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实际问题与二元一次方程组
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1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程组；(4)求解；(5)检验作答.
2.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
3.注意问题：(1)行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；(2)工程问题注意总的工作量是由几部分组成的；(3)利润问题中注意利润和利息的算法；(4)配套问题对零件的配套关系容易弄混.
【板块一】 行程问题
方法技巧
1.行程问题的基本数量关系：路程=时间×速度，时间=路程/速度，速度=路程/时间.
2.相遇问题的基本数量关系：路程和=时间×速度之和；追击问题：路程差=时间×速度之和.
3.顺流(风)速度=船(飞机)速+水(风)速；逆流(风)速度=船(飞机)速一水(风)速.
题型一 相遇与追击问题
【例1】 甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
【练1】 一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少
题型二 顺流与逆流问题
【例2】已知A、B两码头之间的距离为240km，一艏船航行于A、B两码头之间，顺流航行需4小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度.
【练2】一只汽船在甲、乙两港之间航行，汽船从甲港到乙港匀速行驶需要3小时，从乙港到甲港匀速行驶需要4小时30分，一空塑料桶从甲港顺流漂到乙港需要 小时.
针对练习1
1.在某条高速公路上依次排列着A，B，C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在A，C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A，C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少
2. A市至B市的航线长1200千米，一架飞机从 A 市顺风飞往B市需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需要3小时20分.求飞机的平均速度与风速.
3.甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度.
【板块二】 工程问题
方法技巧
1.基本数量关系：工作总量=工作时间×工作效率；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量.
2.当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”.
题型一 有具体数量作为工作量
【例1】 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条210米长的公路，甲队每天修建15米，乙队每天修建25米，一共用10天完成.
根据题意，小红和小芳同学分别列出了下面尚不完整的方程组：
小红： 小芳：
(1)请你分别写出小红和小芳所列方程组中未知数x，y表示的意义：
小红:x表示 ,y表示 ;
小芳:x表示 ,y表示 ;
(2)在题中“( )”内把小红和小芳所列方程组补充完整；
(3)甲工程队一共修建了 天，乙工程队一共修建了 米.
【练1】 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套 要求的期限是几天
题型二 没有具体数量作为工作量
【例2】 小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司
【练2】 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元 (2)单独请哪组，商店所付费用最少
针对练习2
1.一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成.问两人每天各做多少个零件
2.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个 按原计划需多少小时完成
3.某工程队承包了某标段全长1800米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米.
(1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务
【板块三】 商品经济问题
方法技巧
1.利润问题：利润=售价——进价=进价×利润率，利润率=(售价——进价)÷进价 ，实际售价=标价×打折率.
2.储蓄问题：利息=本金×利率×期数，利息税=利息×利息税率.
题型一 盈亏问题
【例1】 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元
【练1】 李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩
题型二 利率问题
【例2】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱 (利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税)
【练2】 李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是几分之几 (注：公民应交利息所得税=利息金额×20%)
题型三 销售方案问题
【例3】随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱
【练3】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
题型四 分段计费问题
【例4】 某超市在“五一”期间寻顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于 200元 九折优惠
500元或大于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500部分给予八折优惠
(1)王老师一次购物600元，他实际付款 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款 元；当x大于或等于500元时，他实际付款 元(用的代数式表示)；
(3)如果王老师两次购物合计820元，他实际付款共计728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元
【练4】 为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准(每月)
阶梯 电量x(单位：度) 电费价格(单位：元/度)
一档 0二档 180三档 x>400 0.95
(1)已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值.
(2)5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量.
针对练习3
1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元
2.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件
3.某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1-50 51-100 100以上
每人门票价/元 12 10 8
某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人.如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.
(1)两个班各有多少名学生
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱
【板块四】 调配与配套问题
方法技巧
1.比例问题：如果甲、乙数量比为a：b，则
2.“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a 倍，即
3.“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
题型一 调配问题
【例1】 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为2：3.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了7人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为5：4.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员
【练1】 甲、乙两个工厂，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两工厂的人数各是多少
题型二 配套问题
【例2】 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
【练2】 现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子
针对练习4
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖的纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则 的值可能是( )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
2.为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种.
3.某工厂一车间人数比二车间人数的 还少30人，若从二车间调10人去一车间，则一车间人数为二车间人数的 ，求两个车间的人数.
4.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，则安排多少名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套
5.足球赛的票价分别为一等席990美元、二等席660 美元、三等席440美元.某公司计划恰好用14300美元订购两种门票共25张，请你帮助该公司设计出购票方案，并说明理由.
【板块五】 图形与表格问题
方法技巧
1.图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组.
2.图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系.
