资源简介 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系1.已知椭圆C：＋＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定2.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝（ ）A. B.C.1 D.23.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝（ ）A.－2 B.－1C.1 D.24.已知点F1（－1，0），F2（1，0），直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A. B.C. D.5.如图所示，已知抛物线C1：y2＝4x和圆C2：（x－1）2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，自下而上依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则·＝（ ）A. B.C.1 D.26.〔多选〕（2024·德州二模）已知双曲线Γ：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，过其右焦点F的直线l与Γ交于点A，B，下列结论正确的是（ ）A.若a＝b，则e＝B.｜AB｜的最小值为2aC.若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有一条，则e＞D.若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，则1＜e＜7.在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为 .8.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于P，Q两点，当｜PQ｜最小时，四边形F1PF2Q的面积为 .9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l过定点E（，0），若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.10.已知椭圆C：＋＝1（a＞）的离心率为，过点P（，）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则｜OM｜的最小值为（ ）A.1 B.C.2 D.211.已知点A（－，0），B（，0），若曲线（＋）·（－）＝0（a＞0，b＞0）上存在点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，则下列选项中一定正确的是（ ）A.b＜a＋1 B.b＞aC.b＞a＋1 D.b＜a12.〔多选〕（2025·滨州二模）已知点A，B，C都在双曲线Γ：－＝1（a＞0，b＞0）上，点A（x1，y1）在第一象限，点C（x2，y2）在第四象限，A，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作垂直于x轴的直线分别交Γ，BC于点D，E.若2＝3，则下列结论正确的是（ ）A.点E的纵坐标为－y1B.＝－C.＝－D.双曲线Γ的离心率为13.（创新设问方式）（2025·上饶一模）已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2 025的直线的条数是 .14.（2024·新高考Ⅰ卷16题）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点.（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.15.（创新考法）（2025·汕头模拟）已知点M（x0，y0）为双曲线－y2＝1上的动点.（1）判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由；（2）①如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；②将双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为－＝0，请利用该方程证明如下命题：若T（m，n）为双曲线C上一点，直线l：－＝1与C的两条渐近线分别交于点P、Q，则T为线段PQ的中点.第八节 直线与圆锥曲线的位置关系1.A 对于直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0，整理得m（x－y－1）＋2（x－2y＋1）＝0，令解得故直线l过定点A（3，2）.因为＋＝＜1，则点A（3，2）在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.2.C 由抛物线的对称性知，要使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为（，±1），代入抛物线方程解得p＝1.3.A ∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减得＝－＝－，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，将（1，）代入直线y＝－x－，解得m＝－2.4.A 设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），由题意知其左、右焦点分别是F1（－1，0），F2（1，0），可得c＝1，联立得（a2＋b2）x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，Δ＝16a4－4（a2＋b2）·（4a2－a2b2）≥0，可得4a2－（2a2－1）（5－a2）≥0，解得a≥，e＝≤＝.5.C 设A（x1，y1），D（x2，y2），直线l：x＝my＋1.联立 y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4.由已知可得·＝｜AB｜·｜CD｜，F（1，0），圆C2半径为1，因为｜AB｜＝｜AF｜－1＝x1＋1－1＝x1，同理可得｜CD｜＝x2，所以｜AB｜·｜CD｜＝x1x2＝·＝＝1.6.ACD 当a＝b时，因为c2＝a2＋b2，所以e＝＝＝，故A正确；当过其右焦点F的直线l与Γ交于左右两支时，｜AB｜的最小值为2a（此时A，B为双曲线的两顶点）；当过其右焦点F的直线l与Γ交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为c，代入双曲线方程为－＝1，解得y＝±，此时弦长为，由于a不一定等于b，故B错误；若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有一条，由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以2a＜ b2＞a2，此时e＝＝＝＞，故C正确；若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l与双曲线的同一支相交，所以2a＞ b2＜a2，所以e＝＝＝＜，又e＞1，所以1＜e＜，故D正确.