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导学案答案
【分析】1.由题意得，当 A、P、O共线时，AP最小，即可求解；
2.当点 M在线段 AC上时，MC有最小值，即可求解；
3.证明 AE⊥DF，得到点 P的运动路径是以 AD为直径的圆 R上，当 CPR共线时，CP最小，即可求解．
【解答】
解：1.由题意得，当 A、P、O共线时，AP最小，
则 AP＝AO﹣1＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
2.如图，连接 AC
∵点 B，点 P关于直线 AM对称，
∴AB＝AP＝6，
∴点 P在以点 A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点 P在线段 AC上时，CP有最小值，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC= 2 + 2 =10，
∴CP的最小值为 CP＝AC﹣AP＝10﹣6＝4；
3.∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
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∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
如图，连接 AC，BD交于点 O，
∵点 P在运动中保持∠APD＝90°，
取 AD的中点 R，
∴点 P的运动路径是以 AD为直径的圆 R上，
当 C、P、R共线时，CP最小，
此时 CP＝CR﹣PR＝CR 12AD=
2 + ( 1 )2 12 2AD= 100 + 25 5＝5 5 5，
即线段 CP的最小值为 5 5 5．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．如图，等边△ABC边长为 6，E、F分别是边 BC、CA上两个动点且 BE＝CF．分别连接 AE、BF，交于
P点，则线段 CP长度的最小值为（ ）
【分析】先证△ABE和△BCF全等得∠BAE＝∠CBF，由此得∠APB＝120°，过点 C作 CH⊥AB于 H，
过点 B作 BO⊥BC交 CH的延长线于点 O，连接 OA，根据等边三角形的性质得∠BOA＝120°，OA＝
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OB= 2 3，OC= 4 3，以点 O为圆心，以 OB为半径作⊙O，在优弧 AB弧上取一点 M，连接 MB，MA，
连接OP，PC，则∠M＝60°，由此得∠M+∠APB＝180°，从而得点P始终在劣弧AB上运动，则OP= 2 3，
根据“两点之间线段最短”可得 CP的最小值．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
在△ABE和△BCF中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABP+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP+∠BAE＝60°，
∴∠APB＝180°﹣（∠ABP+∠BAE）＝120°，
过点 C作 CH⊥AB于 H，过点 B作 BO⊥BC交 CH的延长线于点 O，连接 OA，如图 1所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴OC是 AB的垂直平分线，∠BCO＝∠ACO= 12∠BCA＝30°，
∴OA＝OB，∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠BOA＝120°，
在 Rt △OBC中，BC＝6，∠BCO＝30°，tan∠BCO= ，
∴OB＝BC tantan∠BCO＝6×tan30°= 2 3，
∴OC＝2 OB= 4 3，
∴OA＝OB= 2 3，
以点 O为圆心，以 OB为半径作⊙O，在优弧 上取一点 M，连接 MB，MA，连接 OP，PC，如图 2
所示：
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则∠M= 12∠BOA＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴点 P始终在劣弧 上运动，
则 OP＝OB= 2 3，
根据“两点之间线段最短”得：OP+CP≥OC，
∴CP+2 3 ≥ 4 3，
∴CP≥ 2 3，
∴CP的最小值为 2 3．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点 P在劣弧 上运动是解决问题的难点．
5.如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接 CD，若∠CAB＝35°，求∠CDB
的度数．
【分析】证 A、B、C、D四点共圆，再由圆周角定理得∠CDB＝∠CAB，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CDB＝∠CAB，
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∵∠CAB＝35°，
∴∠CDB＝35°．
【点评】本题考查了四点共圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，证明 A、B、C、D四点共圆是
解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2025/4/14 12:59:37；用户：徐怡旭；邮箱：18898615240；学号： 43052140
6. 3如图，△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB= 4，过点 C作 CP的垂线，与 PB的
15
延长线交于点 Q，则 CQ的最大值是 ．
4
3
【分析】由锐角三角函数可求 CQ= 4PC，可得当 CP有最大值时，CQ有最大值，通过证明点 A，点 C，
点 B，点 P四点共圆，PC最大值为直径，由圆周角定理可求 AB是直径，即可求解．
【解答】解：∵tan∠CPB= 3 = 4 ，
CQ= 3∴ 4PC，
∴当 CP有最大值时，CQ有最大值，
∵∠CPB＝∠A，
∴点 A，点 C，点 B，点 P四点共圆，
∴PC最大值为直径，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴PC的最大值为 5，
