资源简介

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（　　）
A.4 B.3
C.2 D.1
2.若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（　　）
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面或相交
3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（　　）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）
A.不存在 B.有且只有2条
C.有且只有3条 D.有无数条
5.〔多选〕如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　）
6.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面
D.B，B1，O，M共面
7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱的条数为　　　　.
8.如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
11.〔多选〕如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（　　）
A.AB与CD所在的直线垂直
B.CD与EF所在的直线平行
C.EF与GH所在的直线异面
D.GH与AB所在的直线夹角为60°
12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.AP与CM是异面直线
B.AP，CM，DD1相交于一点
C.MN∥BD1
D.MN∥平面BB1D1D
13.如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝　　 　.
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.
（1）线段PA上是否存在一点G，使得D，C，E，G四点共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
（2）若PC＝2，求三棱锥P-ACE的体积.
15.（创新设问方式）已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成的角α在旋转过程中（　　）
A.逐步变大　　　　　　　　　　　　B.逐步变小
C.先变小后变大 D.先变大后变小
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.A　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.故选A.
2.D　如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故选D.
3.C　若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线.综上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件.故选C.
4.D　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，如图.
5.BD　图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，N GH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接GM，则GM∥HN.因此GH与MN共面；图D中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，G MN，因此直线GH与MN异面.故选B、D.
6.ABC　∵M∈A1C，A1C 平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C.
7.5　解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5条.
8.4　解析：取CD的中点为G，连接EG，FG，由题意知，平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在的平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
9.解：（1）如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角或其补角.
在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
故异面直线A1D与AC所成的角为60°.
（2）连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.
10.D　如图，分别取棱CD，AD的中点F，H，连接AC，HE，BH，EF，BF，设AB＝2，则PC＝2，BF＝.因为E，F分别是棱PD，CD的中点，所以EF∥PC，EF＝PC＝，则∠BEF是异面直线PC与BE所成的角或其补角.因为H，E分别是棱AD，PD的中点，所以HE∥PA，HE＝PA＝1.因为PA⊥平面ABCD，所以HE⊥平面ABCD.因为BH 平面ABCD，所以HE⊥BH，则BE＝.在△BEF中，由余弦定理可得cos ∠BEF＝＝.
11.BCD　把正方体的平面展开图还原，如图，连接AF.对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝60°，故A错误；对于B，由A可知CD∥EF，故B正确；对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确；对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB.因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确.
12.BD　如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线.又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，故A不正确，B正确.令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥CD∥D1M，ON＝CD＝D1M，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1.因为MN 平面BB1D1D，OD1 平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D，故C不正确，D正确.
13.1或　解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知，EG∥BD，FG∥AC，EG＝BD＝1，FG＝AC＝1.因为AC与BD所成的角为，所以∠FGE＝或∠FGE＝π－＝，当∠FGE＝时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE＝时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos ∠FGE＝1＋1－2×1×1×（－）＝3，所以EF＝.综上，EF＝1或EF＝.
14.解：（1）存在.当G为PA的中点时满足条件.证明如下：
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面.
（2）因为E是PB的中点，
所以V三棱锥P-ACE＝V三棱锥B-ACE＝V三棱锥P-ACB.
因为AD⊥DC，AB∥DC，所以AC＝，CB＝，
故AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，
所以S△ABC＝AC·BC＝××＝1，
V三棱锥P-ACB＝PC·S△ABC＝，
所以V三棱锥P-ACE＝.
15.D　由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B、C错误.在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC 平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF 平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，BF 平面EFCB，所以DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE 平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小，故直线ED，BF所成的角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确.
3 / 3第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
1.四个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的　　　，有且只有一个平面；
（2）基本事实2：如果一条直线上的　　　　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有　　　　公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线　　　　.
提醒 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线 与直 线 平行 a∥b 　　 个
相交 1个
异面 a，b是异 面直线 　　 个
直线 与平 面 相交 1个
平行 a∥α 0个
在平 面内 　　 个
平面 与平 面 平行 α∥β 0个
相交 α∩β＝l 　　 个
3.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　　　　　.
