资源简介

　无穷等比数列的探究与应用
　　随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查，数列中的试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点，不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用.
一、挖掘教材
（人A选二P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？
继续探究
探究1　求和：＋＋…＋.
设Sn＝＋＋…＋，
则Sn＝＝1－（）n.
探究2　求和：＋＋…＋＋….
由探究1知Sn＝＋＋…＋＝1－（）n，
当n→＋∞时，（）n→0，从而Sn→1，
即＋＋…＋＋…趋近于1.
探究3　如图，在一个面积为1的正方形中，第一次将正方形分割成两个面积相等的长方形，第二次把所得到的长方形分割得到两个面积为的正方形，依此方法一直继续下去，那么所有分得的正（长）方形的面积之和为多少？
设所求面积之和为S，则S＝＋＋…＋＋…，
由探究2知所有面积之和趋近于1.
从图形中可以看出，所有面积之和就等于正方形的面积1.
反思感悟
　　一般地，数列{an}是公比为q（0＜q＜1）的等比数列，其前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝，当n→＋∞时，qn→0，Sn→，即Sn＝.
二、拓展探究
无穷等比数列在不等式放缩中的应用
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，求证：Sn＜.
反思感悟
　　等比数列放缩过程要适度，为避免放缩过大，可保留数列的前n项不变，只放缩后边的项.
无穷等比数列在无限循环小数化为分数中的应用
阅读下列材料：有理数都能表示成（p，q∈Z，且q≠0，p与q互质）的形式，从而有理数集Q＝{｜p，q∈Z，q≠0，p与q互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.例如：0.＝0.3＋0.03＋0.003＋…＝＝.则循环小数1.化成分数为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　根据有限小数或者无限循环小数都可以化为的形式，即可把循环小数1.用等比数列前n项和表示出来，进而运用公式即可化成分数.
无穷等比数列在“分形几何学”求面积中的应用
雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于的定值为（　　）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟
　　依次计算得到第n次操作后面积Sn＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2＋…＋3×4n－1×（）2，按照等比数列求和公式得到Sn＝a2［－·（）n］，再由n→＋∞时，（）n→0得到结果.
无穷等比数列在自由落体运动中的应用
一个弹性小球从10米处自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　）
A.50 B.80
C.90 D.100
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　小球在运动中所经过的总路程可以用无穷数列{2×10×（）n}的前n项和表示出来，再利用极限思想即可求出结果.
无穷等比数列在解析几何中的应用
已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn－1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线l的交点依次记为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形，△Q1P1O，△Q2P2P1，…，△Qn－1Pn－1Pn－2，若这些三角形的面积之和为Sn，则当n→＋∞时，Sn的定值为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　根据所给条件，结合几何关系，先求第i个小直角三角形的面积，列式求和，最后求极限.
三、回顾反思
通过无穷数列在各知识领域中的应用，启发学生分析、思考问题，拓展知识视野，增强获取知识的能力，激发创新思维，提升数学关键能力.
考教衔接　无穷等比数列的探究与应用
一、挖掘教材
解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，
则a1＝25.
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ak.
因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列.
设{an}的前n项和为Sn.
（1）S10＝＝50×［1－（）10］＝.
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2.
（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋….
而Sn＝＝50［1－（）n］，
随着n的无限增大，（）n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50.
二、拓展探究
探究1
【例1】 证明：an＝＜.当n＝1时，S1＝＜成立.当n≥2时，Sn＜＋（＋＋…＋）＝＋＝＋，当n→＋∞时，→0且＞0.所以Sn＜＋＝.综上，Sn＜.
探究2
【例2】 D　1.＝1＋0.27＋0.002 7＋0.000 027＋…，设Sn＝0.27×100＋0.27×10－2＋…＋0.27×10－2n＋2，则Sn＝，当n→＋∞时10－2n→0.Sn→＝，所以当n→＋∞时，1.＝Sn＋1＝，故选D.
探究3
【例3】 A　由题意知，初始三角形的面积S0＝a2，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积S1＝a2＋3×（）2；第二次操作后，增加了3×4个边长为的等边三角形，此时面积S2＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2；…；第n次操作后，增加了3×4n－1个边长为的等边三角形，此时面积Sn＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2＋…＋3×4n－1×（）2＝a2（1＋＋＋…＋）＝a2［1＋］＝a2［－·（）n］，当n→＋∞时，（）n→0，Sn→a2×＝a2.故选A.
探究4
【例4】 C　由题意知小球第n次的路程为2×10×（）n－1，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10×＋2×10×（）2＋2×10×（）3＋…＋2×10×（）n－1－10＝2×－10＝100［1－（）n］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋∞时，（）n→0，Sn→90.故选C.
探究5
【例5】 　解析：根据题意，各个小直角三角形的底边长为，第i（i＝1，2，3，…，n－1）个三角形的高QiPi＝1－，面积为（1－），所以面积之和Sn＝（1－＋1－＋1－＋…＋1－）＝（n－1－－－－…－）＝［（n－1）－（）］＝（－）＝－，当n→＋∞时→0，Sn→.
3 / 3(共25张PPT)
考教衔接　无穷等比数列的探究与应用
高中总复习·数学
　　随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素
养的全面考查，数列中的试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点，
不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力
的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用.
一、挖掘教材
（人A选二P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5 cm，
取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正
方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，
K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，
a3，…，an，…，
则a1＝25.
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝
ak.
因此，{an}是以25为首项， 为公比的等比数列.
设{an}的前n项和为Sn.
（1）S10＝ ＝50×［1－（ ）10］＝
.
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2.
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和
将趋近于多少？
解：当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积
和a1＋a2＋a3＋…＋an＋….