题型一 从图表中获取信息列二元一次方程组
【例1】小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
商品名 单价(元) 数量(个) 金额(元)
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5
记号笔 4 0
软皮笔记本 0 2 9
圆规 3.5 1
合计 8 28
【练1】 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的1/3，另一根露出水面的长度是它的1/5，两根铁棒长度之和为55cm.(1)求这两根铁棒的长.(2)求水桶中水的深度.
题型二 从几何图形中获取信息列二元一次方程组
【例2】 小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm.试求信纸的纸长与信封的口宽.
【练2】 一三角形土地ABC,底BC长160cm,高AD=50cm,以A为顶点,将三角形ABC分成2个小三角形，在两块地上种甲、乙两种作物，已知甲、乙单位面积费用的比是2：3，总费用比是2：5，请问该如何划分
针对练习5
1.在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
2.如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A 的边长为3cm，正方形B的边长为5cm，求此长方形的面积.
3.某校规划在一块长AD为18m,宽AB 为13m的长方形场地 ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN=8：9，问通道的宽是多少
4.为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费)，规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费.以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元
【板块六】 古代问题
方法技巧
1.和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量.
2.盈不足问题：每次数量×份数-盈=总数量，每次数量×份数+亏=总数量.
3.鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚.
题型一 和差倍分问题
【例1】 (2018·宜昌)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛 请解答.
【练1】 (2016·宁德)解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八.甲、乙持钱各几何 ”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱
题型二 盈不足问题
【例2】《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何 译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少 请解答上述问题.
【练2】 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银
题型三 鸡兔同笼问题
【例3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只 ”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
【练3】有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔
针对练习6
1.以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何 意思是用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺
2.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何
3.今有牛五、羊二、值金十两，牛二、羊五，值金八两，牛、羊各值金几何 ”题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”、2头牛、5只羊共价值8两“金”、每头牛、每只羊共价值多少“金”
4.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各几人
【板块七】 优化方案问题
方法技巧
1.在解决问题时，常常需合理安排.
2.优化方案问题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案的费用、时间、可行性得出最佳方案.
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题型一 进货方案
【例1】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
【练1】 联想集团有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A 型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市某中学计划将100500元钱全部用于购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案，并说明理由.
题型二 生产方案
【例2】 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成；
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
【练2】 某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：
销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利(元) 100 250 450
现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行).
(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：
销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售
获利(元)
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间
题型三 租车方案
【例3】某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.
(1)这批学生的人数是多少 原计划租用45座客车多少辆
(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算
【练3】有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满.
(1)两种车型的载重量各是多少
(2)若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排大小车辆，才能使费用最少 (直接写出派车方案)
针对练习7
1.为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需 700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米
(2)若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米
2.某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力(吨/月) 240 180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元.
(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱
3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间 房客多少人
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算
第11 讲 实际问题与二元一次方程组
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1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程组；(4)求解；(5)检验作答.
2.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
3.注意问题：(1)行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；(2)工程问题注意总的工作量是由几部分组成的；(3)利润问题中注意利润和利息的算法；(4)配套问题对零件的配套关系容易弄混.
【板块一】 行程问题
方法技巧
1.行程问题的基本数量关系：路程=时间×速度，时间=路程/速度，速度=路程/时间.
2.相遇问题的基本数量关系：路程和=时间×速度之和；追击问题：路程差=时间×速度之和.
3.顺流(风)速度=船(飞机)速+水(风)速；逆流(风)速度=船(飞机)速-水(风)速.
题型一 相遇与追击问题
【例1】 甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
【分析】 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.
(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶1 小时的路程+拖拉机行驶1 小时的路程=160千米；②同向而行：汽车行驶 小时的路程=拖拉机行驶 小时的路程.
【解答】 设汽车的速度为每小时行x千米，拖拉机的速度为每小时y千米.
根据题意，列方程组 解得：
(千米), (千米).
答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
【练1】 一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少
【解答】 快车、慢车的速度分别为 15m/s,10m/s.
题型二 顺流与逆流问题
【例2】已知A、B两码头之间的距离为240km，一艏船航行于A、B两码头之间，顺流航行需4小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度.
【分析】 顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速.
【解答】 设船在静水中的速度及水流的速度分别为 xkm/h，ykm/h，根据题意，得
解得
答：船在静水中的速度及水流的速度分别为50km/h，10km/h.
【练2】一只汽船在甲、乙两港之间航行，汽船从甲港到乙港匀速行驶需要3小时，从乙港到甲港匀速行驶需要4小时30分，一空塑料桶从甲港顺流漂到乙港需要 18 小时.
针对练习1
1.在某条高速公路上依次排列着A，B，C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在 A，C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A，C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少
【解答】 巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.
2. A市至B市的航线长1200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需要3小时20分.求飞机的平均速度与风速.
【解答】 飞机的平均速度420千米/时，风速60千米/时.
3.甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度.
【解答】 甲乙两人的速度分别为100m/ min,60m/ min.
