资源简介 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离1.若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）A.（2，2，6） B.（1，2，3）C.（3，1，1） D.（－3，0，1）2.已知平面α的一个法向量为n＝（－1，0，－1），点A（3，3，0）在平面α内，则平面外一点P（－2，1，4）到平面α的距离为（ ）A. B. C. D.13.已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则△ABC的面积为（ ）A. B.2C.5 D.14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则＝（ ）A.10 B.12C.15 D.205.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝AA1＝，则点B到平面EDC1的距离为（ ）A. B.C. D.6.〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列选项正确的为（ ）A.EF∥BD1B.EF⊥A1DC.EF＝D.点F到平面ABD1的距离为7.在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝ .8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是 .9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.证明：（1）B1D⊥平面ABD；（2）平面EGF∥平面ABD.10.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（ ）A.（1，1，1） B.C. D.11.若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（ ）A. B. C. D.12.已知三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝1，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥S-ABC外接球球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是（ ）A. B.C. D.13.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为 .14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.（1）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？（2）在AB上是否存在点P，使得AC1∥平面CPB1？15.（新定义）〔多选〕在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点P0（x0，y0，z0），且以v＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线l的方程为＝＝；（2）过点P（x0，y0，z0），且以v＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面α的方程为m（x－x0）＋n（y－y0）＋t（z－z0）＝0.现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，则（ ）A.l1∥α B.l2∥α C.l3∥α D.l1⊥α16.（创新考法）（2025·运城模拟）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点.若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 .第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离1.A ∵M，N在直线l上，且＝（1，1，3），故向量（2，2，6）是直线l的一个方向向量.2.B 由题得＝（－5，－2，4），所以点P到平面α的距离d＝＝＝＝，故选B.3.A 由A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则＝（2，－1，0），＝（2，0，－4），则｜｜＝＝2，且点A到直线BC的距离为d＝＝＝，所以△ABC的面积是S△ABC＝×｜｜×d＝×2×＝.故选A.4.C 取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则E（0，0，0），C（，0，0），A1（0，－，2），＝（，，－2）.设F（0，，λ）（0≤λ≤2），则＝（0，，λ）.由A1C⊥EF，得·＝－2λ＝0，解得λ＝，故＝＝15.故选C.5.C 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，－1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（1，－1，），所以＝（0，1，2），＝（1，－1，），＝（1，0，0）.设平面EDC1的法向量为m＝（x，y，z），则取z＝1，得m＝（－，－2，1）.所以点B到平面EDC1的距离d＝＝＝.6.ABD 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1（3，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），∴＝（1，1，－1），＝（－3，－3，3），＝－，故A正确；由＝（－3，0，－3），·＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜｜＝＝，故C错误；设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由得令z＝1，得n＝（1，0，1）.易知＝（－1，1，0），则点F到平面ABD1的距离d＝＝，故D正确.故选A、B、D.7.－3 解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.8. 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法向量为m＝（x1，y1，z1），＝（1，0，1），＝（1，1，0），由取x1＝1，可得m＝（1，－1，－1）.设平面A1C1D的法向量为n＝（x2，y2，z2），＝（0，－1，1），＝（1，0，1），由取x2＝1，可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，＝（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d＝＝＝.9.证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0），所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2），·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.（2）由（1）知，E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4），则＝（，1，1），＝（0，1，1），·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.10.C 由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M.故选C.11.A 由∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，知OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（0，0，1），G（，，1），于是＝（－，，1），＝（－1，0，1），｜｜＝＝，·＝－×（－1）＋1＝，所以点G到直线AD的距离d＝＝＝.12.C 将三棱锥S-ABC放在正方体中，如图所示，以B为原点，BM，BQ，BS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，1），C（0，1，1），S（0，0，1），N（1，1，0），＝（1，0，1），＝（0，1，1），＝（1，1，0）.设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则取x＝1，得n＝（1，1，－1）.三棱锥S-ABC的外接球就是棱长为1的正方体MNQB-ADCS的外接球.