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第9章轴对称、平移与旋转
9.3.3旋转对称图形
学习目标与重难点
学习目标：
1.学生能识别旋转对称图形，归纳其定义并描述特征；能找出给定旋转对称图形的旋转中心，计算最小旋转角度，掌握正多边形旋转角度的计算方法；
2.通过观察实例、动手操作、小组合作，经历从具体到抽象的思维过程，培养观察、实践和合作交流能力；在探究性质时运用类比、归纳、推理等方法，提升逻辑思维和数学素养，学会从数学角度分析解决问题；
3.感受旋转对称图形在生活中的应用，体会数学与生活的联系，激发学习兴趣。通过小组合作，培养团队协作和创新意识，体验成功喜悦，增强学习数学的自信心.
学习重点： 理解与识别旋转对称图形，掌握其绕定点旋转一定角度(小于周角)后与自身重合的关键特征，准确判断图形；确定旋转中心和最小旋转角度，掌握寻找旋转中心的方法，熟练计算常见图形的最小旋转角度.
学习难点：综合应用旋转对称图形性质，学生需在复杂图形或实际问题中，灵活运用概念、旋转中心和旋转角度知识，进行图案设计、计算或推理等，这对其空间想象和知识迁移能力要求较高.
预习自测
知识链接
1.正方形是旋转对称图形吗
2.一个旋转对称图形的旋转角度只有一个吗
3.正八边形的最小旋转角是多少度
自学自测
1.下面四个图案中，是旋转对称图形的是 ( )
　　　
A　　　　B　　　　C　　　　D
2.下列图形中，不是旋转对称图形的是 ( )
A.正三角形 B.四边形
C.正五边形 D.正六边形
3.五角星绕它的旋转中心至少旋转 能与自身重合.
教学过程
一、创设情境、导入新课
复习导入:旋转的特征有哪些？
思考：怎样画一个图形关于一个点旋转后的图形？
如何来确定旋转中心？
二、合作交流、新知探究
探究一： 旋转对称图形的认识
教材第143页：
在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合.如图9.3.10所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合.
你能再举出一些这样的实例吗？
试一试：用一张半透明的薄纸，覆盖在如图9.3.11所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图9.3.11所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度 (小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合.
[归纳总结]
由上述操作可知：该图形围绕圆心旋转60°、120°、180°、240°、300°后都能与自身重合.
像这样旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形.
思考：顺时针和逆时针旋转对旋转对称图形有影响吗？
针对练习:下列图形是旋转对称图形(即绕一个点旋转后能与原图重合的图形)的是(　C )
探究二：新知探究
教材第144页：确定旋转图形的旋转角
做一做：设计一个旋转90°后能与自身重合的旋转对称图形.将如图9.3.12所示的图形绕圆心旋转90°，再将旋转后所得到的图形绕圆心旋转90°，然后再重复旋转一次，可以得到图9.3.13所示的图形.
将如图9.3.13所示的图形绕圆心旋转90°后，可以发现旋转以后的图形能与原来位置上的原图形重合，因此该图形是旋转对称图形.当然该图形绕圆心旋转180或270°后的图形也能与原图形重合，也可得出该图形是旋转对称图形.旋转的度数称为旋转角度.
思考：你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗？
针对练习:以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是(　C　)
归纳总结：
(1)绕着某一点转动一定角度后能与自身重合的图形称为旋转对称图形.其中这一点就是旋转中心，这个角度就是旋转角度；
(2)如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，那么它的旋转中心就是对称轴的交点；
(3)正n边形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，所以它的旋转中心就是对称轴的交点，并且旋转角度就等于360°除以n所得的商.
拓展延伸：旋转对称图形与以前学过的轴对称图形相同吗？
探究三：例题讲解
例1 观察图1，判断它是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处，旋转角度是多少？另外该图形是轴对称图形吗？
图1 图2
【总结】判断旋转对称图形要用定义进行判断；思考图形旋转多少度能与自身完全重合时一般要求出旋转到能与自身重合的最小角度.
