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《对角互补模型在中考数学中的应用》-----徐国雄
知识技能梳理：
对角互补在全等、相似及圆的相关知识体系中有着特定的应用，其使用条件和结论各有特点。在全等中，若四边形出现对角互补的情况，通常需要结合其他条件（如边相等、角相等的特定组合等）来构造全等三角形，结论是通过证明全等从而得到对应边相等、对应角相等，进而解决线段长度、角度大小等问题；在相似中，对角互补可作为一个重要的角的关系条件，当四边形存在对角互补关系时，可通过角之间的等量代换及相似三角形的判定定理（如两角分别相等的两个三角形相似等）来证明相似，结论是相似三角形对应边成比例、对应角相等，可用于求解线段比例关系、图形面积比等问题；在圆中，对角互补有着紧密的联系，使用条件是四边形的一组对角互补，结论是这个四边形的四个顶点共圆，进而可利用圆的相关性质（如同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角等）来解决角度计算、线段长度求解以及图形位置关系判断等问题。
学习过程
模块一：全等型
模块一：典例精讲
例1 如图:已知OC平分∠AOB，，
的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证：
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）
例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证：
(1)CD＝CE；
(2)OD＋OE＝2OC·cos
（3）
模块一：跟踪练习
1.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
2.如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，求证四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍.
模块二：相似型
模块二：典例精讲
例1.如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90 ，∠DCE的两边分别交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan
例2.如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，求的值．
模块二：跟踪练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为　 　 ；当时，为　 　 ．（用含n的式子表示）
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为线段AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．
模块三：四点共圆--综合题
模块三：典例精讲
例1 如图，已知∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，求证：点A，B，C，D四点共圆．
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）
A． B． C． D．
模块三：跟踪练习
如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　　 ．
答案解析
模块一：典例精讲
例1 如图:已知OC平分∠AOB，，
的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证：
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）
答案解析：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．
由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°．
所以∠MCD＝∠NCE，
从而△MCD≌△NCE（ASA），
故CD＝CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC．
所以．
例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证：：
CD＝CE；
OD＋OE＝2OC·cos
（3）
答案解析：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M,N
易证△MCD≌△NCE（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos
∴
模块一：跟踪练习
1.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
答案解析：
CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120 ，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60 （角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60 ，
∴∠MCO=90 -60 =30 ，∠NCO=90 -60 =30 ，
∴∠MCN=30 +30 =60 ，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，求证四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍.
答案解析：
过点P作PK⊥AB，垂足为点K．
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，
在△PAK和△PCD中，，
∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．
模块二：相似型
模块二：典例精讲
例1.如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90 ，∠DCE的两边分别交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan
答案解析：
∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OGCF为矩形，
∴∠GCF＝90°，CF=OG，
∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠GCE+∠DCG＝90°，
∴∠GCE＝∠FCD，
∴△ECG∽△DCF，
∴，
∵CF=OG，
∴，
∵在Rt△COG中，，
∴CE＝CD·
例2.如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，求的值．
答案解析：
∵在中，，，
∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，
∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，
∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，
∴，
又PE=2PF，
∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，
∴，
解得：,AP=3
模块二：跟踪练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为　 　 ；当时，为　 　 ．（用含n的式子表示）
答案解析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴＝，＝，
∵，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴＝，
在Rt△ABC中，tanB＝tan30°＝＝，即＝，
∴＝，
∵∠POQ＝90°，
而∠DOE＝90°，
∴∠DOP＝∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴＝＝，
当n＝2时，即时，＝．
故答案为，．
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为线段AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．
答案解析：
（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，
∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，
∴CD＝BC＝10，
∵DE⊥BC，
∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，
即DE：12＝CE：20＝10：16，
∴DE＝，CE＝；
（2）∵△CDE∽△CAB，
∴∠B＝∠DEC，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠QDC+∠PDB＝90°，
∵∠QDC+∠EDQ＝90°，
∴∠EDQ＝∠PDB，
∴△PBD∽△QED，
∴＝，即＝，
∴EQ＝，