15
∴CQ的最大值为 ，
4
15
故答案为 ．
4
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7．如图，已知 P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段 PQ的中点为 M，连接 OP、OM，若⊙O的半
径为 2，OP＝4，则线段 OM的最小值为________．
1
【分析】设 OP为⊙O交于点 N，连接 MN，OQ，如图，由题意可知 ON= 2OP，从而可知 MN为△POQ
的中位线，由三角形中位线的性质可知 MN= 12OQ＝1；当点 M、O、N在一条直线上时，OM有最小值，
接下来依据 OM＝ON﹣MN求解即可．
【解答】解：设 OP为⊙O交于点 N，连接 MN，OQ，如图，
∵OP＝4，ON＝2，
∴N是 OP的中点．
∵M是 PQ的中点，N是 OP的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN= 12OQ=
1
2 ×2＝1，
∴点 M在以 N为圆心，1为半径的圆上．
∵当点 M在 ON上时，OM最小，最小值为 1，
∴线段 OM的最小值为 1．
【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边 OB在 x轴上，点 A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD
中，∠COD＝90°，OD＝4 3，∠D＝30°，连接 BC，点 M是 BC中点，连接 AM．将 Rt△COD以点
O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 AM的最小值是________．
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【分析】由点 M是 BC中点，想到构造中位线，取 OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【解答】 解：取 OB中点 N，连接 MN，AN．
在 Rt△OCD中，OD＝4 3，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是 BC、OB的中点，
∴MN= 12OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当 M运动到 AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段 AM的最小值是 3，
【点评】此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．
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作业单答案
1．如图，边长为 1的小正方形网格中，点 A、B、C、E在格点上，连接 AE、BC，点 D在 BC上且满足
AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
1 5 5
A． B．7 C． D．
2 2 5
【分析】连接 OD，证明点 A、D、B、E在以 O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值
转化为求∠ABC的正切值．
【解答】解：连接 OD，
∵AD⊥BC，O是 AB中点，
1
∴ = 2 = 1，
∴OD＝OA＝OE＝OD
∴点 A、D、B、E在以 O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴ ∠ = ∠ = 1 = 2．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接 OD，
证明点 A、D、B、E在以 O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．
【点评】本题考查了锐角三角函数，四点共圆，证明点 A，点 C，点 B，点 P四点共圆是本题的关键．
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2.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 F在边 AC上，并且 CF＝2，点 E为边 BC上的
动点，将△CEF沿直线 EF翻折，点 C落在点 P处，则点 P到边 AB距离的最小值是___1.2．____。
【分析】以 F为圆心，CF为半径作⊙F，过点 F作 FH⊥AB于点 H交⊙F于点 G，则点 P到 AB的距
离的最小值＝FH﹣FP＝FH﹣FG．
【解答】解：以 F为圆心，CF为半径作⊙F，过点 F作 FH⊥AB于点 H交⊙F于点 G，则点 P到 AB
的距离的最小值＝FH﹣FP＝FH﹣FG．
由翻折的性质可知，PF＝CF＝2，
∴点 P在⊙F上，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB= 62 + 82 =10，
由△AHF∽△ACB，

∴ = ，

4
∴ = ，
10 8
∴FH＝3.2，
∴点 P到 AB的距离的最小值＝FH﹣FG＝3.2﹣2＝1.2．
3．如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点 E在线段 BC上运
动，点 F在线段 AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段 BF的最小值为 29 2 ．
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【分析】设 AD的中点为 O，以 AD为直径画圆，连接 OB交⊙O于 F′，证得∠DFA＝90°，于是得
到点 F在以 AD为直径的半圆上运动，当点 F运动到 OB与⊙O是交点 F′时，线段 BF有最小值，据
此解答即可．
【解答】解：设 AD的中点为 O，以 AD为直径画圆，连接 OB交⊙O于 F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点 F在以 AD为直径的半圆上运动，当点 F运动到 OB与⊙O是交点 F′时，线段 BF有最小值，
∵AD＝4，
∴ = ′ = 12 = 2，
∴ = 52 + 22 = 29，
∴线段 BF的最小值为 29 2，