故选A、C、D.7.5 解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切，联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝＝＝5，∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5.8.12 解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得x2－8mx－4m2－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝8m，x1·x2＝－4m2－20，所以｜PQ｜＝·＝·＝4，当m＝0时，｜PQ｜有最小值4.设F1（－3，0），F2（3，0）到直线y＝x的距离分别为d1，d2，则d1＝＝，d2＝＝，所以四边形F1PF2Q的面积为S＝＋＝｜PQ｜·（d1＋d2）＝×4×（＋）＝12.9.解：（1）因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，解得a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－），A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；当k≠0时，有kAB＝＝－，设AB中点的坐标为（x0，y0），又两式相减得3（x1＋x2）·（x1－x2）＝－4（y1＋y2）（y1－y2），即3kx0＝4y0，又y0＝k（x0－），解得x0＝1，y0＝，因为线段AB的中点在椭圆内部，所以＋＜1，即＋＜1，解得－2＜k＜0或0＜k＜2，综上，直线l的斜率k的取值范围为（－2，2）.10.B 由题设，＝，即＝1－＝1－＝，可得a2＝6＞2，过点P（，）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，则P为线段AB的中点，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又＋＝1，＋＝1，则＋＝0，即＝－，所以＝－＝－1，故直线AB的方程为y－＝－（x－），即x＋y－2＝0，所以｜OM｜的最小值为＝.11.D 已知点A（－，0），B（，0）且｜PA｜－｜PB｜＝2，根据双曲线的定义知，点P在双曲线的右支上，且2a1＝2，c1＝，所以b1＝＝，所以双曲线的方程为x2－＝1（x＞0），其渐近线方程为y＝±x，又（＋）（－）＝0即为－＝0，即点P在直线y＝±x上，曲线（＋）（－）＝0上存在点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，即直线y＝±x与双曲线x2－＝1（x＞0）相交，所以＜，即b＜a，故选D.12.ABD 对于A，由题意得B（－x1，－y1），D（x1，－y1），设E（x1，y0），＝（0，－2y1），＝（0，y0＋y1），因为2＝3，所以－4y1＝3（y0＋y1），解得y0＝－y1，E（x1，－y1），故A正确；对于B，因为AB⊥AC，所以kAB·kAC＝－1，所以·＝－1，所以＝－，故B正确；对于C，因为B，E，C三点共线，B（－x1，－y1），C（x2，y2），E（x1，－y1），所以kBC＝kBE，则＝＝＝－，故C错误；对于D，因为A（x1，y1），C（x2，y2）在双曲线上，所以＝（－a2），＝（－a2），kCB·kCA＝·＝＝＝，因为AB⊥AC，即kCB·（－）＝，其中kCB＝kBE＝＝＝－，kAB＝，所以－·（－）＝＝，则e＝＝＝，故D正确.故选A、B、D.13.4 039 解析：由抛物线C：y＝x2，可得2p＝6，根据抛物线几何性质得通径长为2p＝6，又2 025－6＝2 019，所以根据对称性知，弦长为整数且不超过2 025的直线的条数是2 019×2＋1＝4 039.14.解：（1）由题意得解得所以e＝＝＝.（2）法一 kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，｜AP｜＝＝，由（1）知C：＋＝1，设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0，则＝，解得m＝6或m＝－18，当m＝6时，联立解得或即B（0，－3）或（－3，－），当B（0，－3）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，当B（－3，－）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0，当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.法二 同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝，设B（x0，y0），则解得或即B（0，－3）或（－3，－），以下同法一.15.解：（1）直线与双曲线只有1个公共点.理由：∵点M（x0，y0）在双曲线－y2＝1上，∴－＝1（ⅰ），由得（－）x2＋x0x－（1＋）＝0，将（ⅰ）式代入，整理得x2－2x0x＋＝0，∵Δ＝4－4＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点.（2）①过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程为－＝1.②证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，由对称性知，点T为线段PQ的中点，当n≠0时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点N（t，s），由得（－）x2＋2mx－a2＝0，由－＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝＝m，又∵－＝1，∴s＝（－1）＝n，则N（m，n），∴点T与点N重合，∴点T为线段PQ的中点.综上，点T为线段PQ的中点.2 / 2第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课标要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系位置关系 相离 相切 相交椭圆 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0几何观点 没有交点 有一个交点 有两个交点双曲线 方程 观点 二次 方程 Δ 0 Δ 0 Δ 0一次 方程 方程无解 方程有解几何观点 没有交点 有一个交点，且直线与双曲线的渐近线不平行 有两个交点，或直线与双曲线的渐近线平行抛物线 方程 观点 二次 方程 Δ 0 Δ 0 Δ 0一次 方程 方程有解几何观点 没有交点 有一个交点，且直线与抛物线的对称轴不平行（重合） 有两个交点，或直线与抛物线的对称轴平行（重合）2.