∴CQ＝CE﹣EQ＝﹣＝11；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上，
∵△BPD∽△EQD，
∴＝＝＝＝，
若设BP＝x，则EQ＝x，CQ＝﹣x，
∵＝，＝＝，
∴∠QPD＝∠C，
∵∠PDE＝∠CDQ，
∴△PDF∽△CDQ，
∵△PDF为等腰三角形，
∴△CDQ为等腰三角形，
①当CQ＝CD时，可得：﹣x＝10，
解得：x＝；
②当QC＝QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，
∴CM＝CD＝5，
∵cos∠C＝＝＝＝，
∴CQ＝，
∴﹣x＝，
解得：x＝；
∴综上所述，BP＝或．
模块三：四点共圆--综合题
模块三：典例精讲
例1 如图，已知∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，求证：点A，B，C，D四点共圆．
答案解析：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，
若C在圆外，如图1，设BC交圆O于C′，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC′B＝180°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠DC′B＝∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外；
类似地（如图2）点C不可能在圆内；
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆．
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）
A． B． C． D．
答案解析：
如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
模块三：跟踪练习
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
答案解析：
如图取BE的中点K．连接AK、OK．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝90°，
∵EO⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE对角互补，
∴A、B、O、E四点共圆，
∵BK＝KE，
∴KA＝KB＝KO＝KE，
∴∠ABE＝∠AOE＝20°
2.如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　　 ．
答案解析：
连接CP，如图：
∵PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴C、D、P、E四点共圆，圆心为O，且直径为CP，
∵BC＝+1，∠ACB＝45°是定值，
∴直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小，
即CP⊥AB时，DE最小，
连接OD、OE，
∵∠B＝60°，CP⊥AB，BC＝+1，
∴∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝，CP＝BP＝，
∴OD＝OE＝CP＝，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠DOE＝2∠ACB＝90°，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝；
即DE的最小值为；
故答案为：．
（北京）股份有限公司（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司（北京）股份有限公司
2《对角互补模型在中考数学中的应用》-----徐国雄
知识技能梳理：
对角互补在全等、相似及圆的相关知识体系中有着特定的应用，其使用条件和结论各有特点。在全等中，若四边形出现对角互补的情况，通常需要结合其他条件（如边相等、角相等的特定组合等）来构造全等三角形，结论是通过证明全等从而得到对应边相等、对应角相等，进而解决线段长度、角度大小等问题；在相似中，对角互补可作为一个重要的角的关系条件，当四边形存在对角互补关系时，可通过角之间的等量代换及相似三角形的判定定理（如两角分别相等的两个三角形相似等）来证明相似，结论是相似三角形对应边成比例、对应角相等，可用于求解线段比例关系、图形面积比等问题；在圆中，对角互补有着紧密的联系，使用条件是四边形的一组对角互补，结论是这个四边形的四个顶点共圆，进而可利用圆的相关性质（如同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角等）来解决角度计算、线段长度求解以及图形位置关系判断等问题。
学习过程
模块一：全等型
模块一：典例精讲
例1 如图:已知OC平分∠AOB，，
的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证：
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）
例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证：
(1)CD＝CE；
(2)OD＋OE＝2OC·cos
（3）
模块一：跟踪练习
1.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
2.如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，求证四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍.
模块二：相似型
模块二：典例精讲
例1.如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90 ，∠DCE的两边分别交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan
例2.如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，求的值．
模块二：跟踪练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为　 　 ；当时，为　 　 ．（用含n的式子表示）
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为线段AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．
模块三：四点共圆--综合题
模块三：典例精讲
例1 如图，已知∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，求证：点A，B，C，D四点共圆．
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）
A． B． C． D．
模块三：跟踪练习
如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　　 ．
答案解析
模块一：典例精讲
例1 如图:已知OC平分∠AOB，，
的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证：
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）
答案解析：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．
由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°．
所以∠MCD＝∠NCE，
从而△MCD≌△NCE（ASA），
故CD＝CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC．
所以．
例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证：：
CD＝CE；
OD＋OE＝2OC·cos
（3）
答案解析：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M,N
易证△MCD≌△NCE（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos
∴
模块一：跟踪练习
1.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
答案解析：
CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120 ，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60 （角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60 ，
∴∠MCO=90 -60 =30 ，∠NCO=90 -60 =30 ，
∴∠MCN=30 +30 =60 ，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，求证四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍.
