资源简介

第七节　抛物线
1.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上一点，若｜PF｜＝5，则点P到y轴的距离为（　　）
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
2.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程为（　　）
A.y2＝x
B.x2＝y
C.y2＝－x或x2＝y
D.y2＝x或x2＝－y
3.已知面积为的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　）
A. B.
C. D.2
4.已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）
A.y2＝4x B.y2＝－4x
C.y2＝8x D.y2＝－8x
5.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（　　）
A.2 m B.4 m
C.4 m D.12 m
6.〔多选〕（2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则（　　）
A.p＝4
B.｜MF｜≥｜OF｜
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
7.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为　　　　.
8.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C：－＝1的一条渐近线上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为　　　　.
9.过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在点M（－2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方程.
10.内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A.（2，＋∞） B.（1，＋∞）
C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）
11.（2024·武昌5月质量检测）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为M，N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（　　）
A.32 B.16
C.8 D.8
12.〔多选〕已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点对称的点，点M在抛物线C上，则下列说法中正确的是（　　）
A.使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
B.使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
C.使得∠MKF＝的点M有且仅有4个
D.使得∠MKF＝的点M有且仅有4个
13.已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为（6，3），则△PAF周长的最小值为　　　　.
14.如图，已知圆M：x2＋（y－）2＝4与抛物线E：x2＝my（m＞0）相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB∥CD.
（1）若·＝，求实数m的值；
（2）设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成的蝶形（阴影部分）的面积为S，求点G的坐标及S的最大值.
15.（创新知识交汇）〔多选〕双曲抛物线又称马鞍面，因其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为－＝2z（a＞0，b＞0），则下列说法正确的是（　　）
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为（1，0，0）的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为（1，1，0）的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
16.（创新考法）（2024·浙江9＋1联盟3月联考）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线， 另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF2F1＝45°，tan∠NF1F2＝，△NF1F2的面积为10，｜O1F2｜＝8，则抛物线方程为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第七节　抛物线
1.A　根据题意，点F的坐标为（1，0），故｜PF｜＝xP＋1＝5，即xP＝4，即点P到y轴的距离为4.故选A.
2.C　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3），解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
3.A　因为等边△OAB的面积为，所以｜OA｜＝2，不妨设点A是第一象限的点，则结合抛物线的对称性可知A（，1），所以1＝2p，解得p＝.故选A.
4.C　设P点坐标为（x，y），C（2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，｜PC｜＝1＋r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离d＝x＋1＝r，所以｜PC｜－d＝1，即－（x＋1）＝1，化简得y2＝8x.故选C.
5.B　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意知，抛物线经过点A（－4，－2）和点B（4，－2），代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d＝2x1＝4（m）.
6.ABC　因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）在y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋≥＝｜OF｜，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为｜MF｜＝x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当∠OFM＝120°时，x0＞2，＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－（舍），所以△OFM的面积为S△OFM＝｜OF｜×｜y0｜＝4，D选项错误.故选A、B、C.
7.（－，1）
解析：如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为（－1，0）.依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P到点F与点P到点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为（－，1）.
8.　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），双曲线C：－＝1的渐近线方程为x±y＝0，不妨设P在渐近线x－y＝0上，可设P（m，m），m＞0，由｜OF｜＝｜PF｜可得 ＝1，解得m＝，则△PFO的面积为｜OF｜·｜yP｜＝×1×＝.
9.解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－，焦点为F（0，）.
∵当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）∵点M（－2，y0）在抛物线C上，
∴y0＝＝1.又F（0，1），
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝（x1＋2，y1－1），＝（x2＋2，y2－1）.
∵MA⊥MB，∴·＝0，
∴（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，
∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10.A　设圆心为P（0，a），a＞0，半径为r，Q（x，y）是抛物线上任一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2＋4a－4.若｜PQ｜2的最小值不在点O（0，0）处取得，则圆P不过原点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝＝2＞2.故选A.
11.C　设直线AB：x＝my＋，代入抛物线方程，消元可得y2－2pmy－p2＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，S△AFM＝｜AM｜·｜y1｜＝（＋）·｜y1｜＝8，S△BFN＝｜BN｜·｜y2｜＝（＋）·｜y2｜＝4，∴S△AFM·S△BFN＝［＋＋（＋）］·｜y1y2｜＝［＋＋（4p2·m2＋2p2）］·p2＝（m2＋1），于是S△AFM·S△BFN＝（m2＋1）＝8×4＝32，即m2＋1＝，∴S△MFN＝｜y1－y2｜＝＝p2＝p2＝8.故选C.
