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第三节　等比数列
1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（　　）
A.－ B.－2
C.2 D.
2.（2025·蚌埠教学质量检查）已知各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4＋log3a6＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.9
3.（2025·扬州模拟）各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝，S3＝，则公比q＝（　　）
A.－2 B.－1
C.－ D.
4.（2025·襄阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＋S24＝140，且S24＝13S8，则S16＝（　　）
A.40 B.－30
C.30 D.－30或40
5.〔多选〕已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝3，a2a4＝144，其前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则下列说法中正确的是（　　）
A.数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1
B.Sn＝3×2n－1
C.Tn随n的增大而增大
D.≤Tn＜
6.在正项等比数列{an}中，若a3a5a7＝27，则log3ai＝　　　　.
7.（2024·成都七校期中）数列{an}满足a1＝a2＝1，a2n＋1－a2n－1＝2，＝2，数列{an}的前n项和记为Sn，则S23＝　　　　.
8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　　　　.
9.（2024·全国甲卷文17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn＝3an＋1－3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和.
10.已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝b10，则以下命题中正确的是（　　）
A.a1＞b1 B.a5＞b5
C.a6＜b6 D.a17＞b17
11.若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕（2025·南充部分学校联考）各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＞1，公比q≠1，则下列说法正确的是（　　）
A.若T6＝T10，则必有T16＝1
B.若T6＝T10，则必有T8是数列{Tn}的最大项
C.若T7＞T8，则必有T6＞T7
D.若T7＞T8，则必有T8＞T9
13.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋an＝2n，Sn＝1 365，则n＝　　　　.
14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2.
（1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}落入区间（10，2 026）的所有项的和.
15.（创新知识交汇）如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn＋1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D1，D2，…，Dn，….设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为Xn（n∈N*），则Xn＝（　　）
A.πa2（）n－1
B.πa2［1－（）n］
C.πa2［1－（）n］
D.πa2［（）n－1－（）n－1＋1］
16.（新定义）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”.
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n－1＋1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由.
第三节　等比数列
1.D　由题意，知q3＝＝，即q＝.故选D.
2.C　因为{an}是等比数列，所以＝a4a6，所以a4a6＝81，所以log3a4＋log3a6＝log381＝log334＝4.故选C.
3.C　由题意知，数列{an}为各项均不相等的等比数列，设其公比为q（q≠1），则S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝，由a1a5＝＝，得a3＝±.当a3＝时，由得2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1（舍）；当a3＝－时，由得4q2＋q＋1＝0，Δ＝1－16＝－15＜0，无解.综上，q＝－，故C正确.
4.A　因为S8＋S24＝140，且S24＝13S8，所以S8＝10，S24＝130，故q≠±1，所以＝＝（q8）2＋q8＋1＝13，即（q8）2＋q8－12＝0，解得q8＝3或q8＝－4（舍去），由等比数列性质可知，S8，S16－S8，S24－S16成等比数列，公比为q8＝3，所以S16－10＝10×q8＝30，解得S16＝40.
5.ACD　由题意得a2a4＝＝144，因为各项均为正数，所以a3＝12，q2＝＝4，q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1，故选项A正确；Sn＝＝3×2n－3，故选项B错误；bn＝＝－，累加得Tn＝－＜，且Tn随n的增大而增大，所以Tn≥T1＝，故≤Tn＜，故选项C、D正确.故选A、C、D.
6.9　解析：因为a3a5a7＝27，所以＝27，解得a5＝3，所以log3ai＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＝log3（a1a2…a8a9）＝log3＝log339＝9.
7.2 191　解析：∵a1＝1，a2n＋1－a2n－1＝2，∴数列{a2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a2n－1＝1＋（n－1）×2＝2n－1.∵a2＝1，＝2，∴数列{a2n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a2n＝2n－1.∴S23＝（a1＋a3＋…＋a23）＋（a2＋a4＋…＋a22）＝＋＝2 191.
8.　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为（）10＝.
9.解：（1）因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，
即an＋2＝an＋1，所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，
所以a1＝1，故an＝（）n－1.
（2）因为2Sn＝3an＋1－3，
所以Sn＝（an＋1－1）＝［（）n－1］，
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝×－n＝×（）n－n－.
10.B　由题意可知：点（n，an）在一次函数图象上，点（n，bn）在指数型函数图象上，两图象交点横坐标为2和10，两图象只有同增或同减时才有两个交点，如图，
由图可知：a1＜b1，a5＞b5，a6＞b6，a17＜b17.故选B.
