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2024年广东省江门市赤溪中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2024的绝对值是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（3分）被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（　　）
A．55×104 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×106
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a÷a＝3 B．2a 2a＝2a2 C．3a﹣a＝2 D．（2a）2＝2a2
4．（3分）如图，在△ABC中，外角∠ACD＝103°，∠B＝58°，则∠A的度数是（　　）
A．43° B．45° C．53° D．57°
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．圆的内接平行四边形一定是正方形
B．平分弦的直径垂直弦
C．圆的切线一定垂直于半径
D．任何一个三角形的内心一定在三角形内
6．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
7．（3分）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线AP在射入水面P点的反射光线为PQ，折射光线为PB，若反射光线与折射光线夹角为80°，入射光线与折射光线夹角为160°，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　）
A．40° B．20° C．30° D．35°
8．（3分）《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（　　）
A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38
C．4x+6x＝38 D．8x+6x＝38
9．（3分）设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
10．（3分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：mn2﹣4m＝　 　 ．
12．（3分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是　 　 边形．
13．（3分）若x＝a是一元二次方程x2﹣6x﹣2022＝0的一个根，则a2﹣6a+1的值是 　 　 ．
14．（3分）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 　 　 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，DA长为半径画弧，交BC边于点E，连接DE．若∠ADE＝30°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 .（结果保留π）
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：﹣12020|2|．
17．（8分）如图，已知CD∥AB，∠EAB＝60°．
（1）尺规作图：在CD上找出点M，使点M到∠EAB两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点M，以点M为圆心，长为半径作⊙M，求证：直线AB与⊙M相切．
18．（8分）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
19．（9分）为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中A：x≥215，B：200≤x＜215，C：185≤x＜200，D：0≤x＜185，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图
②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表
分组 A B C D
频数 2 a 20 4
③乙班C组数据从高到低排列，排在最前面的8个数据分别是：199，198，198，197，197，197，195，195
④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如表：
班级 平均数 中位数 A等级所占百分比
甲班 213.5 201 m%
乙班 211.5 b 5%
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？
20．（9分）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点P为y轴上一点，⊙P交y轴于点A，点B，交x轴的正半轴于点C，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交y轴于点F．
（1）求证：EF为⊙P的切线；
（2）若A（0，﹣1），，求图中阴影部分的面积．
22．（12分）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠“为主题开展探究活动．
【操作推断】
（1）如图①，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点M处，延长BM交CD于点F，连接PF，则∠BPF＝　 　 °；
【迁移探究】
（2）如图②，延长PM交CD于点E，连接BE．
①∠PBE＝　 　 °；
②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现CF＝3FD．请判断该发现是否正确？并说明理由；
【拓展应用】
