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　平面向量模的性质及几何意义
一、平面向量模的性质及应用
性质1 对于平面向量a，b，－｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当a∥b，即
①当＜a，b＞＝0时，a·b＝｜a·b｜＝｜a｜｜b｜成立；
②当＜a，b＞＝π时，－｜a｜｜b｜＝a·b成立.（人A必修二P19向量数量积的性质（4））
（1）已知A（a，0），C（0，c），｜AC｜＝2，｜BC｜＝1，·＝0，O为坐标原点，则｜OB｜的取值范围是（　　）
A.（0，－1] B.（0，＋1]
C.[－1，＋1] D.[－1，＋∞）
（2）若平面向量a，b满足｜2a－b｜≤3，则a·b的最小值是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　本性质明确了平面向量中的a·b，｜a·b｜，｜a｜｜b｜及－｜a｜｜b｜这四个数量间的大小关系.可用该性质求向量中有关最值的问题，本例（1）利用了｜a·b｜≤｜a｜｜b｜求最值，本例（2）利用了－｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a｜｜b｜求最值.
（2025·青岛一模）已知平面向量a，b，c满足a·b＝，｜a－b｜＝3，（a－c）·（b－c）＝－2，则｜c｜的最大值为　　　　.
性质2 对于任意的平面向量a，b有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜成立.（人A必修二P9探究，P60复习参考题2（2）题）
（1）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足｜－－｜＝1，｜｜的最小值为（　　）
A.－1 B.2－1
C.2－1 D.－1
（2）已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝2，｜a＋b｜＝｜a－b｜，则｜a＋b＋c｜的最大值是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　对求｜a±b｜的最值问题，常利用三角不等式的向量形式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求最值，注意等号成立的条件.
已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝a·c＝2，且｜a＋λc｜≥｜a－c｜对任意实数λ恒成立，则｜a＋b｜＋｜b－c｜的最小值为（　　）
A.＋1　 B.2　 C.＋　 D.2
二、向量模的几何意义
1.若向量a，b不共线，则｜a＋b｜，｜a－b｜的几何意义为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长.（人A必修二P8平行四边形法则图6.2－4、P12向量减法的三角形法则图6.2－11及P61复习参考题14题）
记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则（　　）
A.min{｜a＋b｜，｜a－b｜}≤min{｜a｜，｜b｜}
B.min{｜a＋b｜，｜a－b｜}≥min{｜a｜，｜b｜}
C.max{（a＋b）2，（a－b）2}≥a2＋b2
D.max{（a＋b）2，（a－b）2}≤a2＋b2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　向量的加、减运算与三角形、平行四边形密切相关，向量的模可以刻画三角形、平行四边形的边长、对角线长等，从而以向量形式表现三角形、平行四边形中的位置、数量关系.
若非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　　）
A.｜2a｜＞｜2a＋b｜ B.｜2a｜＜｜2a＋b｜
C.｜2b｜＞｜a＋2b｜ D.｜2b｜＜｜a＋2b｜
2.将模长问题转化为圆的轨迹问题.（人B必修三 P114复习题C组5题）
（2023·全国乙卷理12题）已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝，则·的最大值为（　　）
A. B.
C.1＋ D.2＋
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　处理平面向量和直线与圆的位置关系的综合问题时，可以从向量的几何意义等多重角度进行分析，数形结合思想对寻求条件间的关联起到关键作用.向量的模还常常以圆为背景，涉及到弦、半径及隐圆的轨迹等问题.
已知·＝0，｜BC｜＝4，P是△ABC所在平面内任意一点，且满足｜｜＝1，则·的最小值是（　　）
A.－4 B.－3
C.－2 D.－1
考教衔接　平面向量模的性质及几何意义
【例1】 （1）C　（2）－　解析：（1）设B（x，y），由A（a，0），C（0，c），｜AC｜＝2，｜BC｜＝1，得a2＋c2＝4.x2＋（y－c）2＝1　①.因为·＝0，所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝，即（x－a）2＋y2＝5　②，联立①②得x2＋y2＝1＋ax＋cy，即ax＋cy＝x2＋y2－1.设m＝（a，c），则｜m·｜≤｜m｜｜｜，即｜ax＋cy｜≤＝2，当且仅当ay＝cx时，等号成立，令｜OB｜＝＝d，则｜d2－1｜≤2d.即或解得－1≤d≤＋1，故选C.