11.B　若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列.则b4＝2×＝，故选B.
12.ABD　对于A，若T6＝T10，则a7a8a9a10＝1，即有a7a10＝a8a9＝1，根据等比数列的性质，得a6a11＝a5a12＝a4a13＝a3a14＝a2a15＝a1a16＝1，即T16＝1，A正确；对于B，若0＜q＜1，则等比数列{an}递减，结合A选项分析知，{an}的前8项均大于1，从第9项开始小于1，则T8是数列{Tn}的最大项；若q＞1，则等比数列{an}递增，因为a1a16＝1，所以a1＜1，a16＞1，与a1＞1矛盾，B正确；对于C，若T7＞T8，则＝a8＜1，而a1＞1，此时数列{an}递减，若a7＞1，则＞1，此时T7＞T6；若a7＜1，则＜1，此时T7＜T6，故C错误；对于D，＝a8＜1，而a1＞1，所以数列{an}递减，所以a9＜1，所以＜1，即T8＞T9，D正确.
13.11　解析：an＋1＋an＝2n，即数列{an}的任意相邻两项之和是偶数，而Sn＝1 365和a1＝1都是奇数，则n必为奇数，故Sn＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（an－1＋an）＝1＋22＋24＋…＋2n－1＝＝，于是由＝1 365得2n＋1＝4 096＝212，故n＋1＝12，从而n＝11.
14.解：（1）由an＋1＝2an＋2，
得an＋1＋2＝2（an＋2），
又a1＋2＝3，
所以＝2，
所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
所以an＋2＝3×2n－1，
an＝3×2n－1－2.
（2）由10＜an＜2 026，
得10＜3×2n－1－2＜2 026，
即4＜2n－1＜676，即4≤n≤10，
故{an}落入区间（10，2 026）的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，
所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝3×（23＋24＋…＋29）－2×7
＝3×－14
＝3 034.
15.B　设rn为圆Dn的半径，则r1＝tan 30°＝a.设圆Dn与AC切于点F，连接DnDn＋1，DnF，过Dn＋1作Dn＋1E⊥DnF于点E，则DnDn＋1＝rn＋rn＋1，DnE＝rn－rn＋1，所以＝＝sin 30°＝，整理，得rn＋1＝rn.设Sn为圆Dn的面积，则S1＝π＝a2，＝＝（）2＝（n∈N*），所以数列{Sn}是首项为a2，公比为的等比数列，所以Xn＝＝πa2［1－（）n］，故选B.
16.解：（1）{an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”.
{an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”；
{bn}中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以{bn}不是“等比源数列”.
（2）{cn}不是“等比源数列”.理由如下：
假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列，
即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列，
也就是＝cmck，即（2n－1＋1）2＝（2m－1＋1）·（2k－1＋1），22n－2＋2n＝2m＋k－2＋2m－1＋2k－1，两边同时除以2m－1，
得22n－m－1＋2n－m＋1＝2k－1＋1＋2k－m，
等式左边22n－m－1＋2n－m＋1为偶数，
等式右边2k－1＋1＋2k－m为奇数.
所以原等式不成立，所以cm，cn，ck不成等比数列，所以数列{cn}不是“等比源数列”.
2 / 2第三节　等比数列
课标要求
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题.
1.等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于　　　　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　　　　，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝　　　　（n∈N*）；
（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
提醒 只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
2.等比数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m；
（2）前n项和公式：Sn＝Sn＝
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和：
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝　　　　　　；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　　　　；
（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为　　　　.
1.等比数列的单调性
（1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
（2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
（3）当q＝1时，{an}是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列；
（2）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝；
（3）Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；
（4）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列；
（5）若等比数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q；
（6）三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列{an}的公比q＞1，则该数列为递增数列.（　　）
（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　）
（3）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.（　　）
（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　　）
2.若a是1和3的等差中项，b是1和4的等比中项，则＝（　　）
A.± B. C.1 D.±1
3.（人A选二P37练习1（3）题改编）在等比数列{an}中，若a3＝，S3＝，则a2的值为（　　）
A. B.－3 C.－ D.－3或
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a5＝8a2，若Sn＝31，则n＝　　　　.
5.（人A选二P40习题2（2）题改编）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　　　　.
