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第六节　空间向量的概念及运算
1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A.－a＋b＋c　　 　 B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝（　　）
A.9　　　　B.－9　　　C.－3　　　D.3
3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
5.（2025·大连模拟）若点A（3cos α，3sin α，1），B（2cos θ，2sin θ，1），则｜｜的取值范围是（　　）
A.[0，5] B.[1，5]
C.（1，5） D.[1，25]
6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
B.若，共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，则xy＝　　　　.
8.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·＝　　　　.
9.已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.
（1）若｜c｜＝3，且c∥，求c；
（2）求a与b夹角的余弦值；
（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
10.（2024·金华模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋（1－x－y），则｜｜的最小值是（　　）
A. B.
C. D.
11.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是（　　）
A.（＋＋）2＝3
B.·（－）＝0
C.向量与向量的夹角是60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜
12.〔多选〕（2025·梅州模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（　　）
A.MN⊥A1M
B.MN⊥平面D1MC
C.线段BN长度的最大值为
D.三棱锥C1-A1D1M的体积不变
13.已知半径为2的球O内切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则·的取值范围是　　　　.
14.在①（＋）⊥（－），②｜｜＝，③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.（创新设问）〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　）
A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关）
B.u·v的最大值为
C.u与v的夹角的最大值为
D.ad＋bc的最大值为1
16.（创新解题路径）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.求证：－1≤ax＋by＋cz≤1.
第六节　空间向量的概念及运算
1.A　由题意，得＝＋＝＋（－）＝c＋（b－a）＝－a＋b＋c.
2.B　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴解得λ＝－9.
3.C　由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又因为｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.故选C.
4.A　∵EC＝2PE，∴＝，∴＝－＝＋－＝＋－＝＋（－）－＝＋－＝＋－＝＋－（－）＝－＋，∴x＝1，y＝－，z＝，∴x＋y＋z＝1，故选A.
5.B　因为＝（2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0），所以｜｜2＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2＝4＋9－12（cos θcos α＋sin θsin α）＝13－12cos（θ－α）.因为－1≤cos（θ－α）≤1，所以1≤｜｜2≤25，即1≤｜｜≤5.
6.CD　由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ（－），即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
7.2　解析：由三点共线得向量与共线，即＝k，（3，4，－8）＝k（x－1，y＋2，4），＝＝，解得x＝－，y＝－4，∴xy＝2.
8.　解析：∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，∴·＝0，AO＝·AB·sin 60°＝，故·＝·（＋）＝｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝4－＝.
9.解：（1）∵c∥，∴c＝m＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）.
∴｜c｜＝＝3｜m｜＝3.
∴m＝±1.
∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.
（2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），
∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，
又｜a｜＝＝，
｜b｜＝＝，
∴cos＜a，b＞＝＝＝－.
∴a与b夹角的余弦值为－.
（3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－.
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－.
10.C　因为＝x＋y＋（1－x－y），由共面向量定理可知，E，A，C，D1四点共面.即点E在平面ACD1上，所以｜｜的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×（）2×sin＝，S△ACD＝×1×1＝，由等积法可得＝，所以×d＝××1，解得d＝，所以｜｜的最小值为.
11.AB　由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，故D错误.故选A、B.
12.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），＝（3，y，－3），＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，则·＝y（3－y）－3z＝0，即z＝y（3－y）.对于A，＝（0，y，－3），则·＝y（3－y）－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，故A正确；对于B，＝（3，y－3，0），·＝（y－3）·（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误；对于C，＝（0，0，z），则线段BN的长度｜｜＝z＝［－（y－）2＋］≤，当且仅当y＝时等号成立，故C正确；对于D，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝×3×＝，所以三棱锥C1-A1D1M的体积为定值，故D正确.