12.ABD　如图，△MFK为等腰三角形，若｜KF｜＝｜MF｜，则点M有2个；若｜MK｜＝｜MF｜，则点M不存在；若｜MK｜＝｜FK｜，则点M有2个.则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个，故选项A正确.在△MFK中，使∠MFK为直角的点M有2个，使∠MKF为直角的点M不存在，使∠FMK为直角的点M有2个.则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个，故选项B正确.若使∠MKF＝的点M在第一象限，可得直线MK：y＝x＋，代入抛物线的方程可得x2－px＋＝0，解得x＝，由对称性可得点M在第四象限只有1个，则满足∠MKF＝的点M有且仅有2个，故选项C错误.若使∠MKF＝的点M在第一象限，可得直线MK：y＝（x＋），代入抛物线的方程可得x2－5px＋＝0，Δ＝25p2－p2＝24p2＞0，则点M有2个；若点M在第四象限，则由对称性可得也有2个.则使得∠MKF＝的点M有且仅有4个，故选项D正确.故选A、B、D.
13.13　解析：由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F（2，0），抛物线的准线方程为x＝－2，△PAF的周长为｜PA｜＋｜PF｜＋｜AF｜，｜AF｜＝＝5.
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，由抛物线的定义可知，｜PF｜＝｜PD｜，∴要使得｜PA｜＋｜PF｜最小，即使得｜PA｜＋｜PD｜最小，则当D，P，A三点共线时，｜PA｜＋｜PD｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PF｜）min＝6＋2＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
14.解：（1）根据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设｜AB｜＜｜CD｜，A，D在第一象限，A（x1，y1），D（x2，y2），则B（－x1，y1），C（－x2，y2），y1＜y2，联立
消去x得y2＋（m－5）y＋＝0，
关于y的一元二次方程有两个互异正根，
所以
解得m＜2，而m＞0，即0＜m＜2.
由·＝得x1x2＋y1y2＝，
即·＋y1y2＝m＋y1y2＝.
由y1y2＝得m＝1.
（2）依据对称性知，点G在y轴上，可设G（0，a），
由kAG＝kAC得＝.
所以＝＝，
则y1－a＝（－），
则a＝＝，即G（0，）.
S＝2（S△ABD－S△ABG）
＝2［·2x1（y2－y1）－·2x1（－y1）］　
＝2x1（y2－）
＝2（y2－）
＝2（－）
＝2（－）
＝3·
＝3·
＝3
＝3≤3，
当且仅当m＝1时取等号，
所以当m＝1时，S取得最大值3.
15.AB　对于A，平行于xOy平面的面中z为常数， 不妨设为z0（z0≠0），得－＝2z0，故所得轨迹是双曲线，故A正确；对于B，法向量为（1，0，0）的平面中x为常数，不妨设为x0，则y2＝－2b2z＋，为抛物线，故B正确；对于C，垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为y0，则x2＝2a2z＋，为抛物线，故C错误；对于D，不妨设平面上的点坐标为A（x，y，z），因为平面过原点且法向量为n＝（1，1，0），由·n＝0，得x＋y＝0，故y＝－x，代入马鞍面标准方程，得（－）x2＝2z，当a＝b时，不是抛物线，故D错误.故选A、B.
16.y2＝32（x＋3）　解析：设F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）.由tan∠NF1F2＝，∠NF2F1＝45°，有解得x0＝c，y0＝c，由＝｜F1F2｜y0＝c2＝10，解得c＝5，则由｜O1F2｜＝8，得O1（－3，0），故抛物线方程为y2＝32（x＋3）.
3 / 3第七节　抛物线
课标要求
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；
（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离　　　　；
（3）定点　　　　定直线上.
提醒 定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
图形
顶点 O（0，0）
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝ 　　 x＝ 　　　 y＝ 　　 y＝ 　　　
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 （其中 P（x0，y0）） ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　
与抛物线焦点弦有关的结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2）.则有
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝；
（2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝；
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p；
（4）焦半径：｜AF｜＝，｜BF｜＝，＋＝；
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　　）
（2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.（　　）
（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（　　）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（　　）
2.（人A选一 P132例1改编）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A.（0，2） B.（0，1） C.（2，0） D.（1，0）
3.抛物线x2＝y的准线方程为（　　）
A.y＝－ B.x＝－ C.y＝ D.x＝
4.（人A选一 P136练习1题改编）抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，准线过点E（－5，5），则该抛物线方程为　　　　.
