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第9章轴对称、平移与旋转
9.3.2 旋转的特征
学习目标与重难点
学习目标：
1.能结合教材实验，说出旋转的特征：对应点到旋转中心的距离相等、对应角相等、旋转前后图形大小、形状相同；
2.能在简单图形中，根据旋转特征求旋转角度或对应线段长度；
3.通过 "实验操作→观察猜想→推理论证" 的探究过程，经历从直观到抽象的性质发现，发展几何直观与推理意识；
4.发现旋转在建筑、艺术、科技中的应用，体会数学对现实世界的抽象概括作用，增强 "用数学眼光观察旋转现象" 的意识；
学习重点：理解与应用旋转的特征； 掌握旋转角度的确定方法；
学习难点：旋转性质的综合应用.
预习自测
知识链接
什么是旋转？
旋转由什么决定？
自学自测
1.如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 (　 　)
A.35°　 B.45°　 　C.55°　 D.65°
2.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是 (　 　)
A.∠ABD＝∠E B.∠CBE＋∠DBE＜180°
C.AD＝BC D.AD∥BC
3.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE旋转后得到的图形.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
教学过程
一、创设情境、导入新课
同学们坐过摩天轮吗？图形的旋转由什么决定的？
二、合作交流、新知探究
探究一： 旋转的特征
教材第141页：
探索1：在图9.3.7中， △AOB 绕点O(点O是三角形的顶点)逆时针旋转到△A′OB′处， 你发现有哪些线段相等 有哪些角相等
探索2：在图9.3.8中， △ABC绕点O(点 O 不是三角形的顶点，而是在三角形外)逆时针旋转到△A′B′C′处， 你发现有哪些线段相等 有哪些角相等
探究三：例题讲解
例1 如图，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合.
(1)△ABC旋转了多少度？
(2)连结CE，试判断△AEC的形状.
(3)求∠AEC的度数.
[针对训练]1.如图，点D是等边△ABC内一点， 若将△ABD旋转到△ACP的位置， 则旋转中心是 ； 旋转角是 = 度，若连结DP，则△ADP是 三角形.
2.如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，若AC⊥B′C′，则∠C的度数是　 　.
例2 如图所示，在8×8的正方形网格中有一个△ABC，画出以点B为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°后的图形(画图不写画法).
[针对训练]3.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，请画出旋转后得到的△AB′C′.
4.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形.
做一做：如图，已知△ABC和过点P的两条直线PQ、PR. 作出△ABC关于PQ对称的△A′B′C′，再作出△A′B′C′关于PR对称的△A″B″C″.
观察△ABC和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1.一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法:①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的说法是( )
A.①②③　 B.①②④　 C.①③④　 D.②③④
2.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC=90°，则∠A的度数是( )
A.35°　 B.75°　 C.55°　 D.65°
3.如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线，若AB=12，AE=7，则线段CD的长为　 　.
选做题：
4.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°后得到△AB1C1，求∠BAC1的度数.
5.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°，△COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转α(0°<α<180°)，若△AOB绕着O点旋转到图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC的度数为( )
A.150°　 B.120°　 C.60°　 D.30°
6.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°得到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAE的度数为　 　.
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC中，∠CAB=100°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，点C的对应点为C'，点C'恰好在BC边上，且∠C'AB=3∠ABC'，则∠ABB'的度数为　 　.
8.如图，在长方形ABCD中，AB=3厘米，BC=a厘米(a>3)，点Q在边CD上(不与点C，D重合)，CQ=x厘米.将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'，且重叠部分的四边形PCQD'是长方形.连结A'B，C'D.
(1)若BC=7厘米，CQ=1厘米，求△A'BP的面积；
(2)用含有x，a的代数式表示△A'BP的面积；
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：1. 旋转三要素：中心、方向、角度
2. 旋转性质：
- 对应点到中心距离相等
- 对应点连线夹角=旋转角
- 对应线段/角相等
- 图形形状，大小完全一样
3. 应用：
- 作图（步骤：定中心→量角度→找对应点）
注意事项：画图时一定要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为(　　)
第1题图
A.65° B.70° C.80° D.85°
2.如图，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到格点三角形A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　　　°.
第2题图
3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是　　　.
选做题：
4.如图，在6×6的方格中，有一格点三角形ABC(顶点都在小正方形的顶点上)和点P，按下列要求画格点三角形.
(1)画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'；
(2)画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内(不包括边界).
5.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由.
【综合拓展类作业】
6.如图，F为正方形ABCD内一点，△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合.
(1)旋转中心是点　　　，旋转角度为　　　°；
(2)△BEF的形状为　　　；
(3)若∠BFC＝90°，试说明：AE∥BF.
答案：
自学测试：
1.C 2.D
3.解：(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，
∴∠DAB就是旋转角，即旋转了90°.
(3)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形.
课堂巩固：
答案：1.D；2.C；3.5；
4. 【解析】因为∠B=45°，∠C=60°，
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=75°，
由旋转的性质得:∠B1AC1=∠BAC=75°，∠B1AB=30°，所以∠BAC1=75°-30°=45°.
5.B；6.15°；7.64°；
8. 【解析】(1)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'，
所以QD=QD'，CQ=C'Q，A'D'=AD=BC，
因为BC=7厘米，CQ=1厘米，AB=3厘米，
所以A'D'=7厘米，C'Q=CQ=1厘米，PD'=1厘米，所以D'Q=2厘米=CP，
所以BP=5厘米，A'P=6厘米，
所以S△A'BP=×BP×A'P=×5×6=15(平方厘米)
(2)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'，
所以QD=QD'，CQ=C'Q，A'D'=AD=BC，
因为BC=a厘米，CQ=x厘米，AB=3厘米，
所以A'D'=a厘米，C'Q=CQ=x厘米，PD'=x厘米，所以D'Q=CP=(3-x)厘米，
所以BP=(a+x-3)厘米，A'P=(a-x)厘米，
所以S△A'BP=×BP×A'P=×(a+x-3)×(a-x)= (a2-x2-a+x)平方厘米.
作业布置：
参考答案
1.B　2.90　3.50°　
4.(1)如图：
(2)答案不唯一
5.BE＝DC.△ABE可以看作△ADC绕点A旋转而成，故这两个三角形的对应线段是相等的.
6.(1)B　90　(2)等腰直角三角形　(3)略
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