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10.3 三角形的角平分线、中线和高线
1.理解三角形的角平分线、中线和高线的定义，会画已知三角形的角平分线、中线和高线；
2.理解三角形三角形的角平分线、中线和高线的性质并能应用它们的性质解决相关问题；
3.了解三角形重心的概念.
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你有什么办法？
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC、 ∠BOC有什么数量关系？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
问题2 如何利用折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线
Ｃ
Ａ
Ｂ
三角形的角平分线
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
C
B
D
1
2
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
A
B
C
D
∠1=∠2
注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段．
AD是△ABC的角平分线.
1.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若
∠BAC=80°,则∠EAD=( )
A.60° B.40°
C.20° D.10
C
C
A
B
D
E
问题3
分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，画出它们的角平分线，观察它们有什么特点
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
归纳：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，三角形的三条角平分线交于一点.
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，则线段AC、BC、AB有什么数量关系？
A
C
B
AC=BC= AB
问题2 类比三角形的角平分线的概念，说说什么叫三角形的中线？
三角形的中线
（三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.）
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.
想一想：在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的中线，则BD、DC有什么数量关系？
三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.
问题3 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
（如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心）
例 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：是的中线，
的周长为
又与的周长之差为3cm,
问题1 如何利用直尺和三角板过一点画已知直线的垂线？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
问题2 过三角形的一个顶点，如何画出它的对边的垂线吗
B
A
C
三角形的高线
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高.
B
C
D
（线段AD是BC边上的高）
（注意：标明垂直的记号和垂足的字母.）
是的高
几何语言：
问题3 如图，分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高，小组讨论说说它们的高有什么特点？
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
B
三角形的高线特点：
三角形有三条高，这三条高相交于一点.
(1)锐角三角形的高交于三角形内一点；
(2)直角三角形的高交于直角的顶点；
(3)钝角三角形的高交于三角形外一点.
1. 某班四位同学画出的线段，其中能表示 的高的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 如图，在中， ，，是 上两点，且，
平分 ，则下列说法中不正确的是( )
C
A. 是 的中线
B. 是 的角平分线
C.
D. 是 的高
3.如图，在中， 是高，是中线，，
，则 的长为( )
B
A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6
分析：
.又是中线， .
4.如图，已知点是的重心，连接 ，并延长交于点，
， 的周长比的周长大，则 ____.
2.2
分析： 点是的重心，且 的延长线交
于点,是 的中点，即的
周长比 的周长大 ,
,
即.又 , .
5.如图，在中，是高， 平分， ，
，求 的度数.
解：是 的高，
. .
又 ， .
平分， ， .
.
三角形中几条重要线段
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
中线
角平分线
高
三角形的角平分线是一条线段

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