而Sn＝ ＝50［1－（ ）n］，
随着n的无限增大，（ ）n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50.
继续探究
探究1　求和： ＋ ＋…＋ .
设Sn＝ ＋ ＋…＋ ，
则Sn＝ ＝1－（ ）n.
探究2　求和： ＋ ＋…＋ ＋….
由探究1知Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝1－（ ）n，
当n→＋∞时，（ ）n→0，从而Sn→1，
即 ＋ ＋…＋ ＋…趋近于1.
探究3　如图，在一个面积为1的正方形中，第一次将正方形分割成两个面
积相等的长方形，第二次把所得到的长方形分割得到两个面积为 的正方
形，依此方法一直继续下去，那么所有分得的正（长）方形的面积之和为
多少？
设所求面积之和为S，则S＝ ＋ ＋…＋ ＋…，
由探究2知所有面积之和趋近于1.
从图形中可以看出，所有面积之和就等于正方形的面积1.
反思感悟
　　一般地，数列{an}是公比为q（0＜q＜1）的等比数列，
其前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ，当n→＋∞时，qn→0，Sn→ ，即 Sn＝ .
二、拓展探究
无穷等比数列在不等式放缩中的应用
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝ ，求证：Sn＜ .
证明：an＝ ＜ .当n＝1时，S1＝ ＜ 成立.当n≥2时，Sn＜ ＋
（ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋ ＝ ＋ ，当n→＋∞时， →0且
＞0.所以Sn＜ ＋ ＝ .综上，Sn＜ .
反思感悟
　　等比数列放缩过程要适度，为避免放缩过大，可保留数列的前n项不
变，只放缩后边的项.
无穷等比数列在无限循环小数化为分数
中的应用
阅读下列材料：有理数都能表示成 （p，q∈Z，且q≠0，p与q互
质）的形式，从而有理数集Q＝{ ｜p，q∈Z，q≠0，p与q互质}，任
何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者
无限循环小数也可以化为 的形式，从而是有理数.例如：0. ＝0.3＋
0.03＋0.003＋…＝ ＝ .则循环小数1. 化成分数为（　　）
√
解析： 　1. ＝1＋0.27＋0.002 7＋0.000 027＋…，设Sn＝0.27×100
＋0.27×10－2＋…＋0.27×10－2n＋2，则Sn＝ ，当n→＋
∞时10－2n→0.Sn→ ＝ ，所以当n→＋∞时，1. ＝Sn＋1＝ ，
故选D.
反思感悟
　　根据有限小数或者无限循环小数都可以化为 的形式，即可把循环小
数1. 用等比数列前n项和表示出来，进而运用公式即可化成分数.
无穷等比数列在“分形几何学”求面积
中的应用
雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.
如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每
条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等
边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图
形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的
尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限
长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复
上述操作，雪花曲线围成的面积趋于的定值为（　　）
√
解析： 　由题意知，初始三角形的面积S0＝ a2，第一次操作后，增加
了3个边长为 的等边三角形，此时面积S1＝ a2＋3× （ ）2；第二次
操作后，增加了3×4个边长为 的等边三角形，此时面积S2＝ a2＋
3× （ ）2＋3×4× （ ）2；…；
第n次操作后，增加了3×4n－1个边长为 的等边三角形，此时面积Sn＝
a2＋3× （ ）2＋3×4× （ ）2＋…＋3×4n－1× （ ）2＝ a2
（1＋ ＋ ＋…＋ ）＝ a2［1＋ ］＝ a2［ － ·（ ）
n］，当n→＋∞时，（ ）n→0，Sn→ a2× ＝ a2.故选A.
反思感悟
　　依次计算得到第n次操作后面积Sn＝ a2＋3× （ ）2＋3×4×
（ ）2＋…＋3×4n－1× （ ）2，按照等比数列求和公式得到Sn＝
a2［ － ·（ ）n］，再由n→＋∞时，（ ）n→0得到结果.
无穷等比数列在自由落体运动中的应用
一个弹性小球从10米处自由落下，着地后反弹到原来高度的 处，再
自由落下，又弹回到上一次高度的 处，假设这个小球能无限次反弹，则
这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　）
A. 50 B. 80
C. 90 D. 100
√
解析： 　由题意知小球第n次的路程为2×10× ，则这个小球在这
次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10× ＋2×10×（ ）2＋
2×10×（ ）3＋…＋2×10×（ ）n－1－10＝2× －10＝
100［1－（ ）n］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋∞时，
（ ）n→0，Sn→90.故选C.
反思感悟
　　小球在运动中所经过的总路程可以用无穷数列{2×10×（ ）n}的前
n项和表示出来，再利用极限思想即可求出结果.
无穷等比数列在解析几何中的应用
已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左
至右依次记为P1，P2，…，Pn－1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线
l的交点依次记为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形，
△Q1P1O，△Q2P2P1，…，△Qn－1Pn－1Pn－2，若这些三角形的面积之和为
Sn，则当n→＋∞时，Sn的定值为 .
　
解析：根据题意，各个小直角三角形的底边长为 ，
第i（i＝1，2，3，…，n－1）个三角形的高QiPi＝
1－ ，面积为 （1－ ），所以面积之和Sn＝
（1－ ＋1－ ＋1－ ＋…＋1－ ）＝ （n－1－ － － －…－ ）＝ ［（n－1）－（ ）］＝ （ － ）＝ － ，当n→＋∞时， →0，Sn→ .
反思感悟
　　根据所给条件，结合几何关系，先求第i个小直角三角形的面积，列
式求和，最后求极限.
三、回顾反思
　　通过无穷数列在各知识领域中的应用，启发学生分析、思考问题，拓
展知识视野，增强获取知识的能力，激发创新思维，提升数学关键能力.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