故答案为： 29 2．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点 F的运动轨迹是解题的
关键．
4．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是正方形 ABCD内的动点，点 P是 BC边上的动点，且∠EAB
＝∠EBC．连结 AE，BE，PD，PE，则 PD+PE的最小值为 2 13 2 ．
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【分析】先证明∠AEB＝90°，即可得点 E在以 AB为直径的半圆上移动，设 AB的中点为 O，作正方
形 ABCD关于直线 BC对称的正方形 CFGB，则点 D的对应点是 F，连接 FO交 BC于 P，交半圆 O于
E，根据对称性有：PD＝PF，则有：PE+PD＝PE+PF，则线段 EF的长即为 PE+PD的长度最小值，问
题随之得解．
【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠EAB＝∠EBC，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点 E在以 AB为直径的半圆上移动，
如图，设 AB的中点为 O，
作正方形 ABCD关于直线 BC对称的正方形 GBCF，
则点 D的对应点是 F，
连接 FO交 BC于 P'，交半圆 O于 E'，连接 OE，则 OE＝2，
根据对称性有：PD＝PF，
则有 PE+PD＝PE+PF+OE﹣2≥OF﹣2，
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∴PD+PE的最小值为 OF﹣2，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝4，
∴OG＝6，OA＝OB＝OE＝2，
∴OF= 2 + 2 = 42 + 62 = 2 13，
∴EF＝OF﹣2= 2 13 2，
故 PE+PD的长度最小值为 2 13 2．
故答案为：2 13 2．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆的确定，正确的作出辅助线，
得出点 E的运动路线是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，AC＝2 3，∠CAB＝30°，点 D和点 B分别在线段 AC的异侧，且∠ADC＝30°，
连 BD，则 BD的最大值为 2 7 +2 3 ．
【分析】Rt△ABC中，利用含 30度的直角三角形三边的关系计算出 AB＝4，由于∠ADC＝30°，根据
点与圆的位置关系的判定方法可得到点 D在⊙O的弦 AC所对的优弧上，如图，连接 OA、OC，则当
BD经过点 O时，BD的值最大，再证明△OAC为等边三角形得到 OA＝AC＝2 3，∠OAC＝60°，则
∠OAB＝90°，于是根据勾股定理可计算出 OB＝2 7，所以 BD的最大值为 2 7 +2 3．
【解答】解：Rt△ABC 3中，AC＝2 3，∠CAB＝30°，则 BC= 3 AC＝2，AB＝2BC＝4，
∵∠ADC＝30°，
∴点 D在⊙O的弦 AC所对的优弧上，
如图，连接 OA、OC，
当 BD经过点 O时，BD的值最大，
∵∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2 3，∠OAC＝60°，
∴∠OAB＝60°+30°＝90°，
第 12页（共 16页）
在 Rt△OAB中，OB= 2 + 2 = (2 3)2 + 42 =2 7，
∴BD＝OB+OD＝2 7 +2 3，
即 BD的最大值为 2 7 +2 3．
故答案为 2 7 +2 3．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知
点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理．
6．如图，在锐角三角形 ABC中，tanA= 3，BC= 5，线段 BD、CE分别是 AC、AB边上的高线，连接
5 3
DE，则三角形 ADE面积的最大值是 ．
16
【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠A的度数，利用三角形的高的意义求得∠ACE＝∠ABD＝30°，
1
利用含 30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到 S△ADE= 4S△ABC，作出△ABC
的外接圆，得出当点 A为优 的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时 AB＝AC，△
ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质求得△ABC的面积最大值，则结论可求．
【解答】解：∵tanA= 3，
∴∠A＝60°．
∵BD、CE分别是 AC、AB边上的高线，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ACE＝∠ABD＝30°，
1 1
∴AD= 2AB，AE= 2AC，
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∴ = ，

∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
△ 1 1
∴ = ( )2 = ( )2 = ，
△ 2 4
∴S 1△ADE= 4S△ABC．
∴当△ABC面积最大时，三角形 ADE面积的有最大值．
作出△ABC的外接圆，如图，
点 A为优弧 BC上的点，且∠A＝60°，
∵BC= 5，
∴当点 A为优 的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时 AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵S 1 5 3△ABC的最大值= 2 × 5 × 5 ×sin60°= 4 ，
5 3
∴三角形 ADE面积的最大值是 ．
16
5 3
故答案为： ．
16
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，
特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得△ABC的面积的最大值是解题的关键．
7．如图,∠BAC=∠BCD=90°,AC=2，△BCD面积为 2，AC=2，则 AD的最大值为_________.
