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第13章　立体几何初步
1. 整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识．
2. 能熟练地画出空间图形的直观图，能熟练地计算空间图形的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．
活动一 知识梳理
1. 四个基本事实．
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2. 直线与直线的位置关系．
3. 平行的判定与性质．
(1) 线面平行的判定与性质：
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝ a α， b α， a∥b a∥α a∥α， a β， α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b
(2) 面面平行的判定与性质：
判定 性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝ a β，b β，a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，a β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
(3) 空间中的平行关系的内在联系：
4. 垂直的判定与性质．
(1) 线面垂直的判定与性质：
图形 条件 结论
判定 a⊥b，b α (b为α内的任意一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m α，n α， m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性质 a⊥α，b α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
(2) 面面垂直的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
(3) 空间中垂直关系的内在联系：
5. 空间角．
(1) 异面直线所成的角：
①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
(2) 直线和平面所成的角：
①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．
(3) 二面角的有关概念：
①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．
②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
6. 几何体的表(侧)面积和体积的有关计算．
柱体、锥体、台体和球体的表(侧)面积和体积的公式：
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝h(S上＋S下＋)＝π(r＋r＋r1r2)h
棱柱 S直棱柱侧＝ch V＝Sh
棱锥 S正棱锥侧＝ch′ V＝Sh
棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ V＝h(S上＋S下＋)
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
活动二　典型例题探究　
类型一　空间中的平行关系
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：
(1) GE∥平面BB1D1D；
(2) 平面BDF∥平面B1D1H.
(1) 判断线面平行的两种常用方法：
①利用线面平行的判定定理．
②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
(2) 判断面面平行的两种常用方法：
①利用面面平行的判定定理．
②利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β α∥β).
如图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
类型二　空间中的垂直关系
例2　如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：
(1) 平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2) BC1⊥AB1.
空间垂直关系的判定方法．
(1) 判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).
②线面垂直的性质(a⊥α，b α a⊥b).
(2) 判定线面垂直的方法：
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性).
②线面垂直的判定定理．
③面面垂直的性质定理．
④面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β).
⑤面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ).
(3) 面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).
②面面垂直的判定定理．
如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1) 当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2) 当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
类型三　线面位置关系的综合应用
例3　如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝AD＝CD＝2，E为棱PD上的一点，且DE＝2EP＝2.
(1) 求证：PB∥平面AEC；
(2) 求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
空间中的线线角、线面角、二面角的大小，应先根据这些角的定义，找到相应的平面中的角，然后在三角形中解决问题．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，PB＝1，点E在棱PD上，且BE⊥PD.
(1) 求证：BE⊥平面PCD；
(2) 求锐二面角B-PC-D的余弦值．
类型四　空间图形的表面积与体积
例4 如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
空间图形的体积与表面积的计算方法．
(1) 等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．
(2) 割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求空间图形体积的一个重要方法．“割”就是将空间图形分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的空间图形．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的空间图形转化为熟悉的空间图形来解决问题．
(3) 展开法：将简单的空间图形沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便于将空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间图形的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题．
(4) 构造法：当探究某些空间图形性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的空间图形中，如正方体等这些对称性比较好的空间图形，以此来研究所求空间图形的性质．
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1-AB1D1的高．
1. (2024湖州期末)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中为真命题的是(　　)
A. 若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n B. 若m α，n β，m∥n，则α∥β
C. 若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n D. 若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
2. (2024天津河北区期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BA1与DD1所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
　　　　　　　
　　　　　(第2题)　　　　　　　　　　　　(第3题)
3. (多选)(2024扬州期末)如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角D′-AC-B，设M为AD′的中点，N为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 三棱锥D′-ABC外接球的表面积为32π
B. 直线MN与平面ABC所成角的正切值为
C. 点C到平面OMN的距离为
D. 三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为π
4. (2024连云港期末)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为________．
5. (2024扬州期末)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB＝60°，AB＝A1C＝2BC＝2，∠ACB＝90°，M为AB的中点，AC1与A1C的交点为N.
(1) 求证：MN∥平面BCC1B1；
(2) 求证：A1M⊥平面ABC；
(3) 求二面角B-AA1-C的正弦值．
第13章　立体几何初步
本 章 复 习
【活动方案】
例1　(1) 取B1D1的中点O，连接GO，OB.
易证OG∥B1C1，OG＝B1C1，BE∥B1C1，
BE＝B1C1，所以OG∥BE，且OG＝BE，
所以四边形BEGO为平行四边形，
所以OB∥GE.