4.异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；
（2）范围：　　　　　.
1.基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2.唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
3.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.（　　）
（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（　　）
（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（　　）
（4）若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.（　　）
2.下列说法正确的是（　　）
A.三点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.梯形可确定一个平面
D.圆心和圆上两点确定一个平面
3.设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（　　）
A.平行
B.相交
C.是异面直线
D.可能相交，也可能是异面直线
4.（人A必修二P131练习3题改编）下列说法正确的是（　　）
A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
5.（人A必修二P147例1改编）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是　　　　.
基本事实的应用
（师生共研过关）
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
解题技法
共面、共线、共点问题的证明方法
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）
A.直线AC　　　　　　 B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
2.在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则（　　）
A.点P一定在直线BD上
B.点P一定在直线AC上
C.EH∥FG
D.EH与FG必相交
空间两直线的位置关系的判断
（师生共研过关）
（1）如图，N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）
A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
（2）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　）
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n异面、相交、平行均有可能
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
空间两直线位置关系的判定方法
1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
2.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（　　）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
异面直线所成的角
（师生共研过关）
如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
用平移法求异面直线所成角的步骤
提醒 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1＝　　　　.
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）三个点　（2）两个点　（3）一个
（4）平行
2.0　a∩b＝A　0　a∩α＝A　a α　无数　无数　
3.相等或互补
4.（2）（0°，90°]
对点自测诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×
2.C　3.D　4.D　5.
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，
∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE 平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，
∵BD1 平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
跟踪训练
1.C　由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
2.B　如图所示，因为EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误.
考点2
【例2】 （1）B　（2）D
解析：（1）如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN.因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝.因为N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2，NF＝1，BC⊥CD，因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC.在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2，所以在等腰三角形BDE中，BM＝，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线.
（2）在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.
跟踪训练
1.D　法一（反证法） 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二（模型法） 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
2.D　如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，则BE＝，因为F是AB的中点，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，所以OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面上，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D.
考点3
【例3】 D　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD（或其补角）.在△EAD中，cos ∠EAD＝＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
跟踪训练
3　解析：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，则∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角.设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝，A1B＝BC1＝.
∴cos ∠A1BC1＝＝＝.解得t＝3，则AA1＝3.
5 / 5(共68张PPT)
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
高中总复习·数学
课标要求
1. 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽
象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2. 了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
3. 能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的
简单命题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 四个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的 ，有且只有一个平面；
（2）基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条
直线在这个平面内；
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有
且只有一条过该点的公共直线；
（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
提醒 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数
个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.
三个点　
两个点　
一个　
平行　
2. 空间点、直线、平面之间的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线 与直 线 平行 a∥b 个
相交 1个
异面 a，b是异 面直线 个
0　
a∩b＝A
0　
图形语言 符号语言 公共点
直线 与平 面 相交 1个
平行 a∥α 0个
在平 面内 个
a∩α＝A
a α
无数　
图形语言 符号语言 公共点
平面 与平 面 平行 α∥β 0个
相交 α∩β＝l 个
3. 等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角
.
无数　
相等或互
补　
4. 异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线
a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹
角）；
（2）范围： .
（0°，90°]　
1. 基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2. 唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
3. 异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过
该点的直线互为异面直线.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一
条直线. （　×　）
（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. （　√　）
（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. （　×　）
（4）若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.
（　×　）
×
√
×
×
2. 下列说法正确的是（　　）
A. 三点确定一个平面
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 梯形可确定一个平面
D. 圆心和圆上两点确定一个平面
解析：C　对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错
误；对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误；对于C，
两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平
行，故梯形可确定一个平面，故C正确；对于D，因为圆的一条直径不
能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法
确定一个平面，故D错误.
3. 设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b
（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线
解析：D　如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，当A'B所在
的直线为a，BC'所在的直线为b时，a与b相交；当A'B
所在的直线为a，B'C所在的直线为b时，a与b异面.
4. （人A必修二P131练习3题改编）下列说法正确的是（　　）
A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面
平行
D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
解析：D　对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在
平面α内，故A错误；对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，
故B错误；对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误；对于D，
因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公
共点，故D正确.