第 14页（共 16页）
【分析】过点 C作 AC的垂线，在垂线上取一点 E，使得 CE＝AC＝2，连接 DE，取 CE的中点 O，连接

OA，OD，先利用勾股定理可得 = 5，再求出 CE AC＝BC CD＝4，则 = ，证出△DEC∽△ABC，

根据相似三角形的性质可得∠EDC＝∠BAC＝90°，从而可得点 D在以点 O为圆心、CE长为半径的圆上，
则 OD＝1，然后根据 AD≤OA+OD求解即可得．
【解答】解：如图，过点 C作 AC的垂线，在垂线上取一点 E，使得 CE＝AC＝2，连接 DE，取 CE的
中点 O，连接 OA，OD，
∴ = 12 = 1， =
2 + 2 = 5，∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵三角形 BCD面积始终为 2，∠BCD＝90°，
1
∴ = 2，即 BC CD＝4，
2
又∵CE＝AC＝2，
∴CE AC＝4，

∴CE AC＝BC CD，即 = ，

∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DEC∽△ABC，
∴∠EDC＝∠BAC＝90°，
又∵CE＝2，
∴如图，点 D在以点 O为圆心、CE长为半径的圆上（定弦定角），
= 1∴ 2 = 1，
又∵AD≤OA+OD（当且仅当等号成立），
第 15页（共 16页）
∴AD的最大值为 + = 5 + 1，
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
第 16页（共 16页）《隐圆》教案
（北师大版本教材）
深圳市翠园初级中学 教师：徐怡旭
一、本课时教学内容简析：
“隐圆” 作为中考数学的高频考点，深度融合了平面几何中圆、三角形等关键知识点，
几乎每年在各地中考里，都会以选择题或填空题的压轴题形式出现，堪称学生的知识薄弱
环节。这类题目看似图形中未呈现 “圆” 的踪迹，实则解题时必须借助 “圆” 的相关知识。
“隐圆模型” 问题的核心突破口，就在于学生能否敏锐洞察出这个“隐藏圆”。一旦成功识破
隐藏的圆形，后续解题往往便能迎刃而解。本单元的学习主题，旨在通过对圆的定义与性
质的深度剖析，引导学生在探索过程中发现、归纳隐圆的存在，并熟练运用隐圆知识解决
各类问题。
本节课聚焦于引导学生依托圆的定义、性质，深入探索隐圆的奥秘，帮助学生掌握从
复杂题目中精准识别隐圆的技巧，重点攻克利用隐圆求解线段最值的方法，使学生能够灵
活运用隐圆知识解决实际问题。
二、本课时教学目标：
教学重点：
1.理解并掌握隐圆的常见模型：动点定长模型、定弦定角模型、四点共圆模型、瓜豆
圆，会从题目信息中提炼出隐圆，并利用圆求出最值；
2.通过分析中考真题体会解决问题的方法，培养直观想象、数据分析的核心素养；培
养数学抽象、逻辑推理的核心素养；
3.通过例题的求解、问题的探究、模型的运用，体会数学学习从问题、思考、解决、
运用的过程，培养数学运算的核心素养和用数学思想方法分析和解决问题的基本能力。
教学难点：理解并掌握隐圆的常见模型，会从题目信息中提炼出隐圆信息，利用隐圆
知识解决最值问题。
二、本课时学情分析：
当前，学生已步入中考复习的二轮关键时期。在前期的学习中，他们已对圆的相关
—1—
概念有了较为扎实的掌握，并且能够运用圆的基本性质，顺利解决一些相对简单的实际问
