B.
√
2. 设a，b是两个非零且不共线的向量， ＝a＋b， ＝a＋2b，
＝λa＋μb.若A，B，C三点共线，则λ，μ的一组可能的值为
.
解析：因为 ＝a＋b， ＝a＋2b， ＝λa＋μb，所以 ＝
－ ＝b， ＝ － ＝（λ－1）a＋（μ－1）b.由于A，B，C
三点共线，故存在t∈R，使 ＝t .所以（λ－1）a＋（μ－1）b＝
tb，所以 解得
λ＝
1，μ＝3（答案不唯一）　
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 设D为线段BC的中点，且 ＋ ＝－6 ，则下列结论正确的是
（　　）
A. ＝2 B. ＝3
C. ＝2 D. ＝3
解析： 　由D为线段BC的中点，且 ＋ ＝－6 ，得2 ＝－
6 ，则 ＝－3 ，所以 ＝3 .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
2. 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　）
A. a与λa的方向相反 B. a与λ2a的方向相同
C. ｜－λa｜≥｜a｜ D. ｜－λa｜≥｜λ｜a
解析： 　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa
的方向相反，故A不正确；对于B，显然λ2＞0，即B正确；对于C，｜－
λa｜＝｜λ｜｜a｜，由于｜λ｜与1的大小不确定，故｜－λa｜与｜
a｜的大小关系不确定，故C不正确；对于D，｜λ｜a是向量，而｜－
λa｜表示长度，两者不能比较大小，故D不正确.故选B.
√
3. 若｜ ｜＝8，｜ ｜＝5，则｜ ｜的取值范围是（　　）
A. [3，8] B. （3，8）
C. [3，13] D. （3，13）
解析： 　∵｜ ｜＝｜ － ｜，｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ －
｜≤｜ ｜＋｜ ｜，∴｜ ｜∈[3，13]，故选C.
√
4. （2024·重庆一模）在△ABC中，M是AC边上一点，且 ＝ ，N
是BM上一点，若 ＝ ＋m ，则实数m的值为（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　由 ＝ ，得出 ＝3 ，由 ＝ ＋m 得
＝ ＋m（ － ）＝（ ＋m） －m ＝（ ＋3m） －
m ，因为B，N，M三点共线，所以（ ＋3m）＋（－m）＝1，解得
m＝ ，故选D.
5. （2025·齐齐哈尔一模）已知向量a，b不共线， ＝λa＋b， ＝
a＋μb，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ＋4μ的最小
值为（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析： 　因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使 ＝k ，即
λa＋b＝k（a＋μb），又向量a，b不共线，所以 λμ＝
1，由λ＞0，μ＞0，所以λ＋4μ≥2 ＝4，当且仅当λ＝4μ时，取
“＝”号，故选B.
√
6. 设a，b是非零向量，则“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　对于充分性，易知｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的条件是
a，b方向相反，且｜a｜≥｜b｜，所以由｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜可
推出a∥b，所以充分性成立；对于必要性，若a∥b，a，b的方向也可
以相同，此时满足｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，因此必要性不成立，所以
“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
√
7. 〔多选〕在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点
O，则下列结论正确的是（　　）
A. － ＝ B. ｜ ＋2 ｜＝0
C. ＝ ＋ D. ＋ ＋ ＋ ＝0
√
√
√
解析： 　对于选项A， － ＝ ＝ ，故选项A正确；对于
选项B，由题知 ＝ ＝ ，所以 ＋2 ＝0，故｜ ＋2 ｜＝0，
故选项B正确；对于选项C， ＝ ＝ （ ＋2 ）＝ ＋
，故选项C错误；对于选项D， ＋ ＋ ＋ ＝0，故选项D正
确.故选A、B、D.
8. 若｜ ｜＝｜ ｜＝｜ － ｜＝2，则｜ ＋ ｜
＝ .
解析：因为｜ ｜＝｜ ｜＝｜ － ｜＝2，所以△ABC是边长为2
的正三角形，所以｜ ＋ ｜为△ABC的边BC上的高的2倍，所以｜
＋ ｜＝2 .
