资源简介 平面向量与三角形的“四心” 三角形的“四心”即重心、内心、外心、垂心，它们常常是联系三角形与平面向量的纽带.已知O是△ABC所在平面内的任意一点，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，则O对应“四心”时，有各自的等价条件（即充要条件），如下.表述 等价表述O为重心 ＋＋＝0O为内心 a＋b＋c＝0O为外心 （＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0O为垂心 ·＝·＝·平面向量与三角形的重心（2024·遂宁一模）若点P为△ABC的重心，35sin∠BAC·＋21sin∠ABC·＋15sin∠ACB·＝0，则cos∠BAC＝ .听课记录 点评 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，设O是△ABC的重心，则①＋＋＝0或3＝＋＋（其中P为平面内任意一点）；②重心O到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.平面向量与三角形的垂心“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，表述如下：已知点O是△ABC内的一点，将△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·＋S2·＋S3·＝0.如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则cos∠ACB＝（ ）A. B. C. D.听课记录 点评 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心，设O为△ABC的垂心，则①·＝·＝·；②向量λ（＋）（λ≠0）所在的直线过点O（该向量表示BC边上的高线AD所在的直线）.平面向量与三角形的内心在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）A. B.C.4 D.6听课记录 点评 三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心.设△ABC的内心为O点，则①内心O到△ABC三边的距离相等，O为△ABC内切圆的圆心；②向量λ（＋）（λ≠0）所在的直线过点O（该向量表示∠BAC的平分线所在的直线）.平面向量与三角形的外心（2024·张家口统考）已知点O，P均在△ABC所在平面内，若｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜＝2，∠BAC＝120°，则·的取值范围为 .听课记录 点评 三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.设O为△ABC的外心，则①｜｜＝｜｜＝｜｜，O为△ABC外接圆的圆心；②（＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0.1.在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝（ ）A.－ B.C.－ D.2.P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的（ ）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心3.（2025·南充一模）已知点P在△ABC所在平面内，若·（－）＝·（－）＝0，则点P是△ABC的（ ）A.外心 B.垂心C.重心 D.内心4.在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AB＞AC，H为△ABC的垂心，·＝20，O为△ABC的外心，且·＝｜｜·｜｜，则BC＝（ ）A.9 B.8C.7 D.6微突破 平面向量与三角形的“四心”类型1【例1】 解析：如图，设点D为BC边上的中点，连接PD，因为点P为△ABC的重心，所以AP＝2PD，则＋＝2＝－，所以＋＋＝0，所以＝－－.因为35sin∠BAC·＋21sin∠ABC·＋15sin∠ACB·＝0，所以35sin∠BAC·（－－）＋21sin∠ABC·＋15sin∠ACB·＝0，即（21sin∠ABC－35sin∠BAC）＝（35sin∠BAC－15sin∠ACB）.因为，不共线且≠0，≠0，所以21sin∠ABC－35sin∠BAC＝0，35sin∠BAC－15sin∠ACB＝0，所以35sin∠BAC＝21sin∠ABC＝15sin∠ACB.设△ABC的内角∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，由正弦定理可得35a＝21b＝15c.不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则cos∠BAC＝＝＝.类型2【例2】 B 如图，延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，分别记△BOC，△AOC，△AOB的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2＝（OC·BP）∶（·OC·AP）＝BP∶AP＝∶＝tan∠BAC∶tan∠ABC.同理可得S1∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ACB，∴S1∶S2∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.又S1·＋S2·＋S3·＝0，∴tan∠BAC·＋tan∠ABC·＋tan∠ACB·＝0.又＋2＋3＝0，∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.不妨设tan∠BAC＝k，tan∠ABC＝2k，tan∠ACB＝3k，其中k≠0.∵tan∠BAC＝－tan（∠ABC＋∠ACB）＝－，∴k＝－，解得k＝±1.当k＝－1时，tan∠BAC＜0，tan∠ABC＜0，tan∠ACB＜0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不合题意，舍掉.