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常用基本图形及其对应辅助线作法
方法技巧
1.过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角.
2.涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解.
题型一 平行线+单拐点(+角平分线等)模型
【例1】 如图1，点A，C，B不在同一条直线上，
(1)求证:
(2)如图2,HQ,BQ分别为 的平分线所在的直线，试探究 与 的数量关系；
题型二 平行线+双拐点(+角平分线等)模型
【例2】 如图1,AB∥CD,∠B=20°,∠D=110°.
(1)若∠E=50°,求∠F的度数;
(2)如图2，探索∠E与∠F 之间满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3,EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP 于点P,求∠P的度数.
针对练习5
1.如图,CD∥BE,则∠2+∠3-∠1的度数等于( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
2.如图,AB∥DE,∠C:∠D:∠B=2:3:4,则∠B= .
3.如图，直线 与 分别相交于点A,B,C,D,且∠1+∠2=180°.
(1)直线l 与l 平行吗 为什么
(2)点E在线段AD上,若∠ABE=30°,∠BEC=62°,求∠DCE的度数.
4.(1)如图1,已知AB∥CD,直接写出∠BED,∠1,∠2之间的数量关系为 ;
(2)如图2,已知AB∥CD,写出∠1,∠EGH与∠2,∠BEG之间数量关系,并加以证明;
(3)如图3,已知AB∥CD,直接写出∠1,∠3,∠5 与∠2,∠4,∠6之间的关系.
5.将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,如图,将A,B,C,D,E,F顺次首尾连结,若AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+10°,∠CDE=∠E=105°.
(1)求∠F 的度数;
(2)计算∠B-∠CGF 的度数是 ;(直接写出结果)
(3)连接AD,∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时,BC∥AD 并说明理由.
常用基本图形及其对应辅助线作法
方法技巧
1.过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角.
2.涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解.
题型一 平行线+单拐点(+角平分线等)模型
【例1】 如图1，点A，C，B不在同一条直线上，
(1)求证:
【解答】 (1)如图1,过点C作CF∥AD,则CF∥BE.
∵CF∥AD∥BE,
∴∠ACF=∠A,∠BCF=180°-∠B,
∴∠B+∠ACB-∠A=∠ACF+∠BCF+∠B-∠A=∠A+180°-∠B+∠B-∠A=180°.
(2)如图2,HQ,BQ分别为 的平分线所在的直线，试探究 与 的数量关系；
【解答】 过点Q作QM∥AD,
∵QM∥AD,∴QM∥BE,∴∠AQM=∠HAD,∠BQM=∠EBQ.
∵AH平分∠CAD,BQ平分∠CBE,
由(1)可知
∴2∠AQB+∠C=180°.
题型二 平行线+双拐点(+角平分线等)模型
【例2】 如图1,AB∥CD,∠B=20°,∠D=110°.
(1)若∠E=50°,求∠F的度数;
【分析】 分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB.
【解答】 分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB.
∴EM∥AB∥FN,∴∠B=∠BEM=20°,∠MEF=∠EFN,
又∵AB∥CD,AB∥FN,∴CD∥FN,∴∠D+∠DFN=180°,又∵∠D=110°,∴∠DFN=70°,易得∠EFN=∠MEF=∠BEF-∠BEM=50°-20°=30°,
∴∠EFD=∠EFN+∠NFD=30°+70°=100°.
(2)如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
【分析】 分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,运用模型即可求解.
【解答】 分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB.
∴EM∥AB∥FN,∴∠B=∠BEM=20°,∠MEF=∠EFN,又∵AB∥CD,AB∥FN,∴CD∥FN,∴∠D+∠DFN=180°,又∵∠D=110°,∴∠DFN=70°,
∴∠BEF=∠MEF+20°,∠EFD=∠EFN+70°,
∴∠EFD=∠MEF+70°,∴∠EFD=∠BEF+50°.
(3)如图3,EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP 于点P,求 的度数.
【分析】 过点F作FH∥EP，结合(2)中结论，运用模型求解.
【解答】 过点F作FH∥EP,
由(2)知,
设∠BEF=2x°,则
∵EP 平分∠BEF,GF平分∠EFD,
针对练习5
1.如图, 则 的度数等于( D)
如图, 则
3.如图,直线l ,l 与l ,l 分别相交于点A,B,C,D,且∠1+∠2=180°.
(1)直线 l 与l 平行吗 为什么
(2)点E在线段AD上,若∠ABE=30°,∠BEC=62°,求∠DCE的度数.
【解答】 (1)直线l 与l 平行.理由如下：
(2)过点E作EF∥AB交BC 于点F,
可得∠BEF=∠ABE=30°,∴∠FEC=62°-30°=32°.
∵l ∥l ,∴EF∥CD,∴∠DCE=∠FEC=32°.
4.(1)如图1,已知AB∥CD,直接写出∠BED,∠1,∠2之间的数量关系为
(2)如图2,已知AB∥CD,写出∠1,∠EGH与∠2,∠BEG之间数量关系,并加以证明;
(3)如图3,已知AB∥CD,直接写出∠1,∠3,∠5 与∠2,∠4,∠6之间的关系.
【解答】 (1)∠BED=∠1+∠2.
(2)∠1+∠EGH=∠2+∠BEG,理由如下:如图2,分别过点E,G作EF∥AB,GM∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥GM∥CD,∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGM,∠MGH=∠2,∴∠1+∠EGM+∠MGH=∠BEF+∠FEG+∠2,即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG.
(3)由题可得，开口向左的角度数之和开口与向右的角度数之和相等，
∴∠1,∠3,∠5 与∠2,∠4,∠6之间的关系为:∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6.
5.将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,如图,将A,B,C,D,E,F顺次首尾连结,若AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+10°,∠CDE=∠E=105°.
(1)求∠F的度数;
(2)计算∠B--∠CGF 的度数是 115° ;(直接写出结果)
(3)连接AD,∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时,BC∥AD 并说明理由.
【解答】 (1)∵AF∥DE,∴∠F+∠E=180°.∴∠F=180°-105°=75°.
(2)作MC∥AF,∵AF∥DE,∴AF∥CM∥DE,∴∠BCM=∠FGC,∠MCD=∠CDE,∴∠BCD=∠BCM+∠MCD=∠CGF+∠CDE,∠B-∠CGF=∠BCD+10°-
(3)当∠ADE+∠CGF=180°时,BC∥AD.理由如下:
∵AF∥DE,
∴∠GAD+∠ADE=180°,∠ADE+∠CGF=180°.∴∠GAD=∠CGF.
∴BC∥AD.

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