因为P是三棱锥S-ABC的外接球球面上一动点，所以由正方体与球的几何性质可得，点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，所以点P到平面ABC的距离的最大值为d＝＝＝.13. 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则＝（0，1，），＝（x，y，－）.由于AM⊥MP，所以（0，1，）·（x，y，－）＝0，即y＝，此为P点的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2＝.14.解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AC，BC，CC1两两垂直.如图，以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），＝（－3，4，0），＝（－3，0，4）.（1）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设＝λ＝（－3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3－3λ，4λ，0），故＝（3－3λ，4λ，0）.因为AC1⊥CD，所以·＝－9＋9λ＝0，解得λ＝1，所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，此时点D与点B重合.（2）假设在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，设＝μ＝（－3μ，4μ，0），其中0≤μ≤1，则P（3－3μ，4μ，0），故＝（3－3μ，4μ－4，－4）.又＝（0，－4，－4），AC1∥平面CPB1，所以存在实数m，n，使＝m＋n成立，所以解得所以在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，此时点P是AB的中点.15.CD 平面α：x＋2y＋3z＝6即x－1＋2（y－1）＋3（z－1）＝0，则平面α的法向量为v＝（1，2，3）.对于l1：则6x－3＝3y＝2z＋1，即＝＝，所以l1过点（，0，－），方向向量为u1＝（，，），所以v＝6u1，所以v∥u1，所以l1⊥α，故A错误，D正确.对于l2：x＝y＝2－z，即＝＝，所以l2过点（0，0，2），方向向量为u2＝（1，1，－1），点（0，0，2）适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，所以l2与平面α有公共点，故B错误.对于l3：＝＝，所以l3过点（1，0，0），方向向量为u3＝（5，－4，1），因为v·u3＝（1，2，3）·（5，－4，1）＝5－8＋3＝0，所以v⊥u3，所以l3 α或l3∥α，但点（1，0，0）不适合方程x＋2y＋3z＝6，故l3 α，所以l3∥α，所以C正确.故选C、D.16. 解析：连接AC，BD交于点O，以O为坐标原点，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则有A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0），P（0，0，），E（－，，），＝（－，－，）.设M（x1，－1，0），＝λ，可得N（1－λ，1－λ，λ），则＝（1－λ－x1，2－λ，λ），故｜｜＝＝，则当且仅当λ＝，x1＝－1时，｜｜min＝，即MN的最小值为.3 / 3第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离课标要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.5.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2 u1⊥u2 ＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝03.空间距离（1）点到直线的距离：设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝；（2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝＝ ；（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的方向向量是唯一确定的.（ ）（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（ ）（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（ ）（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度.（ ）2.（人A选一P31练习2题改编）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝3.（人A选一P28例1改编）已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（ ）A.4 B.3C.2 D.14.（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（ ）A.3 B.C. D.5.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是 .用空间向量证明线面位置关系（师生共研过关）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：（1）BE⊥DC；（2）BE∥平面PAD；（3）平面PCD⊥平面PAD.解题技法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：（1）A1B1⊥平面AA1C；（2）AB1∥平面A1C1C.用空间向量求空间距离（定向精析突破）考向1 点线距如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.考向2 点面距已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离.解题技法1.利用向量求点到直线的距离设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝.2.利用向量法求点B到平面α的距离的步骤如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点C1到平面ABN的距离.第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离【知识·逐点夯实】知识梳理夯基2.u1·u23.（2）对点自测诊断1.（1）× （2）× （3）√ （4）×2.D 3.C 4.D 5.AB∥α或AB α【考点·分类突破】考点1【例1】 证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.（1）向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），故·＝0，所以BE⊥DC.（2）因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以BE⊥AB，又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）由（2）知平面PAD的法向量为＝（1，0，0），向量＝（0，2，－2），＝（2，0，0），设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则即不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量.且n·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以n⊥.所以平面PCD⊥平面PAD.跟踪训练证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面ABC.又∵AB＝AC，BC＝AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直.以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）.（1）＝（0，2，0），＝（0，0，－2），＝（2，0，0），设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则即即取y＝1，则n＝（0，1，0）.∴＝2n，即∥n，∴A1B1⊥平面AA1C.（2）易知＝（0，2，2），＝（1，1，0），＝（2，0，－2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），则即取x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1）.