5. （人A必修二P147例1改编）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与
直线AA1所成角的余弦值是 .

解析：连接BD（图略），由AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直
线AA1所成的角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝ a，BD1＝
＝ a，所以 cos ∠DD1B＝ ＝ ＝ .
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
基本事实的应用（师生共研过关）
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的
中点，平面BB1D1D与A1C交于点M. 求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）CE，D1F，DA三线共点；
证明：（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）B，M，D1三点共线.
证明：（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对
角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，
∵BD1 平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
解题技法
共面、共线、共点问题的证明方法
1. 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，
C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）
A. 直线AC B. 直线AB
C. 直线CD D. 直线BC
解析：C　由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以
D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面
ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩
平面β＝CD.
2. 在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四
点，如果EF∩HG＝P，则（　　）
A. 点P一定在直线BD上
B. 点P一定在直线AC上
C. EH∥FG
D. EH与FG必相交
解析：B　如图所示，因为EF 平面ABC，HG 平面
ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面
ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以
P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，
则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误.
空间两直线的位置关系的判断（师生共研过关）
（1）如图，N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面
ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　B　）
B
A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
（2）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则
（　D　）
A. m与n异面 B. m与n相交
C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能
D
解析：（1）如图，取CD的中点F，连接EF，EB，
BD，FN. 因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD. 设
CD＝2，则EF＝ .因为N是正方形ABCD的中心，所
以BD＝2 ，NF＝1，BC⊥CD，因为平面ECD⊥平
面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EF⊥平
面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC.
在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2 ，所
以在等腰三角形BDE中，BM＝ ，所以BM≠EN. 易
知BM，EN是相交直线.
（2）在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是
m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异
面，所以C错误.
解题技法
空间两直线位置关系的判定方法
1. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与
平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l至多与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
解析：D　法一（反证法） 由于l与直
线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么
都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相
交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，
l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的
一条相交.
法二（模型法） 如图1，l1与l2是异面直
线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不
正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2
都与l相交，故C不正确.
2. 在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其
中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（　　）
A. AE＝CF，AC与EF是共面直线
B. AE≠CF，AC与EF是共面直线
C. AE＝CF，AC与EF是异面直线
D. AE≠CF，AC与EF是异面直线
解析：D　如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝
2，BC＝2，E是 的中点，则BE＝ ，因为F是AB的中
点，则BF＝1，AE＝ ＝ ＝ ，
CF＝ ＝ ＝ ，所以AE≠CF，在
△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，所以
OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直
线，则O，F，A，C，E在同一平面上，显然矛盾，故AC
与EF是异面直线，故选D.
异面直线所成的角（师生共研过关）
如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直
线AE与BC所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：D　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接
AF，易知F为 的中点，设正方形ABCD的边长为2，则
EF＝2，AF＝ ，所以AE＝ ＝ .连接
ED，则ED＝ .因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所
成的角即为∠EAD（或其补角）.在△EAD中， cos ∠EAD
＝ ＝ .所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
解题技法
用平移法求异面直线所成角的步骤
提醒 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要
求的角.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线A1B与AD1所成角
的余弦值为 ，则AA1＝ .
3
解析：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，则
∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角.设AA1＝t，
∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝ ，A1B＝BC1＝
.∴ cos ∠A1BC1＝ ＝
＝ .解得t＝3，则AA1＝3.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以
确定四个平面.故选A.
1
2
3
4
5
6
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18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. 若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 异面
C. 相交 D. 平行或异面或相交
解析： 　如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故
选D.
√
3. 已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β
＝c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c
相交；若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线.综上所述，“a，
b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件.故选C.
√
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在
空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）
A. 不存在 B. 有且只有2条
C. 有且只有3条 D. 有无数条
解析： 　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定
一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取
不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交
点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，如图.
√
5. 〔多选〕如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中
点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　）
√
√
解析： 　图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但
M 平面GHN，N GH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接GM，则
GM∥HN. 因此GH与MN共面；图D中，G，M，N三点共面，但H 平
面GMN，G MN，因此直线GH与MN异面.故选B、D.
