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第1讲 相交线
知识导航
1.对顶角定义及其性质.
2.邻补角定义及其性质.
3.垂直定义、性质及其画法.
4.垂线段和点到直线的距离的概念，理解并掌握“垂线段最短”的性质.
【板块一】 相交线
题型一 对顶角与邻补角的概念
方法技巧
1.判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边的反向延长线.
2.判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为反向延长线.
【例1】 判断题：
(1)若两个角有一条公共边，且这两个角相等，则这两个角互为对顶角； ( )
(2)若两个角有一条公共边，且这两个角的和为 ，则这两个角互为邻补角； ( )
(3)三条直线最多把平面分成7个部分. ( )
题型二 对顶角、邻补角的性质
方法技巧
(1)对顶角相等；
(2)角α的邻补角为
【例2】 如图,直线a,b,c两两相交, 求 的度数.
题型三 运用方程思想求角
方法技巧
题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解.
【例3】 如图,直线AB,CD相交于点O, OF 平分 如果 求 `的度数.
题型四 利用整体思想求角
方法技巧
具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解.
【例4】 如图,直线AB,CE交于点O,. ,OH 平分 OF 平分 求 的度数.
题型五 分类讨论思想求角
【例5】 如图,直线AB和CD相交于点O,OE把 分成两部分，且 若 求
题型六 相交线的规律探究问题
【例6】 l 与 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点.如果在这个平面内再画第3条直线 那么这3条直线最多可有 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线 ，那么这4条直线最多可有 个交点.由此可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有 个交点(用含 n的代数式表示).
针对练习1
1.观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)：
(1)如图1，图中共有 对对顶角；
(2)如图2，图中共有 对对顶角；
(3)如图3，图中共有 对对顶角；
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角
(5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角
2.如图,直线AB,CD,EF交于点O,OE平分 OD 平分 若 求 的度数.
3.如图,直线MD,CN交于点O,OA 是∠MOC内的一条射线,OB 是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.
(1)若 求∠BON 的度数;
(2)若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON 的度数.
4.如图,直线 AB,CD交于点O,∠AOD 比∠AOC的2倍还多30°,∠AOE=2∠AOC,求∠DOE 的度数.
5.如图1,点O在直线AB 上,∠AOE=a°,若关于x,y的多项式: 中不含x，y的二次项.
(1)求∠AOE 的度数;
(2)作射线OC,使∠AOC=100°,求∠EOC的度数;
(3)如图2,将直线AB 绕点O 逆时针旋转,∠AOC<120°,若OM平分∠COE,ON平分∠BOD,求∠MON 的度数.
第1讲 相交线
知识导航
1.对顶角定义及其性质.
2.邻补角定义及其性质.
3.垂直定义、性质及其画法.
4.垂线段和点到直线的距离的概念，理解并掌握“垂线段最短”的性质.
【板块一】 相交线
题型一 对顶角与邻补角的概念
方法技巧
1.判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边的反向延长线.
2.判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为反向延长线.
【例1】 判断题：
(1)若两个角有一条公共边，且这两个角相等，则这两个角互为对顶角； ( × )
(2)若两个角有一条公共边，且这两个角的和为 ，则这两个角互为邻补角； ( × )
(3)三条直线最多把平面分成7个部分. (√ )
【解答】 (1)用角平分线定义的反例就可说明本题错误；
(2)以150°角的一边为一边，在150°角的内部画一个30°角就可说明本题错误；
(3)三条直线两两相交于不同点时，把平面分成的部分是最多的，有7个部分，(3)对.
题型二 对顶角、邻补角的性质
方法技巧
(1)对顶角相等；
(2)角α的邻补角为
【例2】 如图,直线a,b,c两两相交, 求∠4 的度数.
【分析】 利用非负性求x，利用邻补角和对顶角性质求∠4.
【解答】 ∵|x-155|=-|310-2x|,∴|x-155|+|310-2x|=0,
∵|x+155|≥0,|310-2x|≥0,∴|x-155|=0,|310-2x|=0,x=155,
°(邻补角定义)，
∠3=2∠1=50°,∴∠4=∠3=50°(对顶角相等).
题型三 运用方程思想求角
方法技巧
题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解.
【例3】 如图,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=30°,OF 平分∠COE,如果∠AOD:∠BOE=4:1,求∠AOF 的度数.
【分析】 根据题目已知条件∠AOD：∠BOE=4：1，设未知数列方程求解.
【解答】 设∠BOE=x,则∠AOD=4x.∵∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°,
∴4x+30°+x=180°,x=30°,∠BOE=30°.
∵∠DOE+∠EOC=180°(邻补角定义).
∴∠EOC=180°-∠DOE=150°,
∵OF平分 (角平分线定义).
∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=75°-30°=45°,
∴∠AOF=180°-∠BOF=135°.
题型四 利用整体思想求角
方法技巧
具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解.
