资源简介 二倍角解题策略探究知识技能梳理二倍角综合问题,在几何倒角中扮演着重要的角色,同时也是中考热点问题,中考第13 题填空压轴问题中,时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角,首先想到“导”,将图形中的角度都推导出来,挖掘出隐藏边的信息,再观察角度的位置,结合其他条件,合理添加辅助线,构造等腰三角形或者对策图形等,综合运用熟悉的几何定理,将角度关系转化为代数方程,或者关联勾股定理,全等/相似三角形等知识点,解决几何问题。基本思想 1 翻折构造等腰三角形A① A ② ③ A ' α2α α 2α α 2αB D B ' BC D C B D C E结论:__________________ _____________________ ____________________模块一 利用翻折思想解决二倍角问题例题 1 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为边 BC 上一点,∠B=2∠CAD,AB·CD=5,求 AD 的长. AB D C【巩固练习】1.如图,在△ABC 中,∠1=∠2,∠B=2∠C,其中 AB=6,AC=10,则 BD=2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为 BC 边上一点,BD=2CD,∠B=2∠DAC,AB=4,求 AD 的长为____________.AB D C3.如图,在△Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,DC 平分∠ADE,AD=1,BD=CD,∠B=2∠ACD,求 CE 的长为____________.ADB E C基本思想 2 延长构造新等腰A① A ②2α α2α α BCD B CD结论:_____________________ ______________________模块二 向外构造解决二倍角问题例题 2 如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,AB=3,AC=2 6,求 BC 的长.AB C思考:在△ABC 中,∠ABC=2∠C,BC=a,AC=b,AB=c,探究 a,b,c 满足的关系.【巩固练习】1.如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点 D,AE 为 BC 边上的中线,BD=3,DE=2,A求 AE 的长.B D E C2.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,点 D为 BC 边上一点,BD=2DC,点 E 在 AD 的延长线上,∠ABC=2∠DEC,AD·DE=18,求 sin∠BAC 的值. AB D C3 一副三角板按如图 1 放置,图 2为简图,D 为 AB 中点,E、F分别是一个三角板与另一个E三角板直角边 AC、BC 的交点,已知 AE=2,CE=5,连接 DE,M 为 BC 上一点,且满足∠CME=2∠ADE,EM= .基本思想 3 倍小角分大角D① ② ADAα 2ααB C2α αB C结论:_____________________ ______________________模块三 倍小角分大角,构造等腰三角形AD 1例题 3 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为边 AB 上一点,∠ACD=2∠B, = ,BD 3求 cosB 的值.ADB C【巩固练习】1.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,点 D 为边 BC 上一点,∠BAD=2∠C,BD=2,CD=3,求 AD 的长为 . AB D C2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABD=2∠BDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求 BC 的长为 .ADB C3.如图,在△ABC 中,∠A=3∠B,D 为 AB 中点,∠ADC=45°,求∠A 的度数。CA D B【提升训练】1.