题。鉴于此学情，本节课精心筛选了动点定长、定弦定角、四点共圆这三类极具代表性的
经典隐圆模型。教学过程中，将着重引导学生亲身参与探索研究，通过动手操作的方式，
自主发现隐圆模型的特征与规律，进而熟练运用隐圆知识，攻克各类复杂问题，实现知识
的深度理解与灵活运用。
三、本课时教学策略分析：
本节课通过循序渐进的方式引导学生理解和应用隐圆知识，其教学策略具有显著特点和积
极意义：
一、概念先行，奠定基础
明确圆的定义引入：在【环节一】定点定长中，先回顾圆的静态和动态定义，让学生
从本质上理解圆的形成，为后续理解动点轨迹是圆做好铺垫。这符合数学学习从基本概念
出发构建知识体系的逻辑，通过对圆定义的重温，强化学生对圆的本质特征的认识，使得
学生在面对具体的动点问题时，能够依据定义去分析和判断。
类比归纳出轨迹：借助简单的动点问题，如在平面内，A 为定点，B 为动点，且 AB =
2cm，画出 B 的轨迹，引导学生逐步归纳出 “在平面内，A 为定点，B 为动点，且 AB 为
定长，则动点 B 的轨迹是以定点 A 为圆心，定长 AB 为半径的圆” 这一关键结论。这种
从特殊到一般的归纳方式，符合学生的认知规律，有助于学生自主发现和总结数学规律，
培养学生的归纳推理能力。
模型应用，强化理解。
层层递进式设问：在每个隐圆模型讲解后，紧跟【模型应用】环节，如在定点定长模
型后，设置从简单的线段长度求最值。这种层层递进的问题设置，既巩固了学生对模型的
理解，又逐步提升学生运用模型解决复杂问题的能力，让学生在解决问题的过程中，不断
深化对隐圆模型的认识，掌握将实际问题转化为数学模型求解的方法。
多样化图形结合：模型应用中的题目涉及矩形、正方形、等边三角形等多种几何图形，
将隐圆知识与不同图形的性质相结合，拓宽了学生的解题视野，培养学生综合运用知识的
能力。学生需要在不同图形背景下，分析和挖掘出隐圆的条件，运用圆的性质以及对应图
形的特性来解决问题，这有助于提升学生对知识的整合能力和灵活运用能力。
二、问题驱动，引导思考
—2—
思考问题串联环节：在各个环节中，都设置了思考问题，如在定弦定角环节，通过 “若
线段 AB 长度及所对的角∠ACB 大小不变，则点 C 在___________” 这样的问题，引导学
生在画图操作后，深入思考定弦定角与隐圆的关系，促使学生主动探究知识，培养学生的
思维能力。这些思考问题成为连接各个教学步骤的纽带，引导学生逐步深入理解隐圆的本
质和应用。
问题引导知识生成：以四点共圆环节为例，通过完成表格中不同角度关系的分析，引
导学生总结出四点共圆的结论。这种以问题为导向的教学策略，让学生在解决问题的过程
中，自主生成知识，加深对四点共圆条件的理解和记忆，同时培养学生的逻辑推理能力。
三、练习巩固，提升能力
针对性作业设计：作业单中的题目紧密围绕课堂上讲解的隐圆模型，从不同角度、不
同难度层次考查学生对隐圆知识的掌握情况。如题目涉及折叠问题（点 P 到边 AB 的距离
的最小值问题）、角度求解问题（求∠CDB 的度数）、线段最值问题（线段 BF 的最小值、
BD 的最大值等），全面巩固学生对隐圆知识的应用能力。通过这些练习题，学生能够进一
步熟悉隐圆模型在各种情境下的应用，提高解题的熟练度和准确性。
知识综合考查：作业单中的题目注重知识的综合性，如有些题目需要学生将隐圆知识
