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分类讨论思想求角
题型一 按照点的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论.
【例1】 已知 ,点 P 在直线AD上,E为CD 上一点.
(1)如图1，当点 P 在线段AD 延长线上时，求证：
(2)如图2，当点 P 在直线AD 上运动时(不与点A，D重合)，求 与 之间的数量关系.
题型二 按照线的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
按照动线的不同位置来分类讨论求角.
【例2】 一个角为( ，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为 .
题型三 分类讨论求角之间的关系
方法技巧
点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系.
【例3】 如图，已知 ,BE平分 DE平分
求证:
(2)H是直线CD上一动点(不与点D重合)，BI平分∠HBD交CD 于点I，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI 与∠BHD的数量关系，且说明理由.
针对练习8
1.如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少30°，则这两个角的度数分别是
2.如图,AB∥CD,直线 EF与直线AB,CD分别交于点E,F,∠BEF<150°,点P 为直线EF 左侧平面上一点,且∠BEP=150°,∠EPF=50°,则∠DFP 的度数是
3.(1)如图1,F是OC 边上一点,求证:∠AFC=∠AOC+∠OAF;
(2)如图2,∠AOB=40°,OC平分∠AOB,点D,E在射线OA,OC上,点P 是射线OB 上的一个动点,连接DP交射线OC于点F,设∠ODP=x°.若DE⊥OA,是否存在这样的x的值,使得∠EFD=4∠EDF 若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
分类讨论思想求角
题型一 按照点的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论.
【例1】 已知AB∥CD,∠BAD=50°,点 P 在直线AD上,E为CD上一点.
(1)如图1,当点 P 在线段AD 延长线上时,求证:∠PEC-∠APE=130°;
【分析】 按照平行线+拐点基本图形方法处理.
【解答】 过点 P作PF∥AB.∵AB∥CD,∴PF∥AB∥CD.
∴∠APF=∠BAD=50°.设∠APE=x,则∠EPF=50°-x,
∠PEC=180°-∠EPF=180°-(50°-x)=130°+x,
∴∠PEC-∠APE=130°+x-x=130°.
(2)如图2,当点 P在直线AD 上运动时(不与点 A,D重合),求∠APE与∠PEC之间的数量关系.
【解答】 ①当点 P在线段AD上时,作PF∥AB,
易得PF∥AB∥CD.设∠APE=x,则∠EPF=x-50°,
∠PEC=180°-∠EPF=180°-(x-50°)=230°-x,
∴∠PEC+∠APE=230°-x+x=230°;
②当点 P 在线段DA 延长线上时,作PF∥AB,
易得PF∥AB∥CD,∠APF=∠BAD=50°,设∠APE=x,
则∠FPE=∠PEC=∠APF+∠APE=50°+x,
∴∠PEC-∠APE=50°+x-x=50°.
题型二 按照线的不同位置关系分类讨论求角
方法技巧
按照动线的不同位置来分类讨论求角.
【例2】 一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为 60°或120° .
【分析】 另一个角与60°相等或与60°角互补.
【解答】 故这个角为 60°或120°.
题型三 分类讨论求角之间的关系
方法技巧
点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系.
【例3】 如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.
求证:BE⊥DE;
(2)H是直线CD上一动点(不与点 D重合)，BI平分∠HBD交CD 于点I，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI 与∠BHD的数量关系，且说明理由.
【分析】 (1)根据基本图作辅助线即可得到 BE⊥DE；
(2)分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解.
【解答】 (1)证明:过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠FED=∠EDC.∵EF∥AB,∴∠ABE=∠BEF,
∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°,
∵BE平分∠ABD,DE平分
DE;
(2)∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°-2∠EBI.
理由:∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠EBD,∵BI平分∠HBD,∴∠HBD=2∠IBD,
①点H在点D的左边时,∠ABH=∠ABD-∠HBD=2∠EBD-2∠IBD,∠EBI=∠EBD-∠IBD,
∴∠ABH=2∠EBI.∵AB∥CD,∴∠BHD=∠ABH,∴∠BHD=2∠EBI;
②点H在点D的右边时,∠ABH=∠ABD+∠HBD=2∠EBD+2∠IBD,∠EBI=∠EBD+∠IBD,
∴∠ABH=2∠EBI.∵AB∥CD,∴∠BHD=180°-∠ABH.∴∠BHD=180°-2∠EBI.
综上所述,∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°-2∠EBI.
针对练习8
1.如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少30°，则这两个角的度数分别是 30°,30 或70°,110° .
【解答】 设这两个角为x,2x-30°,则x=2x-30°或x+2x-30°=180°,解得x=30°或70°,x=30时,2x-30°=30°,x=70°时,2x-30°=110°,故这两个角的度数为30°,30°或70°,110°.
2.如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,∠BEF<150°,点P为直线EF 左侧平面上一点,且∠BEP=150°,∠EPF=50°,则∠DFP 的度数是 100°或160° .
【解答】 当点 P 在AB 上方时∠DFP=100°,
当点P在AB 下方时∠DFP=160°.
3.(1)如图1,F是OC边上一点,求证:∠AFC=∠AOC+∠OAF;
(2)如图2,∠AOB=40°,OC平分∠AOB,点D,E在射线OA,OC上,点P 是射线OB 上的一个动点,连接DP交射线OC 于点F,设∠ODP=x°.若DE⊥OA,是否存在这样的x的值,使得∠EFD=4∠EDF 若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
【解答】 (1)过点F作FN∥OA,则∠NFC=∠AOC,∠AFN=∠OAF,易得
(2)存在这样的x的值,使得∠EFD=4∠EDF.分两种情况:
①如图2,若DP 在DE 左侧,∴
当∠EFD=4∠EDF时, 解得x=68;
②如图,若DP在DE 右侧,∵
∴当∠EFD=4∠EDF时, ,解得x=104;
综上所述,当x=68或104时,∠EFD=4∠EDF.

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