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=3,∠A= α ,则 tan2α 的值为__ __.2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为边 BC 上一点,∠B=2∠DAC,BD=3,DC=2,求 AD 的长为____________. AB D C3.如图,在△ABC 中,点 D 在边 AC 上,CD=BD 且∠C=2∠ABD,AE⊥BD,交 BD 的延长线于点 E.若 BE=8,AC=11,则边 AB 的长为 .4..如图,在 ABC 中,点 E 在边 AC 上, EC EB, C 2 ABE, AD BE 交 BE 的延长线于点 D,若 AC 22, BD 16,则 AB .5.如图,在△ABC 中,∠B=90°,D 是 BC 边上一点且满足∠C=2∠BAD,CD=3BD,E 是 AC边上一点且满足∠ADB=∠ADE,连接 BE 交 AD 于点 F,则 = .6.已知△ABC,AB=AC,AD⊥BC,点 F 在 AC 上,作 EF⊥AB,直线 EF 交 AB 于 E,交 BC延 长 线 于 G , 连 接 ED , ∠ GFC = 2 ∠ EDA , DH = CG = 2 , 则 AF 的 长为 .三角形中二倍角的解题策略研究罗湖外语初中学校 谭雅元知识技能梳理二倍角综合问题,在几何倒角中扮演着重要的角色,同时也是中考热点问题,中考第13 题填空压轴问题中,时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角,首先想到“导”,将图形中的角度都推导出来,挖掘出隐藏边的信息,再观察角度的位置,结合其他条件,合理添加辅助线,构造等腰三角形或者对策图形等,综合运用熟悉的几何定理,将角度关系转化为代数方程,或者关联勾股定理,全等/相似三角形等知识点,解决几何问题。基本思想 1 翻折构造等腰三角形A① A ② ③ A ' α2α α 2αB 2αD CB ' C B D C E结论:__ ' = ' _____ _______ ' = ' _______ ____ ABE~ DAE_______模块一 利用翻折思想解决二倍角问题例题 1 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D为边 BC 上一点,∠B=2∠CAD,AB·CD=5,求 AD的长.【详解】解:延长 BC 到 E,使 CE=CD,连接 AE. A∵∠ACB=90°,∴AD=AE,∴∠CAD=∠CAE,∠ADC=∠E.∵∠B=2∠CAD,∴∠B=∠DAE,∴∠BAE=∠ADE=∠E,∴△ABE∽△DAE,BE=AB,AE BE 2∴ = ,∴AE =BE·DE=BE·2CD=10,∴AD=AE= 10.DE AE B D C E【巩固练习】1.如图,在△ABC 中,∠1=∠2,∠B=2∠C,其中 AB=6,AC=10,则 BD= 4E【详解】在 AC 上作 AF=AB,易得△ABD~△AFD(SAS),则∠AFD=2α,BD=FD,由外角定理知∠FDC=α,则 FD=FC,故 FC=AC-AF=10-6=4,BD=FD=FC=42.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为 BC 边上一点,BD=2CD,∠B=2∠DAC,AB=4,求 AD 的长为_____2 2 _______.A【详解】解:延长 BC 到 E,使 CE=CD,连接 AE.∵∠ACB=90°,∴AD=AE, ∴∠ADE=∠E,∠DAC=∠EAC.∵∠B=2∠DAC,∴∠B=∠DAE, ∴∠BAE=∠ADE=∠E,∴BE=AB=4.设 CE=CD=x,则 BD=2x,BE=4x, ∴4x 2 2 2=4,∴x=1,∴BC=3,∴AC =4 -3 =7,∴AD= CD 2B D C E+AC 2 =2 2.3.如图,在△Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,DC 平分∠ADE,AD=1,BD=CD,∠B=2∠ACD,求 CE的长为___ 5 + 1_________.