（2）｜2a－b｜≤3 4a2＋b2≤9＋4a·b，由4a2＋b2≥4｜a｜｜b｜≥－4a·b得9＋4a·b≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当a，b反向时等号成立.
类题演练
　解析：因为a·b＝，｜a－b｜＝3，所以｜a＋b｜＝＝＝4，所以（a＋b）·c≤｜a＋b｜｜c｜＝4｜c｜.又（a－c）·（b－c）＝－2，即c2－（a＋b）·c＋a·b＝－2，所以c2－4｜c｜＋≤0，解得≤｜c｜≤，所以｜c｜的最大值为.
【例2】 （1）C　（2）2＋　解析：（1）因为｜＋｜2＝＋＋2·＝｜｜2＋｜｜2＋2｜｜·｜｜·cos ＝12，所以｜＋｜＝2.由平面向量模的三角不等式可得｜｜＝｜（－－）＋（＋）｜≥｜｜－－｜－｜＋｜｜＝2－1，当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立，因此｜｜的最小值为2－1，故选C.
（2）因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以a⊥b，又因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以｜a＋b｜＝，由｜a＋b＋c｜≤｜a＋b｜＋｜c｜＝2＋可知，当a＋b与c同向时，｜a＋b＋c｜有最大值2＋.
类题演练
B　由｜a＋λc｜≥｜a－c｜，两边平方得a2＋2λa·c＋λ2c2≥a2－a·c＋c2.又a·c＝2，且｜a＋λc｜≥｜a－c｜对任意实数λ恒成立，即c2λ2＋4λ＋2－c2≥0恒成立，所以Δ＝16－4c2·（2－c2）≤0，即（c2－4）2≤0，所以c2＝4，即｜c｜＝2.由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，知｜a＋b｜＝｜a＋b｜，｜b－c｜＝｜c－b｜，所以｜a＋b｜＋｜b－c｜＝｜a＋b｜＋｜c－b｜≥｜a＋c｜＝＝2，当且仅当a＋b与c－b同向时取等号，故选B.
【例3】 C　根据向量加法的平行四边形法则与减法法则，容易证明[（a＋b）2＋（a－b）2]＝a2＋b2，则（a＋b）2，（a－b）2中一定有一个不小于a2＋b2，即max{（a＋b）2，（a－b）2}≥a2＋b2.故选C.
类题演练
C　如图，由｜a＋b｜＝｜b｜知△OBC为以OB为底边的等腰三角形，这时底边上的高｜｜＝｜＋b｜，显然｜｜＝｜＋b｜＜｜b｜＝｜｜，所以｜2b｜＞｜a＋2b｜.故选C.
【例4】 A　如图1所示，｜OA｜＝1，｜OP｜＝，由勾股定理可得｜PA｜＝＝1，∠APO＝.因为D为BC的中点，所以⊥，故点D在以OP为直径的圆M上运动（圆O内部分）.所以当D位于图2所示的位置时，在上的投影向量的模最大，其中DE⊥PA，且DE与圆M相切，故（·）max＝·＝｜｜·｜｜＝｜｜.设MD与OA交于点I，因为MD⊥DE，PE⊥DE，所以MD∥PE.又M是OP的中点，所以I是OA的中点，所以｜MI｜＝｜PA｜＝，｜ID｜＝｜MD｜－｜MI｜＝，故｜PE｜＝｜PA｜＋｜AE｜＝｜PA｜＋｜ID｜＝，即（·）max＝.故选A.
类题演练
B　∵·＝0，∴AB⊥AC，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），设B（0，y），C（x，0），又｜BC｜＝4，∴x2＋y2＝42.∵｜｜＝1，∴设P（cos θ，sin θ），∴·＝（－cos θ，y－sin θ）·（x－cos θ，－sin θ）＝－xcos θ＋cos2θ－ysin θ＋sin2θ＝－cos （θ－φ）＋1＝－4cos（θ－φ）＋1，其中tan φ＝，∵－1≤cos（θ－φ）≤1，∴－3≤·≤5，故·的最小值为－3，故选B.