直线与圆锥曲线相交弦已知A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k（k≠0）.（1）弦长公式：｜AB｜＝＝｜x1－x2｜＝ ，或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝ .（2）直线与圆锥曲线相交的中点弦问题包括的类型①已知圆锥曲线内一点P，求过定点P且以P为中点的弦所在直线的方程；②利用已知条件求弦的中点；③求线段的垂直平分线方程；④对称问题.1.若O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为平面直角坐标系的中任意两点，且O，A，B三点不共线，则S△OAB＝｜x1y2－x2y1｜.2.已知M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－；若曲线为双曲线，则kMN·kOP＝.3.若曲线为抛物线，P（x0，y0）为弦MN的中点：kMN＝（开口向右），kMN＝－（开口向左），kMN＝（开口向上），kMN＝－（开口向下）.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）过点（1，）的直线一定与椭圆＋y2＝1相交.（ ）（2）直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.（ ）（3）与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.（ ）（4）圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.（ ）2.（人A选一 P114例7改编）直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是（ ）A. B.－C.± D.±3.（人A选一 P136练习3题改编）已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是（ ）A.2 B.4C.8 D.164.（人A选一 P128习题13题改编）已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M（3，2），则直线AB的斜率为（ ）A. B.C. D.5.椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝ .直线与圆锥曲线的位置关系（师生共研过关）（1）已知抛物线方程为y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）A.0条 B.1条C.2条 D.3条（2）若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两点，则k的取值范围是 .听课记录 解题技法1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）.1.直线kx－y＋1＝0（k∈R）与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为（ ）A.（1，4] B.[1，4）C.[1，4）∪（4，＋∞） D.（4，＋∞）2.若曲线y2＝｜x｜＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k，b分别应满足的条件是 .弦长问题（师生共研过关）（2025·宝鸡模拟）已知点B是圆C：（x－1）2＋y2＝16上的任意一点，点F（－1，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且｜MN｜＝，求m的值.解题技法1.弦长的求解方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦中点M（x0，y0），则：①弦长l＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜；②直线AB的斜率kAB＝－.2.注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2）直线过椭圆的焦点.1.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，｜FA｜＝3，｜FB｜＝1，则直线y＝x＋被椭圆C截得的弦长为 .2.已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若｜AB｜＝5，则满足条件的l的条数为 .中点弦问题（师生共研过关）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），试求椭圆的离心率.解题技法中点弦问题常用的求解方法（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率；（2）根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.1.已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P为P1P2的中点，则此直线方程是 .2.已知m∈R，在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线y＝x＋m对称，则m的取值范围是 .第八节 直线与圆锥曲线的位置关系【知识·逐点夯实】知识梳理夯基1.＜ ＝ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＝ ＞2.对点自测诊断1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√2.C 3.C 4.D 5.【考点·分类突破】考点1【例1】 （1）D （2）（－，－1）解析：（1）因为点P（0，2）不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意；当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件；当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由整理得到k2x2＋（4k－4）x＋4＝0，由解得k＝.综上所述：满足条件的直线有3条.故选D.（2）联立方程组整理得（k2－1）x2＋4kx＋10＝0，设方程（k2－1）x2＋4kx＋10＝0的两根为x1，x2，因为直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6（x＞0）的右支交于不同的两点，则满足解得k＜－1，又由解得－＜k＜－1，所以k的取值范围是（－，－1）.