【详解】延长 BA 到 F,使 AF=AD=1,连接 CF,设 BD=CD=X, A F∵∠BAC=90°,∴CD=CF=x,∴∠F=∠CDF,∠ACD=∠ACF. D∵∠B=2∠ACD,∴∠B=∠DCF,∵∠F=∠F = ∴△FDC~△FCB ∴ ∴ = 2 ∴x = 5 + 1;x = 1 5(舍) 2+ 1 2易证△FDC △EDC,则 CE=FC= 5 + 1 B E C基本思想 2 延长构造新等腰 A① A ② 2α αB C2α αD B CD结论:____ ABD ∽ CAD________ __________ ABC ∽ ACD____________模块二 向外构造解决二倍角问题例题 2 如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,AB=3,AC=2 6,求 BC 的长. A【详解】解:延长 CB 到 D,使 DB=AB=3,连接 AD.则∠D=∠DAB,∴∠ABC=2∠D.∵∠ABC=2∠C,∴∠C=∠D=∠DAB,∴AD=AC=2 6,△BDA∽△ADC, D B CAD CD 2 6 CD∴ = ,∴ = ,∴CD=8,∴BC=5.BD AD 3 2 6思考:在△ABC 中,∠ABC=2∠C,BC=a,AC=b,AB=c,探究 a,b,c满足的关系.【巩固练习】1.如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点 D,AE 为 BC边上的中线,BD=3,DE=2,求 AE 的长.【详解】解:延长 CB 到 F,使 BF=AB,连接 AF.则∠F=∠BAF,∴∠ABC=2∠F.∵AE 是中线,∴BE=EC,∴BD+DE=EC. A∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C,∴AF=AC.∵AD⊥BC,∴DF=DC,∴BF+BD=DE+EC,F B D E C∴AB+BD=DE+BD+DE,∴AB=2DE=4,∴AD 2=AB 2-BD 2=7,∴AE DE 2= +AD 2 = 11.2.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,点 D 为 BC 边上一点,BD=2DC,点 E在 AD 的延长线上,∠ABC=2∠DEC,AD·DE=18,求 sin∠BAC 的值.【详解】解:延长 CB 到 F,使 BE=AB,连接 AF,过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H. A则∠F=∠BAF,∴∠ABC=2∠F. H∵∠ABC=2∠DEC,∴∠F=∠DEC.AD CD∵∠ADF=∠CDE,∴ = ,∴CD·DF=AD·DE=18.DF DE F B G D C9设 CD=a,则 BD=2a,DF=2a+5,∴a( 2a+5 )=18,解得 a=- (舍去)或 a=2,2∴BC=3a=6,∴BG=CG AG 2 2=3,∴ = 5 -3 =4, E4 24 BH 24∴BH= BC= ,∴sin∠BAC= = .5 5 AB 253.一副三角板按如图 1放置,图 2为简图,D为 AB 中点,E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边29AC、BC 的交点,已知 AE=2,CE=5,连接 DE,M为 BC 上一点,且满足∠CME=2∠ADE,EM= 4 .【详解】【分析】由 CE=5, AE=2,得 AC=7,利用勾股定理,得到 AD 的长度,过 E 作 EN⊥AD 于 N,求出 EN 和 DN 的长度,由于∠CME=2∠ADE,延长 MB 至 P,是 MP=ME,可以证明 DNE PCE,MP=x,在 Rt MCE 中,利用勾股定理列出方程,即可求解.【详解】解:如图,过 E 作 EN⊥AD 于 N, END ENA 90 , NEA A 45 , ∴NE= NA,AE AE NE 2 NA2 2NA, NE NA 2,2同理, AD AC 7 2 , 5 22 DN AD NA ,2 2延长 MB 至 P,使 MP=ME,连接 PE,∴可设 MPE MEP x, EMC MPE MEP 2x, EMC 2 ADE , ADE MPE x,又 DNE PCE 90 , DNE PCE,CE NE 2 2 , PC 25PE DN 5 2 5 ,25设MP ME x,则CM x,2 222在 Rt MCE中,ME 2 CM 2 CE 2 , 25 29 x 25 x2 , x , 2 4基本思想 3 倍小角分大角D① ② ADAα 2ααB C2α αB C结论:_______DB=DC________ _______ ABD~ ACB_____模块三 倍小角分大角,构造等腰三角形AD 1例题 3 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D为边 AB 上一点,∠ACD=2∠B, = ,求 cosB 的值.BD 3【详解】解:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.