13.[0，32]　解析：设球O与底面BCD切于点E，连接AE，易知点O在AE上，AE为正四面体的高.设正四面体的棱长为a，根据正四面体的棱长与其内切球半径间的关系，有a＝2，解得a＝4，即正四面体的棱长为4，所以AE＝a＝8.连接OP（图略），则＝－，＝－，所以·＝（－）·（－）＝·－·（＋）＋，而·＝－4，＋＝0，则·＝－4.由题意可知2≤｜｜≤OA＝8－2＝6，所以0≤－4≤32，故·的取值范围为[0，32].
14.解：由题意得，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），
设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），
则·＝4－2（a＋b），·＝8－2b.
若选①：（＋）⊥（－），则＝，故a＝b，若EF⊥A1C，则·＝4－2（a＋b）＝0，解得a＝b＝1，
故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），使得EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝6.
若选②：｜｜＝，则＝，解得a＝，若EF⊥A1C，则·＝4－2（a＋b）＝0，解得b＝，故存在点E（0，，2），F（，2，2），使得EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝5.
若选③：0＜cos＜，＞＜1，则与不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，所以·＝4－2（a＋b）≠0，故不存在点E，F，使得EF⊥A1C.
15.ACD　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则cos α＝＝＝，∴α＝，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关），故A正确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1，当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴cos＜u，v＞＝＝≥－＝－，∴u与v的夹角的最大值为，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤＋＝＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确.
16.证明：构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），
则由题设知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1.
令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
∴cos θ＝＝α·β＝ax＋by＋cz.
∵－1≤cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1.
3 / 3第六节　空间向量的概念及运算
课标要求
1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
1.空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量 平行于　　　　　　的向量
共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b　　　　，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb
空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　　　　. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝　　　
2.空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积
①a·b＝　　　　　　　；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝.
（2）空间向量运算的坐标表示
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3）
数量积 a·b＝　　　　　　
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
共线 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）
垂直 a⊥b 　　　　　　＝0（a≠0，b≠0）
夹角公式 cos＜a，b＞＝
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间中任意两个非零向量a，b共面.（　　）
（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.（　　）
（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.（　　）
（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），b，c∈R.（　　）
2.（人A选一P15习题3题改编）如图，在三棱锥O-ABC中，＝，＝，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A.a－b－c B.a－b－c
C.a－b－c D.a－b－c
3.已知点M在z轴上，且点M到点A（1，0，2）与到点B（1，－3，1）的距离相等，则点M的坐标是　　　　.
4.已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），则3a－b＝　　　　，a·b＝　　　　.
5.在△ABC中，已知＝（2，4，0），＝（－1，3，0），则∠ABC＝　　　　.
空间向量的线性运算
（基础自学过关）
1.已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝x－2a，则x＝　　　　.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且＝＋x＋y，则实数x＋y＝　　　　.
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简－－＝　　　；用，，表示，则＝　　　　.
练后悟通
空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用
（师生共研过关）
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内.
解题技法
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y）
1.已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝（　　）
A.2　　　B.－2　　　C.1　　　D.－1
2.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝　　　　.
空间向量数量积的应用
（师生共研过关）
（人A选一P13例2、例3改编）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
（1）求线段AC1的长；
（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
（3）求证：AA1⊥BD.
解题技法
空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在的中点，设＝a，＝b，＝c，试采用向量法解决下列问题：
（1）求的模长；
（2）求与的夹角.
第六节　空间向量的概念及运算
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.同一个平面　不共线　xa＋yb＋zc　1
2.（1）①｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　（2）a1b1＋a2b2＋a3b3　a1b1＋a2b2＋a3b3
对点自测诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.C　3.（0，0，－3）　4.（8，1，16）　8　5.
【考点·分类突破】
考点1
1.（0，6，－20）　解析：∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－20）.
2.　解析：＝＋＋＝＋＋＝＋x＋y，故x＝，y＝1，所以x＋y＝.
3.　＋＋
解析：－－＝－（＋）＝－＝＋＝；因为＝＝（＋），所以＝＋＝（＋）＋＝＋＋.