与三角形的相似、三角函数、勾股定理等知识相结合来求解。这有助于学生构建完整的知
识网络，提升学生综合运用多学科知识解决问题的能力，符合中考对学生综合素养考查的
要求。
四、本课时流程框图：
课程导入：引入隐圆主题，激发学生兴趣。
环节一：定点定长
回顾圆定义。
开展动点轨迹画图练习。
归纳动点轨迹结论。
进行模型应用 1，解决相关问题。
环节二：定弦定角
复习圆周角性质。
—3—
完成不同条件下点 C 轨迹画图。
明确定弦定角与点 C 位置关系。
实施模型应用 2，求解问题。
环节三：四点共圆
填写四点共圆条件表格。
总结得出四点共圆结论。
开展模型应用 3，解决角度与线段问题。
环节四：瓜豆圆
进行模型应用，求解线段最小值。
课堂总结：梳理隐圆模型及解题方法。
布置作业：通过作业单巩固课堂知识。
五、本课时教学过程：
教学 预计时
教学内容 教师活动 学生活动 教学评价
步骤 间（分）
帮助学
生夯实基础，
详细阐述圆的定
1.回顾圆的 明确圆的本质
义，结合图形进
1 2 分钟 静态定义与 回顾圆的定义 特征，为理解
行直观演示。
动态定义 后续动点轨迹
与圆的联系做
准备。
给出简单动 提出动点问题，
检查学生画图
点问题，引 巡视学生画图过 动手画图，积极
的准确性，判
导学生画图 程，适时给予指 思考，与同学交
断学生对动点
2 3 分钟 确定动点轨 导。 流讨论动点轨
轨迹的理解程
迹，归纳定 引导学生归纳动 迹。
度。
点定长型隐 点轨迹结论，强 参与结论归纳，
圆模型。 调模型关键要 理解定点定长型
—4—
素。 隐圆模型。
观察学生在应
呈现不同难 用题目讲解中
讲解模型应用题 跟随教师思路，
度的模型应 的反应，以课
目，分析题目条 展示学习应用模
用题目，讲 堂练习答题情
3 5 分钟 件如何契合模 型解题，记录解
解利用该模 况判断学生对
型，展示完整解 题要点。
型求线段最 模型应用的掌
题思路与过程。
值的方法。 握水平。
动点轨迹画
回忆圆周角性
图练习：给 以提问、回顾方
质，回答教师提
出具体问 式复习圆周角性
问。 通过提问圆周
题，让学生 质，强调性质应
按要求画图，观 角性质，考查
环节 通过实际画 用要点。
5分钟 察、分析所画轨 学生知识掌握
二 4 图操作，直 布置画图任务，
迹，与同学交流 情况。
观感受动点 引导学生注意观
发现。
的运动路 察轨 迹特点。
径。
观察学生画图
组织学生讨论定
思考归纳动 参与讨论，总结 及讨论参与
弦定角与动点轨
点轨迹结 定弦定角型隐圆 度，评估学生
5 4 分钟 迹关系，总结得
论：给定不 模型规律。 探究能力与合
出隐圆结论。
同定弦长度 作学习效果。
与定角大
—5—
小，让学生
画出对应动
点轨迹，探
究定弦定角
与隐圆关
系。培养学
生归纳总结
的能力。
讲解模型应用题 学习应用模型解 分析学生对定
运用定弦定
目，重点分析如 题，尝试自主思 弦定角模型应
角模型解决
6 5 分钟 何根据条件构建 考并回答教师提 用的错误原
实际问题，
定弦定角模型求 问，完成课堂练 因，针对性指
如求线段最
解。 习。 导。
值。
……
展示关系条件，
给出多种关
说明表格填写要 检查表格填写
系条件，让
求。巡视学生填 分析关系，填写 准确性，了解
学生分析并
写过程，解答疑 表格，思考四点 学生对四点共
完成四点共