∵∠ACB=90°,∴∠ACE=90°-∠BCE=∠B.∵∠ACD=2∠B,∴∠ACD=2∠ACE, ∴∠ACE=∠DCE,∴∠A=∠CDE,A∴AC=DC,∴AE=DE. D E设 AE=DE=a,则 AD=2a,BD=6a,BE=7a.AE CE∵∠ACE=∠B,∠AEC=∠CEB=90°, ∴△CEA∽△BEC,∴ = ,CE BE B Ca CE BE 7a 14∴ = ,∴CE= 7a,∴BC BE 2+CE 2= =2 14a, ∴cosB= = = .CE 7a BC 2 14a 4【巩固练习】1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,点 D 为边 BC 上一点,∠BAD=2∠C,BD=2,CD=3,求 AD 的长为 5 .A【详解】解:过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.∵∠BAC=90°,∴∠BAE=90°-∠CAE=∠C.∵∠BAD=2∠C,∴∠BAD=2∠BAE, ∴∠BAE=∠DAE,∴∠B=∠ADE,B E D C1∴AB=AD,∴BE=DE= BD=1,∴CE=4.2AE CE AE 4∵∠BAE=∠C,∠AEB=∠CEA=90°, ∴△ABE∽△CAE 2 2,∴ = ,∴ = ,∴AE=2,∴AD= DE +AE = 5.BE AE 1 AE2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABD=2∠BDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求 BC的长为 10 .【详解】解:过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,过点 C 作 CF⊥BE 于点 F.∵AB=BD,∴AE=DE,∠ABE=2∠DBE, ∴∠ABD=2∠DBE. A∵∠ABD=2∠BDC,∴∠BDC=∠DBE, ∴CD∥BE,∴CD⊥AD, E2 2∴四边形 CDEF 是矩形,AD= AC -CD = 15, F15 D∴EF=CD=1,AE=DE= ,2 B C2 2 7 5∴BE= BD -DE 2 2= ,∴BF=BE-EF= , ∴BC= BF +CF = 10.2 23.如图,在△ABC 中,∠A=3∠B,D为 AB中点,∠ADC=45°,求∠A 的度数。【详解】作∠EAB=∠B=α,交 BC 于 E,过 C 作 CF⊥AE 于 F,导角数据如图,易知 AC=CE,EA=EB,FD 为ΔABE 中位线,E则 FD//BC,∠FDA=α=∠FAD,则 FA=FD;M∠FDC=45-α,∠FCD=90-∠CMF=90-α-∠ADC=45-α;则∠FCD=∠FDC,则 CF=FD;∴FC=FA,∠CFA=90°,∴4α=90°∴α=22.5°,则∠A=67.5°【提升训练】31.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=3,∠A= α ,则 tan2α 的值为__ __.5【详解】AB 中垂线交 AC 于 M,设 AM=BM=x,CM=9-x,∠BMC=2α在 Rt△BCM 中,由勾股定理得 2 + 2 = 2,即 9+(9 )2 = 2 3则 x=5,则 tan2α= = M 52.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D为边 BC 上一点,∠B=2∠DAC,BD=3,DC=2,求 AD 的长_2 7_.【详解】解:延长 BC 到点 E,使 CE=CD,连接 AE.A∵AC⊥BC,∴AD=AE, ∴∠ADE=∠E,∠DAC=∠EAC.∵∠B=2∠DAC,∴∠B=∠DAE,AE DE∴∠BAE=∠ADE=∠E,∴AB=BE,△ABE∽△DAE, ∴ = .BE AEB D C EAE 4∵BD=3,DC=2,∴DE=4,BE=7, ∴ = ,∴AD=AE=2 7.7 AE3.