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第二节　两直线的位置关系
1.已知直线l1经过点A（2，a－1），B（a，4），且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a＝（　　）
A.－2 B.2
C.－1 D.1
2.若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为（1，b），则a＋b＋c＝（　　）
A.－6 B.4
C.－10 D.－4
3.四边形ABCD的四个顶点是A（3，0），B（0，4），C（4，7），D（11，6），则四边形ABCD为（　　）
A.矩形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
4.已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为（　　）
A.2，－ B.－2，－
C.－2， D.2，
5.〔多选〕点P（x，y）到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的轨迹方程可能是（　　）
A.32x－56y＋65＝0
B.4x－8y＋9＝0
C.7x＋4y＝0
D.x－4y＋4＝0
6.〔多选〕已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（　　）
A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点（0，1）
D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
7.求过直线l1：5x＋2y－3＝0和l2：3x－5y－8＝0的交点P，且与直线x＋4y－7＝0垂直的直线l的方程为　　　　.
8.已知集合A＝{（x，y）｜＝a＋1}，集合B＝{（x，y）｜（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0}，若A∩B＝ ，则a的取值是　　　　.
9.如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的三角形土地，其中tan α＝－2，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， km，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园区.
（1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15 km2，求公路BC所在直线的方程.
10.若一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在直线的方程为（　　）
A.x－2y＋7＝0 B.x＋2y＋7＝0
C.2x－y＋7＝0 D.2x＋y－6＝0
11.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝（　　）
A.2 B.2
C.2 D.4
12.〔多选〕已知在以C（2，3）为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是（　　）
A.斜边AB的中点坐标是（3，2）
B.｜AB｜＝2
C.△ABC的面积等于4
D.点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1）
13.已知A（1，6），B（0，5），作直线l，使得点A，B到直线l的距离为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是　　　　.
14.已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）.
（1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小；
（2）试在l上求一点Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大.
15.（新定义）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明：ρ（A，C）＋ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足：①ρ（A，C）＋ρ（C，B）＝ρ（A，B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由.
第二节　两直线的位置关系
1.C　直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2，所以＝－2，解得a＝－1，经检验，符合题意.
2.D　因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因为垂足为（1，b），故解得故a＋b＋c＝－4.
3.D　由kBC＝＝，kAD＝＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形.
4.A　易知kAB＝，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.易知AB的中点坐标为（2，），代入2x＋y＋b＝0，得b＝－.故选A.
5.AC　由点到直线距离公式得＝，整理得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.
6.AC　对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确.
7.4x－y－5＝0　解析：法一（常规解法） 由得l1与l2的交点坐标为（1，－1）.∵直线x＋4y－7＝0的斜率为－，∴直线l的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为y＋1＝4（x－1），即4x－y－5＝0.
法二（利用垂直直线系方程） ∵直线l垂直于直线x＋4y－7＝0，∴可设直线l的方程为4x－y＋c＝0.∵l1与l2的交点为P（1，－1），∴4×1－（－1）＋c＝0，从而c＝－5.∴直线l的方程为4x－y－5＝0.
法三（利用过两直线交点的直线系方程） 由于直线l过l1与l2的交点，∴可设直线l的方程为5x＋2y－3＋λ（3x－5y－8）＝0，即（5＋3λ）x＋（2－5λ）y－3－8λ＝0.∵l与直线x＋4y－7＝0垂直，∴k＝－＝4，从而λ＝.∴直线l的方程为4x－y－5＝0.
8.－1或1或－4或
解析：集合A表示直线l1：（a＋1）x－y－2a＋1＝0（x≠2），集合B表示直线l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0.①当B＝ 时，a＝1；②若l1∥l2，a＝－1；③若（2，3）在l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0上，则a＝－4或.
9.解：（1）因为tan α＝－2，所以直线AN的方程是y＝－2x.
设点P（x0，y0），且点P到直线AM的距离为3，故y0＝3.
由点P到直线AN的距离为，可得＝，
解得x0＝1或x0＝－4（舍去），
所以点P（1，3）.
（2）显然，直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y－3＝k（x－1），k∈（－2，0）.
令y＝0得xB＝1－.
由解得yC＝，
故S△ABC＝xByC＝－1＋＝15，
解得k＝－.
故公路BC所在直线的方程为3x＋4y－15＝0.