（3）将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，如图③，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点F．当时，直接写AP的长．
23．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+10ax+16a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）当OA＝2OC时，若点P是抛物线上一点，且∠PCA＝∠BAC，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若将抛物线C1沿着x轴向右平移m（0＜m＜6）个单位后得到抛物线C2，如图2，C2与原直线BC交于M、N两点（M在N的左侧），且CN＝3BM，求m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B D A C A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．解：55000＝5.5×104，
故选：B．
3．解：A、3a÷a＝3，选项运算正确，符合题意；
B、2a 2a＝4a2，故B选项错误，不符合题意；
C、3a﹣a＝2a，故C选项错误，不符合题意；
D、（2a）2＝4a2，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
4．解：在△ABC中，外角∠ACD＝103°，∠B＝58°，
∴∠ACD＝∠A+∠B，即103°＝∠A+58°，
∴∠A＝45°．
故选：B．
5．解：A．圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意；
C．圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意；
D．任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意；
故选：D．
6．解：Rt△ABC中，sinα，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
7．解：由题意得：∠APM＝∠QPM，∠QPB＝80°，∠APB＝160°，
∵∠APM+∠QPM+∠QPB+∠APB＝360°，
∴∠APM+∠QPM＝360°﹣∠QPB﹣∠APB，
∴∠APM+∠QPM＝360°﹣80°﹣160°＝120°，
∴∠APM＝60°，
∴∠APG＝90°﹣60°＝30°，
即入射光线与水平面的夹角为30°．
故选：C．
8．解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得：
4x+6（8﹣x）＝38，
故选：A．
9．解：∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵A（﹣3，y1）距离对称轴有2个单位长度，
B（﹣2，y2）距离对称轴有1个单位长度，
C（3，y3）距离对称轴有4个单位长度，
根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得：
y2＞y1＞y3．
故选：D．
10．解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：mn2﹣4m，
＝m（n2﹣4），
＝m（n+2）（n﹣2）．
故答案为：m（n+2）（n﹣2）．
12．解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2） 180°，解得n＝8．
故答案为：8．
13．解：把x＝a代入方程x2﹣6x﹣2022＝0得：a2﹣6a﹣2022＝0，
∴a2﹣6a＝2022，
∴a2﹣6a+1＝2022+1，
∴a2﹣6a+1＝2023．
故答案为：2023．
14．解：如图，取点E关于y轴的对称点E'，
∵点E（﹣3，0）为OB的中点，
∴BE＝OE＝3，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB＝OD＝AD＝6，
∵点P、点Q为AD的三等分点，
∴P（﹣4，6），Q（﹣2，6），
∵点E（﹣3，0）关于y轴的对称点E'，
∴E'（3，0），根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'，
设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且a≠0），
将E'（3，0）代入y＝ax+b，
得3a+b＝0，
∴，
∴，
当反射光线经过P（﹣4，6）时，得，
解得，
当反射光线经过Q （﹣2，6）时，得，解得，
∴，
故答案为：．
15．解：过点E作EH⊥AD，垂足为H，
由条件可知∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABEH是矩形，四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝CD＝4．
由条件可得AD＝DE＝2EH＝8，
∴．
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S△ECD
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：﹣12020|2|
＝﹣1+2﹣3+2
．
17．（1）解：如图所示，点M为所求．
（2）证明：如上图，过点M作MH⊥AB，垂足为H．
∵点M到∠EAB两边的距离相等，
∴AM为∠EAM的平分线．
∵∠EAB＝60°，
∴，
∵MH⊥AB，
∴，
∴MH为⊙M半径，
∴直线AB与⊙M相切．
18．解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
19．解：（1）a＝40﹣2﹣20﹣4＝14；
∵乙班A等级占有2人，B等级有14人，
乙班C组数据从高到低排列，排在最前面的8个数据分别是：199，198，198，197，197，197，195，195
又∵乙班中位数是从高到低排列第20位197和第21位197，
∴中位数，
∵，
∴m＝15．
故答案为：14，197，15．
