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14．2.2　分 层 抽 样
1. 了解分层抽样的特点和适用范围以及它的操作步骤．
2. 了解简单随机抽样、分层抽样的区别与联系．
活动一 了解分层抽样的特点
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．
分层抽样的步骤是：
(1) 将总体按一定标准分层；
(2) 计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3) 按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
(4) 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).
思考1
分层抽样有什么优点和缺点？在什么情况下用分层抽样？
例1　某校高一、高二和高三年级分别有学生1 000名、800名和700名，为了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为100的样本，用分层抽样的方法如何抽取？
根据分层抽样的特点，先按比例分层，再确定各层应抽取的样本容量．
某中学举行了全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000 名初中生、4 000 名高中生中作问卷调查．如果要在所有答卷中抽出120份用于评估，应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？并写出具体过程．
活动二　掌握分层抽样的应用　
例2　某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567 3 926 1 072
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
如果抽样的比例确定了，但各层抽取的样本容量不是整数，计算时应根据实际情况确定数目．
一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率．已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
活动三　掌握两种抽样的关系　
思考2
讨论并完成表格：
类别 特点 相互联系 适用范围 共同点
简单随机抽样
分层抽样
例3　下列问题中，采取怎样的抽样方法较为合理？
(1) 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2) 某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取一个容量为40的样本．
某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了解职工对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施的操作．
1. (教材改编)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查，这种抽样方法是(　　)
A. 简单随机抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D. 分层抽样法
2. (教材改编)随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2 400名老年人、2 400名中年人、2 100名青年人，用分层抽样的方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是(　　)
A. 110 B. 115 C. 120 D. 125
3. (多选)(2023长沙雅礼中学月考)某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B. 抽样比为
C. 三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
4. (2024娄底月考)某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的________．
5. 一个单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，从业务员，管理人员，后勤服务人员中应各抽取多少人？
14．2.2　分 层 抽 样
【活动方案】
思考1：优点：充分保证样本结构与总体的一致，提高样本的代表性；
缺点：整体差异不明显时不适用，在使用时需要与其他抽样方法综合使用．
当总体由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样．
例1　抽取高一学生40名，高二学生32名，高三学生28名．
跟踪训练　因为这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比为＝，
所以教职员工：500×＝8(份)，
初中生：3 000×＝48(份)，
高中生：4 000×＝64(份)，
所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的答卷份数分别是8，48，64.
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生的答卷中抽取的个体数分别是8，48，64；
③各层分别按简单随机抽样方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
例2　可用分层抽样，其总体容量为12 000.
“很喜爱”占，应取60×≈12(人)；
“喜爱”占，应取60×≈23(人)；
“一般”占，应取60×≈20(人)；
“不喜爱”占，应取60×≈5(人).
因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．
跟踪训练　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：
①将3万人分成5层，一个乡镇为一层．
②按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：
300×＝60(人)；
300×＝40(人)；
300×＝100(人)；
300×＝40(人)；
300×＝60(人).
各乡镇采用分层抽样的方法抽取的人数分别为60，40，100，40，60.
③将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．
思考2：
类别 特点 相互联系 适用范围 共同点
简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 采用分层抽样时，各层抽样时用简单随机抽样 总体中的个体数较少 抽样过 程中每 个个体 被抽到 的可能 性相同
分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 总体由差异明显的几部分组成
例3　(1) 简单随机抽样．用抽签法或随机数表法．
(2) 用分层抽样．总体容量为500，故样本中抽取O型血的人数为×200＝16，A型血的人数为×125＝10，B型血的人数为×125＝10，AB型血的人数为×50＝4.
跟踪训练　因为机构改革关系到各层人的不同利益，所以采用分层抽样的方法．
因为20×＝2，20×＝14，20×＝4，
所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人人数都较少，把他们分别按1～10编号与1～20编号，然后制作号签，采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
【检测反馈】
1. D　总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．
2. C　设在老年人中发放的调查问卷份数为x，则＝，解得x＝120，所以在老年人中发放的调查问卷份数是120.
3. BCD　对于A，因为每一种型号的轿车数量较多，所以不适合用抽签法，故A错误；对于B，在按比例分配的分层抽样中，抽样比为＝，故B正确；对于C，在按比例分配的分层抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；对于D，在按比例分配的分层抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确．故选BCD.
4. 　由题意可得这个班男生人数是班级总人数的＝.
5. 总体容量为160，故样本中业务员人数为20×＝15，管理人员人数为20×＝2，后勤服务人员人数为20×＝3.

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