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2024-2025 学年初三下学期数学专题复习
求解与圆上动点相关的最值问题
姓名：______________ 班级:_____________
【环节一 自主探究，归纳模型】
https://www.geogebra.org/calculator/rnbgyggs
模型 1 模型 2 模型 3
已
已
知
条 定点 A为 O 外一点，点 P
件 为圆上任意一点。求 AP的最 P是圆上的动点。求 P到直线 点 A为直线 l上任意一点，点
大值、最小值。 l距离的最大值、最小值。 P 为圆上的动点。求 AP 最小
值。
思 OP 、OA 长为定值，连接 OP 、O 到直线 l 的距离 OP 为定值，连接 OP
路 OP 、OA。在△APO， （OM）为定值，连接 OP。当 M、 1.当 A、P、O 共线且点 P 运动
分 OA+OP析 共线时，AP 取得最值。 APmin=OA-OP
相关数学原理： 相关数学原理： 2.OA⊥l 时，OA 最短
两点之间线段最短。 点到直线的距离，垂线段最 相关数学原理：
短。 两点之间线段最短。
点到直线的距离，垂线段最
短。
方 连接 AO并延长，与圆分别交 过点 O 作直线 MO，与圆分别交 过点 O 作 l 的垂线段 AO，与
法 于点 P1、点 P2。 于点 P1、P2。 圆交于 P。APmin=A’P’=OA-OP
归 APmax=AP2=OA+OP， MPmax=MP2=OM+OP，
纳 APmin=AP1=OA-OP MPmin=MP1=OM-OP
1
【环节二 小组研学，互助探究】
类型一：点在已知圆上运动产生的最值问题
典例剖析 1 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，E是 BC的中点，以 BE为直
径作⊙O，P是圆上的动点，求 DP的最大值和最小值.
联系模型_1__ 写出分步作法。
【分析】
作射线 DO，与圆的交点分别记为点 P1、点 P2。
则 APmax=AP2=OD+r，APmin=AP1=OD-r。
【答案】APmax=6 2 + 2，APmin=6 2 2。
*变式 1-1：
若点 也在线段 AD上运动，请求出 PQ的最小值。
联系模型_3_ 写出分步作法.
【分析】
过点 O 作 OQ⊥AD，与圆交于点 P
则 PQmin=OQ-OP
【答案】PQmin=6-2=4
2
变式 1-2：
连接 AC、PA、PC，求△APC面积的最小值。并在图中画出取得最小值的情况。
联系模型_2_ 写出分步作法。
【分析】
【答案】过 O 作 OF⊥AC，垂足为点 F。hmin=PF=OF-OP。
针对训练
1. 如图,⊙O的半径为 10,圆心 O到直线 l的距离为 14,点 A是⊙O上一点,过点 A的切线与直
线 l交于点 B,求 AB 的最小值.
【分析】
AB2=OB2-OA2，当 OB 最小时，AB 也最小。求 AB 的最小值即求 OB的最小值
【答案】
当 OB⊥l 时，OBmin=14.则 ABmin=6 2 2
3
类型二：点在未知轨迹上运动产生的最值问题
类型 1：定点+定长 类型 2：定长+定角
图示
性质 点 B到点O的距离等于定长 定长 AB 所对的角是直 定长 AB 所对的角为定角
应用 r，则 B在以 O为圆心 r为半 角，则点 C在以 AB为直 （即∠C 为定角）则点 C
径的圆上。 径的圆周上。 在△ABC外接圆圆周上。
典例剖析 2
如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，F是 AB的中点,E是线段 BC上的动点,点 B沿着
EF折叠得到点 B’。求线段 DB’的最小值。*
【分析】BF=BF'，故点 B'位于以 F 点为圆心，FB 为半径的圆周上
【答案】连接 FP，与圆的交点 B’能使 DB’取得最小值。DB’min= 73 3
4
针对训练
2.如图，在矩形 ABCD中，已知 AB＝3，BC＝4，点 P是 BC边上一动点（点 P不与 B，C
重合），连接 AP，作点 B关于直线 AP的对称点 M，则线段 MC的最小值为 ．
【分析】AB=AM，故点 M 位于以 A 点为圆心，AB 为半径的圆弧上
【答案】如图 3，连接 AC，AM，
∵点 B，点 M关于直线 AP对称，
∴AB＝AM＝6，
∴点 M在以点 A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点 M在线段 AC上时，MC有最小值，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC= 2 + 2 = 32 + 42 =5，
∴CM的最小值为 CM＝AC﹣AM＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
5
典例剖析 3
如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，P是 AB左侧一动点，且 AP⊥BP，
则线段 CP长度的最大值是 ．*
【答案】2 10 +2．
【分析】首先证明点 P在以 AB为直径的⊙O上，连接 OC，并延长 CO与交⊙O于点 P，
此时 PC最大，利用勾股定理求出 OC即可解决问题．
【解答】解：∵AP⊥BP，
∴∠APB＝90°，
∴点 P在以 AB为直径的⊙O上，
连接 OC，并延长 CO与交⊙O于点 P，此时 PC最大，
在 Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝6，OB＝2，
∴OC= 2 + 2 = 62 + 22 =2 10，
∴PC＝OC+OP＝2 10 +2，
∴线段 CP长度的最大值是 2 10 +2．
故答案为：2 10 +2．
6
针对训练
3．如图 2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足
∠PAB＝∠PBC，求线段 CP长的最小值．
【分析】先判断出∠ABP+∠PBC＝90°，进而判断出∠APB＝90°，进而判断出点 P在 OC
上，即可求出答案；
【答案】
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点 P在以 AB（定弦）为直径的⊙O上，
如图 2，连接 OC交⊙O于点 P，此时 PC最小，
∵点 O是 AB的中点，
1
∴OA＝OB= 2AB＝6，
在 Rt△ABC中，∠OBC＝90°，BC＝8，OB＝6，
∴ = 2 + 2 = 10，
∴PC＝OC﹣OP＝10﹣6＝4．
∴PC最小值为 4；
7
【环节 3 方法迁移，进阶训练】**
4.如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A＝60°，M是 AD边的中点，N是 AB边上一动点，