∴·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴⊥m.又AB1 平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.考点2【例2】 解：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，－1，0），C（，，0），E（0，，），法一 则＝（，，0），＝（0，，），所以点E到直线BC的距离d＝＝＝.法二 则＝（，，0），＝（0，，），所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，则sin＜，＞＝，所以点E到直线BC的距离为｜｜·sin＜，＞＝×＝.【例3】 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，，0），F（，1，0）.∴＝（1，，－1），＝（－，，0），＝（0，0，1）.设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），则有 令x＝1，则n＝（1，1，），∴点D到平面PEF的距离d＝＝＝.（2）∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又EF 平面PEF，AC 平面PEF，∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.∵＝（0，，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1，），∴点A到平面PEF的距离d1＝＝＝.∴直线AC到平面PEF的距离为.跟踪训练解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）.（1）＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8.设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝＝＝4.（2）设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥，n⊥，得令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（，－1，2）.易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝｜｜＝＝.4 / 4(共68张PPT)第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离高中总复习·数学课标要求1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.3. 能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理.4. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.5. 通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.目 录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART 01知识·逐点夯实必备知识 | 课前自修1. 直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.2. 空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2 u1⊥u2 ＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λnu1·u2 位置关系 向量表示平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝03. 空间距离（1）点到直线的距离：设 ＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量 在直线l上的投影向量 ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ ；（2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度.因此PQ＝＝ ＝ ； （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的方向向量是唯一确定的. （ × ）（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（ × ）（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （ √ ）（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量 的长度. （ × ）××√×2. （人A选一P31练习2题改编）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝解析： 由题意得， ＝ ＝ ，∴x＝6，y＝ .√3. （人A选一P28例1改编）已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析： 因为M（1，－1，2），N（a，3，3），所以 ＝（a－1，4，1），因为平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），所以n⊥ ，则n· ＝6（a－1）－3×4＋6＝0，解得a＝2.√4. （人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（ ）A. 3 B.C. D.√解析： 因为A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），所以 ＝（－3，－4，0）， ＝（1，1，－1），｜ ｜＝5，｜ ｜＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，所以 sin ＜， ＞＝ ＝ ＝ ，所以点A到直线BC的距离为d＝｜ ｜· sin ＜ ， ＞＝ ，故选D.5. 平面α的法向量为n＝（1，－1，2）， ＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是 .解析：因为 ·n＝0，所以 ⊥n，则AB∥α或AB α.AB∥α或AB αPART 02考点·分类突破精选考点 | 课堂演练用空间向量证明线面位置关系（师生共研过关）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：（1）BE⊥DC；（1）向量 ＝（0，1，1）， ＝（2，0，0），故 · ＝0，所以BE⊥DC.证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.（2）BE∥平面PAD；证明：因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量 ＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而 · ＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以BE⊥AB，又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）平面PCD⊥平面PAD.证明：由（2）知平面PAD的法向量为 ＝（1，0，0），向量 ＝（0，2，－2）， ＝（2，0，0），设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则 即不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量.且n· ＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以n⊥ .所以平面PCD⊥平面PAD.解题技法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝ AB，B1C1∥BC且B1C1＝ BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：（1）A1B1⊥平面AA1C；证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面ABC.又∵AB＝AC，BC＝ AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直.以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）.