等比数列基本量的运算
（基础自学过关）
1.（2024·天津部分区期末）已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝2，a3＝6a2－18，则S5＝（　　）
A.30　　　B.80　　　C.240　　　D.242
2.设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝（　　）
A.12 B.24 C.30 D.32
3.（2023·全国甲卷文13题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　.
4.已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a1＝　　　　.
练后悟通
等比数列基本量运算的解题策略
（1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”；
（2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论；
（3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解.
等比数列的判定与证明
（师生共研过关）
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
（1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
（2）若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
解题技法
提醒 （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
1.已知数列{an}满足＝anan＋2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4，则a5＝（　　）
A.±2 B.－2
C.2 D.8
2.（2024·皖江名校联盟月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1.证明数列{－为等比数列，并求数列{an}的通项公式.
等比数列的性质及应用
（定向精析突破）
考向1　等比数列项的性质
（1）（2025·江门一模）已知{an}是等比数列，a3a5＝8a4，且a2，a6是方程x2－34x＋m＝0两根，则m＝（　　）
A.8 B.－8
C.64 D.－64
（2）〔多选〕已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（　　）
A.0＜q＜1 B.q＞1
C.T14＜1＜T13 D.{Tn}存在最大值
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
考向2　等比数列前n项和的性质
（1）等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝（　　）
A.2　 　　B.3　　 　C.　　 　D.
（2）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点.
1.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5，则a7a8a9＝（　　）
A.25 B.20
C.10 D.10
2.（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　）
A.120 B.85
C.－85 D.－120
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝　　　　，数列{}的前n项和为　　　　.
第三节　等比数列
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）同一个　公比　q
3.（1）am·an　（2）qm　（3）qn
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.D　4.5　5.2
【考点·分类突破】
考点1
1.D　设{an}的公比为q，所以a3＝2q2，又a3＝6a2－18＝12q－18，所以q2－6q＋9＝0，解得q＝3，所以S5＝＝242.故选D.
2.D　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝1×25＝32.故选D.
3.－　解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得8×＝7×.整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－.
4.1或4　解析：由已知得＝a1a2a3＝8，∴a2＝2.设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＋a3＝7，∴＋a2＋a2q＝7，即＋2q－5＝0，∴2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，当q＝2时，得a1＝1.当q＝时，得a1＝4.
考点2
【例1】 解：（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an），
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）由（1）知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1.
跟踪训练
1.C　由＝an·an＋2可知，数列{an}为等比数列，则＝a3·a7＝4，设{an}的公比为q，因为a5＝a3·q2，且a3＝1＞0，所以a5＞0，所以a5＝2，故选C.
2.解：由已知an＋an＋1＝2n＋1得＋×＝1，
因此－＝－（－），又－＝－，
所以数列－是首项为－，公比为－的等比数列，
因此－＝－（－）n－1，所以an＝.
考点3
【例2】 （1）C　（2）ACD　解析：（1）因为{an}是等比数列，所以a3a5＝，a2a6＝，又a3a5＝8a4，所以a4＝8，又a2，a6是方程x2－34x＋m＝0两根，所以m＝a2a6＝＝64.故选C.
（2）由已知a7a8＝a7a7q＝q＜1，又a7＞1，q＞0，所以0＜a8＜1，0＜q＜1，A正确，B错误；T13＝（a1a13）（a2a12）·（a3a11）…（a6a8）·a7＝（）6·a7＝＞1，T14＝（a1a14）（a2a13）（a3a12）…（a6a9）·（a7a8）＝（a7a8）7＜1，所以T14＜1＜T13，C正确；因为0＜q＜1且a1＞0，所以等比数列{an}为递减数列，于是a1＞a2＞…＞a7＞1＞a8＞a9＞…，则Tn的最大值为T7，D正确.
【例3】 （1）C　（2）5　解析：（1）设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋q＝，解得q＝.
（2）由题意得S6－S3＝8，S6＝S3＋8＝4＋8＝12，因为S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，故＝＝，即82＝4（S9－12），解得S9＝28，则S9－S6＝28－12＝16，所以162＝8（S12－28），S12＝60，故＝＝5.
跟踪训练
1.D　法一 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3＝＝5，a4a5a6＝＝5，a7a8a9＝，又a2a8＝，所以（a2a8）3＝（）3＝50，得a7a8a9＝＝＝10.故选D.