考点2
【例1】 解：（1）由题知＋＋＝3，
所以－＝（－）＋（－），
即＝＋＝－－，所以，，共面.
（2）法一 由（1）知，，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
法二 因为＝（＋＋）＝＋＋，
又因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，
从而点M在平面ABC内.
跟踪训练
1.B　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
2.－3　解析：∵＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴解得∴m＋n＝－3.
考点3
【例2】 解：（1）设＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以｜｜＝｜a＋b＋c｜＝
＝
＝＝，所以线段AC1的长为.
（2）因为＝a＋b＋c，＝b－c，
所以·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，
｜｜＝｜b－c｜＝
＝＝＝，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
（3）证明：因为＝c，＝b－a，
所以·＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即⊥，
所以AA1⊥BD.
跟踪训练
解：（1）因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，＝a，＝b，＝c，
所以＝＝（－）＝（b－a），
＝＝c，
所以＝＋＋＝－（b－a）－a＋c＝（c－a－b），
所以｜｜2＝（c－a－b）2＝（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝（1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°）＝，
故｜｜＝.
（2）在正四面体ABCD中，
＝（c－a－b），｜｜＝.
同理，＝（b＋c－a），｜｜＝.
所以cos＜，＞＝
＝＝[（c－a）2－b2]＝（c2＋a2－2c·a－b2）＝（1＋1－2×1×1×cos 60°－1）＝0，
所以与的夹角为90°.
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第六节　空间向量的概念及运算
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量
的正交分解及其坐标表示.
2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共
线和垂直.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量 平行于 的向量
同一个平面　
概念 语言描述
共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是
存在实数λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b ，那么向量p与向量a，b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p
＝xa＋yb
不共线　
概念 语言描述
空间向 量基本 定理及 推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间
向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p
＝ .
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内
任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 ＝
x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝
xa＋yb＋zc　
1　
2. 空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积
①a·b＝ ；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝ .
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
（2）空间向量运算的坐标表示
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3）
数量积 a·b＝
a1b1＋a2b2＋a3b3　
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
共线 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）
垂直 a⊥b ＝0（a≠0，b≠0）
夹角 公式 cos ＜a，b＞＝
a1b1＋a2b2＋a3b3　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间中任意两个非零向量a，b共面. （　√　）
（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向
量. （　×　）
（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0. （　×　）
（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），
b，c∈R. （　√　）
√
×
×
√
2. （人A选一P15习题3题改编）如图，在三棱锥O-ABC中， ＝ ，
＝ ，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　）
A. a－ b－ c B. a－ b－ c
C. a－ b－ c D. a－ b－ c
解析： 　 ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ （ －
）－ ＋ ＝ － － ＝ a－ b－ c.
√
3. 已知点M在z轴上，且点M到点A（1，0，2）与到点B（1，－3，1）
的距离相等，则点M的坐标是 .
解析：设点M（0，0，m）.因为点M到点A（1，0，2）与到点B（1，－
3，1）的距离相等，所以 ＝
，解得m＝－3，所以点M的坐标为（0，0，
－3）.
（0，0，－3）
4. 已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），则3a－b＝
，a·b＝ .
解析：因为a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），所以3a－b＝（9，
6，15）－（1，5，－1）＝（8，1，16），a·b＝3＋10－5＝8.
（8，1，
16）　
8
5. 在△ABC中，已知 ＝（2，4，0）， ＝（－1，3，0），则
∠ABC＝ .
解析： cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝
＝ ，因为＜ ， ＞∈（0，π），所以＜ ， ＞＝ ，
所以∠ABC＝π－ ＝ .

PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
空间向量的线性运算（基础自学过关）
1. 已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝ x－2a，则x
＝ .
解析：∵b＝ x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，
－2）＝（0，6，－20）.
（0，6，－20）
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且 ＝ ＋x
＋y ，则实数x＋y＝ 　 　.