2 　
9. 已知向量a，b不共线，且 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a＋
λb.
（1）将 用a，b表示；
解： 因为 ＝2a－b， ＝3a＋b，
所以 ＝ － ＝3a＋b－（2a－b）＝a＋2b.
（2）若 与 共线，求λ的值.
解： 因为 与 共线， ＝2a－b， ＝a＋λb，
所以存在实数t，使 ＝t ，即2a－b＝t（a＋λb），
又向量a，b不共线，所以
解得t＝2，λ＝－ ，即λ的值为－ .
10. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾
股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形
与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若
＝a， ＝b， ＝3 ，则 ＝（　　）
A. a＋ b B. a＋ b
C. a＋ b D. a＋ b
√
解析： 　由题得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝
＋ （－ ＋ ），解得 ＝ ＋ ，即 ＝ a＋ b，故
选B.
11. 在△ABC中，D是直线AB上的点.若2 ＝ ＋λ ，记△ACB的
面积为S1，△ACD的面积为S2，则 ＝ 　 　.
解析：法一 易知 ＝ － ，因为2 ＝ ＋λ ，所
以2（ － ）＝ ＋λ ，得 ＝ ＋ .因为
A，B，D三点共线，所以 ＋ ＝1，所以λ＝－1.由2 ＝ － ，得2 ＝ ，即AB＝ AD，由△ACB和△ACD同高，所以 ＝ ＝ .
　
法二 因为A，B，D三点共线，所以存在唯一非零实数μ，使
得 ＝μ .易知 ＝ － ，所以 ＝μ ＝μ
－μ .又由已知得 ＝ ＋ ，所以μ＝ ，－μ＝ ，所以λ＝－1.则2 ＝ － ，可得2 ＝ ，AB＝ AD. 由△ACB和△ACD同高，所以 ＝ ＝ .
12. 在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2 ，BC＝2，点
E在线段CD上，若 ＝ ＋μ ，则μ的取值范围是 .
解析：由已知得AD＝1，CD＝ ，所以 ＝2 .因为点E在线段CD
上，所以 ＝λ （0≤λ≤1）.因为 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝
＋ ，又 ＝ ＋μ ，所以μ＝ .因为0≤λ≤1，所以
0≤μ≤ .
［0， ］　
13. 已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点
O在直线AB外，且 ＝ ＋ ，其中x＞0，y＞0，则x＋8y的最
小值为 .
解析：由题意可得 ＋ ＝1，所以x＋8y＝（x＋8y）·（ ＋ ）＝1＋
＋ ＋16≥17＋2 ＝25，当且仅当x＝5，y＝ 时等号成立.
25　
14. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设 ＝a，＝b.
（1）试用a，b表示 ， ， ；
解： 在△ABC中，因为 ＝a， ＝b，
所以 ＝ － ＝b－a，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋ （b－a）＝ a＋ b，
＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－a＋ b.
（2）证明：B，E，F三点共线.
解： 证明：因为 ＝－a＋ b，
＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－a＋ （ a＋ b）＝
－ a＋ b＝ （－a＋ b），
所以 ＝ ，所以 与 共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
15. （创新设问）设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数
t，｜b＋ta｜的最小值为1，则（　　）
A. 若θ确定，则｜a｜唯一确定
B. 若θ确定，则｜b｜唯一确定
C. 若｜a｜确定，则θ唯一确定
D. 若｜b｜确定，则θ唯一确定
√
解析： 　设a＝ ，b＝ ，过点B作OA的平行线l，设 ＝ta，则
P点在l上 ，即 ＝b＋ta，显然当 ⊥ 时，｜ ｜最小.此时，｜
｜＝｜b｜ sin θ（图1），或者｜ ｜＝｜b｜ sin （π－θ）（图
2），即1＝｜b｜ sin θ.所以若θ确定，则｜b｜唯一确定；若｜b｜确
定，则θ可能有两解，故选B.
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