6. 〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，
直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A. A，M，O三点共线
B. A，M，O，A1共面
C. A，M，C，O共面
D. B，B1，O，M共面
√
√
√
解析： 　∵M∈A1C，A1C 平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又
∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即
A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，
∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，
B1，O，M不共面，故选A、B、C.
7. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共
面的棱的条数为 .
解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，
共5条.
5
8. 如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且
AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数
为 .
4
解析：取CD的中点为G，连接EG，FG，由题意知，平面EFG与正方体
的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在
的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下
底面所在的平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面
个数为4.
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
解： 如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1
是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角
就是异面直线AC与A1D所成的角或其补角.
在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
故异面直线A1D与AC所成的角为60°.
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大
小.
解： 连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，
AC∥A1C1，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.
10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面
ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦
值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　如图，分别取棱CD，AD的中点F，H，连
接AC，HE，BH，EF，BF，设AB＝2，则PC＝
2 ，BF＝ .因为E，F分别是棱PD，CD的中点，
所以EF∥PC，EF＝ PC＝ ，则∠BEF是异面直线
PC与BE所成的角或其补角.因为H，E分别是棱AD，PD的中点，所以HE∥PA，HE＝ PA＝1.因为PA⊥平面ABCD，所以HE⊥平面ABCD. 因为BH 平面ABCD，所以HE⊥BH，则BE＝ .在△BEF中，由余
弦定理可得 cos ∠BEF＝ ＝ .
11. 〔多选〕如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下
列说法正确的是（　　）
A. AB与CD所在的直线垂直
B. CD与EF所在的直线平行
C. EF与GH所在的直线异面
D. GH与AB所在的直线夹角为60°
√
√
√
解析： 　把正方体的平面展开图还原，如图，连接
AF. 对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形
BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成
的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝
60°，故A错误；对于B，由A可知CD∥EF，故B正
确；对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确；对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB. 因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB
＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确.
12. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是
C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. AP与CM是异面直线
B. AP，CM，DD1相交于一点
C. MN∥BD1
D. MN∥平面BB1D1D
√
√
解析： 如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，
MP≠AC，所以AP与CM是相交直线.又平面A1ADD1∩平
面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，故A
不正确，B正确.令AC∩BD＝O，连接OD1，ON. 因为
M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥CD∥D1M，ON＝ CD＝D1M，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1.因为MN 平面BB1D1D，OD1 平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D，故C不正确，D正确.
13. 如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为 ，且AC＝
BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝ .
1或
解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可
知，EG∥BD，FG∥AC，EG＝ BD＝1，FG＝ AC＝
1.因为AC与BD所成的角为 ，所以∠FGE＝ 或∠FGE
＝π－ ＝ ，当∠FGE＝ 时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE＝ 时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF· cos ∠FGE＝1＋1－2×1×1×（－ ）＝3，所以EF＝ .综上，EF＝1或EF＝ .
14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角
梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.
（1）线段PA上是否存在一点G，使得D，C，E，G四点共面？若存
在，请证明，若不存在，请说明理由；
解： 存在.当G为PA的中点时满足条件.证明如下：
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面.
（2）若PC＝2，求三棱锥P-ACE的体积.
解： 因为E是PB的中点，
所以V三棱锥P-ACE＝V三棱锥B-ACE＝ V三棱锥P-ACB.
因为AD⊥DC，AB∥DC，所以AC＝ ，CB＝ ，
故AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，
所以S△ABC＝ AC·BC＝ × × ＝1，
V三棱锥P-ACB＝ PC·S△ABC＝ ，
所以V三棱锥P-ACE＝ .
15. （创新设问方式）已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别
是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则
直线ED，BF所成的角α在旋转过程中（　　）
A. 逐步变大
B. 逐步变小
C. 先变小后变大
D. 先变大后变小
√
解析： 　由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B、C错误.在四边形
AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，
FC 平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF 平面EFCB，所以平面
DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，所
以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，BF 平面EFCB，
所以DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE 平面DPE，所以BF⊥平面
DPE，此时DE与BF所成的角为 ，然后α开始变小，故直线ED，BF所
成的角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确.
THANKS
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