故k＝1，则tan∠ACB＝3＞0，故∠ACB为锐角，∴得cos∠ACB＝，故选B.类型3【例3】 B 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝（a＋b＋c）r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.故选B.类型4【例4】 [－2，6]解析：因为｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜，所以O为△ABC的外心，且P为△ABC外接圆上一动点，又｜｜＝｜｜＝2，∠BAC＝120°，所以BC＝2，则△ABC外接圆的半径r＝×＝2.如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D，则在方向上的投影向量是，所以·＝｜｜·｜｜cos∠PAB＝±｜｜·｜｜，所以当PD与圆相切时，·取最值，即P在P1（直线CO与圆的另一个交点）处时，·取最大值，为6，P与C重合时，·取最小值，为－2.所以·的取值范围为[－2，6].跟踪训练1.A 设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝（＋）＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－.2.D 由·＝·，得·－·＝0，即·（－）＝0，即·＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.3.D 在△ABC中，由·（－）＝0，得·＝·，即·＝·，由·（－）＝0，同理得·＝·.显然≠0，即P与A不重合，则｜｜cos∠PAC＝｜｜cos∠PAB，即cos∠PAC＝cos∠PAB，∠PAC＝∠PAB，于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心，故选D.4.C 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如图，连接BH并延长，交AC于D，连接AH并延长，交BC于E，则BD⊥AC，·＝｜｜·｜｜＝｜｜cos 60°·｜｜＝20，则bc＝40.连接OB，因为O为△ABC的外心，所以∠AOB＝2C，则∠BAO＝90°－C，又在△ABE中，∠BAE＝90°－∠ABC，故∠OAH＝90°－∠ABC－（90°－C）＝C－∠ABC，所以cos（C－∠ABC）＝cos ∠OAH＝＝，结合cos（C＋∠ABC）＝－得sin Csin∠ABC＝，所以由正弦定理得＝（）2＝，即BC2·＝，解得BC＝7.故选C.2 / 2(共22张PPT)微突破 平面向量与三角形的“四心”高中总复习·数学 三角形的“四心”即重心、内心、外心、垂心，它们常常是联系三角形与平面向量的纽带.已知O是△ABC所在平面内的任意一点，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，则O对应“四心”时，有各自的等价条件（即充要条件），如下.表述 等价表述O为重心 ＋ ＋ ＝0O为内心 a ＋b ＋c ＝0O为外心 （ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝0O为垂心 · ＝ · ＝ ·平面向量与三角形的重心（2024·遂宁一模）若点P为△ABC的重心，35 sin ∠BAC· ＋21sin ∠ABC· ＋15 sin ∠ACB· ＝0，则 cos ∠BAC＝ . 解析：如图，设点D为BC边上的中点，连接PD，因为点P为△ABC的重心，所以AP＝2PD，则 ＋ ＝2 ＝－，所以 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－ － .因为35 sin ∠BAC· ＋21 sin ∠ABC· ＋15 sin ∠ACB· ＝0，所以35 sin ∠BAC·（－ － ）＋21 sin ∠ABC· ＋15 sin ∠ACB·＝0，即（21 sin ∠ABC－35 sin ∠BAC） ＝（35 sin ∠BAC－15 sin ∠ACB） .因为 ， 不共线且 ≠0， ≠0，所以21 sin ∠ABC－35 sin ∠BAC＝0，35 sin ∠BAC－15 sin ∠ACB＝0，所以35 sin ∠BAC＝21 sin ∠ABC＝15 sin ∠ACB.设△ABC的内角∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，由正弦定理可得35a＝21b＝15c.不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ .点评 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，设O是△ABC的重心，则① ＋ ＋ ＝0或3 ＝ ＋ ＋ （其中P为平面内任意一点）；②重心O到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.平面向量与三角形的垂心“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，表述如下：已知点O是△ABC内的一点，将△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1· ＋S2· ＋S3· ＝0.如图，已知O是△ABC的垂心，且 ＋2 ＋3 ＝0，则 cos ∠ACB＝（ ）A. B.C. D.√解析： 如图，延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，分别记△BOC，△AOC，△AOB的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2＝（ OC·BP）∶（ ·OC·AP）＝BP∶AP＝ ∶ ＝tan∠BAC∶tan∠ABC. 同理可得S1∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ACB，∴S1∶S2∶S3＝tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.