跟踪训练1.C 由于直线y＝kx＋1恒过点M（0，1），要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上即可，即解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4）∪（4，＋∞）.故选C.2.k＝0，｜b｜＜1 解析：法一 当k＝0时， b2＝｜x｜＋1≥1，∴只需｜b｜＜1，方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1即可.当k≠0时，∵y＝kx＋b与y＝kx平行，若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点， k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，∴有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.法二 如图所示，当x≥0时，曲线为y2＝x＋1；当x＜0时，曲线为y2＝－x＋1.当k＝0时，y＝b，－1＜b＜1时无公共点；当k≠0时，有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.考点2【例2】 解：（1）由条件可得｜PC｜＋｜PF｜＝｜PC｜＋｜PB｜＝｜BC｜＝4＞｜FC｜＝2，所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1（a＞b＞0），所以2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝，所以方程为＋＝1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立可得19x2＋16mx＋4m2－12＝0，所以由Δ＝256m2－76（4m2－12）＞0得m∈（－，），x1＋x2＝－，x1x2＝，因为｜MN｜＝＝＝，解得m＝±1.跟踪训练1. 解析：设椭圆的半焦距为c，由｜FA｜＝3，｜FB｜＝1，可得a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b＝＝＝，故椭圆的方程为＋＝1.联立y＝x＋和3x2＋4y2＝12，可得7x2＋4x－11＝0，设被椭圆C截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，可得弦长为·＝×＝.2.3 解析：法一 ①若A，B都在右支上.当AB垂直于x轴时，AB最短.因为F（3，0），将x＝3代入－＝1得y＝±，则｜AB｜＝5，满足；②若A，B分别在两支上.因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4＜5，所以满足｜AB｜＝5的直线有2条，且关于x轴对称.综上有3条.法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），①若直线AB斜率不存在，因为F（3，0），将x＝3代入－＝1得y＝±，则｜AB｜＝5，满足；②若直线AB斜率存在，设AB：y＝k（x－3），联立得（5－4k2）x2＋24k2x－36k2－20＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝＝5，解得k2＝，即k＝±.综上，满足条件的直线有3条.考点3【例3】 解：设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦的中点坐标是M（－4，1），则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝2.由两式相减得＋＝0，∴＝－×＝2，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.跟踪训练1.y＝4x－7 解析：由题得2x2－y2＝2，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），所以两式相减得2（x1＋x2）·（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，由题得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以8（x1－x2）－2（y1－y2）＝0，因为x1≠x2，所以＝k＝4，所以直线的方程为y－1＝4（x－2），即y＝4x－7.2.（－∞，－3） 解析：设抛物线上关于直线y＝x＋m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）.则两式相减得（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2），由条件可知，＝－1，即y1＋y2＝－4，所以AB中点的纵坐标为－2，横坐标为－2－m，即中点坐标为（－2－m，－2）.由题意可知，AB中点应在抛物线内，即（－2）2＜4×（－2－m），得m＜－3.4 / 4(共70张PPT)第八节 直线与圆锥曲线的位置关系高中总复习·数学课标要求1. 了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2. 掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3. 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.目 录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART 01知识·逐点夯实必备知识 | 课前自修1. 直线与圆锥曲线的位置关系位置关系 相离 相切 相交椭圆 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0几何观点 没有交点 有一个交点 有两个交点双曲线 方程 观点 二次方程 Δ 0 Δ 0 Δ 0一次方程 方程无解 方程有解几何观点 没有交点 有一个交点，且直线与双曲线的渐近线不平行 有两个交点，或直线与双曲线的渐近线平行＜ ＝ ＞ ＜ ＝ ＞ 位置关系 相离 相切 相交抛 物线 方程 观点 二次 方程 Δ 0 Δ 0 Δ 0一次 方程 方程有解几何观点 没有交点 有一个交点，且直线与抛物线的对称轴不平行（重合） 有两个交点，或直线与抛物线的对称轴平行（重合）＜ ＝ ＞ 2. 直线与圆锥曲线相交弦已知A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k（k≠0）.（1）弦长公式：｜AB｜＝＝ ｜x1－x2｜＝ ，或｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ . （2）直线与圆锥曲线相交的中点弦问题包括的类型①已知圆锥曲线内一点P，求过定点P且以P为中点的弦所在直线的方程；②利用已知条件求弦的中点；③求线段的垂直平分线方程；④对称问题.1. 