10.A　由解得则反射光线过点（1，4）.再取入射光线上点（0，2），其关于直线x＋y－5＝0的对称点为（3，5），所以反射光线所在直线的斜率k＝.所以反射光线所在的直线方程为y－5＝（x－3），即x－2y＋7＝0.
11.B　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝ ｜c1－c2｜＝2.
12.ABD　如图，取AB的中点为P（x，y），因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得则AB的中点P的坐标为（3，2），故A正确；｜CP｜＝＝，｜AB｜＝2｜CP｜＝2，故B正确；所以S△ABC＝｜AB｜｜CP｜＝×2×＝2，故C错误；设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，所以＝4，所以＝－1，解得＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1），故D正确.
13.（0，1）　解析：对任意d，存在两条直线l1，l2，使得l1∥l2∥AB，且满足直线l1，l2到直线AB的距离为d.当d＜＝1时，则还存在过AB中点的两条直线，使得点A，B到直线l的距离为d，所以0＜d＜1.
14.解：（1）如图1，设点C关于l的对称点为C'（a，b），
则解得
所以C'（－1，1），所以直线AC'的方程为y＝1.
由得直线AC'与直线l的交点为P（，1），此时｜AP｜＋｜CP｜取最小值.
（2）如图2，设点B关于l的对称点为B'（m，n），
则解得
所以B'（3，3），所以直线AB'的方程为2x＋y－9＝0，
由得直线AB'与直线l的交点为Q（2，5），此时｜｜AQ｜－｜BQ｜｜取最大值.
15.解：（1）证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）＋ρ（C，B）＝｜x－x1｜＋｜x2－x｜＋｜y－y1｜＋｜y2－y｜≥｜（x－x1）＋（x2－x）｜＋｜（y－y1）＋（y2－y）｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜＝ρ（A，B）.
当且仅当（x－x1）（x2－x）≥0，（y－y1）（y2－y）≥0时等号成立，即A，B，C三点共线时等号成立.
（2）∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
（ⅰ）若x1＝x2，则y1≠y2，由条件①，得｜x－x1｜＋｜y－y1｜＋｜x2－x｜＋｜y2－y｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜，
∴2｜x－x1｜＋｜y2－y1｜＝｜y2－y1｜，∴｜x－x1｜＝0，∴x＝x1.
由条件②，得｜x－x1｜＋｜y－y1｜＝｜x2－x｜＋｜y2－y｜，∴｜y－y1｜＝｜y－y2｜，∴y＝.
因此，所求的点C（x1，）.
（ⅱ）若y1＝y2，则x1≠x2，类似于（ⅰ），可得符合条件的点C（，y1）.
2 / 2第二节　两直线的位置关系
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线平行和垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 　　　　；
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 　　　　；
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
提醒 在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
2.两直线相交
（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应；
（2）相交 方程组有　　　　，交点坐标就是方程组的解；
（3）平行 方程组　　　　；
（4）重合 方程组有　　　　　　.
3.三种距离公式
（1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为｜P1P2｜＝　　　　　　；
（2）点到直线的距离公式：点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　　　；
提醒 利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.
（3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝　　　　　.
提醒 利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.
1.两个充要条件
（1）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0；
（2）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2.与对称问题相关的六个结论
（1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）；
（2）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；
（3）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为（－x，y）；
（4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）；
（5）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为（－y，－x）；
（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.
3.直线系方程的设法
（1）过点（x0，y0）的直线系方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（其中A，B不全为零）；
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0（C≠C0）；
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意）
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.（　　）
（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（　　）
（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（　　）
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.（　　）
2.若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝（　　）
A.4　　　B.－4　　　C.1　　　D.－1
3.两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为（　　）
A. B. C. D.
4.（人A选一 P72练习3题改编）已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是（　　）
A.4x－3y＝0 B.4x＋3y＝0
C.3x－4y＝0 D.3x＋4y＝0
5.（人A选一 P77练习3题改编）已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝　　　　.
两直线的位置关系
（定向精析突破）
考向1　两直线相交
若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（　　）
A.（－，） B.（－，）
C.［－，－］ D.［－，］
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　　求两直线的交点，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的参数，直接代入交点坐标即可.若判断交点所在象限，可根据各象限内的点横纵坐标的特点确定.