又因为OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，
所以GE∥平面BB1D1D.
(2) 由正方体的性质，得B1D1∥BD.
因为B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
所以B1D1∥平面BDF.
易证HD1∥BF，
又因为HD1 平面BDF，BF 平面BDF，
所以HD1∥平面BDF.
因为B1D1∩HD1＝D1，B1D1 平面B1D1H，
HD1 平面B1D1H，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
跟踪训练　当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.
证明如下：连接BD交AC于点O，连接FO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是BD的中点．
因为F是PB的中点，所以OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
所以OF∥平面PMD.
又MA∥PB，MA＝PB，
所以PF∥MA，且PF＝MA，
所以四边形AFPM是平行四边形，
所以AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
所以平面AFC∥平面PMD.
例2　(1) 设BC的中点为M，连接B1M.
因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，
所以B1M⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，所以B1M⊥AC.
又因为BC⊥AC，B1M∩BC＝M，
BC 平面B1C1CB，B1M 平面B1C1CB，
所以AC⊥平面B1C1CB.
又因为AC 平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2) 连接B1C.
由(1)得AC⊥平面B1C1CB，
因为BC1 平面B1C1CB，
所以AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC＝AA1＝CC1，
所以四边形B1C1CB是菱形，所以B1C⊥BC1.
又因为B1C∩AC＝C，B1C 平面ACB1，
AC 平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1.
因为AB1 平面ACB1，
所以BC1⊥AB1.
跟踪训练　(1) 取AB的中点E，连接DE，CE.
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
DE 平面ADB，
所以DE⊥平面ABC.
因为CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2) 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当点D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，
即AB⊥CD；
②当点D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.
因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，DE 平面CDE，CE 平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
因为CD 平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
例3　(1) 如图，连接BD，交AC于点O，连接EO.
因为AB∥CD，AB＝CD，所以＝＝.
在△BDP中，DE＝2EP，则＝，所以＝，
所以PB∥OE.
又因为OE 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) 方法一：在平面ABCD中，
过点A作AH⊥CD，垂足为H，连接EH.
因为PD⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以PD⊥AH.
又因为AH⊥CD，CD∩PD＝D，CD 平面PCD，PD 平面PCD，
所以AH⊥平面PCD，
所以∠AEH为直线AE与平面PCD所成的角．
在Rt△ADH中，AD＝2，∠HDA＝∠BAD＝60°，
所以AH＝.
因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PD⊥AD.
在Rt△ADE中，AD＝2，DE＝2，所以AE＝2.
在Rt△AHE中，sin ∠AEH＝＝＝，
所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.
方法二：因为AB∥CD，∠BAD＝60°，
所以∠ADC＝120°.
又因为AD＝2，CD＝4，
所以S△ACD＝×2×4×＝2.
因为PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PD⊥CD，
所以S△CDE＝×2×4＝4.
设点A到平面CDE的距离为h，由VEACD＝VACDE，得S△ACD×ED＝S△CDE×h，
即×2×2＝×4×h，解得h＝.
因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PD⊥AD，
所以AE＝＝2.
设直线AE与平面PCD所成的角为θ，
所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值sin θ＝＝＝.
跟踪训练　(1) 取BC的中点F，连接DF.
因为AD＝1，BC＝2，所以AD＝BF.
又AD∥BC，所以四边形ABFD为平行四边形，
所以AB＝DF＝1，则DF＝CF＝BF＝1，
所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.
因为PB⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PB⊥CD.
因为BD 平面PBD，BP 平面PBD，BD∩BP＝B，
所以CD⊥平面PBD.
又BE 平面PBD，所以CD⊥BE.
又BE⊥PD，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
PD∩CD＝D，所以BE⊥平面PCD.
(2) 如图，在△PCB中，过点B作BM⊥PC，垂足为M，连接EM.
由(1)知，BE⊥平面PCD，
因为PC 平面PCD，所以BE⊥PC.
因为BE 平面BEM，BM 平面BEM，BE∩BM＝B，
所以PC⊥平面BEM.
又EM 平面BEM，所以PC⊥EM，
所以∠BME即为二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PCB中，BM＝＝，
在Rt△PBD中，BE＝＝.
因为BE⊥平面PCD，ME 平面PCD，
所以BE⊥ME，
所以sin ∠BME＝＝，
则cos ∠BME＝＝，
所以锐二面角B-PC-D的余弦值为.