如图,在△ABC 中,点 D在边 AC 上,CD=BD 且∠C=2∠ABD,AE⊥BD,交 BD 的延长线于点 E.若 BE=8,AC=11,则边 AB 的长为 4 .【详解】解:如图,延长 BE 到点 F,使得 EF=BE,连接 AF,∵AE⊥BD, ∴△BAF 是等腰三角形,∴AB=AF,∠F=∠ABD,BE=EF=8,∵CD=BD,∴∠CBD=∠C=2∠ABD,过点 A 作 AH∥BC,交 BF 于点 H,∴∠CBD=∠AHD=2∠ABD=2∠F,∴HF=HA,∵AH∥BC,∴∠CBD=∠AHD,∠C=∠DAH,∴∠AHD=∠DAH,∴DH=DA,∵CD=BD,∴AC=BH,∴EH=BH﹣BE=AC﹣BE=11﹣8=3,∴HF=HA=EF﹣EH=8﹣3=5,在 Rt△AEH 中,由勾股定理得:AE= = =4,在 Rt△AEB 中,由勾股定理得:AB= = =4 ,故答案为:4 .4.如图,在ΔABC中,点 E在边 AC 上,EC=EB,∠C=2∠ABE,AD⊥BE交 BE 的延长线于点 D,若 AC=22,BD=16,则 AB= 8 5 .【详解】解:如图所示,延长 BD 至 F 使 DF=BD,作 AG∥BC 交 DF 于 G,∵BD=DF,AD⊥BE,∴AF=AB,∠F=∠ABD∵AG∥BC,∴∠AGD=∠EBC,∠GAE=∠C∵EB=EC,∴∠EBC=∠C,∴∠C=∠EBC=∠AGD=∠GAE, ∴AE=EG∵∠C=2∠ABE,∴∠AGD=2∠ABE=2∠F,∴FG=AG,∵AC=22,BD=16,∴BG=BE+GE=CE+AE=AC=22∴AG=FG=BF-BD=2BD-BG=2×16-22=10,,∴DG=DF-FG=16-10=6 AD AG 2 DG 2 102 62 8, AB AD2 BD2 82 162 8 55.如图,在△ABC 中,∠B=90°,D是 BC 边上一点且满足∠C=2∠BAD,CD=3BD,E 是 AC 边上一点且满足∠ADB=∠ADE,连接 BE 交 AD于点 F,则 = .【详解】解:过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,过点 E作 EG⊥CD 于点 G,延长 EG 交 AD 的延长线于点 Q,如图,在△ABD 和△AHD 中,∴△ABD≌△AHD(AAS),∴∠BAD=∠HAD,∵∠C=2∠BAD,∴∠C=∠BAH.∵∠ABD=∠AHD=90°,∴∠BDH+∠BAH=180°.∵∠BDH+∠EDC=180°,∴∠EDC=∠C,∴ED=EC,∵EG⊥DC,∴DG=GC= CD,∵CD=3BD,∴设 BD=k,则 CD=3k,∴DG=GC= k,BC=4k.∵EG⊥BC,AB⊥BC,∴EG∥AB,∴△EGC∽△ABC,∴ .∴EG= AB.∵EQ∥AB,∴△ADB∽△QGD,∴ ,∴QG= AB,∴EQ=EG+QG= AB.∵AB∥EQ,∴△QEF∽△ABF,∴ .故答案为: .6.已知△ABC,AB=AC,AD⊥BC,点 F在 AC上,作 EF⊥AB,直线 EF交 AB于 E,交 BC延长线于 G,连接 ED,∠GFC=2∠EDA,DH=CG=2,则 AF的长为 .【解答】解:连接 CH、AG,如图所示:∵AD⊥BC,EF⊥AB,∴∠ADG=∠AEG=90°,∴A、E、D、G 四点共圆,∴∠EDA=∠AGE,∵∠GFC=2∠EDA,∴∠GFC=2∠AGE,又∵∠GFC=∠AGE+∠CAG,∴∠AGE=∠CAG,∴AF=GF,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD+∠B=90°,∠BGE+∠B=90°,∴∠BAD=∠CAD=∠BGE,在△AFH 和△GFC 中,,∴△AFH≌△GFC(ASA),∴HF=CF,AH=CG=2,∵AF=GF,∴AF+CF=GF+HF,∴AC=GH,在△ACD 和△GHD 中,,∴△ACD≌△GHD(AAS),∴CD=HD=2,∴AH=CG=DH=CD=2,∴点 H 为 AD 的中点,点 C 为 DG 的中点,∴CH 是△ADG 的中位线,∴CH= AG,CH∥AG,∴△HFC∽△GFA,∴ = = ,∴AF= AC,在 Rt△ACD 中,AD=AH+DH=4,CD=2,∴AC= = =2 ,∴AF= AC= ,故答案为: . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 二倍角解题策略探究.pdf 二倍角解题策略探究(答案版).pdf