若O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为平面直角坐标系的中任意两点，且O，A，B三点不共线，则S△OAB＝ ｜x1y2－x2y1｜.2. 已知M，N是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－ ；若曲线为双曲线，则kMN·kOP＝ .3. 若曲线为抛物线，P（x0，y0）为弦MN的中点：kMN＝ （开口向右），kMN＝－ （开口向左），kMN＝ （开口向上），kMN＝－ （开口向下）.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）过点（1， ）的直线一定与椭圆 ＋y2＝1相交. （ √ ）（2）直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.（ × ）（3）与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点. （ √ ）（4）圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦. （ √ ）√×√√2. （人A选一 P114例7改编）直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1有且只有一个交点，则k的值是（ ）A. B. －C. ± D. ±解析： 由 得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝（12k）2－4×6×（2＋3k2）＝0，解得k＝± ，故选C.√3. （人A选一 P136练习3题改编）已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是（ ）A. 2 B. 4C. 8 D. 16解析： 联立 消去y整理得x2－6x＋1＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，又因直线y＝x－1恰过y2＝4x的焦点.所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝8，故选C.√4. （人A选一 P128习题13题改编）已知点A，B是双曲线C： － ＝1上的两点，线段AB的中点是M（3，2），则直线AB的斜率为（ ）A. B.C. D.√解析： 法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点A，B是双曲线C上的两点，∴ － ＝1， － ＝1，两式相减得 ＝，∵M（3，2）是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴ ＝ ，∴kAB＝ ＝ .法二 由kAB·kOM＝ ＝ ，得kAB＝ · ＝ × ＝ .5. 椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 ，则 ＝ .解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）.结合题意，由点差法得 ＝－ ＝－1，所以 ＝ . PART 02考点·分类突破精选考点 | 课堂演练直线与圆锥曲线的位置关系（师生共研过关）（1）已知抛物线方程为y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ D ）A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条D解析： 因为点P（0，2）不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意；当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件；当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由 整理得到k2x2＋（4k－4）x＋4＝0，由 解得k＝ .综上所述：满足条件的直线有3条.故选D.（2）若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两点，则k的取值范围是 .解析： 联立方程组 整理得（k2－1）x2＋4kx＋10＝0，设方程（k2－1）x2＋4kx＋10＝0的两根为x1，x2，因为直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6（x＞0）的右支交于不同的两点，则满足解得k＜－1，又由 解得－ ＜k＜－1，所以k的取值范围是（－ ，－1）.（－ ，－1）解题技法1. 直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2. 直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）.1. 直线kx－y＋1＝0（k∈R）与椭圆 ＋ ＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为（ ）A. （1，4] B. [1，4）C. [1，4）∪（4，＋∞） D. （4，＋∞）√解析： 由于直线y＝kx＋1恒过点M（0，1），要使直线y＝kx＋1与椭圆 ＋ ＝1恒有公共点，只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上即可，即 解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4）∪（4，＋∞）.故选C.2. 若曲线y2＝｜x｜＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k，b分别应满足的条件是 .解析：法一 当k＝0时， b2＝｜x｜＋1≥1，∴只需｜b｜＜1，方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1即可.当k≠0时，∵y＝kx＋b与y＝kx平行，若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点， k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，∴有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.k＝0，｜b｜＜1法二 如图所示，当x≥0时，曲线为y2＝x＋1；当x＜0时，曲线为y2＝－x＋1.当k＝0时，y＝b，－1＜b＜1时无公共点；当k≠0时，有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.