法二 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以（a4a5a6）2＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝50，又a1a2a3＝5，所以a7a8a9＝10，故选D.
2.C　法一 设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C.
法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C.
3.－1　　解析：设数列{}的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋a（n≥2），所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1（n≥2），且a1＝S1＝3＋a.又数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n－1，且2＝3＋a，所以a＝－1.因为＝（）2＝9，且＝4，所以{}是首项为4，公比为9的等比数列，所以{}的前n项和Tn＝＝.
4 / 4(共64张PPT)
第三节　等比数列
高中总复习·数学
课标要求
1. 理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2. 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n
项和公式的关系.
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
4. 能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等
于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列
的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为
＝ （n∈N*）；
同一个　
公比　
q　
（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中
项.即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
提醒 只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，
它们互为相反数.
2. 等比数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1qn－1 an＝am·qn－m；
（2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝
3. 等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和：
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝ ；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…
仍是等比数列，公比为 ；
（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍
成等比数列，其公比为 .
am·an　
qm　
qn　
1. 等比数列的单调性
（1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
（2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
（3）当q＝1时，{an}是常数列.
2. 等比数列的常用结论
（1）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），
，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列；
（2）当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ；
（3）Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；
（4）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn， ， ，…成等比数列；
（5）若等比数列{an}的项数为2n，则 ＝q；若项数为2n＋1，则
＝q；
（6）三个数成等比数列，通常设为 ，x，xq；四个符号相同的数成等比
数列，通常设为 ， ，xq，xq3.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列{an}的公比q＞1，则该数列为递增数列. （　×　）
（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac. （　×　）
（3）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. （　×　）
（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝ .
（　×　）
×
×
×
×
2. 若a是1和3的等差中项，b是1和4的等比中项，则 ＝（　　）
A. ± B.
C. 1 D. ±1
解析： 　由题知2a＝1＋3，所以a＝2.由b2＝4得b＝±2，所以 ＝±1.
√
3. （人A选二P37练习1（3）题改编）在等比数列{an}中，若a3＝ ，S3＝
，则a2的值为（　　）
A. B. －3
C. － D. －3或
解析： 　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3（q－2＋q－1＋1），得q－2＋q－1＋1＝
3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－ ，所以a2＝ ＝ 或－3.
√
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a5＝8a2，若Sn＝31，则n
＝ .
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a5＝8a2，所以1×q4＝
8×1×q，解得q＝2，又Sn＝ ＝31，即2n＝32，解得n＝5.
5. （人A选二P40习题2（2）题改编）已知等比数列{an}共有2n项，其和
为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ .
解析：由题意，得 解得 所以q＝ ＝
＝2.
5　
2　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
等比数列基本量的运算（基础自学过关）
1. （2024·天津部分区期末）已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝
2，a3＝6a2－18，则S5＝（　　）
A. 30 B. 80
C. 240 D. 242
解析： 　设{an}的公比为q，所以a3＝2q2，又a3＝6a2－18＝12q－18，
所以q2－6q＋9＝0，解得q＝3，所以S5＝ ＝242.故选D.
√
2. 设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8
＝（　　）
A. 12 B. 24
C. 30 D. 32
解析： 　设等比数列{an}的公比为q，则q＝ ＝ ＝2，所以a6
＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝1×25＝32.故选D.
√
3. （2023·全国甲卷文13题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝
7S3，则{an}的公比为 .
解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得
8× ＝7× .整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－ .
4. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a1＝ .
解析：由已知得 ＝a1a2a3＝8，∴a2＝2.设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＋a2＋a3＝7，∴ ＋a2＋a2q＝7，即 ＋2q－5＝0，∴2q2－5q＋2
＝0，解得q＝2或q＝ ，当q＝2时，得a1＝1.当q＝ 时，得a1＝4.
－ 　
1或4　
练后悟通
等比数列基本量运算的解题策略
（1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件
及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，
n，an，Sn五个量，可“知三求二”；
（2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式
时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论；
（3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解.
等比数列的判定与证明（师生共研过关）
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
（1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
解： 证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an），
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，所以 ＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）若a1＝ ，a2＝ ，求{an}的通项公式.
解： 由（1）知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝ ×3n－1.
解题技法
提醒 （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2）
如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比
数列即可.