将△AMN沿 MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A'C请求出 A′℃长度的最小值．
【答案】 7 1；
【分析】可得出点 A′在 M为圆心，1为半径的圆上运动，连接 CM，交⊙M于 A′，此
A C CE AD AD E DE= 1CD 1 CE= 3时 ′ 最小，作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，可求得 2 ＝ ， 2 CD= 3，
从而 EM＝2，进一步得出结果；
【解答】如图 3，
∵△AMN沿 MN所在的直线翻折得到△A′MN，
∴MA 1′＝MA= 2AD＝1，
∴点 A′在 M为圆心，1为半径的圆上运动，连接 CM，交⊙M于 A′，此时 A′C最小，
作 CE⊥AD，交 AD的延长线于点 E，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE＝∠A＝60°，
∴DE= 12CD＝1，CE=
3
2 CD= 3，
∴EM＝DM+DE＝2，
8
∴CM= 22 + ( 3)2 = 7，
∴A′C＝CM﹣A′M= 7 1，
即：A′C的最小值为： 7 1；
5.如图，⊙M的半径为 4，圆心 M的坐标为（6，8），点 P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，
且 PA，PB与 x轴分别交于 A，B两点．若点 A，点 B关于原点 O对称，则当 AB取最小值
时，△APB的面积为 ．
【分析】由 Rt△APB中 AB＝2OP知要使 AB取得最小值，则 PO需取得最小值，连接
OM，交⊙M于点 P′，当点 P位于 P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：连接 OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使 AB取得最小值，则 PO需取得最小值，
连接 OM，交⊙M于点 P′，当点 P位于 P′位置时，OP′取得最小值，
过点 M作 MQ⊥x轴于点 Q，过点 P′作 P′H⊥AB于点 H．
则 OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝6，
9
∴AB＝2OP′＝12，
∵P′H∥MQ，
′ ′
∴ = ，

′ 6
∴ = ，
8 10
P 24∴ ′H= 5 ，
1 1 24 144
∴△P′AB的面积= 2 AB P′H= 2 ×12× 5 = 5 ．
144
故答案为： ．
5
6.如图，点 D在半圆 O上，半径 OB＝5，AD＝4，点 C在弧 BD上移动，连接 AC，作 DH
⊥AC，垂足为 H，连接 BH，点 C在移动的过程中，BH的最小值是 ．
【分析】如图，取 AD的中点 M，连接 BD，HM，BM．由题意点 H在以 M为圆心，MD
为半径的⊙M上，推出当 M、H、B共线时，BH的值最小．
【解答】解：如图，取 AD的中点 M，连接 BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点 H在以 M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当 M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD= 102 42 =2 21，
BM= 2 + 2 = 84 + 4 =2 22，
∴BH的最小值为 BM﹣MH＝2 22 2．
10
故答案为：2 22 2．
7.如图 4，在正方形 ABCD中，AD＝6，动点 E，F分别在边 DC，CB上移动，且满足 DE
＝CF．连接 AE和 DF，交于点 P．点 E从点 D开始运动到点 C时，点 P也随之运动，CP
最小值是 ．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得 AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，由余角的性质
可证 AE⊥DF；由题意可得点 P的运动路径是以 AD为直径的圆的 ，由弧长公式可求解．
【解答】∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
如图 4，连接 AC，BD交于点 O，
11
∵点 P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点 P的运动路径是以 AD为直径的圆的 ，
90 ×3 3
∴点 P的运动路径长为 = ．
180 2
3
故答案为： ．
2
***8.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点 D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，
则线段 CD长度的最小值为 ．
【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆 O，连接 OC，当 O、D、C三
点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，
OB＝OA= 2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得
OC的长为 5，最后 CD最小值为 OC﹣OD= 5 2．
【解答】解：如图所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆 O（因求 CD最小值，故圆心 O在 AB的右
侧），连接 OC，
当 O、D、C三点共线时，CD的值最小．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
12
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB= 2．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作 OE⊥BC于点 E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45° OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在 Rt△OEC中，
OC= 2 + 2 = 1 + 4 = 5．
当 O、D、C三点共线时，
CD最小为 CD＝OC﹣OD= 5 2．
故答案为： 5 2．
13

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