答案解析：
过点P作PK⊥AB，垂足为点K．
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，
在△PAK和△PCD中，，
∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．
模块二：相似型
模块二：典例精讲
例1.如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90 ，∠DCE的两边分别交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan
答案解析：
∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OGCF为矩形，
∴∠GCF＝90°，CF=OG，
∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠GCE+∠DCG＝90°，
∴∠GCE＝∠FCD，
∴△ECG∽△DCF，
∴，
∵CF=OG，
∴，
∵在Rt△COG中，，
∴CE＝CD·
例2.如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，求的值．
答案解析：
∵在中，，，
∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，
∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，
∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，
∴，
又PE=2PF，
∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，
∴，
解得：,AP=3
模块二：跟踪练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为　 　 ；当时，为　 　 ．（用含n的式子表示）
答案解析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴＝，＝，
∵，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴＝，
在Rt△ABC中，tanB＝tan30°＝＝，即＝，
∴＝，
∵∠POQ＝90°，
而∠DOE＝90°，
∴∠DOP＝∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴＝＝，
当n＝2时，即时，＝．
故答案为，．
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为线段AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．
答案解析：
（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，
∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，
∴CD＝BC＝10，
∵DE⊥BC，
∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，
即DE：12＝CE：20＝10：16，
∴DE＝，CE＝；
（2）∵△CDE∽△CAB，
∴∠B＝∠DEC，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠QDC+∠PDB＝90°，
∵∠QDC+∠EDQ＝90°，
∴∠EDQ＝∠PDB，
∴△PBD∽△QED，
∴＝，即＝，
∴EQ＝，
∴CQ＝CE﹣EQ＝﹣＝11；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上，
∵△BPD∽△EQD，
∴＝＝＝＝，
若设BP＝x，则EQ＝x，CQ＝﹣x，
∵＝，＝＝，
∴∠QPD＝∠C，
∵∠PDE＝∠CDQ，
∴△PDF∽△CDQ，
∵△PDF为等腰三角形，
∴△CDQ为等腰三角形，
①当CQ＝CD时，可得：﹣x＝10，
解得：x＝；
②当QC＝QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，
∴CM＝CD＝5，
∵cos∠C＝＝＝＝，
∴CQ＝，
∴﹣x＝，
解得：x＝；
∴综上所述，BP＝或．
模块三：四点共圆--综合题
模块三：典例精讲
例1 如图，已知∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，求证：点A，B，C，D四点共圆．
答案解析：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，
若C在圆外，如图1，设BC交圆O于C′，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC′B＝180°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠DC′B＝∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外；
类似地（如图2）点C不可能在圆内；
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆．
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）
A． B． C． D．
答案解析：
如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
模块三：跟踪练习
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
答案解析：
如图取BE的中点K．连接AK、OK．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝90°，
∵EO⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE对角互补，
∴A、B、O、E四点共圆，
∵BK＝KE，
∴KA＝KB＝KO＝KE，
∴∠ABE＝∠AOE＝20°
2.如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　　 ．
答案解析：
连接CP，如图：
∵PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴C、D、P、E四点共圆，圆心为O，且直径为CP，
∵BC＝+1，∠ACB＝45°是定值，
∴直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小，
即CP⊥AB时，DE最小，
连接OD、OE，
∵∠B＝60°，CP⊥AB，BC＝+1，
∴∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝，CP＝BP＝，
∴OD＝OE＝CP＝，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠DOE＝2∠ACB＝90°，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝；
即DE的最小值为；
故答案为：．
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