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋x ＋y ，
故x＝ ，y＝1，所以x＋y＝ .

3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简 －
－ ＝ 　　 　　；用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　
.

＋ ＋
解析： － － ＝ － （ ＋ ）＝ － ＝ ＋ ＝ ；因为 ＝ ＝ （ ＋ ），所以 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ .
练后悟通
空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用（师生共研过关）
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满
足 ＝ （ ＋ ＋ ）.
（1）判断 ， ， 三个向量是否共面；
解： 由题知 ＋ ＋ ＝3 ，
所以 － ＝（ － ）＋（ － ），
即 ＝ ＋ ＝－ － ，所以 ， ， 共面.
（2）判断点M是否在平面ABC内.
解： 法一 由（1）知， ， ， 共面且过同一点M，所以
M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
法二 因为 ＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，又因为 ＋
＋ ＝1，所以M，A，B，C四点共面，
从而点M在平面ABC内.
解题技法
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面
＝λ 且同过点P ＝x ＋y
对空间任一点O， ＝ ＋
t 对空间任一点O， ＝ ＋x ＋
y
对空间任一点O， ＝x ＋
（1－x） 对空间任一点O， ＝x ＋y ＋
（1－x－y）
1. 已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P
为空间中任意一点，若 ＝6 －4 ＋λ ，则λ＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
解析： 　 ＝6 －4 ＋λ ，即 － ＝6 －4 ＋
λ ，整理得 ＝6 －3 ＋λ ，由A，B，C，D四点共面，且
其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
√
2. 若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m
＋n＝ .
解析：∵ ＝（3，－1，1）， ＝（m＋1，n－2，－2），且A，
B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 ＝λ ，即（m＋1，n－2，
－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴ 解得
∴m＋n＝－3.
－3
空间向量数量积的应用（师生共研过关）
（人A选一P13例2、例3改编）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
（1）求线段AC1的长；
解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1× cos 120°＝－1.
因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c，
所以｜ ｜＝｜a＋b＋c｜＝ ＝
＝ ＝ ，所以线段AC1的长为 .
（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
解： 因为 ＝a＋b＋c， ＝b－c，
所以 · ＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1
－4＝－2，
｜ ｜＝｜b－c｜＝
＝
＝ ＝ ，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 .
（3）求证：AA1⊥BD.
解： 证明：因为 ＝c， ＝b－a，
所以 · ＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即 ⊥ ，
所以AA1⊥BD.
解题技法
空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求
两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问
题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问
题转化为向量数量积的计算问题.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD
中其所在的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c，试采用向量法解决下列
问题：
（1）求 的模长；
解： 因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，
H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点， ＝a，
＝b， ＝c，
所以 ＝ ＝ （ － ）＝ （b－a），
＝ ＝ c，
所以 ＝ ＋ ＋ ＝－ （b－a）－a＋ c＝
（c－a－b），
所以｜ ｜2＝ （c－a－b）2＝ （c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）
＝ （1＋1＋1－2×1×1× cos 60°＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos
60°）＝ ，故｜ ｜＝ .
（2）求 与 的夹角.
解： 在正四面体ABCD中，
＝ （c－a－b），｜ ｜＝ .
同理， ＝ （b＋c－a），｜ ｜＝ .
所以 cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝ [（c－a）2－b2]＝ （c2＋a2－2c·a－
b2）＝ （1＋1－2×1×1× cos 60°－1）＝0，
所以 与 的夹角为90°.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若
＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是（　　）
A. － a＋ b＋c B. a＋ b＋c
C. － a－ b＋c D. a－ b＋c
解析： 　由题意，得 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝c＋
（b－a）＝－ a＋ b＋c.
√
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2. 已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若
a，b，c共面，则λ＝（　　）
A. 9 B. －9 C. －3 D. 3
解析： 　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y
（－1，2，3），∴ 解得λ＝－9.
√
3. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ，
若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－
a·c＝7，即a·c＝－7.又因为｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜
a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.故选C.