考向2　两直线平行与垂直
（1）已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知a＞0，b＞0，直线（a－1）x＋y－1＝0和x＋2by＋1＝0垂直，则＋的最小值为（　　）
A.16 B.8
C.4 D.2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
1.斜率存在的两直线平行、垂直的判断方法
（1）两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
（2）两直线垂直 两直线的斜率之积等于－1.
2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
1.〔多选〕已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则（　　）
A.l1恒过点（2，－2）
B.若l1∥l2，则a2＝
C.若l1⊥l2，则a2＝1
D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
2.使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m的值为　　　　.
距离问题
（师生共研过关）
（1）已知点A（2，1），B（3，4），C（－2，－1），则△ABC的面积为　　　　；
（2）若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求解距离问题的思路
（1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式.
1.已知直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，则点P（－1，－1）到直线l的距离的最大值为　　　　.
2.已知点A（－1，2），B（1，4），若直线l过点M（－2，－3），且A，B到直线l的距离相等，则直线l的方程为　　　　.
对称问题
（定向精析突破）
考向1　中心对称问题
（1）直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是　　　　；
（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　　　　.
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中心对称问题的类型及解题策略
（1）点关于点对称：若点M（x1，y1）和点N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解；
（2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
考向2　轴对称问题
（1）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　　　　；
（2）直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是　　　　.
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轴对称问题的类型及解题策略
（1）点关于直线对称：若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中B≠0，x1≠x2）；
（2）直线关于直线对称：设直线l1关于直线l的对称直线为l2.
①当l1与l相交时，则交点必在l2上，再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2，那么由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程；
②当l1∥l时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式列出方程，求得直线l2的方程中的常数项，从而得l2的方程.
1.坐标原点（0，0）关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是（　　）
A. B. C. D.
2.光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有（　　）
A.a＝，b＝6
B.a＝－3，b＝
C.a＝3，b＝－
D.a＝－，b＝－6
第二节　两直线的位置关系
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）①k1＝k2　（2）①k1k2＝－1
2.（2）唯一解　（3）无解　（4）无数个解
3.（1）
（2）　（3）
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.A　3.A　4.A　5.5或15
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 A　
即交点为（，），因为交点在第一象限，所以 －＜x＜.故选A.
【例2】 （1）A　（2）B　解析：（1）当l1∥l2时，＝≠，则a＝±2，所以“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.
（2）∵a＞0，b＞0，直线l1：（a－1）x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，∴（a－1）×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1.则＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当a＝2b＝时，等号成立，故＋的最小值为8，故选B.
跟踪训练
1.BD　l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0 a（x＋y）＋x＋2＝0，令解得所以直线l1恒过点（－2，2），故A不正确；若l1∥l2，则有（a＋1）·（1－a）＝a2且－（a＋1）－2a≠0，解得a2＝，故B正确；若l1⊥l2，则有a（a＋1）＋a（1－a）＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，＞0，－≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确.故选B、D.
2.或1或－1　解析：当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形.若三条直线交于一点，由得直线x＋y＝2与x－y＝4的交点坐标为（3，－1），把（3，－1）代入到直线mx＋y＝0，得m＝； 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为－1，－m，1，所以m＝1或m＝－1.
考点2
【例3】 （1）5　（2）4或－16
解析：（1）设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.易知｜AB｜＝＝.由两点式可得AB边所在直线的方程为＝，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝×｜AB｜×h＝××＝5.
（2）将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝＝，根据题意可得：＝，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16.
跟踪训练
1.2　解析：直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，即x－y－2＋m（x－3）＝0，由解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点A（3，1），当直线l与直线AP垂直时，点P（－1，－1）到直线l的距离最大，最大值为｜AP｜＝＝2，所以点P（－1，－1）到直线l的距离的最大值为2.
2.x－y－1＝0或3x－y＋3＝0
解析：依题意，A，B到直线l的距离相等.AB的中点为（0，3），当l过（0，3）以及M（－2，－3）时，直线l的方程为y＝x＋3＝3x＋3，即3x－y＋3＝0.直线AB的斜率为＝1，当直线l过M（－2，－3）并与AB平行时，直线l的方程为y＋3＝1×（x＋2），即x－y－1＝0.综上所述，直线l的方程为x－y－1＝0或3x－y＋3＝0.
考点3
【例4】 （1）x－2y＋11＝0　（2）x＋4y－4＝0
解析：（1）设所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称点（－4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2（2－y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.