弦长问题（师生共研过关）（2025·宝鸡模拟）已知点B是圆C：（x－1）2＋y2＝16上的任意一点，点F（－1，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；解： 由条件可得｜PC｜＋｜PF｜＝｜PC｜＋｜PB｜＝｜BC｜＝4＞｜FC｜＝2，所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），所以2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝ ，所以方程为 ＋ ＝1.（2）直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且｜MN｜＝ ，求m的值.解： 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立 可得19x2＋16mx＋4m2－12＝0，所以由Δ＝256m2－76（4m2－12）＞0得m∈（－ ， ），x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，因为｜MN｜＝ ＝＝ ，解得m＝±1.解题技法1. 弦长的求解方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦中点M（x0，y0），则：①弦长l＝ ｜x1－x2｜＝ ｜y1－y2｜；②直线AB的斜率kAB＝－ .2. 注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2）直线过椭圆的焦点.1. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，｜FA｜＝3，｜FB｜＝1，则直线y＝x＋ 被椭圆C截得的弦长为 . 解析：设椭圆的半焦距为c，由｜FA｜＝3，｜FB｜＝1，可得a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b＝ ＝ ＝ ，故椭圆的方程为 ＋ ＝1.联立y＝x＋ 和3x2＋4y2＝12，可得7x2＋4x－11＝0，设被椭圆C截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝－ ，可得弦长为 · ＝× ＝ .2. 已知双曲线C： － ＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若｜AB｜＝5，则满足条件的l的条数为 .解析：法一 ①若A，B都在右支上.当AB垂直于x轴时，AB最短.因为F（3，0），将x＝3代入 － ＝1得y＝± ，则｜AB｜＝5，满足；②若A，B分别在两支上.因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4＜5，所以满足｜AB｜＝5的直线有2条，且关于x轴对称.综上有3条.3法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），①若直线AB斜率不存在，因为F（3，0），将x＝3代入 － ＝1得y＝± ，则｜AB｜＝5，满足；②若直线AB斜率存在，设AB：y＝k（x－3），联立 得（5－4k2）x2＋24k2x－36k2－20＝0，所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，所以｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ ＝＝5，解得k2＝ ，即k＝± .综上，满足条件的直线有3条.中点弦问题（师生共研过关）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），试求椭圆的离心率.解：设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦的中点坐标是M（－4，1），则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝ ＝2.由 两式相减得＋ ＝0，∴ ＝－ × ＝2，∴ ＝ ，故椭圆的离心率e＝ ＝ ＝ .解题技法中点弦问题常用的求解方法（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率；（2）根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.1. 已知双曲线方程是x2－ ＝1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P为P1P2的中点，则此直线方程是 .解析：由题得2x2－y2＝2，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），所以两式相减得2（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，由题得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以8（x1－x2）－2（y1－y2）＝0，因为x1≠x2，所以 ＝k＝4，所以直线的方程为y－1＝4（x－2），即y＝4x－7.y＝4x－72. 已知m∈R，在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线y＝x＋m对称，则m的取值范围是 .解析：设抛物线上关于直线y＝x＋m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）.则 两式相减得（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2），由条件可知， ＝－1，即y1＋y2＝－4，所以AB中点的纵坐标为－2，横坐标为－2－m，即中点坐标为（－2－m，－2）.由题意可知，AB中点应在抛物线内，即（－2）2＜4×（－2－m），得m＜－3.（－∞，－3）PART 03课时·跟踪检测关键能力 | 课后练习123456789101112131415161718192020222324251. 已知椭圆C： ＋ ＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定解析： 对于直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0，整理得m（x－y－1）＋2（x－2y＋1）＝0，令 解得故直线l过定点A（3，2）.因为 ＋ ＝ ＜1，则点A（3，2）在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.√2. 直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝（ ）A. B.C. 1 D. 2解析： 由抛物线的对称性知，要使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为（ ，±1），代入抛物线方程解得p＝1.