5.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　　　　.
抛物线的定义及应用
（师生共研过关）
（1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（　　）
A.x2＝8y B.x2＝16y
C.y2＝8x D.y2＝16x
（2）已知点M（20，40）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，｜PM｜＋｜PF｜的最小值为41，则p＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定到定点与到定直线距离相等的动点轨迹是抛物线；
（2）距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.关于两线段和的最值问题可利用“两点之间的所有连线中，线段最短”，“三角形的两边之和大于第三边”及“直线外一点与直线上任一点连线垂线段最短”.
提醒 一定要验证定点是否在定直线上.
1.已知抛物线y＝mx2（m＞0）上的点（x0，2）到该抛物线焦点F的距离为，则m＝（　　）
A.4 B.3
C. D.
2.已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（　　）
A.　　　B.　　　C.2　　　D.
抛物线的标准方程
（师生共研过关）
（1）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为（　　）
A.y2＝x B.y2＝9x
C.y2＝x D.y2＝3x
（2）若顶点在原点的抛物线经过点（－2，1），（1，2），（4，4）中的2个，则该抛物线的标准方程为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求抛物线标准方程的方法
（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可；
（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论.
1.在平面直角坐标系Oxy中，动点P（x，y）到直线x＝1的距离比它到定点（－2，0）的距离小1，则P的轨迹方程为（　　）
A.y2＝2x　　　　　　 B.y2＝4x
C.y2＝－4x D.y2＝－8x
2.已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜CD｜＝3，则抛物线方程为　　　　.
抛物线的几何性质
（师生共研过关）
（1）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则｜PF｜＝（　　）
A.3　　　 B.6　　　 C.9　　　 D.12
（2）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性.
1.将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线的焦点的正三角形的个数记为n，则（　　）
A.n＝0 B.n＝1
C.n＝2 D.n≥3
2.已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t（t＞1），｜AB｜＝，则t＝　　　　.
第七节　抛物线
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（2）相等　（3）不在
2.－　　－　　x0＋
－x0＋　y0＋　－y0＋
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.A　4.x2＝－20y　5.2
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）A　（2）42或22　解析：（1）因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），所以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.
（2）当点M（20，40）位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则｜PF｜＝｜PD｜，｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋｜PD｜.当点M，P，D三点共线时，｜PM｜＋｜PF｜的值最小.由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；当点M（20，40）位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，｜PM｜＋｜PF｜的值最小.由最小值为41，得＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M（20，40）在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
跟踪训练
1.D　由题意知，抛物线y＝mx2（m＞0）的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点（x0，2）到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝.
2.B　直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.∵F（－1，0），∴（d1＋d2）min＝＝.
考点2
【例2】 （1）D　（2）x2＝4y或y2＝4x
解析：（1）如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
（2）当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点（－2，1）在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点（4，4）在抛物线上，点（1，2）不在抛物线上，满足题意；若点（1，2）在抛物线上，则m＝，此时x2＝y，点（－2，1），（4，4）均不在抛物线上，不满足题意.当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点（1，2），（4，4）在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
跟踪训练
1.D　由题意知动点P（x，y）到直线x＝2的距离与到定点（－2，0）的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以（－2，0）为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
2.y2＝2x
解析：由题意可知通径MN＝2p，所以圆的半径是p，在Rt△COF中，（）2＋（）2＝p2，p＞0，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝2x.
考点3
【例3】 （1）B　（2）2　解析：（1）抛物线y2＝6x的焦点F（，0），准线l：x＝－.设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则Q（－，y0），因为QF的倾斜角为120°，所以kQF＝＝＝－，即y0＝3，所以x0＝＝＝，所以｜PF｜＝x0＋＝＋＝6.
（2）直线AB的方程为y＝x－，与抛物线方程联立消去y得x2－3px＋p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义，得｜AB｜＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
跟踪训练
1.C　根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交点.如图所示，所以正三角形的个数n＝2.
2.3　解析：由题意得焦点F（1，0），设直线l为x＝λy＋1（λ≠0），代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝－4①，由＝t，即（1－x1，－y1）＝t（x2－1，y2），有y1＝－ty2②，∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝（舍）.