（2）乙班级学生跳绳水平相对较差，
∵从中位数看，乙班中位数小于甲班，
∴乙班级学生跳绳水平相对较差．（理由不唯一），
（3）甲班A等级人数为15%×40＝6（人），B等级人数为35%×40＝14（人）
乙班A等级人数为2人，B等级人数为4人，
（人），
答：估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有520人．
20．解：（1）设菜地的宽AB为x米，
则菜地的长AD为（40+2﹣3x）米．
根据题意得x（40+2﹣3x）＝120，
解得x1＝4，x2＝10，
当x＝4时，40+2﹣3x＝30＞28，（不合题意，舍去）；
当x＝10时，40+2﹣3x＝12＜28，符合题意．
答：此时宽AB为10米；
（2）设菜地的面积为S平方米，则：
依题意得S＝x（42﹣3x）＝﹣3（x﹣7）2+147，
因为0＜42﹣3x≤28，解得x＜14；
当x＝7时，S取最大值，此时S＝147．
即菜地的最大面积为147平方米．
21．（1）证明：连接PD，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAD＝∠DAC，
∴∠PDA＝∠DAC，
∴PD∥AC，
∴∠PDF＝∠E＝90°，
∵PD是⊙P的半径，
∴EF为⊙P的切线；
（2）连接PC，
∵A（0，﹣1），，
∴OA＝1，OC，
在Rt△AOC中，AC2，
tan∠OAC，
∴∠OAC＝60°，
∵PA＝PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴PA＝AC＝2，
∵PD∥AE，
∴∠FPD＝∠PAC＝60°，
在Rt△PFD中，PD＝2，
∴DF＝DP tan60°＝2，
∴阴影部分的面积＝△DPF的面积﹣扇形BPD的面积
DP DF
2×2π
＝2π，
∴阴影部分的面积为2π．
22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，
∴PD＝PM，∠D＝∠PMF＝90°，
∵PF＝PF，
∴Rt△PFD≌Rt△PFM（HL），
∴∠DPF＝∠MPF，
∴，
∴∠BPM＝90°，
故答案为：90；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°∠ABP＝∠MBP，
∴BM＝BC，∠C＝∠PMF＝90°，
∵BE＝BE，
∴Rt△BEM≌Rt△BEC（HL），
∴∠MBE＝∠CBE，
∴，
故答案为：45；
②判断正确，理由如下：
∵∠DPF+∠APB＝∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠DPF＝∠ABP，∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP∽△DPF，
∴，
∴，
∴，即CF＝3FD；
（3）∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，
∴，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴PM＝AP，
①当点F在CD的延长线上时，
∴，
设BF与AD交于E，
∵DF∥AB，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵∠PEM＝∠BEA，∠PME＝∠A＝90°，
∴△PEM∽△BEA，
∴，即，
解得：，
∴；
②当点F在CD上时，
∵DF∥AB，
∴△ABH∽△DFH，
∴，
∴，
解得：，
∴AH＝AD+DH＝4，
∴，
∵∠PHM＝∠DHF，∠PMH＝∠A＝90°，
∴△PHM∽△BHA，
∴，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴PM＝AP＝4﹣PH，
∴，
解得：，
∴；
综上所述：AP或．
23．解：（1）当y＝0时，ax2+10ax+16a＝0，
解得：x＝﹣2或﹣8，
∴A（﹣8，0），B（﹣2，0），
当x＝0时，y＝16a，
∴C（0，16a）；
（2）∵A（﹣8，0），C（0，16a），
∴OA＝8，OC＝﹣16a，
∵OA＝2OC，
∴8＝2×（﹣16a），
解得：a，
∴C（0，﹣4），
当点P在x轴下方时，如图，
∵∠PCA＝∠BAC，
∴PC∥AB，即PC∥x轴，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣5，点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∴P（﹣10，﹣4）；
当点P在x轴上方时，设PC交x轴于点E，如图，
∵∠PCA＝∠BAC，
∴AE＝CE，
设E（t，0），则AE＝t﹣（﹣8）＝t+8，OE＝﹣t，
在Rt△ECO中，CE2＝OE2+OC2＝（﹣t）2+42＝t2+16，
∴（t+8）2＝t2+16，
解得：t＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线CE的解析式为yx﹣4，
联立方程组，
解得：（舍去），，
∴P（，）；
综上所述，点P的坐标为（﹣10，﹣4）或（，）；
（3）由（2）知：a，
∴抛物线C1：yx2x﹣4（x+5）2，
∵将抛物线C1沿着x轴向右平移m（0＜m＜6）个单位后得到抛物线C2，
∴抛物线C2：y（x+5﹣m）2，
设直线BC的解析式为y＝k′x+b′，把B（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组，
解得：x＝m﹣1±，
∴点M的横坐标为m﹣1，点N的横坐标为m﹣1，
如图，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，
则BE＝﹣2﹣（m﹣1）＝﹣m﹣1，NF＝m﹣1，
∵NF∥x轴，
∴∠CNF＝∠MBE，
∵∠CFN＝∠MEB＝90°，
∴△CFN∽△MEB，
∴，
∵CN＝3BM，
∴3，
∴NF＝3BE，
∴m﹣13（﹣m﹣1），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1．
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