【例4】 如图,直线AB,CE交于点O,∠AOD=120°,OH 平分∠EOD,OF平分∠COD,求∠HOF 的度数.
【分析】 本题未知数的个数多于方程个数，采用整体求解，设∠AOE=x，导角整体法求∠HOF的度数.
【解答】 设∠AOE=x,则∠BOC=∠AOE=x(对顶角相等).
∵∠AOD=120°(已知),
∴∠DOB=180°-∠AOD=60°(邻补角性质).
∴∠EOD=∠AOD--∠AOE=120°-x(角的和差),
∠DOC=∠DOB+∠BOC=60°+x(角的和差).
∵OH 平分∠EOD,OF 平分∠COD(已知),
:(角平分线定义).
题型五 分类讨论思想求角
【例5】 如图,直线AB和CD相交于点O,OE 把∠AOC分成两部分,且∠AOE:∠EOC=3:5,∠EOF=∠BOF,若∠BOF=∠AOE+45°,求∠BOF.
【分析】 分OF 在∠EOB的外部或内部两种情形讨论.
【解答】 .设∠AOE=3x,∠EOC=5x.
(1)当OF 在∠EOB 外部时,
(2)当OF在∠EOB 内部时,
又
∴3x+3x+45°+3x+45°=180°,x=10°.∴∠AOE=3x=30°,∠BOF =∠AOE+45°=75°.故∠BOF=75°或135°.
题型六 相交线的规律探究问题
【例6】l 与l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点.如果在这个平面内再画第3条直线 那么这3条直线最多可有 3 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线 ，那么这4条直线最多可有 6 个交点.由此可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 15 个交点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有 个交点(用含n的代数式表示).
【分析】 画图找规律.
直线条数 交点个数
1 0
2 1
3 1+2
4 1+2+3
5 1+2+3+4
… …
n 1+2+3+4+…+(n-1)
【解答】 如表所示.
因为 所以平面内有n条直线，最多可有 个交点.
针对练习1
1.观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)：
(1)如图1，图中共有 2 对对顶角；
(2)如图2，图中共有 6 对对顶角；
(3)如图3，图中共有 12 对对顶角；
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角
(5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角
【解答】 (4)2×(2-1)=2,3×(3-1)=6,4×(4-1)=12,所以若有n条直线相交于一点,则可形成n(n-1)对对顶角;(5)100×(100-1)=9900,若有100条直线相交于一点,则可形成9900对对顶角.
2.如图,直线AB,CD,EF 交于点O,OE平分∠AOM,OD 平分∠BON,若∠MON=100°,求∠COF的度数.
【解答】 设∠AOE=x,∠BOD=y.∵OE平分∠AOM,OD平分∠BON,
∴∠MOE=∠AOE=x,∠NOD=∠DOB=y,
易得
3.如图,直线MD,CN交于点O,OA 是∠MOC内的一条射线,OB 是∠NOD 内的一条射线,∠MON=70°.
(1)若 求∠BON的度数;
(2)若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON 的度数.
【解答】 (1)∠COD=∠MON=70°(对顶角相等).
又∵∠BOD= ∠COD,∴∠BOD=35°.
∴∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-35°=75°.
(2)设∠AOC=x,则∠BOC=3x.∵∠COD=∠MON=70°,
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=3x-70°,∠AOD=∠AOC+∠COD=x+70°.
∵∠AOD=2∠BOD,∴x+70°=2(3x-70°),x=42°.∴∠BOD=3x-70°=56°,∠BON=180°-∠COD-∠DOB=54°.
4.如图,直线 AB,CD交于点O,∠AOD 比∠AOC的2倍还多30°,∠AOE=2∠AOC,求∠DOE 的度数.
【解答】 设∠AOC=x,则.
∵∠AOC+∠AOD=180°,∴x+2x+30°=180°,x=50°.
∴∠AOC=50°,∠AOD=∠COB=130°,
①当OE在OA 的右侧时,
°;
②当OE在OA 的左侧时,
∠COE =100°-50°=50°,∴∠DOE =180°-∠COE =180°-50°=130°.
综上所述,∠DOE=30°或 130°.
5.如图1,点O在直线AB 上, ，若关于x，y的多项式： 中不含x，y的二次项.
(1)求∠AOE 的度数;
(2)作射线OC,使∠AOC=100°,求∠EOC的度数;
(3)如图2,将直线 AB 绕点O 逆时针旋转,∠AOC<120°,若OM平分∠COE,ON平分∠BOD,求∠MON 的度数.
【解答】 (不含x,y的二次项,∴a-60=0,a=60,∠AOE=60°.
(2)当点C在AB下方时, 当点C在AB 上方时， 故∠EOC=160°或40°.
(3)设∠AOC=∠BOD=x,则.
∵OM平分∠COE,ON平分∠BOD,
易得

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