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15．3　互斥事件和独立事件
15.3.1　互斥事件和独立事件(1)
1. 了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是不是互斥事件，进而判断它们是不是对立事件．
2. 了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单的概率计算．
活动一 互斥事件与对立事件的概念
1个盒内放有10个大小相同的小球，其中 5个红球，3个绿球，2个黄球，若“从中任取 1个球，得到红球”记为事件A，“得到绿球”记为事件B，“得到黄球”记为事件C，则事件A，B，C之间存在什么关系？
问题1：若从盒中摸出1个球是红球，则事件A是否发生？
问题2：若从盒中摸出1个球是绿球，则事件B发生，此时事件A是否发生？
问题3：事件A和事件B具有怎样的关系？
问题4：事件B与事件C有怎样的关系？事件A与事件C呢？
1. 互斥事件的定义：
2. 事件A1，A2，…，An彼此互斥的含义：
3. 互斥事件A＋B的含义：
问题5：请同学们联想集合的知识，思考能否用集合的知识来解释互斥事件的概念？
问题6：从集合角度看，若下图中的全集中仅有两个集合，两集合是什么关系？其对应的事件，又有什么特殊关系呢？
问题7：在背景引入问题中，从盒中摸出1个球，若把“得到红球”记为事件A，“得到的不是红球”记为事件D，事件A与D是互斥事件吗？两者之间还有什么联系？
4. 对立事件的定义：
问题8：互斥事件和对立事件有什么联系与区别？
问题9：在背景引入问题中，若把“从中摸出1个球，得到红球或绿球”记为事件A＋B，则怎样求该事件的概率？它与事件A与B的概率存在怎样的关系？
活动二　互斥事件与对立事件的判断与辨析　
例1　下列各组事件中，是互斥事件的有________．(填序号)
①一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6；
②统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分；
③播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒；
④检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%.
互斥事件是指一次试验中不可能同时发生的两个事件，对立事件是指必有一个发生的两个互斥事件．可见，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，这就是判断互斥事件与对立事件的方法．
判断下列给出的事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3) “抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
从装有5个红球，5个白球的袋中任取3个，有以下事件：
①“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”；
②“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
③“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”；
④“取出3个红球”与“取出3个白球”．
其中是对立事件的有________．(填序号)
活动三　互斥事件的加法公式的应用　
5. 互斥事件的加法公式(注意公式的使用条件)：　
思考
如何求当事件A，B不互斥时，事件A＋B发生的概率？
6. 两对立事件的概率关系式：
例2　某人射击1次，命中7～10环的概率如下表：
命中环数 10 9 8 7
概率 0.12 0.18 0.28 0.32
(1) 求射击1次，至少命中7环的概率；
(2) 求射击1次，命中不足7环的概率．
互斥事件概率的求解步骤：
(1) 先判断互斥事件是否为对立事件；
(2) 再根据互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率关系式求解．
一般情况下，黄种人群中各种血型的人所占的比如下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不可以互相输血．小明是 B型血，若小明因病要输血，问：
(1) 任找1个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2) 任找1个人，其血不可以输给小明的概率是多少？
袋中装有除颜色外，形状大小均相同的红、黄、白3种球各1个，有放回地抽取3次．求：
(1) 3个全是红球的概率；
(2) 3个颜色全相同的概率；
(3) 3个颜色不全相同的概率；
(4) 3个颜色全不相同的概率．
1. (教材改编)某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是(　　)
A. 恰有1名女生和恰有2名女生
B. 至少有1名男生和至少有1名女生
C. 至少有1名女生和全是女生
D. 至少有1名女生和至多有1名男生
2. (教材改编)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，记事件A为“两次点数之和小于10”，事件B为“两次点数之和能被5整除”，则事件B用样本点表示为(　　)
A. {(5，5)} B. {(4，6)，(5，5)}
C. {(6，5)，(5，5)} D. {(4，6)，(6，4)，(5，5)}
3. (多选)(2023台州期末)掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件A为“掷到的点数为5”，事件B为“掷到的点数小于或等于3”，事件C为“掷到的点数为偶数”，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(B)＝ B. P(A＋B)＝
C. A与B是互斥事件 D. A与C是对立事件
4. (2023厦门月考)若随机事件A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________．
5. (2023威海月考)某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%的学生喜欢打乒乓球，两种运动都喜欢的学生有30%. 现从该班随机抽取一名学生，求下列事件的概率：
(1) 只喜欢打羽毛球；
(2) 至少喜欢以上一种运动；
(3) 只喜欢以上一种运动；
(4) 以上两种运动都不喜欢．
15．3.2　互斥事件和独立事件(2)
1. 了解两个随机事件独立性的含义．
2. 结合古典概型，利用独立性计算概率．
活动一 背景引入
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚硬币正面朝上”，事件B为“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回地方式从袋中依次任意摸出2个球．设事件A为“第一次摸到球的标号小于3”，事件B为“第二次摸到球的标号小于3”．
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．
因为A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典概型概率计算公式，得
P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积．
在试验2中，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，
因为A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}，
B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
AB ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以也有P(AB)＝P(A)P(B).