√3. 直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝（ ）A. －2 B. －1C. 1 D. 2解析： ∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－ x－ ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 两式相减得 ＝－ ＝－，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为 ，将（1， ）代入直线y＝－ x－ ，解得m＝－2.√4. 已知点F1（－1，0），F2（1，0），直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A. B. C. D.解析： 设椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），由题意知其左、右焦点分别是F1（－1，0），F2（1，0），可得c＝1，联立 得（a2＋b2）x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，Δ＝16a4－4（a2＋b2）（4a2－a2b2）≥0，可得4a2－（2a2－1）（5－a2）≥0，解得a≥ ，e＝≤ ＝ .√5. 如图所示，已知抛物线C1：y2＝4x和圆C2：（x－1）2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，自下而上依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则 · ＝（ ）A. B.C. 1 D. 2√解析： 设A（x1，y1），D（x2，y2），直线l：x＝my＋1.联立 y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4.由已知可得 · ＝｜AB｜·｜CD｜，F（1，0），圆C2半径为1，因为｜AB｜＝｜AF｜－1＝x1＋1－1＝x1，同理可得｜CD｜＝x2，所以｜AB｜·｜CD｜＝x1x2＝· ＝ ＝1.6. 〔多选〕（2024·德州二模）已知双曲线Γ： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，过其右焦点F的直线l与Γ交于点A，B，下列结论正确的是（ ）A. 若a＝b，则e＝B. ｜AB｜的最小值为2aC. 若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有一条，则e＞D. 若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，则1＜e＜√√√解析： 当a＝b时，因为c2＝a2＋b2，所以e＝ ＝ ＝ ，故A正确；当过其右焦点F的直线l与Γ交于左右两支时，｜AB｜的最小值为2a（此时A，B为双曲线的两顶点）；当过其右焦点F的直线l与Γ交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为c，代入双曲线方程为－ ＝1，解得y＝± ，此时弦长为 ，由于a不一定等于b，故B错误；若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有一条，由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以2a＜ b2＞a2，此时e＝ ＝＝ ＞ ，故C正确；若满足｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l与双曲线的同一支相交，所以2a＞ b2＜a2，所以e＝ ＝ ＝ ＜ ，又e＞1，所以1＜e＜ ，故D正确.故选A、C、D.7. 在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C： ＋ ＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为 .解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆 ＋ ＝1相切，联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝ ＝ ＝5 ，∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5 .58. 已知双曲线C： － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于P，Q两点，当｜PQ｜最小时，四边形F1PF2Q的面积为 .12解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由 得x2－8mx－4m2－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝8m，x1·x2＝－4m2－20，所以｜PQ｜＝ · ＝ · ＝4 ，当m＝0时，｜PQ｜有最小值4 .设F1（－3，0），F2（3，0）到直线y＝x的距离分别为d1，d2，则d1＝ ＝ ，d2＝ ＝ ，所以四边形F1PF2Q的面积为S＝ ＋ ＝｜PQ｜·（d1＋d2）＝ ×4 ×（ ＋ ）＝12 .9. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；解： 因为椭圆的离心率为e＝ ＝ ，长轴长为2a＝4，解得a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程是 ＋ ＝1.（2）已知直线l过定点E（ ，0），若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.解： 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－ ），A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；当k≠0时，有kAB＝ ＝－ ，设AB中点的坐标为（x0，y0），又 两式相减得3（x1＋x2）（x1－x2）＝－4（y1＋y2）（y1－y2），即3kx0＝4y0，又y0＝k（x0－ ），解得x0＝1，y0＝ ，因为线段AB的中点在椭圆内部，所以 ＋ ＜1，即 ＋ ＜1，解得－2＜k＜0或0＜k＜2，综上，直线l的斜率k的取值范围为（－2，2）.10. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞ ）的离心率为 ，过点P（ ， ）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则｜OM｜的最小值为（ ）A. 1 B.C. 2 D. 2√解析： 由题设， ＝ ，即 ＝1－ ＝1－ ＝ ，可得a2＝6＞2，过点P（ ， ）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，则P为线段AB的中点，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又 ＋ ＝1， ＋ ＝1，则 ＋ ＝0，即 ＝－，所以 ＝－ ＝－1，故直线AB的方程为y－ ＝－（x－ ），即x＋y－2＝0，所以｜OM｜的最小值为＝ .11. 