1. 已知数列{an}满足 ＝anan＋2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4，则a5＝
（　　）
A. ±2 B. －2
C. 2 D. 8
解析： 　由 ＝an·an＋2可知，数列{an}为等比数列，则 ＝a3·a7＝
4，设{an}的公比为q，因为a5＝a3·q2，且a3＝1＞0，所以a5＞0，所以a5
＝2，故选C.
√
2. （2024·皖江名校联盟月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋
1.证明数列{ － }为等比数列，并求数列{an}的通项公式.
解：由已知an＋an＋1＝2n＋1得 ＋ × ＝1，
因此 － ＝－ （ － ），又 － ＝－ ，
所以数列{ － }是首项为－ ，公比为－ 的等比数列，
因此 － ＝－ （－ ）n－1，所以an＝ .
等比数列的性质及应用（定向精析突破）
考向1　等比数列项的性质
（1）（2025·江门一模）已知{an}是等比数列，a3a5＝8a4，且a2，
a6是方程x2－34x＋m＝0两根，则m＝（　C　）
A. 8 B. －8
C. 64 D. －64
C
解析： 因为{an}是等比数列，所以a3a5＝ ，a2a6＝ ，又a3a5＝
8a4，所以a4＝8，又a2，a6是方程x2－34x＋m＝0两根，所以m＝a2a6＝
＝64.故选C.
（2）〔多选〕已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为
Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（　ACD　）
A. 0＜q＜1 B. q＞1
C. T14＜1＜T13 D. {Tn}存在最大值
解析： 由已知a7a8＝a7a7q＝q ＜1，又a7＞1，q＞0，所以0＜a8
＜1，0＜q＜1，A正确，B错误；T13＝（a1a13）（a2a12）（a3a11）…
（a6a8）·a7＝（ ）6·a7＝ ＞1，T14＝（a1a14）（a2a13）（a3a12）…
（a6a9）·（a7a8）＝（a7a8）7＜1，所以T14＜1＜T13，C正确；因为0＜q
＜1且a1＞0，所以等比数列{an}为递减数列，于是a1＞a2＞…＞a7＞1＞a8
＞a9＞…，则Tn的最大值为T7，D正确.
ACD
解题技法
　　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特
别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高
解题速度.
考向2　等比数列前n项和的性质
（1）等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比q＝（　C　）
A. 2 B. 3
C. D.
解析： 设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1
＝ ，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝ ，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q
（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋ q＝ ，解得q＝ .
C
（2）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则
＝ .
解析： 由题意得S6－S3＝8，S6＝S3＋8＝4＋8＝12，因为S3，S6－
S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，故 ＝ ＝ ，即82＝4（S9
－12），解得S9＝28，则S9－S6＝28－12＝16，所以162＝8（S12－28），
S12＝60，故 ＝ ＝5.
5　
解题技法
　　恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为
奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，
运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合
题设寻找使用性质的切入点.
1. 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5 ，则
a7a8a9＝（　　）
A. 25 B. 20
C. 10 D. 10
√
解析： 　法一 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3＝ ＝5，
a4a5a6＝ ＝5 ，a7a8a9＝ ，又a2a8＝ ，所以（a2a8）3＝（ ）3
＝50，得a7a8a9＝ ＝ ＝10.故选D.
法二 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比
数列，所以（a4a5a6）2＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝50，又a1a2a3＝5，所
以a7a8a9＝10，故选D.
2. （2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，
S6＝21S2，则S8＝（　　）
A. 120 B. 85
C. －85 D. －120
解析： 　法一 设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满
足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得 ＝21a1（1＋q）.整
理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然
q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝
＝ ＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝
－85.故选C.
√
法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2
＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝ .当S2＝－1时，由（S6－S4）2
＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝ 时，结合S4＝－5得
化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，
故选C.
3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝ ，数列
{ }的前n项和为 .
解析：设数列{ }的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋
a（n≥2），所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1（n≥2），且a1＝S1＝3＋a.又
数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n－1，且2＝3＋a，所以a＝－1.因为
＝（ ）2＝9，且 ＝4，所以{ }是首项为4，公比为9的等比数
列，所以{ }的前n项和Tn＝ ＝ .
－1　
　
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则公比q＝（　　）
A. － B. －2 C. 2 D.
解析： 　由题意，知q3＝ ＝ ，即q＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2025·蚌埠教学质量检查）已知各项均为正数的等比数列{an}中，若
a5＝9，则log3a4＋log3a6＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 9
解析： 　因为{an}是等比数列，所以 ＝a4a6，所以a4a6＝81，所以
log3a4＋log3a6＝log381＝log334＝4.故选C.