√
4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝（　　）
A. 1 B. 2
C. D.
√
解析： 　∵EC＝2PE，∴ ＝ ，∴ ＝ － ＝ ＋ －
＝ ＋ － ＝ ＋ （ － ）－ ＝ ＋ －
＝ ＋ － ＝ ＋ －（ － ）＝ － ＋ ，
∴x＝1，y＝－ ，z＝ ，∴x＋y＋z＝1，故选A.
5. （2025·大连模拟）若点A（3 cos α，3 sin α，1），B（2 cos θ，2
sin θ，1），则｜ ｜的取值范围是（　　）
A. [0，5] B. [1，5]
C. （1，5） D. [1，25]
解析： 　因为 ＝（2 cos θ－3 cos α，2 sin θ－3 sin α，0），所
以｜ ｜2＝（2 cos θ－3 cos α）2＋（2 sin θ－3 sin α）2＝4＋9－12
（ cos θ cos α＋ sin θ sin α）＝13－12 cos （θ－α）.因为－1≤ cos
（θ－α）≤1，所以1≤｜ ｜2≤25，即1≤｜ ｜≤5.
√
6. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A. ｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
B. 若 ， 共线，则AB∥CD
C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若 ＝ ＋ ＋
，则P，A，B，C四点共面
D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 ＝λ ＋μ （ ， 不
共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
√
√
解析： 　由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，
此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到｜a｜－｜
b｜＝｜a＋b｜，所以A不正确；若 ， 共线，则AB∥CD或A，
B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任
意一点O，若 ＝ ＋ ＋ ，因为 ＋ ＋ ＝1，可得P，
A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有
＝λ ＋μ （ ， 不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可
得 － ＝λ（ － ），即 ＝λ ，所以A，B，C三点共
线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D
正确.
7. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，
则xy＝ .
解析：由三点共线得向量 与 共线，即 ＝k ，（3，4，－8）
＝k（x－1，y＋2，4）， ＝ ＝ ，解得x＝－ ，y＝－4，∴xy
＝2.
2
8. 在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则 ·
＝ .
解析：∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∴PO⊥
AO，∴ · ＝0，AO＝ ·AB· sin 60°＝ ，
故 · ＝ ·（ ＋ ）＝｜ ｜2＝｜ ｜2－｜ ｜2＝4－ ＝ .

9. 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），
设a＝ ，b＝ .
（1）若｜c｜＝3，且c∥ ，求c；
解： ∵c∥ ，∴c＝m ＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－
m，2m）.
∴｜c｜＝ ＝3｜m｜＝3.
∴m＝±1.
∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.
（2）求a与b夹角的余弦值；
解： ∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），
∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，
又｜a｜＝ ＝ ，
｜b｜＝ ＝ ，
∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ .
∴a与b夹角的余弦值为－ .
（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
解： ∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），
ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝
0，∴k＝2或k＝－ .
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－ .
10. （2024·金华模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足
＝x ＋y ＋（1－x－y） ，则｜ ｜的最小值是（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为 ＝x ＋y ＋（1－x－y） ，由共面向量定理
可知，E，A，C，D1四点共面.即点E在平面ACD1上，所以｜ ｜的最
小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是
边长为 的等边三角形，则 ＝ ×（ ）2× sin ＝ ，S△ACD
＝ ×1×1＝ ，由等积法可得 ＝ ，所以 × d
＝ × ×1，解得d＝ ，所以｜ ｜的最小值为 .
11. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是
（　　）
A. （ ＋ ＋ ）2＝3
B. ·（ － ）＝0
C. 向量 与向量 的夹角是60°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜ · · ｜
√
√
解析： 　由向量的加法运算得到 ＋ ＋ ＝ ，∵A1C2＝
3A1 ，∴ ＝3 ，故A正确；∵ － ＝ ，
AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，
∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为
60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，
∴ · ＝0，故｜ · · ｜＝0，故D错误.故选A、B.