4 / 4(共65张PPT)
第七节　抛物线
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中
的应用.
2. 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 了解抛物线的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；
（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离 ；
（3）定点 定直线上.
提醒 定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上
时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.
相等　
不在　
2. 抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
顶点 O（0，0）
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝ x＝ y＝ y＝
－ 　
　
－ 　
　
标准 方程 y2＝2px（p
＞0） y2＝－2px（p
＞0） x2＝2py（p＞
0） x2＝－2py（p
＞0）
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向 向右 向左 向上 向下
焦半径
（其中 P（x0，
y0）） ｜PF｜
＝ ｜PF｜＝
｜PF｜＝
｜PF｜＝

x0＋ 　
－
x0＋ 　
y0
＋ 　
－
y0＋ 　
与抛物线焦点弦有关的结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，
F为抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2）.则有
（2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ；
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p；
（4）焦半径：｜AF｜＝ ，｜BF｜＝ ， ＋ ＝ ；
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
（　×　）
（2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.
（　×　）
（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形. （　×　）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切. （　×　）
×
×
×
×
2. （人A选一 P132例1改编）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A. （0，2） B. （0，1）
C. （2，0） D. （1，0）
解析： 　因为2p＝4，p＝2，所以 ＝1，所以焦点坐标为（1，0）.
√
3. 抛物线x2＝ y的准线方程为（　　）
A. y＝－ B. x＝－
C. y＝ D. x＝
解析： 　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦
点坐标为（0， ），准线方程为y＝－ .
√
4. （人A选一 P136练习1题改编）抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原
点，准线过点E（－5，5），则该抛物线方程为 .
解析：由题意得，设抛物线为x2＝－2py（p＞0），准线方程为y＝5，即
＝5，p＝10，所以该抛物线方程为x2＝－20y.
5. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4 x的焦点，P为C上一点，若｜
PF｜＝4 ，则△POF的面积为 　2 　.
解析：由｜PF｜＝xP＋ ＝4 ，可得xP＝3 ，∴yP＝
±2 .∴S△POF＝ ｜OF｜·｜yP｜＝2 .
x2＝－20y
2
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
抛物线的定义及应用（师生共研过关）
（1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），
过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P
的轨迹方程为（　A　）
A. x2＝8y B. x2＝16y
C. y2＝8x D. y2＝16x
A
解析： 因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上
方），所以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所
以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以
动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以P的
轨迹方程为x2＝8y.
（2）已知点M（20，40）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C
的焦点为F. 若对于抛物线上的一点P，｜PM｜＋｜PF｜的最小值为
41，则p＝ .
42或22　
解析： 当点M（20，40）位于抛物线
内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂
线，垂足为D，则｜PF｜＝｜PD｜，｜
PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋｜PD｜.当
点M，P，D三点共线时，｜PM｜＋｜
PF｜的值最小.由最小值为41，得20＋ ＝41，解得p＝42；当点M（20，40）位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，｜PM｜＋｜PF｜的值最小.由最小值为41，得 ＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M（20，40）在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
解题技法
利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定到定点与到定直线距离相等的
动点轨迹是抛物线；
（2）距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间
的等价转化.关于两线段和的最值问题可利用“两点之间的所有连线中，
线段最短”，“三角形的两边之和大于第三边”及“直线外一点与直线上
任一点连线垂线段最短”.
提醒 一定要验证定点是否在定直线上.
1. 已知抛物线y＝mx2（m＞0）上的点（x0，2）到该抛物线焦点F的距离
为 ，则m＝（　　）
A. 4 B. 3 C. D.
解析： 　由题意知，抛物线y＝mx2（m＞0）的准线方程为y＝－ ，
根据抛物线的定义，可得点（x0，2）到焦点F的距离等于到准线y＝－
的距离，可得2＋ ＝ ，解得m＝ .
√
2. 已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，
到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（　　）
A. B. C. 2 D.
解析： 　直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准
线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当
点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最
小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.∵F（－1，
0），∴（d1＋d2）min＝ ＝ .
√
抛物线的标准方程（师生共研过关）
（1）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为（　D　）
D
A. y2＝ x B. y2＝9x
C. y2＝ x D. y2＝3x
解析： 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线
于点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，由抛物线
的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE
中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜
AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，
∴ ＝ ，∴p＝ ，因此抛物线的方程为y2＝3x.