√
3. （2025·扬州模拟）各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn，若
a1a5＝ ，S3＝ ，则公比q＝（　　）
A. －2 B. －1 C. － D.
√
解析： 　由题意知，数列{an}为各项均不相等的等比数列，设其公比为
q（q≠1），则S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝ ，由a1a5＝ ＝
，得a3＝± .当a3＝ 时，由 得2q2－q－1＝
0，解得q＝－ 或q＝1（舍）；
当a3＝－ 时，由 得4q2＋q＋1＝0，Δ＝1－16＝
－15＜0，无解.综上，q＝－ ，故C正确.
4. （2025·襄阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＋S24＝
140，且S24＝13S8，则S16＝（　　）
A. 40 B. －30
C. 30 D. －30或40
解析： 　因为S8＋S24＝140，且S24＝13S8，所以S8＝10，S24＝130，故
q≠±1，所以 ＝ ＝（q8）2＋q8＋1＝13，即（q8）2＋q8－12＝
0，解得q8＝3或q8＝－4（舍去），由等比数列性质可知，S8，S16－S8，
S24－S16成等比数列，公比为q8＝3，所以S16－10＝10×q8＝30，解得S16
＝40.
√
5. 〔多选〕已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝3，a2a4＝144，其
前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn＝ ，设{bn}的前n项和为
Tn，则下列说法中正确的是（　　）
A. 数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1
B. Sn＝3×2n－1
C. Tn随n的增大而增大
D. ≤Tn＜
√
√
√
解析： 　由题意得a2a4＝ ＝144，因为各项均为正数，所以a3＝
12，q2＝ ＝4，q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1，故选项
A正确；Sn＝ ＝3×2n－3，故选项B错误；bn＝ ＝
－ ，累加得Tn＝ － ＜ ，且Tn随n的增大而增
大，所以Tn≥T1＝ ，故 ≤Tn＜ ，故选项C、D正确.故选A、C、D.
6. 在正项等比数列{an}中，若a3a5a7＝27，则 log3ai＝ .
解析：因为a3a5a7＝27，所以 ＝27，解得a5＝3，所以 log3ai＝log3a1
＋log3a2＋…＋log3a9＝log3（a1a2…a8a9）＝log3 ＝log339＝9.
9　
7. （2024·成都七校期中）数列{an}满足a1＝a2＝1，a2n＋1－a2n－1＝2，
＝2，数列{an}的前n项和记为Sn，则S23＝ .
解析：∵a1＝1，a2n＋1－a2n－1＝2，∴数列{a2n－1}是以1为首项，2为公差
的等差数列，∴a2n－1＝1＋（n－1）×2＝2n－1.∵a2＝1， ＝2，
∴数列{a2n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a2n＝2n－1.∴S23＝
（a1＋a3＋…＋a23）＋（a2＋a4＋…＋a22）＝ ＋
＝
2 191.
2 191　
8. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连
接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若
某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为 ，则其最小正
方形的边长为 .
　
解析：由题意，得正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数列，
现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，
所以最小正方形的边长为（ ）10＝ .
9. （2024·全国甲卷文17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn＝
3an＋1－3.
（1）求{an}的通项公式；
解： 因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，
即an＋2＝ an＋1，所以等比数列{an}的公比为 .
因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，
所以a1＝1，故an＝（ ）n－1.
（2）求数列{Sn}的前n项和.
解： 因为2Sn＝3an＋1－3，
所以Sn＝ （an＋1－1）＝ ［（ ）n－1］，
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝ × － n＝ ×（ ）
n－ n－ .
10. 已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝
b10，则以下命题中正确的是（　　）
A. a1＞b1 B. a5＞b5
解析： 由题意可知：点（n，an）
在一次函数图象上，点（n，bn）在
指数型函数图象上，两图象交点横坐
标为2和10，两图象只有同增或同减时
才有两个交点，如图，
由图可知：a1＜b1，a5＞b5，a6＞b6，a17＜b17.故选B.
C. a6＜b6 D. a17＞b17
√
11. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知数列
为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　若 为“梦想数列”，则有 －1＝3 ＋2，即
－1＝ －1，即 ＝ ，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，以
为公比的等比数列.则b4＝2× ＝ ，故选B.
