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2024年广东省江门市培英中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）计算6+（﹣8）的结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．14 D．﹣14
2．（3分）以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）预计到2025年，中国5G用户将超过46亿，将46亿用科学记数法表示为（　　）
A．46×108 B．4.6×108 C．0.46×1010 D．4.6×109
4．（3分）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a2 a3＝a6 C．a2÷a2＝a4 D．2a2﹣a2＝1
6．（3分）下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根
B．64的立方根是±2
C．立方根等于本身的数只有±1
D．
7．（3分）分式方程的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝6 C．x＝3 D．x＝5
8．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+c（a＜0）的图象过A（﹣6，y1），B（0，y2），C（﹣3，y3），D（1，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
9．（3分）箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，A，B两点分别为⊙P与x轴，y轴的切点．，C为的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（　　）
A． B． C．12 D．16
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：　 　 ．
12．（3分）已知x＝﹣2是方程x2+ax﹣2＝0的根，则a的值是 　 　 ．
13．（3分）比大且比小的整数是 　 　 ．
14．（3分）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上　 　 根木条．
15．（3分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，如果△ABC的边BC长为20，高AH为15，那么正方形DEFG的边长为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 3.6 a 4
乙班 3.6 3.5 b
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝6，BD．
（1）求证BD⊥CD；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：AD是⊙O的切线．
19．（9分）图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆AB与水平桌面垂直，臂杆BC可绕点B旋转调节，灯体CD可绕点C旋转调节．若AB，BC，CD在同一平面上，AB＝5厘米，BC＝40厘米，CD＝40厘米，臂杆BC与座杆AB的夹角即∠ABC＝138°，臂杆BC与灯体CD的夹角即∠BCD＝90°．灯体上D点到水平桌面的高度为DE．
（1）求∠CDE的度数．
（2）求DE的长．（结果精确到0.1厘米．参考数据：sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
20．（9分）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆．
（1）若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率．
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？
21．（9分）综合与实践
【主题】黄金矩形
【素材】素材一：矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等．
素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的．
【操作步骤】
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
【问题解决】
设MN＝2，（1）求证：矩形BCDE是黄金矩形．
（2）求证：矩形MNDE也是黄金矩形．
22．（12分）已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），且与x轴的另一个交点为点C．
（1）当a＝1时，解决下列问题．
①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；
②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1．平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3，求点C1移动的最短路程；
（2）已知直线l：y＝k（x+1）．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”．
①判断直线l是否过点A；
②当k＝a时，直接写出直线l与抛物线L围成的封闭图形边界上“美点”的个数；
③当a时，记抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2．光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数k的个数．
23．（12分）【知识技能】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【数学理解】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【拓展探案】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝10，DE＝7，∠AED＝60°，求CF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D． C A D C C D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：6+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2．
故选：B．
2．解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3．解：46亿＝4600000000＝4.6×109．
故选：D．
4．解：由题知，
∠ACD＝∠ABC+∠A＝90°，
又∵∠ECD＝30°，
∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
5．A、（a2）3＝a6，故选项正确，符合题意；
B、a2 a3＝a5≠a6，故该项不正确，不符合题意；
C、a2÷a2＝1≠a4，故该项不正确，不符合题意；
D、2a2﹣a2＝a2≠1，故该项不正确，不符合题意；
故选：A．
6．解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有±1和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
7．解：原方程去分母得：2x+3＝3x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（2x+3）≠0，
故原方程的解为x＝3，
故选：C．
8．解：∵y＝ax2+4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x2，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵（﹣2）﹣（﹣6）＞1﹣（﹣2）＞0﹣（﹣2）＞﹣2﹣（﹣3），
∴y3＞y2＞y4＞y1，
若y3＞0＞y2＞y4＞y1，则y1y2＞0，y3y4＜0，选项A错误．
若y3＞0＞y2＞y4＞y1，则y1y4＞0，y2y3＜0，选项B错误．
若y2y4＜0，则y3＞y2＞0＞y4＞y1，
∴y1y3＜0，选项C正确．
若y3＞0＞y2＞y4＞y1，则y3y4＜0，y1y2＞0，选项D错误．
故选：C．