例4　由题意知，S1＝2π×2a×a＋2π×(2a)2＝(4＋8)πa2，　
S2＝S1＋πa－πa2＝(4＋9)πa2，
所以S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9).
跟踪训练　设三棱锥A1-AB1D1的高为h，
则VA1-AB1D1＝h××(a)2＝.
又VA1-AB1D1＝VB1-AA1D1＝a×a2＝，
所以＝，解得h＝a，
所以三棱锥A1-AB1D1的高为a.
【检测反馈】
1．C　对于A，若α⊥β，m∥α，n∥β，则直线m，n平行、相交或异面，故A错误；对于B，若m α，n β，m∥n，则平面α，β相交或平行，故B错误；对于C，如图，若α∩β＝m，n∥α，n∥β，过直线n作两个平面γ，δ，δ∩α＝t，γ∩β＝l，根据线面平行的性质可得n∥t，n∥l，则t∥l.因为l β，t β，所以t∥β.又t α，α∩β＝m，则t∥m，则m∥n，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，故D错误．
2. C　因为AA1∥DD1，所以∠AA1B即为异面直线BA1与DD1所成角的平面角．又∠AA1B＝，所以异面直线BA1与DD1所成角的大小为.
3. ACD　对于A，因为OA＝OC＝OB＝OD′，所以O为三棱锥D′-ABC的球心，表面积为4π×(2)2＝32π，故A正确；对于B，如图1，过点M作MH⊥AC于点H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角．易知MH＝，NH＝，所以tan ∠MNH＝＝，故B错误；对于C，由VM-ONC＝VC-MON，得××2＝h·S△MON.因为MN＝＝2，所以cos ∠MON＝－，sin ∠MON＝，则S△MON＝×2×2×＝，所以点C到平面MON的距离h＝＝，故C正确；对于D，如图2，过点O作OT⊥MN于点T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以V＝2×π×12×＝π，故D正确．故选ACD.
图1 图2
4. 　如图，设圆锥S1O1与圆锥S2O1公共底面的圆心为O1，两圆锥公共底面圆周上一点A，底面半径r＝O1A，球心为O，球的半径R＝OA.由VS1O1＝πr2S1O1，VS2O1＝πr2S2O1，且＝＝3，得＝3，即S2O1＝3S1O1.又S2O1＋S1O1＝2R，所以S1O1＝R，S2O1＝R，所以OO1＝R.又＋r2＝R2，所以r＝R.又VS1O1＋VS2O1＝πr2S2O1＋πr2S1O1＝4π，即π××R＋π××R＝4π，解得R＝2，所以V＝πR3＝π×23＝，即球的体积为.
5. (1) 如图1，连接BC1.
由三棱柱ABC-A1B1C1的几何特征，
可得侧面AA1C1C为平行四边形，
所以N为AC1的中点．
又因为M为AB的中点，
所以MN∥BC1.
因为MN 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1.
(2) 如图2，连接MC，A1B.
由四边形ABB1A1为菱形，可得A1A＝AB＝2.
又∠A1AB＝60°，
所以△AA1B为等边三角形．
因为M是AB的中点，
所以A1M⊥AB，且A1M＝.
由∠ACB＝90°可得MC＝AB＝1.
又因为A1C＝2，
则A1M2＋MC2＝A1C2，即A1M⊥MC.
因为MC∩AB＝M，MC 平面ABC，AB 平面ABC，
所以A1M⊥平面ABC.
(3) 由(2)知A1M⊥平面ABC，
因为A1M 平面A1AB，
所以平面A1AB⊥平面ABC.
如图3，过点C作CH⊥AB，垂足为H，
过点H作HK⊥AA1，垂足为K，连接CK.
因为CH 平面ABC，平面A1AB∩平面ABC＝AB，
所以CH⊥平面A1AB.
因为AA1 平面A1AB，HK 平面A1AB，
所以CH⊥AA1，CH⊥HK.
又HK⊥AA1，HK∩CH＝H，CH 平面CHK，HK 平面CHK，
所以AA1⊥平面CHK.
因为CK 平面CHK，
所以AA1⊥CK，
所以∠HKC为二面角B-AA1-C的平面角．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，
可得CH＝，AH＝.
在Rt△AHK中，HK⊥AA1，∠HAK＝60°，
可得HK＝AH sin ∠HAK＝.
在Rt△CHK中，CH⊥HK，
可得tan ∠HKC＝＝.
因为∠HKC∈，所以sin ∠HKC＝，
即二面角B-AA1-C的正弦值为.
图1 图2 图3
　　

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