√
12. 〔多选〕（2025·南充部分学校联考）各项均为正数的等比数列{an}的
前n项积为Tn，若a1＞1，公比q≠1，则下列说法正确的是（　　）
A. 若T6＝T10，则必有T16＝1
B. 若T6＝T10，则必有T8是数列{Tn}的最大项
C. 若T7＞T8，则必有T6＞T7
D. 若T7＞T8，则必有T8＞T9
√
√
√
解析： 　对于A，若T6＝T10，则a7a8a9a10＝1，即有a7a10＝a8a9＝1，
根据等比数列的性质，得a6a11＝a5a12＝a4a13＝a3a14＝a2a15＝a1a16＝1，
即T16＝1，A正确；对于B，若0＜q＜1，则等比数列{an}递减，结合A选
项分析知，{an}的前8项均大于1，从第9项开始小于1，则T8是数列{Tn}的
最大项；若q＞1，则等比数列{an}递增，因为a1a16＝1，所以a1＜1，a16
＞1，与a1＞1矛盾，B正确；对于C，若T7＞T8，则 ＝a8＜1，而a1＞1，
此时数列{an}递减，若a7＞1，则 ＞1，此时T7＞T6；若a7＜1，则 ＜
1，此时T7＜T6，故C错误；对于D， ＝a8＜1，而a1＞1，所以数列{an}递减，所以a9＜1，所以 ＜1，即T8＞T9，D正确.
13. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋an＝2n，Sn＝1 365，则n
＝ .
解析：an＋1＋an＝2n，即数列{an}的任意相邻两项之和是偶数，而Sn＝1
365和a1＝1都是奇数，则n必为奇数，故Sn＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋
a5）＋…＋（an－1＋an）＝1＋22＋24＋…＋2n－1＝ ＝ ，于是
由 ＝1 365得2n＋1＝4 096＝212，故n＋1＝12，从而n＝11.
11　
14. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2.
（1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
解： 由an＋1＝2an＋2，
得an＋1＋2＝2（an＋2），
又a1＋2＝3，
所以 ＝2，
所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
所以an＋2＝3×2n－1，
an＝3×2n－1－2.
（2）求数列{an}落入区间（10，2 026）的所有项的和.
解： 由10＜an＜2 026，
得10＜3×2n－1－2＜2 026，
即4＜2n－1＜676，即4≤n≤10，
故{an}落入区间（10，2 026）的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，
所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝3×（23＋24＋…＋29）－2×7
＝3× －14
＝3 034.
15. （创新知识交汇）如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与
△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn＋1与圆Dn相
切且与AB，AC相切，依次得到圆D1，D2，…，Dn，….设圆D1，
D2，…，Dn的面积之和为Xn（n∈N*），则Xn＝（　　）
A. πa2（ ）n－1
B. πa2［1－（ ）n］
C. πa2［1－（ ）n］
D. πa2［（ ）n－1－（ ）n－1＋1］
√
解析： 　设rn为圆Dn的半径，则r1＝ tan 30°＝ a.设圆Dn与AC切于
点F，连接DnDn＋1，DnF，过Dn＋1作Dn＋1E⊥DnF于点E，则DnDn＋1＝rn
＋rn＋1，DnE＝rn－rn＋1，所以 ＝ ＝ sin 30°＝ ，整理，
得rn＋1＝ rn.设Sn为圆Dn的面积，则S1＝π ＝ a2， ＝ ＝
（ ）2＝ （n∈N*），所以数列{Sn}是首项为 a2，公比为 的等比数
列，所以Xn＝ ＝ πa2［1－（ ）n］，故选B.
16. （新定义）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，
则称{an}为“等比源数列”.
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断
{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
解： {an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”.
{an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”；
{bn}中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不
能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以{bn}不是“等比源数列”.
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n－1＋1，判断{cn}是否为“等比源
数列”，并说明理由.
解： {cn}不是“等比源数列”.理由如下：
假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列，
即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列，
也就是 ＝cmck，即（2n－1＋1）2＝（2m－1＋1）·（2k－1＋1），22n－2＋
2n＝2m＋k－2＋2m－1＋2k－1，两边同时除以2m－1，
得22n－m－1＋2n－m＋1＝2k－1＋1＋2k－m，
等式左边22n－m－1＋2n－m＋1为偶数，
等式右边2k－1＋1＋2k－m为奇数.
所以原等式不成立，所以cm，cn，ck不成等比数列，所以数列{cn}不是
“等比源数列”.
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