活动二　相互独立事件的定义　
1. 相互独立事件的定义：
2. A，B为相互独立事件的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B).
思考
如果事件A与事件B相互独立，以试验2为例，分别验证A与，与B，与是否相互独立？
活动三　相互独立事件的应用　
例1　一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．
(1) “从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B；
(2) “从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B.
试分别判断(1)(2)中的A，B是否为相互独立事件．
判断两个事件是否相互独立，有两种方法：一是用定义，看事件A发生与否对事件B是否有影响；二是利用概率公式检验P(AB)与P(A)P(B)是否相等．
假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件A为“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件B为“一个家庭中最多有一个女孩”．对下面两种情形，讨论事件A与B的独立性．
(1) 家庭中有两个小孩；
(2) 家庭中有三个小孩．
例2　甲坛子里装有1个白球、1个黑球，共 2个球；乙坛子里装有2个白球、1个黑球，共3个球．从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球，结果都是白球的概率是多少？
根据题意，先判断事件之间的关系，如果是相互独立事件，那么P(AB)＝P(A)P(B).　　
面对H1N1流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1) 他们都研制出疫苗的概率；
(2) 他们都失败的概率；
(3) 他们能够研制出疫苗的概率．
1. (教材改编)甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，则下列说法中错误的是(　　)
A. 两人都做对的概率是0.72 B. 恰好有一人做对的概率是0.26
C. 两人都做错的概率是0.15 D. 至少有一人做对的概率是0.98
2. (2024泰州期中)已知事件A和B相互独立，P(A)＝，P(A＋B)＝，则P(B)的值为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(教材改编)抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数. 用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x，y)表示一次试验的结果. 定义事件A为“x＋y＝7”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x>3”，则下列结论中正确的有(　　)
A. A与B互斥但不对立 B. A与B对立
C. A与C相互独立 D. B与C相互独立
4. (2023上海月考)已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)＝0.5，P(A)＝0.4，那么P(B)＝________．
5. (2024江西月考)春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业．
(1) 若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；
(2) 若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率．
15．3　互斥事件和独立事件
15．3.1　互斥事件和独立事件(1)
【活动方案】
问题1：事件A发生．
问题2：事件A不发生．
问题3：事件A和事件B不同时发生．
问题4：事件B和事件C不同时发生；事件A和事件C不同时发生．
1. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
2. 如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥．
3. 若A，B为互斥事件，如果事件A，B中至少有 1个发生，那么把这个事件记作A＋B.
问题5：两个事件互斥即这两个事件的集合的交集是 .
问题6：两个集合的关系是A∩B＝ ；事件A与B不能同时发生，即事件A，B互斥．
问题7：事件A与D是互斥事件；两者中必有一个发生．
4. 必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件．
问题8：从定义看：
从集合观点看：
问题9：因为事件A，B互斥，所以事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
例1　①③④
跟踪训练1　(1) 是互斥事件，不是对立事件，理由略．
(2) 是对立事件，理由略．
(3) 不是互斥事件，理由略．
跟踪训练2　③
5. P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
思考：当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
6. P()＝1－P(A)
例2　记“射击1次，命中k环”为事件Ak(k∈N，且k≤10)，则事件Ak两两互斥．
(1) 记“射击1次，至少命中7环”为事件A，则当A10，A9，A8或A7之一发生时，事件A发生．由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＋P(A7)＝0.12＋0.18＋0.28＋0.32＝0.9.
(2) 事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，命中至少7环”的对立事件，即　表示事件“射击1次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.9＝0.1.
跟踪训练1　(1) 对任何1人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′.它们是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B型，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2) 因为A，AB型血不能输给B型血的人，所以“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
跟踪训练2　(1) 　(2) 　(3) 　(4)
【检测反馈】
1. A　由题意，得可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生三种情况．对于A，恰有1名女生，即选出的2名学生中有1名男生1名女生，显然它和恰有2名女生不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，当选出的2名学生中有1名男生1名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，不是互斥事件，故B错误；对于C，至少有1名女生包含1名男生1名女生与全是女生两种情况，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，不是互斥事件，故C错误；对于D，至少有1名女生包含1名男生1名女生与全是女生两种情况，至多有1名男生包含1名男生1名女生与全是女生两种情况，所以至少有1名女生和至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．
2. D　由题意，得事件＝{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}，事件B＝{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，所以事件B＝{(4，6)，(6，4)，(5，5)}．
3. ABC　掷骰子所得点数为1，2，3，4，5，6，A＝{5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，4，6}，则P(B)＝＝，故A正确；A＋B＝{1，2，3，5}，则P(A＋B)＝＝，故B正确；因为A与B不能同时发生，故C正确；因为当A不发生时，C不一定发生，故D错误．故选ABC.
4. 0.3　因为随机事件A，B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.因为P(A)＝0.4，所以P(B)＝0.3.