2 / 2(共23张PPT)
考教衔接　平面向量模的性质及几何意义
高中总复习·数学
一、平面向量模的性质及应用
性质1 对于平面向量a，b，－｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a·b｜≤｜a｜｜
b｜，当且仅当a∥b，即
①当＜a，b＞＝0时，a·b＝｜a·b｜＝｜a｜｜b｜成立；
②当＜a，b＞＝π时，－｜a｜｜b｜＝a·b成立.（人A必修二P19向量数
量积的性质（4））
（1）已知A（a，0），C（0，c），｜AC｜＝2，｜BC｜＝1，
· ＝0，O为坐标原点，则｜OB｜的取值范围是（　C　）
A. （0， －1] B. （0， ＋1]
C. [－1， ＋1] D. [－1，＋∞）
C
解析： 设B（x，y），由A（a，0），C（0，c），｜AC｜＝
2，｜BC｜＝1，得a2＋c2＝4.x2＋（y－c）2＝1　①.因为 · ＝0，
所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝ ，即（x－a）2＋y2＝5　②，联立①②
得x2＋y2＝1＋ax＋cy，即ax＋cy＝x2＋y2－1.设m＝（a，c），则｜
m· ｜≤｜m｜｜ ｜，即｜ax＋cy｜≤ ＝
2 ，当且仅当ay＝cx时，等号成立，令｜OB｜＝ ＝
d，则｜d2－1｜≤2d.即 或 解得
－1≤d≤ ＋1，故选C.
（2）若平面向量a，b满足｜2a－b｜≤3，则a·b的最小值是 .
解析： ｜2a－b｜≤3 4a2＋b2≤9＋4a·b，由4a2＋b2≥4｜a｜｜
b｜≥－4a·b得9＋4a·b≥－4a·b，所以a·b≥－ ，当且仅当a，b反向
时等号成立.
－ 　
反思感悟
　　本性质明确了平面向量中的a·b，｜a·b｜，｜a｜｜b｜及－｜
a｜｜b｜这四个数量间的大小关系.可用该性质求向量中有关最值的问
题，本例（1）利用了｜a·b｜≤｜a｜｜b｜求最值，本例（2）利用了
－｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a｜｜b｜求最值.
（2025·青岛一模）已知平面向量a，b，c满足a·b＝ ，｜a－b｜＝3，
（a－c）·（b－c）＝－2，则｜c｜的最大值为 .
　
解析：因为a·b＝ ，｜a－b｜＝3，所以｜a＋b｜＝ ＝ ＝4，所以（a＋b）·c≤｜a＋b｜｜c｜＝4｜c｜.又（a－c）·（b－c）＝－2，即c2－（a＋b）·c＋a·b＝－2，所以c2－4｜c｜＋ ≤0，解得 ≤｜c｜≤ ，所以｜c｜的最大值为 .
性质2 对于任意的平面向量a，b有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜
a｜＋｜b｜成立.（人A必修二P9探究，P60复习参考题2（2）题）
（1）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P
满足｜ － － ｜＝1，｜ ｜的最小值为（　C　）
A. －1 B. 2 －1
C. 2 －1 D. －1
C
解析： 因为｜ ＋ ｜2＝ ＋ ＋2 · ＝｜ ｜2＋｜
｜2＋2｜ ｜·｜ ｜ cos ＝12，所以｜ ＋ ｜＝2 .由平面
向量模的三角不等式可得｜ ｜＝｜（ － － ）＋（ ＋
）｜≥｜｜ － － ｜－｜ ＋ ｜｜＝2 －1，当且仅当
－ － 与 ＋ 方向相反时，等号成立，因此｜ ｜的最小值
为2 －1，故选C.
（2）已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝2，｜a
＋b｜＝｜a－b｜，则｜a＋b＋c｜的最大值是 .
解析： 因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以a⊥b，又因为｜a｜＝
1，｜b｜＝2，所以｜a＋b｜＝ ，由｜a＋b＋c｜≤｜a＋b｜＋｜
c｜＝2＋ 可知，当a＋b与c同向时，｜a＋b＋c｜有最大值2＋ .
2＋ 　
反思感悟
　　对求｜a±b｜的最值问题，常利用三角不等式的向量形式｜｜a｜
－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求最值，注意等号成立的条件.
已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝a·c＝2，且｜a＋λc｜
≥｜a－ c｜对任意实数λ恒成立，则｜ a＋b｜＋｜ b－c｜的最小值
为（　　）
A. ＋1 B. 2
C. ＋ D. 2
√
解析： 　由｜a＋λc｜≥｜a－ c｜，两边平方得a2＋2λa·c＋
λ2c2≥a2－a·c＋ c2.又a·c＝2，且｜a＋λc｜≥｜a－ c｜对任意实
数λ恒成立，即c2λ2＋4λ＋2－ c2≥0恒成立，所以Δ＝16－4c2·（2－
c2）≤0，即（c2－4）2≤0，所以c2＝4，即｜c｜＝2.由｜a｜＝｜b｜
＝｜c｜＝2，知｜ a＋b｜＝｜a＋ b｜，｜ b－c｜＝｜c－ b｜，
所以｜ a＋b｜＋｜ b－c｜＝｜a＋ b｜＋｜c－ b｜≥｜a＋c｜＝
＝2 ，当且仅当a＋ b与c－ b同向时取等号，故选B.