问，引导学生分 共圆条件。 圆条件的分析
圆条件表
析角度关系与四 与同学交流讨 能力。
7 5 分钟 格。
点共圆的联系。 论，总结四点共 评价学生总结
引导学生总
组织学生分享总 圆判定方法。 结论的完整性
结四点共圆
结四点共圆结 与准确性，考
的判定结
论，补充完善。 查归纳能力。
论。
—6—
分析学生课堂
运用四点共 讲解模型应用题 练习答题情
学习应用四点共
圆知识解决 目，剖析题目中 况，判断学生
圆知识解题，记
角度求解和 四点共圆的条件 对四点共圆模
8 5 分钟 录解题思路与方
线段最值等 挖掘与应用思 型的应用能力
法，完成课堂练
问题。 路。 与知识迁移能
习。
力。
通过提问学生
结合图形，生动 结合图形，生动
对瓜豆圆模型
讲解瓜豆圆模型 讲解瓜豆圆模型
的理解，评估
引入瓜豆圆 中主动点、从动 中主动点、从动
概念掌握情
模型概念， 点的关系及模型 点的关系及模型
况。
通过简单实 形成原理。 形成原理。
观察学生在题
例说明模型 展示题目，分析 展示题目，分析
9 8 分钟 目分析中的表
特点。 题目中主动点、 题目中主动点、
现，判断学生
运用瓜豆圆 从动点的运动特 从动点的运动特
对模型应用的
模型解决线 征，如何契合瓜 征，如何契合瓜
思考能力，了
段最小值等 豆圆模型。 豆圆模型。
解学生对瓜豆
问题。 讲解解题过程， 讲解解题过程，
圆模型的整体
强调关键步骤与 强调关键步骤与
掌握程度。
易错点。 易错点。
10 全面梳理本 以思维导图或表 跟随教师思路回 观察学生听讲
节课所学的 格形式呈现隐圆 顾知识，完善笔 状态与提问质
定点定长、 模型知识体系， 记。 量，判断学生
—7—
定弦定角、 详细讲解各模型 提出疑问，与教 对知识总结的
四点共圆、 要点。 师、同学交流学 接受程度。
瓜豆圆等隐 回顾课堂例题， 习心得。 通过提问学生
2分钟 圆模型，总 强化模型应用方 对各模型的理
结模型特 法，解答学生疑 解与应用，评
点、识别方 问。 估学生知识掌
法与应用技 握的系统性。
巧，强调隐
圆问题解题
关键思路。
布置作业 面批作业单，
单，作业题 统计正确率，
目涵盖折 发放作业单，说 分析学生对各
领取作业单，记
叠、角度求 明作业要求与提 隐圆模型的掌
录作业要求。
解、线段最 交时间。 握情况与易错
课后认真完成作
值等多种类 提醒学生作业中 点。
11 1 分钟 业，复习课堂知
型，紧密围 可能涉及的知识 针对作业问
识，尝试运用所
绕课堂讲解 点与解题注意事 题，在下节课
学解决问题。
的隐圆模 项。 进行集中讲解
型，要求学 与个别辅导，
生课后完 调整教学策
成。 略。
导学案另附在下方。
—8—
《隐圆》导学案
一、学习目标
1.通过探究，能灵活运用圆的定义、圆周角定理及其推论逆向思考，发现解决隐形圆问题的方法。
2.通过分析中考真题体会解决隐圆问题的方法，培养直观想象、数据分析的核心素养；培养数学抽
象、逻辑推理的核心素养。
二、学习过程
【环节一】定点定长
圆的静态定义：圆是______________________________的集合.
圆的动态定义：线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆.
1.在平面内，A为定点，B为动点，且 AB=2cm，画出 B的轨迹.