（2）设l1与l的交点为A（a，8－2a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a，2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【例5】 （1）6x－y－6＝0　（2）x－2y＋3＝0
解析：（1）设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以解得又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
（2）设所求直线上任意一点P（x，y），点P关于x－y＋2＝0的对称点为P'（x0，y0），由得因为点P'（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，所以2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
跟踪训练
1.A　设对称点的坐标为（x0，y0），则解得即所求点的坐标是.
2.D　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.
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第二节　两直线的位置关系
高中总复习·数学
课标要求
1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条
平行直线间的距离.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 两条直线平行和垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有
l1∥l2 ；
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
k1＝k2　
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2
；
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
提醒 在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线
斜率不存在的情形.
k1k2＝－
1　
2. 两直线相交
（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点
的坐标与方程组 的解一一对应；
（2）相交 方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；
（3）平行 方程组 ；
（4）重合 方程组有 .
唯一解　
无解　
无数个解　
3. 三种距离公式
（1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间
的距离公式为｜P1P2｜＝ ；
（2）点到直线的距离公式：点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的
距离d＝ ；
提醒 利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.
　
　
（3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋
By＋C2＝0间的距离d＝ .
提醒 利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为
x，y的系数对应相等的一般式.
　
1. 两个充要条件
（1）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要
条件是A1A2＋B1B2＝0；
（2）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合
的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2. 与对称问题相关的六个结论
（1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）；
（2）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；
（3）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为
（－x，y）；
（4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y
＝b的对称点为（x，2b－y）；
（5）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x
的对称点为（－y，－x）；
（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于
直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.
3. 直线系方程的设法
（1）过点（x0，y0）的直线系方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（其
中A，B不全为零）；
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0
（C≠C0）；
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点
的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（λ∈R，这
个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足
题意）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2. （　×　）
（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
（　×　）
（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.
（　√　）
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.
（　√　）
×
×
√
√
2. 若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝（　　）
A. 4 B. －4 C. 1 D. －1
解析： 　因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以 ＝
≠ ，解得m＝4.
√
3. 两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－ ＝0，根据两条平行直线
间的距离公式知d＝ ＝ .
√
4. （人A选一 P72练习3题改编）已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y
－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是（　　）
A. 4x－3y＝0 B. 4x＋3y＝0
C. 3x－4y＝0 D. 3x＋4y＝0
解析： 　经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可
设为2x－2y－1＋λ（6x－4y＋1）＝0，将原点O（0，0）代入，得－1
＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.
√
5. （人A选一 P77练习3题改编）已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋
C＝0的距离为1，则C＝ .
解析：利用点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，得
＝1，解得C＝5或15.
5或15
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
两直线的位置关系（定向精析突破）
考向1　两直线相交
若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－ x＋2的交点在第一象限，则实数
k的取值范围是（　　）
A. （－ ， ） B. （－ ， ）
C. ［－ ，－ ］ D. ［－ ， ］
√
解析： 　 即交点为（ ， ），
因为交点在第一象限，所以 － ＜x＜ .故选A.
解题技法
　　求两直线的交点，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.若
已知交点坐标求直线方程中的参数，直接代入交点坐标即可.若判断交点
所在象限，可根据各象限内的点横纵坐标的特点确定.
考向2　两直线平行与垂直
（1）已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a
＝2”是“l1∥l2”的（　A　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
解析： 当l1∥l2时， ＝ ≠ ，则a＝±2，所以“a＝2”是
“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.
（2）已知a＞0，b＞0，直线（a－1）x＋y－1＝0和x＋2by＋1＝0垂
直，则 ＋ 的最小值为（　B　）
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
B
解析： ∵a＞0，b＞0，直线l1：（a－1）x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝
0，且l1⊥l2，∴（a－1）×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1.则 ＋ ＝
＋ ＝2＋ ＋ ＋2≥4＋2 ＝4＋4＝8，当且仅当a＝2b＝ 时，
等号成立，故 ＋ 的最小值为8，故选B.
解题技法
1. 斜率存在的两直线平行、垂直的判断方法
（1）两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
（2）两直线垂直 两直线的斜率之积等于－1.
2. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
1. 〔多选〕已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－
1＝0，则（　　）
A. l1恒过点（2，－2）
B. 若l1∥l2，则a2＝
C. 若l1⊥l2，则a2＝1
D. 当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
√
√
解析： 　l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0 a（x＋y）＋x＋2＝0，令
解得 所以直线l1恒过点（－2，2），故A不正确；
若l1∥l2，则有（a＋1）·（1－a）＝a2且－（a＋1）－2a≠0，解得a2
＝ ，故B正确；若l1⊥l2，则有a（a＋1）＋a（1－a）＝0，解得a＝
0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时， ＞0，－
≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经
过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确.故
选B、D.
2. 使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m
的值为 .
解析：当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能
围成三角形.若三条直线交于一点，由 得直线x＋y＝2与x－
y＝4的交点坐标为（3，－1），把（3，－1）代入到直线mx＋y＝0，得
m＝ ； 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直
线的斜率分别为－1，－m，1，所以m＝1或m＝－1.
或1或－1
距离问题（师生共研过关）
（1）已知点A（2，1），B（3，4），C（－2，－1），则△ABC
的面积为 ；
5
解析： 设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.易
知｜AB｜＝ ＝ .由两点式可得AB边所在直
线的方程为 ＝ ，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y
－5＝0的距离h＝ ＝ ，所以△ABC的面积为S△ABC
＝ ×｜AB｜×h＝ × × ＝5.
（2）若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为 ，则实数a
＝ .
解析： 将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝
0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝ ＝ ，根据题意可
得： ＝ ，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16.
4或－16
解题技法
求解距离问题的思路
（1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但
要注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距
离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的
距离公式.
1. 已知直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，则点P（－1，－1）到直线
l的距离的最大值为 .
解析：直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，即x－y
－2＋m（x－3）＝0，由 解得x＝3，
y＝1，所以直线l恒过定点A（3，1），当直线l与直
线AP垂直时，点P（－1，－1）到直线l的距离最大，
最大值为｜AP｜＝ ＝2 ，
所以点P（－1，－1）到直线l的距离的最大值为2 .
2
2. 已知点A（－1，2），B（1，4），若直线l过点M（－2，－3），且
A，B到直线l的距离相等，则直线l的方程为
.
解析：依题意，A，B到直线l的距离相等.AB的中点为（0，3），当l过
（0，3）以及M（－2，－3）时，直线l的方程为y＝ x＋3＝3x＋3，
即3x－y＋3＝0.直线AB的斜率为 ＝1，当直线l过M（－2，－3）并
与AB平行时，直线l的方程为y＋3＝1×（x＋2），即x－y－1＝0.综上
所述，直线l的方程为x－y－1＝0或3x－y＋3＝0.
x－y－1＝0或3x－y＋3
＝0　
对称问题（定向精析突破）
考向1　中心对称问题
（1）直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程
是 ；
解析： 设所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称
点（－4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2
（2－y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.
x－2y＋11＝0
（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y
＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .
解析： 设l1与l的交点为A（a，8－2a），则由题意知，点A关于点
P的对称点B（－a，2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）
＋10＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋
4y－4＝0.
x＋4y－4＝0
解题技法
中心对称问题的类型及解题策略
（1）点关于点对称：若点M（x1，y1）和点N（x，y）关于点P（a，
b）对称，则由中点坐标公式得 进而求解；
（2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出
它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；②求出
一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
考向2　轴对称问题
（1）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反
射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为
；
6x－
y－6＝0
解析： 设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'
（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以 解
得 又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为 ＝
，即6x－y－6＝0.
（2）直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是
.
解析： 设所求直线上任意一点P（x，y），点P关于x－y＋2＝0的
对称点为P'（x0，y0），由 得 因为
点P'（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，所以2（y－2）－（x＋2）＋3＝
0，即x－2y＋3＝0.
x－
2y＋3＝0
解题技法
轴对称问题的类型及解题策略
（1）点关于直线对称：若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：
Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组 可
得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中B≠0，
x1≠x2）；
（2）直线关于直线对称：设直线l1关于直线l的对称直线为l2.①当l1与l相
交时，则交点必在l2上，再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2，那么
由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程；②当l1∥l时，借助两直线平
行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式
列出方程，求得直线l2的方程中的常数项，从而得l2的方程.
1. 坐标原点（0，0）关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 设对称点的坐标为（x0，y0），则 解得
即所求点的坐标是 .