（2）若顶点在原点的抛物线经过点（－2，1），（1，2），（4，4）中
的2个，则该抛物线的标准方程为 .
解析： 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝
my，若点（－2，1）在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点（4，4）在
抛物线上，点（1，2）不在抛物线上，满足题意；若点（1，2）在抛物线
上，则m＝ ，此时x2＝ y，点（－2，1），（4，4）均不在抛物线上，
不满足题意.当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，
同理可求得当点（1，2），（4，4）在抛物线上时满足题意，此时y2＝
4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
x2＝4y或y2＝4x
解题技法
求抛物线标准方程的方法
（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求
出p即可；
（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物
线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准
方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要
的讨论.
1. 在平面直角坐标系Oxy中，动点P（x，y）到直线x＝1的距离比它到
定点（－2，0）的距离小1，则P的轨迹方程为（　　）
A. y2＝2x B. y2＝4x
C. y2＝－4x D. y2＝－8x
解析： 　由题意知动点P（x，y）到直线x＝2的距离与到定点（－2，
0）的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以（－2，0）为焦点，x
＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
√
2. 已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直
线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜
CD｜＝3，则抛物线方程为 .
解析：由题意可知通径MN＝2p，所以圆的半径是p，在Rt△COF中，（ ）2＋（ ）2＝p2，p＞0，解得p＝ ，所以抛物线方程为y2＝2 x.
y2＝2 x
抛物线的几何性质（师生共研过关）
（1）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一
象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为
120°，则｜PF｜＝（　B　）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
B
解析： 抛物线y2＝6x的焦点F（ ，0），准线l：x＝－ .设P
（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则Q（－ ，y0），因为QF的倾斜角为
120°，所以kQF＝ ＝ ＝－ ，即y0＝3 ，所以x0＝ ＝ ＝
，所以｜PF｜＝x0＋ ＝ ＋ ＝6.
（2）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线
于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝ .
解析： 直线AB的方程为y＝x－ ，与抛物线方程联立消去y得x2－
3px＋ p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义，得｜
AB｜＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
2
解题技法
　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观
地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思
想解题的直观性.
1. 将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线的焦
点的正三角形的个数记为n，则（　　）
A. n＝0 B. n＝1 C. n＝2 D. n≥3
解析： 　根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点
一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别
为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交
点.如图所示，所以正三角形的个数n＝2.
√
2. 已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于
A，B两点，且 ＝t （t＞1），｜AB｜＝ ，则t＝ .
解析：由题意得焦点F（1，0），设直线l为x＝λy＋1（λ≠0），代入
抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系
数的关系得y1y2＝－4①，由 ＝t ，即（1－x1，－y1）＝t（x2－1，
y2），有y1＝－ty2②，∴由①②得y2＝ ，y1＝－2 或y2＝－ ，y1＝
2 ，即x1＝t，x2＝ ，∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ＋t＋2＝ ，化简得
3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝ （舍）.
3
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上一点，若｜PF｜＝5，则点
P到y轴的距离为（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 　根据题意，点F的坐标为（1，0），故｜PF｜＝xP＋1＝5，即
xP＝4，即点P到y轴的距离为4.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. 顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程为（　　）
A. y2＝ x
B. x2＝ y
C. y2＝－ x或x2＝ y
D. y2＝ x或x2＝－ y
解析： 　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，
3），解得k＝－ ，m＝ ，所以y2＝－ x或x2＝ y.
√
3. 已知面积为 的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线
y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　）
A. B.
C. D. 2
解析： 　因为等边△OAB的面积为 ，所以｜OA｜＝2，不妨设点A是
第一象限的点，则结合抛物线的对称性可知A（ ，1），所以1＝2
p，解得p＝ .故选A.
√
4. 已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－
1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）
A. y2＝4x B. y2＝－4x
C. y2＝8x D. y2＝－8x
解析： 　设P点坐标为（x，y），C（2，0），动圆的半径为r，则根
据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，｜PC｜＝1＋r，P在直线的
右侧，故P到定直线的距离d＝x＋1＝r，所以｜PC｜－d＝1，即
－（x＋1）＝1，化简得y2＝8x.故选C.
√
5. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的
创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线
型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降
1 m，则水面宽度为（　　）
A. 2 m B. 4 m
C. 4 m D. 12 m
√
解析： 　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线
方程为x2＝－2py（p＞0），由题意知，抛物线经过点A（－4，－2）和
点B（4，－2），代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－
8y，水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2 ，x2＝－2 ，所以此时水
面宽度d＝2x1＝4 （m）.