例2：下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处.旋转角度是多少？这些图形是轴对称图形吗？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1．如图所示的图形中，是旋转对称图形的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．下列四个图形中，旋转某一个角度都能与自身重合，其中旋转角度最小的是(　　)
3．如图是一个旋转对称图形，以点O为旋转中心，以下列角度为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合的是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．180°
选做题：
4．如图，所给图形中是轴对称图形的有________个，是旋转对称图形的有________个．
5．(1)如图9①所示的图形是________对称图形，它的对称轴有________条；它又是________对称图形，至少旋转________后能与自身重合．
(2)如图9②所示的图形是________对称图形，它的对称轴有________条；它又是________对称图形，至少旋转________后能与自身重合．
6．如图，点O是正六边形的中心．
(1)找出这个轴对称图形的对称轴；
(2)这个正六边形绕点O至少旋转多少度后能与自身重合？
(3)如果换成其他的正多边形呢？能得到一般结论吗？
【综合拓展类作业】
7．认真观察图所示的四个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
(1)请写出这四个图案都具有的两个特征．
特征1：________________________________；
特征2：________________________________．
(2)请在图所示的方格图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备(1)中你所写出的两个特征．
8．如图所示的网格中有四个三角形．
(1)请你把图补充成旋转对称图形；
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？
四、总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：
旋转对称图形的概念：
旋转一定的角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形.
注意事项：
(1)旋转对称图形是一个图形自身的关系；而旋转则是两个图形之间的关系.
(2)旋转对称图形中旋转的角度必须小于周角.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列图形中，不属于旋转对称图形的是(　　)
2．三叶电风扇叶片的外形是一个旋转对称图形，其最小旋转角的度数是(　　)
A．60° B．120° C．180° D．240°
3．给出下列图形：①线段；②平行四边形；③圆；④长方形；⑤等边三角形．其中，旋转对称图形是__________(只填序号)．
4．如图所示的图标可以看作是一个平行四边形通过________次旋转得到的，每次旋转的角度为________．
选做题：
5．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来的图形重合？
6．如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是(　　)
A．60 B．90 C．120 D．180
【综合拓展类作业】
7．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请运用旋转变换的方法，在方格纸上画出该图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°，270°后的图形．整个图案是旋转对称图形吗？(注意：涂阴影时要利用旋转变换的特点，不要涂错了位置)
8．如图所示，点O是等边三角形ABC的中心，射线OE交AB边于点E，OF交BC边于点F，若△ABC的面积为S，∠EOF＝120°，则当∠EOF绕点O旋转时，得到的阴影面积发生变化吗？下面有三名同学提出了各自的观点．
甲：阴影部分的面积会发生变化，且当OE，OF分别与△ABC的边垂直时，阴影部分的面积最小．
乙：阴影部分的面积会发生变化，且当E，F分别与△ABC的顶点重合时，阴影部分的面积最大．
丙：无论怎样旋转，阴影部分的面积都保持不变．
你支持谁的观点？____________．
答案：
自学测试：
1.D　2.B　3.72°
课堂巩固：
1．[解析] D　图形(1)和(2)绕中心旋转120°能与自身重合，它们是旋转对称图形，图形(3)绕中心旋转180°能与自身重合，图形(4)绕中心旋转72°能与自身重合，所以(3)和(4)都是旋转对称图形．
2．[解析] A　A项，图形最小的旋转角度为360°÷5＝72°；B项，图形最小的旋转角度为180°；C项，图形最小的旋转角度为90°；D项，图形最小的旋转角度为120°.
3．[解析] C　依题意得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，所以旋转角可以为120°.
4．[答案] 2　3
5．[答案] (1)轴　4　旋转　90°
(2)轴　2　旋转　180°
6．解：(1)直线AD，BE，CF以及AB，BC，CD的垂直平分线都是这个正六边形的对称轴．
(2)60°.
(3)一般地，正n边形每条边的垂直平分线都是其对称轴．当n为偶数时，相对顶点的连线所在的直线也是其对称轴．绕正n边形的中心至少旋转()能与自身重合．
7．解：(1)答案不唯一，如：都是轴对称图形　都是旋转对称图形　
(2)答案不唯一，如图．
8．解：(1)如图．
(2)这个整体图形有4条对称轴，这个整体图形至少旋转90°才能与自身重合．
作业布置：
1．D　2.B
3．①②③④⑤　[解析] ①线段，旋转中心为线段中点，旋转角为180°，是旋转对称图形；②平行四边形，旋转中心为对角线的交点，旋转角为180°，是旋转对称图形；③圆，旋转中心为圆心，旋转角为任意角度，是旋转对称图形；④长方形，旋转中心为对角线的交点，旋转角为180°，是旋转对称图形；⑤等边三角形，旋转中心为等边三角形的中心，旋转角为120°，是旋转对称图形．故填①②③④⑤.
4．2　120°
5．解：这个图形的旋转中心为外圆的圆心．
∵360°÷6＝60°，
∴该图形绕旋转中心至少旋转60°才能和原来的图形重合．
6．C
7．[解析] 按照旋转作图的方法顺时针旋转即可．
解：如图所示．
整个图案是旋转对称图形．
8．丙　[解析] 连结OB，OC.△BOE绕点O逆时针旋转120°得到△COF，
∴S△BOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△BOC＝S△ABC.
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