√
2. 光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y
＝ax＋2射出，则有（　　）
A. a＝ ，b＝6 B. a＝－3，b＝
C. a＝3，b＝－ D. a＝－ ，b＝－6
解析： 　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对
称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，
0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－
6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点
（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－ .
√
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知直线l1经过点A（2，a－1），B（a，4），且与直线l2：2x＋y－
3＝0平行，则a＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －1 D. 1
解析： 　直线l1的斜率k1＝ ＝ ，直线l2的斜率k2＝－2，所以
＝－2，解得a＝－1，经检验，符合题意.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
2. 若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为（1，b），
则a＋b＋c＝（　　）
A. －6 B. 4
C. －10 D. －4
解析： 　因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝
0，解得a＝10，因为垂足为（1，b），故 解得
故a＋b＋c＝－4.
√
3. 四边形ABCD的四个顶点是A（3，0），B（0，4），C（4，7），D
（11，6），则四边形ABCD为（　　）
A. 矩形
B. 菱形
C. 等腰梯形
D. 直角梯形
√
解析： 　由kBC＝ ＝ ，kAD＝ ＝ ，kAB＝ ＝－ ，kCD＝
＝－ ，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边
形ABCD为梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直
角梯形.
4. 已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b
的值分别为（　　）
A. 2，－ B. －2，－
C. －2， D. 2，
解析： 　易知kAB＝ ，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－
2，即a＝2.易知AB的中点坐标为（2， ），代入2x＋y＋b＝0，得b＝
－ .故选A.
√
5. 〔多选〕点P（x，y）到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的
距离相等，则点P的轨迹方程可能是（　　）
A. 32x－56y＋65＝0 B. 4x－8y＋9＝0
C. 7x＋4y＝0 D. x－4y＋4＝0
解析： 　由点到直线距离公式得 ＝ ，整理得
32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.
√
√
6. 〔多选〕已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列
说法正确的是（　　）
A. 当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B. 若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C. 直线l过定点（0，1）
D. 当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
√
√
解析： 　对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与
x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋
a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，
当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝
0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，
1，不正确.
7. 求过直线l1：5x＋2y－3＝0和l2：3x－5y－8＝0的交点P，且与直线x
＋4y－7＝0垂直的直线l的方程为 .
解析：法一（常规解法） 由 得l1与l2的交点坐标为
（1，－1）.∵直线x＋4y－7＝0的斜率为－ ，∴直线l的斜率为4.因此
满足条件的直线l的方程为y＋1＝4（x－1），即4x－y－5＝0.
4x－y－5＝0
法二（利用垂直直线系方程） ∵直线l垂直于直线x＋4y－7＝0，∴可设
直线l的方程为4x－y＋c＝0.∵l1与l2的交点为P（1，－1），∴4×1－
（－1）＋c＝0，从而c＝－5.∴直线l的方程为4x－y－5＝0.
法三（利用过两直线交点的直线系方程） 由于直线l过l1与l2的交点，∴可
设直线l的方程为5x＋2y－3＋λ（3x－5y－8）＝0，即（5＋3λ）x＋
（2－5λ）y－3－8λ＝0.∵l与直线x＋4y－7＝0垂直，∴k＝－ ＝
4，从而λ＝ .∴直线l的方程为4x－y－5＝0.
8. 已知集合A＝{（x，y）｜ ＝a＋1}，集合B＝{（x，y）｜（a2－
1）x＋（a－1）y－15＝0}，若A∩B＝ ，则a的取值是
.
解析：集合A表示直线l1：（a＋1）x－y－2a＋1＝0（x≠2），集合B
表示直线l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0.①当B＝ 时，a＝1；②
若l1∥l2，a＝－1；③若（2，3）在l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0
上，则a＝－4或 .
－1或1或－4
或
9. 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的三角形
土地，其中tan α＝－2，在该块土地中的点P处有一
小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别
为3 km， km，现要过点P修建一条公路BC，将
三条公路围成的区域ABC建成一个工业园区.
（1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点
P的坐标；
解： 因为tan α＝－2，所以直线AN的方程是y＝－2x.
设点P（x0，y0），且点P到直线AM的距离为3，故y0＝3.
由点P到直线AN的距离为 ，可得 ＝ ，解得x0＝1或x0＝－4（舍去），
所以点P（1，3）.
（2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15
km2，求公路BC所在直线的方程.