6. 〔多选〕（2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦
点，M是C上的点，O为坐标原点.则（　　）
A. p＝4
B. ｜MF｜≥｜OF｜
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
√
√
√
解析： 　因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，
所以 ＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）在
y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋ ≥ ＝
｜OF｜，B选项正确；因为以M为圆心且过F的
圆半径为｜MF｜＝x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且
过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当
∠OFM＝120°时，x0＞2， ＝tan 60°＝ ，且 ＝8x0，y0＞0，
所以 －8y0－16 ＝0，解得y0＝4 或y0＝－ （舍），所以
△OFM的面积为S△OFM＝ ｜OF｜×｜y0｜＝4 ，D选项错误.故选
A、B、C.
7. 若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A（－
2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为 .
解析：如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为（－
1，0）.依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线
时，点P到点F与点P到点A的距离之和最小，故点P的
纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－ ，则点
P的坐标为（－ ，1）.
（－ ，1）
8. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C： － ＝1的一条渐近线
上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为 .
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），双曲线C： － ＝1的渐近
线方程为x± y＝0，不妨设P在渐近线x－ y＝0上，可设P（
m，m），m＞0，由｜OF｜＝｜PF｜可得 ＝1，
解得m＝ ，则△PFO的面积为 ｜OF｜·｜yP｜＝ ×1× ＝ .
　
9. 过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B
两点，当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2.
（1）求抛物线C的方程；
解： 抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－ ，焦点为F
（0， ）.
∵当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2，
∴1＋ ＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）若抛物线C上存在点M（－2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方
程.
解： ∵点M（－2，y0）在抛物线C上，
∴y0＝ ＝1.又F（0，1），
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由 得x2－4kx－4＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝（x1＋2，y1－1），
＝（x2＋2，y2－1）.
∵MA⊥MB，∴ · ＝0，
∴（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，
∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10. 内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图
所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝
4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点
O，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. [2，＋∞） D. [1，＋∞）
√
解析： 　设圆心为P（0，a），a＞0，半径为r，Q（x，y）是抛物线
上任一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2
＋4a－4.若｜PQ｜2的最小值不在点O（0，0）处取得，则圆P不过原
点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝ ＝2 ＞2.
故选A.
11. （2024·武昌5月质量检测）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点
为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂
线，垂足分别为M，N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则
△MFN的面积为（　　）
A. 32 B. 16
C. 8 D. 8
√
解析： 　设直线AB：x＝my＋ ，代入抛物线方程，消元
可得y2－2pmy－p2＝0，设A（ ，y1），B（ ，y2），
则y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，S△AFM＝ ｜AM｜·｜y1｜
＝ （ ＋ ）·｜y1｜＝8，S△BFN＝ ｜BN｜·｜y2｜＝
（ ＋ ）·｜y2｜＝4，∴S△AFM·S△BFN＝ ［ ＋ ＋ （ ＋ ）］·｜y1y2｜＝ ［ ＋ ＋ （4p2·m2＋2p2）］·p2＝ （m2＋1），
于是S△AFM·S△BFN＝ （m2＋1）＝8×4＝32，即m2＋1＝ ，∴S△MFN＝ ｜y1－y2｜＝ ＝p2 ＝p2 ＝8 .故选C.
12. 〔多选〕已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点K为点F
关于原点对称的点，点M在抛物线C上，则下列说法中正确的是（　　）
A. 使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
B. 使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
C. 使得∠MKF＝ 的点M有且仅有4个
D. 使得∠MKF＝ 的点M有且仅有4个
√
√
√
解析： 　如图，△MFK为等腰三角形，若｜KF｜＝｜
MF｜，则点M有2个；若｜MK｜＝｜MF｜，则点M不存
在；若｜MK｜＝｜FK｜，则点M有2个.则使得△MFK为
等腰三角形的点M有且仅有4个，故选项A正确.在△MFK
中，使∠MFK为直角的点M有2个，使∠MKF为直角的点M不存在，使∠FMK为直角的点M有2个.则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个，故选项B正确.若使∠MKF＝ 的点M在第一象限，可得直线MK：y＝x＋ ，代入抛物线的方程可得x2－px＋ ＝0，解得x＝ ，由对称性可得点M在第四象限只有1个，则满足∠MKF＝ 的点M有且仅有2个，故选项C错误.
