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(共18张PPT)
MATHEMATICS SUBJECT EDUCATION AND TEACHING IN PRIMARY AND SECONDARY SCHOOLS
深圳市红桂中学 范怡静
求解圆上动点相关最值问题
CONTENT
目录
自主探究
01
小组研学
02
进阶训练
03
归纳小结
04
自主探究，归纳模型
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
模型1
思路分析
OP 、OA长为定值，连接OP 、OA
在△APO中
OA+OP当A、P、O共线时，AP取得最值
方法归纳：连接AO并延长，与圆分别交于点P1、点P2。APmax=OA+OP，APmin=OA-OP
自主探究，归纳模型
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
模型2
思路分析
OP 、O到直线l的距离（OM）为定值，连接OP
当M、P、O共线时，AP取得最值
方法归纳：过点O作直线MO，与圆分别交于点P1、P2。MPmax=OM+OP，MPmin=OM-OP
自主探究，归纳模型
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
模型3
思路分析
OP 为定值，连接OP
1.当A、P、O共线且点P运动到O、A之间时，AP有最小值APmin=OA-OP
方法归纳：
过点O作l的垂线段AO，与圆交于P。APmin=OA-OP
2.OA⊥l时，OA最短
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
典例剖析1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC的中点，以BE为直径作⊙O，P是圆上的动点，求DP的最大值和最小值.
P1
P2
连接DO，并延长。与圆交于点P1、P2
DPmax=DP2=OD+r，
DPmin =DP1=OD-r
类型一：点在已知圆上运动产生的最值问题
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
*变式1-1：
若点也在线段AD上运动，请求出PQ的最小值。
Q
P
过点O作OQ⊥AD，与圆交于点P
PQmin=OQ-OP
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
变式1-2：
连接AC、PA、PC，求△APC面积的最小值。并在图中画出取得最小值的情况。
P
F
方法点拨：
S△APC= ×AC×h（点P到线段AC的距离）
面积最小的情况。即求h最小的情况
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
针对训练
1. 如图,⊙O的半径为10,圆心O到直线l的距离为14,点A是⊙O上一点,过点A的切线与直线l交于点 B,求 AB 的最小值.
AB2=OB2-OA2
当OB最小时，AB也最小
即求OB的最小值
转化
方法点拨：
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
类型二：点在未知轨迹上运动产生的最值问题
典例剖析2
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F是AB的中点,E是线段BC上的动点,点B沿着EF折叠得到点B’。求线段DB’的最小值。
方法点拨：
BF=BF'
故点B'位于以F点为圆心，
FB为半径的圆周上
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
针对训练
2.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　 　 ．
方法点拨：
AB=AM
故点M位于以A点为圆心，
AB为半径的圆弧上
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
典例剖析3
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，P是AB左侧一动点，且AP⊥BP，则线段CP长度的最大值是 　　 ．*
方法点拨：
∠ABC=90°，AB=4为定长
故点P位于以AB为直径的圆周上
示意图作法：取AB的中点O，
连接CO 并延长，交圆与点P
O
P
小组研学，互助探究
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
针对训练
3．如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．
方法点拨：
∵∠ABC=90°
∴∠PBA+∠PBC=90°
∵由题知∠PBC=∠PAB
∴∠PAB+∠PBA=90°
∴∠APB=90°
AB=12为定长
故点P位于以AB为直径的圆周上
方法迁移，进阶训练
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
思路点拨：O为AB中点，AB=2OP。AB取得最小值时，即OP取得最小值。
方法迁移，进阶训练
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
∵∠AHD=90°，AD为定长
∴点H在以AD为圆心的圆上运动
归纳小结，形成方法
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
类型一：点在已知圆上运动产生的最值问题
定点与圆上动点距离
定直线与圆上动点距离
直线动点与圆上动点距离
归纳小结，形成方法
自主探究 | 小组研学 | 进阶训练 | 归纳小结
类型二：点在未知轨迹上运动产生的最值问题
利用条件、借助性质还原轨迹，“无中生有”
终极宝典
动点问题终极宝典
转化对象，以静制动

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