解： 显然，直线BC的斜率存在.设直线BC的方
程为y－3＝k（x－1），k∈（－2，0）.
令y＝0得xB＝1－ .
由 解得yC＝ ，
故S△ABC＝ xByC＝－1＋ ＝15，解得k＝－ .
故公路BC所在直线的方程为3x＋4y－15＝0.
10. 若一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则
反射光线所在直线的方程为（　　）
A. x－2y＋7＝0 B. x＋2y＋7＝0
C. 2x－y＋7＝0 D. 2x＋y－6＝0
√
解析： 　由 解得 则反射光线过点（1，4）.
再取入射光线上点（0，2），其关于直线x＋y－5＝0的对称点为（3，
5），所以反射光线所在直线的斜率k＝ .所以反射光线所在的直线方程
为y－5＝ （x－3），即x－2y＋7＝0.
11. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－
2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1
＝0和3x＋4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝（　　）
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
√
解析： 　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对
边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为 ＝
，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为 ＝
，于是有 ＝ ｜c1－c2｜＝2 .
12. 〔多选〕已知在以C（2，3）为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，
顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是（　　）
A. 斜边AB的中点坐标是（3，2）
B. ｜AB｜＝2
C. △ABC的面积等于4
D. 点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1）
√
√
√
解析： 　如图，取AB的中点为P（x，y），因为
△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以
CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝ ＝
－1，且x－y＝1，解得 则AB的中点P的坐标
为（3，2），故A正确；｜CP｜＝
＝ ，｜AB｜＝2｜CP｜＝2 ，故B正确；所以S△ABC＝ ｜AB｜·｜CP｜＝ ×2 × ＝2，故C错误；设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝ ＝3，
所以 ＝4，所以 ＝－1，解得 ＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1），故D正确.
13. 已知A（1，6 ），B（0，5 ），作直线l，使得点A，B到直线l
的距离为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是
.
解析：对任意d，存在两条直线l1，l2，使得l1∥l2∥AB，且满足直线l1，
l2到直线AB的距离为d.当d＜ ＝1时，则还存在过AB中点的两条直
线，使得点A，B到直线l的距离为d，所以0＜d＜1.
（0，
1）
14. 已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）.
（1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小；
解：如图1，设点C关于l的对称点为C'（a，b），
则
解得
所以C'（－1，1），所以直线AC'的方程为y＝1.
由 得直线AC'与直线l的交点为P（ ，1），此时｜
AP｜＋｜CP｜取最小值.
（2）试在l上求一点Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大.
解： 如图2，设点B关于l的对称点为B'（m，n），
则 解得
所以B'（3，3），所以直线AB'的方程为2x＋y－9＝0，
由 得直线AB'与直线l的交点为Q（2，5），此时｜｜
AQ｜－｜BQ｜｜取最大值.
15. （新定义）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的
两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）
＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，
y1），B（x2，y2）.
（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明：ρ（A，C）＋ρ
（C，B）≥ρ（A，B）；
解： 证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）＋ρ（C，B）＝｜x
－x1｜＋｜x2－x｜＋｜y－y1｜＋｜y2－y｜≥｜（x－x1）＋（x2－
x）｜＋｜（y－y1）＋（y2－y）｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜＝ρ
（A，B）.
当且仅当（x－x1）（x2－x）≥0，（y－y1）（y2－y）≥0时等号成
立，即A，B，C三点共线时等号成立.
（2）若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存
在点C（x，y），同时满足：①ρ（A，C）＋ρ（C，B）＝ρ（A，
B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）？若存在，请求出所有符合条件的
点；若不存在，请说明理由.
解： ∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）是在同一条平行于坐标轴的
直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
（ⅰ）若x1＝x2，则y1≠y2，由条件①，得｜x－x1｜＋｜y－y1｜＋｜x2－
x｜＋｜y2－y｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜，
∴2｜x－x1｜＋｜y2－y1｜＝｜y2－y1｜，∴｜x－x1｜＝0，∴x＝x1.
由条件②，得｜x－x1｜＋｜y－y1｜＝｜x2－x｜＋｜y2－y｜，
∴｜y－y1｜＝｜y－y2｜，∴y＝ .
因此，所求的点C（x1， ）.
（ⅱ）若y1＝y2，则x1≠x2，类似于（ⅰ），可得符合条件的点C（ ，y1）.
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