若使∠MKF＝ 的点M在第一象限，可得直线MK：y＝
（x＋ ），代入抛物线的方程可得x2－5px＋ ＝0，Δ＝
25p2－p2＝24p2＞0，则点M有2个；若点M在第四象限，则
由对称性可得也有2个.则使得∠MKF＝ 的点M有且仅有4
个，故选项D正确.故选A、B、D.
13. 已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为
（6，3），则△PAF周长的最小值为 .
解析：由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦
点F（2，0），抛物线的准线方程为x＝－2，△PAF的
周长为｜PA｜＋｜PF｜＋｜AF｜，｜AF｜＝
＝5.如图，过点P作准线的垂
线，交准线于点D，由抛物线的定义可知，｜PF｜＝｜PD｜，∴要使得｜PA｜＋｜PF｜最小，即使得｜PA｜＋｜PD｜最小，则当D，P，A三点共线时，｜PA｜＋｜PD｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PF｜）min＝6＋2＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
13
14. 如图，已知圆M：x2＋（y－ ）2＝4与抛物线E：x2＝my（m＞0）
相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB∥CD.
（1）若 · ＝ ，求实数m的值；
解： 根据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴
为对称轴的等腰梯形，不妨设｜AB｜＜｜CD｜，A，D在
第一象限，A（x1，y1），D（x2，y2），则B（－x1，
y1），C（－x2，y2），y1＜y2，联立
消去x得y2＋（m－5）y＋ ＝0，
关于y的一元二次方程有两个互异正根，
所以
解得m＜2，而m＞0，即0＜m＜2.
由 · ＝ 得x1x2＋y1y2＝ ，
即 · ＋y1y2＝m ＋y1y2＝ .
由y1y2＝ 得m＝1.
（2）设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成的蝶形（阴影部分）
的面积为S，求点G的坐标及S的最大值.
解： 依据对称性知，点G在y轴上，可设G（0，a），
由kAG＝kAC得 ＝ .
所以 ＝ ＝ ，
则y1－a＝ （ － ），
则a＝ ＝ ，即G（0， ）.
S＝2（S△ABD－S△ABG）
＝2［ ·2x1（y2－y1）－ ·2x1（ －y1）］
＝2x1（y2－ ）＝2 （y2－ ）
＝2 （ － ）
＝2 （ － ）
＝3 ·
＝3 ·
＝3
＝3 ≤3，
当且仅当m＝1时取等号，
所以当m＝1时，S取得最大值3.
15. （创新知识交汇）〔多选〕双曲抛物线又称马鞍面，因其形似马具中
的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直
角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内
开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，
其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为 － ＝2z（a＞0，b
＞0），则下列说法正确的是（　　）
A. 用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B. 用法向量为（1，0，0）的平面截马鞍面所得轨迹为抛
物线
C. 用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D. 用过原点且法向量为（1，1，0）的平面截马鞍面所得
轨迹为抛物线
√
√
解析： 　对于A，平行于xOy平面的面中z为常数， 不妨设为z0
（z0≠0），得 － ＝2z0，故所得轨迹是双曲线，故A正确；对于B，法
向量为（1，0，0）的平面中x为常数，不妨设为x0，则y2＝－2b2z＋
，为抛物线，故B正确；对于C，垂直于y轴的平面中y为常数，不妨
设为y0，则x2＝2a2z＋ ，为抛物线，故C错误；对于D，不妨设平面上
的点坐标为A（x，y，z），因为平面过原点且法向量为n＝（1，1，
0），由 ·n＝0，得x＋y＝0，故y＝－x，代入马鞍面标准方程，得
（ － ）x2＝2z，当a＝b时，不是抛物线，故D错误.故选A、B.
16. （创新考法）（2024·浙江9＋1联盟3月联考）应用抛
物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远
镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动
又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，
其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，
一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线， 另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF2F1＝45°，tan∠NF1F2＝ ，△NF1F2的面积为10，
｜O1F2｜＝8，则抛物线方程为 .
y2＝32（x＋3）
解析：设F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）.
由tan∠NF1F2＝ ，∠NF2F1＝45°，有 解得x0＝ c，y0＝
c，由 ＝ ｜F1F2｜y0＝ c2＝10，解得c＝5，则由｜O1F2｜＝
8，得O1（－3，0），故抛物线方程为y2＝32（x＋3）.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