9．解：∵第31次抽球时箱内共有56个球，红球有6个，
∴这次她抽出红球的概率为．
故选：D．
10．解：连接PA、PB、PC，作CD⊥x轴，延长AP交CD于点E，
∵A，B两点分别为⊙P与x轴，y轴的切点，
∴PA∥x轴，AP⊥BP，AP＝BP，
∴四边形AOBP是正方形，
∵，
∴AP＝BP＝PC＝2，
∵C为的中点，
∴点P、点C在第一象限角平分线上，
∴PE＝CE，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝（2）（2）＝6+4．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：
．
故答案为：．
12．解：把x＝﹣2代入方程x2+ax﹣2＝0中，
（﹣2）2+a （﹣2）﹣2＝0，
4﹣2a﹣2＝0，
﹣2a＝2﹣4，
﹣2a＝﹣2，
a＝1，
故答案为：1．
13．解：∵23，34，
∴比大且比小的整数是3，
故答案为：3．
14．解：∵要使如图所示的五边形木架不变形，
∴至少要钉上2根木条，
故答案为：2．
15．解：设正方形的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
即，
由BC＝20，AH＝15，DE＝DG＝x，
得，
解得x．
故正方形DEFG的边长是．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：，
，
，
．
17．解：（1）甲班得分为3分的人数为20﹣（4+8+4）＝4（人），
补全图形如下：
（2）a4，由扇形图可知b＝5；
故答案为：4，5；
（3）甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
18．（1）证明：∵∠A＝90°，AB＝5，BD，
∴AD，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠BDC＝∠A＝90°，
即BD⊥CD．
（2）解：如图，⊙O即为所求．
证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴AB∥OD，
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．
19．解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G，
由题意得：AG⊥CF，
∴∠AGC＝∠CFD＝90°，
∵∠ABC＝138°，
∴∠CBG＝180°﹣∠ABC＝42°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝48°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCG＝42°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCF＝48°，
∴∠CDE的度数为48°；
（2）由题意得：AG＝EF，
在Rt△CBG中，BC＝40厘米，∠BCG＝48°，
∴BG＝BC sin48°≈40×0.743＝29.72（厘米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝48°，CD＝40厘米，
∴DF＝CD cos48°≈40×0.669＝26.76（厘米），
∵AB＝5厘米，
∴DE＝DF+EF＝DF+AG＝DF+BG+AB＝26.76+29.72+5≈61.5（厘米），
∴DE的长约为61.5厘米．
20．解：（1）设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为25%；
（2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆，
依题意得：（700﹣500）m+（1300﹣1000）（100﹣m）≥26000，
解得：m≤40，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
21．证明：（1）∵在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，MN＝2，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处．
∴BC＝NC＝MN＝2，AB＝AD，
∴，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形；
（2）由（1）知，NC＝2，，
∴ND＝NC+CD，
∴，
故矩形MNDE是黄金矩形．
22．解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），
∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0），
得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a，
∵a＝1，
∴0＝﹣b﹣2×1，
解得b＝﹣2，
∴把b＝﹣2，a＝1代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0），
得出y＝x2﹣2x﹣3；
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则顶点坐标为（1，﹣4）；
∵y＝x2﹣2x﹣3与x轴的另一个交点为点C，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0，
则x1＝﹣1 x2＝3，
∴C（3，0）；
②由①知 y＝（x﹣1）2﹣4 的顶点坐标为 （1，﹣4）；
∵坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1，平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3，
∴函数y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
即点C移动的最短路程为（1，﹣4）与 （0，﹣3）之间的距离（两点之间线段最短），
∴，
∴点C1移动的最短路程为．
（2）①依题意，把x＝﹣1代入y＝k（x+1），
得y＝k（x+1）＝k（﹣1+1）＝0，
∴直线l过点A；
②抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），
∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0），
得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a，
当时，
∴，
解得b＝﹣1，
∴，顶点坐标为（1，﹣2），
∴，
则直线l与抛物线L围成的封闭图形如图所示，
∴边界上“美点”的个数有5个点；
③抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），
∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0），
得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a，
∵，
∴b＝﹣13，
∴，
∵光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，
∴，
∴，
∴，
∵x，k均为整数，抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2，
∴当x＝0时，则（不符合题意，舍去）；
当x＝1时，则（符合题意）；
当x＝2时，则（不符合题意，舍去）；
当x＝3时，则（符合题意）；
当x＝4时，则（不符合题意，舍去）；
当x＝5时，则（符合题意）；
以此类推，当x为偶数时，k为的整数倍，不是整数，不符合题意；
以此类推，当x为奇数时，k为13的整数倍，是整数，符合题意；
∴0≤x≤2024含有（个），
∴此时整数k的个数为1012个．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如解图，延长BC至点G，使CG＝DE＝7，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠AED＝∠DGC＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝10，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝10﹣7＝3，
即CF的长为3．
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