二、向量模的几何意义
1. 若向量a，b不共线，则｜a＋b｜，｜a－b｜的几何意义为以a，b为
邻边的平行四边形的两条对角线的长.（人A必修二P8平行四边形法则图
6.2－4、P12向量减法的三角形法则图6.2－11及P61复习参考题14题）
A. min{｜a＋b｜，｜a－b｜}≤min{｜a｜，｜b｜}
B. min{｜a＋b｜，｜a－b｜}≥min{｜a｜，｜b｜}
C. max{（a＋b）2，（a－b）2}≥a2＋b2
D. max{（a＋b）2，（a－b）2}≤a2＋b2
解析： 　根据向量加法的平行四边形法则与减法法则，容易证明 [（a
＋b）2＋（a－b）2]＝a2＋b2，则（a＋b）2，（a－b）2中一定有一个
不小于a2＋b2，即max{（a＋b）2，（a－b）2}≥a2＋b2.故选C.
记max{x，y}＝ min{x，y}＝ 设a，b为
平面向量，则（　　）
√
反思感悟
　　向量的加、减运算与三角形、平行四边形密切相关，向量的模可以刻
画三角形、平行四边形的边长、对角线长等，从而以向量形式表现三角
形、平行四边形中的位置、数量关系.
若非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　　）
A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜
C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜
解析： 　如图，由｜a＋b｜＝｜b｜知△OBC为以OB
为底边的等腰三角形，这时底边上的高｜ ｜＝｜ ＋
b｜，显然｜ ｜＝｜ ＋b｜＜｜b｜＝｜ ｜，所
以｜2b｜＞｜a＋2b｜.故选C.
√
2. 将模长问题转化为圆的轨迹问题.（人B必修三 P114复习题C组5题）
（2023·全国乙卷理12题）已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于
点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝
，则 · 的最大值为（　　）
A. B.
C. 1＋ D. 2＋
√
解析： 　如图1所示，｜OA｜
＝1，｜OP｜＝ ，由勾股定
理可得｜PA｜＝
＝1，
∠APO＝ .因为D为BC的中点，所以 ⊥ ，故点D在以OP为直径的圆M上运动（圆O内部分）.所以当D位于图2所示的位置时， 在 上的投影向量的模最大，其中DE⊥PA，且DE与圆M相切，故（ · ）max＝ · ＝｜ ｜·｜ ｜＝｜ ｜.设MD与OA交于点I，因为
MD⊥DE，PE⊥DE，所以MD∥PE.
又M是OP的中点，所以I是OA的中点，所以｜MI｜＝ ｜PA｜＝ ，｜ID｜＝｜MD｜－｜MI｜＝ ，故｜PE｜＝｜PA｜＋｜AE｜＝｜PA｜＋｜ID｜＝ ，即（ · ）max＝ .故选A.
反思感悟
　　处理平面向量和直线与圆的位置关系的综合问题时，可以从向量的几
何意义等多重角度进行分析，数形结合思想对寻求条件间的关联起到关键
作用.向量的模还常常以圆为背景，涉及到弦、半径及隐圆的轨迹等问题.
已知 · ＝0，｜BC｜＝4，P是△ABC所在平面内任意一点，且满
足｜ ｜＝1，则 · 的最小值是（　　）
A. －4 B. －3
C. －2 D. －1
√
解析： 　∵ · ＝0，∴AB⊥AC，建立如图所示的
平面直角坐标系，则A（0，0），设B（0，y），C
（x，0），又｜BC｜＝4，∴x2＋y2＝42.∵｜ ｜＝
1，∴设P（ cos θ， sin θ），∴ · ＝（－ cos
θ，y－ sin θ）·（x－ cos θ，－ sin θ）＝－x cos θ＋ cos 2θ－y sin θ＋ sin 2θ＝－ cos （θ－φ）＋1＝－4 cos （θ－φ）＋1，其中tan φ＝ ，∵－1≤ cos （θ－φ）≤1，∴－3≤ · ≤5，故 · 的最
小值为－3，故选B.
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