已知点A（－ ，0），B（ ，0），若曲线（ ＋ ）·（ － ）＝0（a＞0，b＞0）上存在点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，则下列选项中一定正确的是（ ）A. b＜a＋1 B. b＞ aC. b＞a＋1 D. b＜ a√解析： 已知点A（－ ，0），B（ ，0）且｜PA｜－｜PB｜＝2，根据双曲线的定义知，点P在双曲线的右支上，且2a1＝2，c1＝ ，所以b1＝ ＝ ，所以双曲线的方程为x2－ ＝1（x＞0），其渐近线方程为y＝± x，又（ ＋ ）（ － ）＝0即为 － ＝0，即点P在直线y＝± x上，曲线（ ＋ ）（ － ）＝0上存在点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，即直线y＝± x与双曲线x2－ ＝1（x＞0）相交，所以 ＜ ，即b＜ a，故选D.12. 〔多选〕（2025·滨州二模）已知点A，B，C都在双曲线Γ： －＝1（a＞0，b＞0）上，点A（x1，y1）在第一象限，点C（x2，y2）在第四象限，A，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作垂直于x轴的直线分别交Γ，BC于点D，E. 若2 ＝3 ，则下列结论正确的是（ ）A. 点E的纵坐标为－ y1B. ＝－C. ＝－D. 双曲线Γ的离心率为√√√解析： 对于A，由题意得B（－x1，－y1），D（x1，－y1），设E（x1，y0）， ＝（0，－2y1）， ＝（0，y0＋y1），因为2 ＝3 ，所以－4y1＝3（y0＋y1），解得y0＝－ y1，E（x1，－y1），故A正确；对于B，因为AB⊥AC，所以kAB·kAC＝－1，所以 · ＝－1，所以 ＝－ ，故B正确；对于C，因为B，E，C三点共线，B（－x1，－y1），C（x2，y2），E（x1，－ y1），所以kBC＝kBE，则 ＝ ＝ ＝－ ，故C错误；对于D，因为A（x1，y1），C（x2，y2）在双曲线上，所以 ＝ （ －a2）， ＝ （ －a2），kCB·kCA＝ · ＝ ＝ ＝ ，因为AB⊥AC，即kCB·（－ ）＝ ，其中kCB＝kBE＝ ＝＝－ ，kAB＝ ，所以－ ·（－ ）＝ ＝ ，则e＝ ＝ ＝ ，故D正确.故选A、B、D.13. （创新设问方式）（2025·上饶一模）已知抛物线C：y＝ x2，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2 025的直线的条数是 .解析：由抛物线C：y＝ x2，可得2p＝6，根据抛物线几何性质得通径长为2p＝6，又2 025－6＝2 019，所以根据对称性知，弦长为整数且不超过2 025的直线的条数是2 019×2＋1＝4 039.4 039解： 由题意得解得所以e＝ ＝ ＝ .14. （2024·新高考Ⅰ卷16题）已知A（0，3）和P（3， ）为椭圆C：＋ ＝1（a＞b＞0）上两点.（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.解： 法一 kAP＝ ＝－ ，则直线AP的方程为y＝－ x＋3，即x＋2y－6＝0，｜AP｜＝ ＝ ，由（1）知C： ＋ ＝1，设点B到直线AP的距离为d，则d＝ ＝ ，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 个单位长度即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0，则 ＝ ，解得m＝6或m＝－18，当m＝6时，联立解得 或即B（0，－3）或（－3，－ ），当B（0，－3）时，此时kl＝ ，直线l的方程为y＝ x－3，即3x－2y－6＝0，当B（－3，－ ）时，此时kl＝ ，直线l的方程为y＝ x，即x－2y＝0，当m＝－18时，联立 得2y2－27y＋117＝0，Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.法二 同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝ ，设B（x0，y0），则解得 或即B（0，－3）或（－3，－ ），以下同法一.15. （创新考法）（2025·汕头模拟）已知点M（x0，y0）为双曲线 －y2＝1上的动点.（1）判断直线 －y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由；解： 直线与双曲线只有1个公共点.理由：∵点M（x0，y0）在双曲线 －y2＝1上，∴ － ＝1（ⅰ），由得（ － ）x2＋x0x－（1＋ ）＝0，将（ⅰ）式代入，整理得x2－2x0x＋ ＝0，∵Δ＝4 －4 ＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点.（2）①如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；②将双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为 － ＝0，请利用该方程证明如下命题：若T（m，n）为双曲线C上一点，直线l： － ＝1与C的两条渐近线分别交于点P、Q，则T为线段PQ的中点.解： ①过双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程为 － ＝1.②证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，由对称性知，点T为线段PQ的中点，当n≠0时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点N（t，s），由 得（ － ）x2＋2mx－a2＝0，由 － ＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝ ＝m，又∵ － ＝1，∴s＝ （ －1）＝n，则N（m，n），∴点T与点N重合，∴点T为线段PQ的中点.综上，点T为线段PQ的中点.THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系.docx 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系.pptx 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系（练习，含解析）.docx
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