12. 〔多选〕（2025·梅州模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1
＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则
下列命题正确的是（　　）
A. MN⊥A1M
B. MN⊥平面D1MC
C. 线段BN长度的最大值为
D. 三棱锥C1-A1D1M的体积不变
√
√
√
解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为
原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建
立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，
0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，
y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3）， ＝
（3，y，－3）， ＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，则 · ＝y（3－y）－3z＝0，即z＝ y（3－y）.对于A， ＝（0，y，－3），则 · ＝y（3－y）－3z＝0，则 ⊥ ，MN⊥A1M，故A正确；
对于B， ＝（3，y－3，0）， · ＝（y－
3）·（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，
从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误；对于C，
＝（0，0，z），则线段BN的长度｜ ｜＝z＝ ［－
（y－ ）2＋ ］≤ ，当且仅当y＝ 时等号成立，故C正确；对于D，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ＝ ＝ ×3× ＝ ，所以三棱锥C1-A1D1M的体积为定
值，故D正确.
13. 已知半径为2的球O内切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动
直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体ABCD的表面上的一个
动点，则 · 的取值范围是 .
解析：设球O与底面BCD切于点E，连接AE，易知点O在AE上，AE为
正四面体的高.设正四面体的棱长为a，根据正四面体的棱长与其内切球半
径间的关系，有 a＝2，解得a＝4 ，即正四面体的棱长为4 ，所以
AE＝ a＝8.连接OP（图略），则 ＝ － ， ＝ － ，
所以 · ＝（ － ）·（ － ）＝ · － ·（ ＋
）＋ ，而 · ＝－4， ＋ ＝0，则 · ＝ －4.
由题意可知2≤｜ ｜≤OA＝8－2＝6，所以0≤ －4≤32，故
· 的取值范围为[0，32].
[0，32]
14. 在①（ ＋ ）⊥（ － ），②｜ ｜＝ ，③0＜ cos
＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完
成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点， 　　　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求 · 的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由题意得，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B
（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），
设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则 ＝
（b，2－a，0）， ＝（－2，2，－2）， ＝（－2，a，2），
＝（b－2，0，2），
则 · ＝4－2（a＋b）， · ＝8－2b.
若选①：（ ＋ ）⊥（ － ），则 ＝ ，故a＝b，若
EF⊥A1C，则 · ＝4－2（a＋b）＝0，解得a＝b＝1，
故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），使得EF⊥A1C，此时 ·
＝8－2b＝6.
解得a＝ ，
若EF⊥A1C，则 · ＝4－2（a＋b）＝0，解得b＝ ，故存在点E
（0， ，2），F（ ，2，2），使得EF⊥A1C，此时 · ＝8－2b
＝5.
若选③：0＜ cos ＜ ， ＞＜1，则 与 不共线，所以b≠2－a，
即a＋b≠2，所以 · ＝4－2（a＋b）≠0，故不存在点E，F，使
得EF⊥A1C.
若选②：｜ ｜＝ ，则 ＝ ，
15. （创新设问）〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），
其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　）
A. 向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关）
B. u·v的最大值为
C. u与v的夹角的最大值为
D. ad＋bc的最大值为1
√
√
√
解析： 　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）
（t＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则 cos α＝ ＝
＝ ，∴α＝ ，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值 （与
c，d无关），故A正确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤ ＋ ＝
＝1，当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值
为1，故B错误；
对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴ cos ＜u，v＞＝
＝ ≥－ ＝－ ，∴u与v的夹角的最大值
为 ，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤ ＋ ＝
＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大
值为1，故D正确.
16. （创新解题路径）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，
b，c，x，y，z均为实数.求证：－1≤ax＋by＋cz≤1.
证明：构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），
则由题设知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1.
令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴ cos θ＝ ＝α·β＝
ax＋by＋cz.
∵－1≤ cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1.
THANKS
演示完毕 感谢观看

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