2.在平面内，A为定点，AB=AC=AD=2cm，则点 B、C、D有什么位置关系？
思考：
①在平面内，A为定点，B为动点，且 AB为定长，则动点 B的轨迹是_____________________.
②在平面内，若 AB=AC=AD,则 B、C、D在______________________________上.
【模型应用 1】
【提出问题】1.如图 1，线段 OA=2，动点 P在平面内，且 OP=1，则线段 AP 的最小值为______；
【探究问题】2.如图 2 ，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，BC＝8，点 M是 BC边上一动点(点 M 不与
点 B，C 重合)，连接 AM，将△ABM 沿 AM对折得到△APM，线段 CP 的最小值为______；
【解决问题】3.如图 3 ，在正方形 ABCD 中，AD＝10，动点 E，F 分别在边 DC，CB 上移动，且满足
DE＝CF，AE交 DF 于点 P，连接 CP，线段 CP的最小值为______.
图 1 图 2 图 3
—9—
【环节二】定弦定角
（1）直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .
（2）同弧所对的圆周角____________;同弦所对的圆周角_____________.
画图：1.AB＝2，∠ACB＝90°，画点 C的轨迹.
2.AB＝2，∠ACB＝45°，画点 C的轨迹.
3.AB＝2，∠ACB＝120°，画点 C的轨迹.
思考：若线段 AB 长度及所对的角∠ACB 大小不变，则点 C 在___________________________________.
【模型应用 2】
4.如图，等边△ABC边长为 6，E，F分别是 BC，CA上两个动点，且 BE＝CF，连接 AE，BF，交点为
点 P，则 CP的最小值为 ．
【环节三】四点共圆
完成表格：
∠ADC＝∠ABC＝90° ∠ADB＝∠ACB ∠B＝∠D=90° ； ∠B+∠D=180°
结论：
—10—
【模型应用 3】5.△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，连接 CD，若∠CAB＝35°，
求∠CDB的度数．
3
6.如图，△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB＝ ，过点 C作 CP的垂线，与
4
PB的延长线交于点 Q，则 CQ的最大值是 __________.
【环节四】瓜豆圆
7.如图，已知 A是⊙O外一点，P是⊙O上的动点，线段 AP的中点为 Q，连接 OA、OP，若⊙O的半径
为 2，OA=4，则线段 OQ的最小值是 __________.
8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边 OB在 x轴上，点 A 的坐标为(-6,4)；Rt△COD中，
∠COD=90°，OD= 4 3，∠D=30°，连接 BC，点 M是 BC中点，连接 AM．将 Rt△COD以点 O为旋
转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 AM的最小值是 __________.
—11—
作业单
1.如图，边长为 1的小正方形网格中，点 , , , 在格点上，连接 , ，点 在 上且满
足 ⊥ ，则 tan∠ 的值是（ ）
2 5 5 1
A． B．2 C． D．
5 5 2
2.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 F在边 AC上，并且 CF=2，点 E为边 BC上的
动点，将△CEF沿直线 EF翻折，点 C落在点 P处，点 P到边 AB的距离的最小值为______________.
2题图 3题图
3.如图，在四边形 ABCD中，∠ABC=∠BAD= 90°, AB=5,AD = 4,AD < BC，点 E在线段 BC上运动，
点 F在线段 AE上,∠ADF=∠BAE,，则线段 BF的最小值为 ．
4.如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是正方形 ABCD内的动点，点 P是 BC边上的动点，且
EAB EBC ．连结 AE， BE，PD， PE，则 PD PE的最小值为___________.
4 题图 5 题图
5.如图，Rt△ABC中，AC＝2 3，∠CAB＝30°，点 D和点 B分别在线段 AC的异侧，且∠ADC＝30°，
连接 BD，则 BD的最大值为 ．
6.如图，在锐角三角形 ABC中，tan A = 3，BC= 5，线段 BD、CE分别是 AC、AB边上的高线，连接
DE，则△ADE面积的最大值是_________.
7.如图,∠BAC=∠BCD=90°,AC=2，△BCD面积为 2，AC=2，求 AD的最大值.
6题图 7题图
—12—

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