又S1· ＋S2· ＋S3· ＝0，∴tan∠BAC· ＋tan∠ABC· ＋tan∠ACB· ＝0.又 ＋2 ＋3 ＝0，tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.不妨设tan∠BAC＝k，tan∠ABC＝2k，tan∠ACB＝3k，其中k≠0.∵tan∠BAC＝－tan（∠ABC＋∠ACB）＝－ ，∴k＝－ ，解得k＝±1.当k＝－1时，tan∠BAC＜0，tan∠ABC＜0，tan∠ACB＜0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不合题意，舍掉.故k＝1，则tan∠ACB＝3＞0，故∠ACB为锐角，∴ 得 cos ∠ACB＝ ，故选B.点评 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心，设O为△ABC的垂心，则① · ＝ · ＝ · ；②向量λ（ ＋ ）（λ≠0）所在的直线过点O（该向量表示BC边上的高线AD所在的直线）.平面向量与三角形的内心在△ABC中，AB＝5，AC＝6， cos A＝ ，O是△ABC的内心，若＝x ＋y ，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）A. B.C. 4 D. 6√解析： 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则 bc sin A＝ （a＋b＋c）r，解得r＝ ，所以S△BOC＝ ×a×r＝ ×7× ＝ .故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝ .故选B.点评 三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心.设△ABC的内心为O点，则①内心O到△ABC三边的距离相等，O为△ABC内切圆的圆心；②向量λ（ ＋ ）（λ≠0）所在的直线过点O（该向量表示∠BAC的平分线所在的直线）.平面向量与三角形的外心（2024·张家口统考）已知点O，P均在△ABC所在平面内，若｜｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，｜ ｜＝｜ ｜＝2，∠BAC＝120°，则 · 的取值范围为 .[－2，6] 解析：因为｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，所以O为△ABC的外心，且P为△ABC外接圆上一动点，又｜ ｜＝｜ ｜＝2，∠BAC＝120°，所以BC＝2 ，则△ABC外接圆的半径r＝ × ＝2.如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D，则 在 方向上的投影向量是 ，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠PAB＝±｜ ｜·｜ ｜，所以当PD与圆相切时， · 取最值，即P在P1（直线CO与圆的另一个交点）处时， · 取最大值，为6，P与C重合时， · 取最小值，为－2.所以 · 的取值范围为[－2，6].点评 三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.设O为△ABC的外心，则①｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，O为△ABC外接圆的圆心；②（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝0.1. 在△ABC中，O为△ABC的重心，若 ＝λ ＋μ ，则λ－2μ＝（ ）A. － B.C. － D.解析： 设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以 ＝ ＝（ ＋ ）＝－ ＋ × ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝ ，所以λ－2μ＝－ .√2. P是△ABC所在平面上一点，若 · ＝ · ＝ · ，则P是△ABC的（ ）A. 外心 B. 内心C. 重心 D. 垂心解析： 由 · ＝ · ，得 · － · ＝0，即 ·（ －）＝0，即 · ＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.√3. （2025·南充一模）已知点P在△ABC所在平面内，若 ·（ －）＝ ·（ － ）＝0，则点P是△ABC的（ ）A. 外心 B. 垂心C. 重心 D. 内心√解析： 在△ABC中，由 ·（ － ）＝0，得 ·＝ · ，即 · ＝ · ，由 ·（ － ）＝0，同理得 · ＝ · .显然 ≠0，即P与A不重合，则｜ ｜ cos ∠PAC＝｜ ｜ cos ∠PAB，即 cos ∠PAC＝ cos ∠PAB，∠PAC＝∠PAB，于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心，故选D.4. 在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AB＞AC，H为△ABC的垂心，· ＝20，O为△ABC的外心，且 · ＝ ｜ ｜·｜ ｜，则BC＝（ ）A. 9 B. 8C. 7 D. 6√解析： 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如图，连接BH并延长，交AC于D，连接AH并延长，交BC于E，则BD⊥AC， · ＝｜｜·｜ ｜＝｜ ｜ cos 60°·｜ ｜＝20，则bc＝40.连接OB，因为O为△ABC的外心，所以∠AOB＝2C，则∠BAO＝90°－C，又在△ABE中，∠BAE＝90°－∠ABC，故∠OAH＝90°－∠ABC－（90°－C）＝C－∠ABC，所以 cos （C－∠ABC）＝ cos∠OAH＝ ＝ ，结合 cos （C＋∠ABC）＝－ 得 sin C sin ∠ABC＝ ，所以由正弦定理得 ＝（ ）2＝ ，即BC2· ＝ ，解得BC＝7.故选C.THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微突破 平面向量与三角形的“四心”.docx 微突破 平面向量与三角形的“四心”.pptx
资源列表