5. 设事件A为“喜欢打羽毛球”，事件B为“喜欢打乒乓球”，
则P(A)＝0.45，P(B)＝0.8，P(AB)＝0.3.
(1) 只喜欢打羽毛球：
P(A)－P(AB)＝0.45－0.3＝0.15.
(2) 至少喜欢以上一种运动：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.45＋0.8－0.3＝0.95.
(3) 只喜欢以上一种运动：
P(A＋B)－P(AB)＝0.45＋0.8－0.3－0.3＝0.65.
(4) 以上两种运动都不喜欢：
P()＝1－P(A＋B)＝1－(0.45＋0.8－0.3)＝0.05.
15．3.2　互斥事件和独立事件(2)
【活动方案】
1. 一般地，对于两个随机事件A，B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)，那么称A，B为相互独立事件．
思考：由试验2，得P(A)＝P(B)＝，
＝{(3，1)，(3，2)，(3，3)(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，
＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)(4，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)}，
　B＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
＝{(3，3)，(4，3)，(3，4)，(4，4)}，
所以P(　B)＝，P(A)＝，P(　)＝，
所以P(A)＝P(A)P()，P(B)＝P()P(B)，
P()＝P()P()，
所以A与，与B，与相互独立．
例1　方法一：(1) 记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则Ω，A，B可分别表示为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，
A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)}，
B＝{(1，2)，(2，2)，(3，2)}．
若A发生，则B发生的概率为；
若A不发生，则B发生的概率为＝.
可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，因此，A，B相互独立．
(2) 记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则Ω，A，B可分别表示为
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，
A＝ {(1，2)，(1，3)}，B＝ {(1，2)，(3，2)}．
若A发生，则B发生的概率为；
若A不发生，则B发生的概率为.
可见，事件A发生与否影响事件B发生的概率，因此，A，B不相互独立．
方法二：(1) P(A)＝＝，P(B)＝＝.
又因为AB＝{(1，2)}，所以P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
故A，B为相互独立事件．
(2) 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，
故A，B不是相互独立事件．
跟踪训练　(1) 有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为，
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
因为P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2) 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为，
这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
例2　记甲坛子里的1个白球、1个黑球分别为W1，B1；乙坛子里的2个白球、1个黑球分别为W2，W3，B2.“从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球，甲坛子里摸出的是白球”记为事件A，“从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出的是白球”记为事件B，则Ω＝{(W1，W2)，(W1，W3)，(W1，B2)，(B1，W2)，(B1，W3)，(B1，B2)}，
A＝{(W1，W2)，(W1，W3)，(W1，B2)}，
B＝{(W1，W2)，(W1，W3)，(B1，W2)，(B1，W3)}，
AB＝{(W1，W2)，(W1，W3)}，
所以P(AB)＝＝，
故从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球，结果都是白球的概率是.
跟踪训练　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗．由题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1) 他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，
故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2) 他们都失败即事件，，同时发生，
故P()＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝×(1－)×(1－)＝××＝.
(3) “他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P()＝1－＝.
【检测反馈】
1. C　因为甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，所以两人都做对的概率是0.8×0.9＝0.72，故A正确；恰好有一人做对的概率是0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.26，故B正确；两人都做错的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，故C错误；至少有一人做对的概率是1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98，故D正确．
2. D　因为事件A和B相互独立，事件A＋B为和事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)，即＝＋P(B)－P(B)，解得P(B)＝.
3. AC　由题意，得样本空间包含的样本点的个数为36.对于A，B，事件A包含的样本点有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，所以P(A)＝＝.事件B包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，所以P(B)＝＝，所以A与B互斥但不对立，故A正确，B错误；对于C，事件C包含的样本点有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共18个，所以P(C)＝＝.事件AC包含的样本点有(4，3)，(5，2)，(6，1)，共3个，所以P(AC)＝＝，P(A)P(C)＝×＝，所以P(AC)＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故C正确；对于D，事件BC包含的样本点有(5，1)，(5，3)，(5，5)，共3个，所以P(BC)＝＝，P(B)·P(C)＝×＝，所以P(BC)≠P(B)P(C)，故D错误．故选AC.
4. 0.2　由事件A与事件B相互独立，得A， 相互独立，又P(A)＝0.5，所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝0.5×[1－P(B)]＝0.4，所以1－P(B)＝0.4÷0.5＝0.8，所以P(B)＝1－0.8＝0.2.
5. (1) 从这5人中随机采访3人，有(小红，小东，小军)，(小红，小东，小英)，(小红，小东，小青)，(小红，小军，小英)，(小红，小军，小青)，(小红，小英，小青)，(小东，小军，小英)，(小东，小军，小青)，(小东，小英，小青)，(小军，小英，小青)，共10种情况，
其中至少有1人是通讯专业的对立事件是没有通讯专业的，即(小红，小东，小青)，
所以至少有1人是通讯专业的概率为P＝1－＝.
(2) 设事件A为“小红应聘成功”，事件B为“小军应聘成功”，事件C为“小青应聘成功”，
则至少有2人应聘成功的概率P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝××＋××＋××＋××＝.

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