（1） ＝（0，2，0）， ＝（0，0，－2）， ＝（2，0，0），设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则即 即 取y＝1，则n＝（0，1，0）.∴ ＝2n，即 ∥n，∴A1B1⊥平面AA1C.（2）AB1∥平面A1C1C.证明：易知 ＝（0，2，2）， ＝（1，1，0），＝（2，0，－2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），则 即 取x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1）.∴ ·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴ ⊥m.又AB1 平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.用空间向量求空间距离（定向精析突破）考向1 点线距如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA. 当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.解：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，－1，0），C（ ， ，0），E（0， ， ），法一 则 ＝（ ， ，0）， ＝（0， ， ），所以点E到直线BC的距离d＝ ＝ ＝ .法二 则 ＝（ ， ，0）， ＝（0， ， ），所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝，则 sin ＜ ， ＞＝ ，所以点E到直线BC的距离为｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ × ＝ .考向2 点面距已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；解： 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1， ，0），F（ ，1，0）.∴ ＝（1， ，－1），＝（－ ， ，0）， ＝（0，0，1）.设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），则有 令x＝1，则n＝（1，1， ），∴点D到平面PEF的距离d＝ ＝ ＝ .（2）求直线AC到平面PEF的距离.解： ∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又EF 平面PEF，AC 平面PEF，∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.∵ ＝（0， ，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1， ），∴点A到平面PEF的距离d1＝ ＝ ＝ .∴直线AC到平面PEF的距离为 .解题技法1. 利用向量求点到直线的距离设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝ .2. 利用向量法求点B到平面α的距离的步骤如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.（1）求点N到直线AB的距离；解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）.（1） ＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜｜＝2 ，｜ ｜＝4， · ＝8.设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝ ＝ ＝4.（2）求点C1到平面ABN的距离.解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥ ，n⊥ ，得令z＝2，则y＝－1，x＝ ，即n＝（ ，－1，2）.易知 ＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝｜ ｜＝ ＝ .PART 03课时·跟踪检测关键能力 | 课后练习1. 若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）A. （2，2，6） B. （1，2，3）C. （3，1，1） D. （－3，0，1）解析： ∵M，N在直线l上，且 ＝（1，1，3），故向量（2，2，6）是直线l的一个方向向量.12345678910111213141516171819202022232425√2. 已知平面α的一个法向量为n＝（－1，0，－1），点A（3，3，0）在平面α内，则平面外一点P（－2，1，4）到平面α的距离为（ ）A. B.C. D. 1解析： 由题得 ＝（－5，－2，4），所以点P到平面α的距离d＝＝ ＝ ＝ ，故选B.√3. 已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则△ABC的面积为（ ）A. B. 2C. 5 D. 1√解析： 由A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则＝（2，－1，0）， ＝（2，0，－4），则｜ ｜＝ ＝2 ，且点A到直线BC的距离为d＝ ＝＝ ，所以△ABC的面积是S△ABC＝ ×｜ ｜×d＝×2 × ＝ .故选A.4. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则 ＝（ ）A. 10 B. 12C. 15 D. 20√解析： 取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则E（0，0，0），C（ ，0，0），A1（0，－ ，2）， ＝（ ， ，－2）.设F（0， ，λ）（0≤λ≤2），则 ＝（0， ，λ）.由A1C⊥EF，得 · ＝ －2λ＝0，解得λ＝ ，故＝ ＝15.故选C.5. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝ AA1＝ ，则点B到平面EDC1的距离为（ ）A. B.C. D.√解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，－1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（1，－1， ），所以 ＝（0，1，2）， ＝（1，－1， ）， ＝（1，0，0）.设平面EDC1的法向量为m＝（x，y，z），则取z＝1，得m＝（－ ，－2，1）.所以点B到平面EDC1的距离d＝ ＝ ＝ .6. 〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，则下列选项正确的为（ ）A. EF∥BD1 B. EF⊥A1DC. EF＝ D. 点F到平面ABD1的距离为√√√解析： 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1（3，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），∴ ＝（1，1，－1）， ＝（－3，－3，3）， ＝－ ，故A正确；由 ＝（－3，0，－3）， · ＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜ ｜＝ ＝ ，故C错误；设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由 得令z＝1，得n＝（1，0，1）.易知 ＝（－1，1，0），则点F到平面ABD1的距离d＝ ＝ ，故D正确.故选A、B、D.7. 在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝ .解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.－38. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是 . 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法向量为m＝（x1，y1，z1）， ＝（1，0，1）， ＝（1，1，0），由 取x1＝1，可得m＝（1，－1，－1）.设平面A1C1D的法向量为n＝（x2，y2，z2）， ＝（0，－1，1），＝（1，0，1），由 取x2＝1，可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，＝（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d＝ ＝ ＝ .9. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.证明：（1）B1D⊥平面ABD；证明： 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0），所以 ＝（a，0，0）， ＝（0，2，2）， ＝（0，2，－2），· ＝0， · ＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.（2）平面EGF∥平面ABD.证明： 由（1）知，E（0，0，3），G（ ，1，4），F（0，1，4），则 ＝（ ，1，1）， ＝（0，1，1）， · ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.10. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（ ）A. （1，1，1） B.C. D.√解析： 由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ，1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则 即 解得取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以n· ＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M . 故选C.11. 若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（ ）A. B. C. D.√解析： 由∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，知OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（0，0，1），G（ ，，1），于是 ＝（－ ， ，1）， ＝（－1，0，1），｜ ｜＝ ＝ ， · ＝－ ×（－1）＋1＝ ，所以点G到直线AD的距离d＝ ＝ ＝ .12. 已知三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝1，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥S-ABC外接球球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是（ ）A. B. C. D.√解析： 将三棱锥S-ABC放在正方体中，如图所示，以B为原点，BM，BQ，BS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，1），C（0，1，1），S（0，0，1），N（1，1，0）， ＝（1，0，1）， ＝（0，1，1）， ＝（1，1，0）.设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则 取x＝1，得n＝（1，1，－1）.三棱锥S-ABC的外接球就是棱长为1的正方体MNQB-ADCS的外接球.因为P是三棱锥S-ABC的外接球球面上一动点，所以由正方体与球的几何性质可得，点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，所以点P到平面ABC的距离的最大值为d＝ ＝ ＝ .13. 如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为 . 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0， ），M（0，0，），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则 ＝（0，1， ）， ＝（x，y，－ ）.由于AM⊥MP，所以（0，1， ）·（x，y，－ ）＝0，即y＝ ，此为P点的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 ＝ .14. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.（1）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AC，BC，CC1两两垂直.如图，以C为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）， ＝（－3，4，0），＝（－3，0，4）.（1）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设 ＝λ ＝（－3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3－3λ，4λ，0），故 ＝（3－3λ，4λ，0）.因为AC1⊥CD，所以 · ＝－9＋9λ＝0，解得λ＝1，所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，此时点D与点B重合.（2）在AB上是否存在点P，使得AC1∥平面CPB1？解：假设在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，设 ＝μ ＝（－3μ，4μ，0），其中0≤μ≤1，则P（3－3μ，4μ，0），故 ＝（3－3μ，4μ－4，－4）.又 ＝（0，－4，－4），AC1∥平面CPB1，所以存在实数m，n，使 ＝m ＋n 成立，所以 解得所以在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，此时点P是AB的中点.15. （新定义）〔多选〕在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点P0（x0，y0，z0），且以v＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线l的方程为 ＝ ＝ ；（2）过点P（x0，y0，z0），且以v＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面α的方程为m（x－x0）＋n（y－y0）＋t（z－z0）＝0.现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1： l2：x＝y＝2－z，l3： ＝ ＝ ，则（ ）A. l1∥α B. l2∥α C. l3∥α D. l1⊥α√√解析： 平面α：x＋2y＋3z＝6即x－1＋2（y－1）＋3（z－1）＝0，则平面α的法向量为v＝（1，2，3）.对于l1： 则6x－3＝3y＝2z＋1，即 ＝ ＝ ，所以l1过点（ ，0，－ ），方向向量为u1＝（ ， ， ），所以v＝6u1，所以v∥u1，所以l1⊥α，故A错误，D正确.对于l2：x＝y＝2－z，即 ＝ ＝ ，所以l2过点（0，0，2），方向向量为u2＝（1，1，－1），点（0，0，2）适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，所以l2与平面α有公共点，故B错误.对于l3： ＝ ＝ ，所以l3过点（1，0，0），方向向量为u3＝（5，－4，1），因为v·u3＝（1，2，3）·（5，－4，1）＝5－8＋3＝0，所以v⊥u3，所以l3 α或l3∥α，但点（1，0，0）不适合方程x＋2y＋3z＝6，故l3 α，所以l3∥α，所以C正确.故选C、D.16. （创新考法）（2025·运城模拟）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点.若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 . 解析：连接AC，BD交于点O，以O为坐标原点，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则有A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0），P（0，0， ），E（－ ， ， ）， ＝（－ ，－ ， ）.设M（x1，－1，0）， ＝λ ，可得N（1－ λ，1－ λ， λ），则 ＝（1－ λ－x1，2－ λ， λ），故｜ ｜＝ ＝ ，则当且仅当λ＝ ，x1＝－1时，｜ ｜min＝ ，即MN的最小值为 .THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离.docx 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离.pptx 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离（练习，含解析）.docx
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