【板块二】 工程问题
方法技巧
1.基本数量关系：工作总量=工作时间×工作效率；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量.
2.当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”.
题型一 有具体数量作为工作量
【例1】 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条210米长的公路，甲队每天修建15米，乙队每天修建25米，一共用10天完成.
根据题意，小红和小芳同学分别列出了下面尚不完整的方程组：
小红 小芳
(1)请你分别写出小红和小芳所列方程组中未知数x，y表示的意义：
小红:x表示 ,y表示 ;
小芳:x表示 ,y表示 ;
(2)在题中“( )”内把小红和小芳所列方程组补充完整；
(3)甲工程队一共修建了 天，乙工程队一共修建了 米.
【分析】 (1)根据题意和小红和小芳列出的方程组可以解答本题；(2)、(3)利用小刚列出的方程组可以解答本题.
【解答】 (1)甲队修建的天数；乙队修建的天数；甲队修建的长度；乙队修建的长度.
(2)依题意得：小红：小芳
(3)解方程组得
则25y=25×6=150(米).
即：甲工程队一共修建了4天，乙工程队一共修建了150米.
【练1】 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套 要求的期限是几天
【解答】 订做的工作服是3375套，要求的期限是18天.
题型二 没有具体数量作为工作量
【例2】 小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司
【分析】 工效问题关键是抓住三个基本量的关系，工作量，工作时间，工作效率的关系.注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量.
【解答】 设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为 y.
依题意，得 解得
即甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周.
设请甲公司工作一周需花费工钱a万元，请乙公司工作一周需花费工钱b万元，
依题意，得 解得
∴请甲公司单独完成需花费工钱10×0.6=6(万元)，请乙公司单独完成需花费工钱 (万元).
答：从节约开支的角度来考虑，小明家应该选乙公司.
【练2】 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元 (2)单独请哪组，商店所付费用最少
【解答】 (1)甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独做，甲费用为3600元，乙费用为24×140=3360(元),请乙组单独做费用最少.
针对练习2
1.一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成.问两人每天各做多少个零件
【解答】 甲每天做60个零件，乙每天做40个零件.
2.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个 按原计划需多少小时完成
【解答】 这批零件有77个，按计划需8小时完成.
3.某工程队承包了某标段全长1800米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米.
(1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务
【解答】 (1)甲班组平均每天掘进7米，乙班组平均每天掘进5米.
(2)改进施工技术后，能够比原来少用29天完成任务.
【板块三】 商品经济问题
方法技巧
1.利润问题：利润=售价——进价=进价×利润率，利润率=(售价——进价)÷进价×100%，实际售价=标价×打折率.
2.储蓄问题：利息=本金×利率×期数，利息税=利息×利息税率.
题型一 盈亏问题
【例1】 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元
【分析】 此题的关键要知道：利润=进价×利润率
【解答】 设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：
解得：
答：两件商品的进价分别为 600元和400元.
【练1】 李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩
【解答】 李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩.
题型二 利率问题
【例2】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱 (利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税)
【分析】 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：
教育储蓄 一年定期 合计
现在 x y
一年后 x+x×2.25% y+y×2.25%×80% 2042.75
【解答】 设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：
解得：
答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.
【练2】 李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是几分之几 (注：公民应交利息所得税=利息金额×20%)
【解答】 2000元和1000元对应储蓄的年利率分别为2.25%,0.99%.
题型三 销售方案问题
【例3】随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱
【分析】 (1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据节省钱数=甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数.
【解答】 (1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：
解得：
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.
(2)80×70×(1-80%)+100×80×(1-75%)=3120(元).
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.
【练3】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
【解答】 (1)商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.(2)选择购进甲种35台和丙种15台.
题型四 分段计费问题
【例4】 某超市在“五一”期间寻顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或大于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500部分给予八折优惠
(1)王老师一次购物600元，他实际付款 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款 元；当x大于或等于500元时，他实际付款 元(用的代数式表示)；
(3)如果王老师两次购物合计820元，他实际付款共计728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元
【分析】 在此题中有200与500两个分界点，所以需分成三段讨论.
【解答】 (1)530;(2)0.9x,0.8x+50;
(3)设第一次购物的货款为x元，第二次购物的货款为y元
①当x<200,则y≥500,由题意得: 解得：
②当 200≤x<500,y≥500,由题意得 解得：
③当x，y均小于500元但不小于200元时，由题意得：此方程组无解.
综上所述，两次购物的货款分别为110元，710元或220元，600元.
【练4】 为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准(每月)
阶梯 电量x(单位：度) 电费价格(单位：元/度)
一档 0二档 180三档 x>400 0.95
(1)已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值.
(2)5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量.
【解答】 (1)a的值是0.58,b的值是0.66;(2)陈女士家5月份的用电量为432度.
针对练习3
1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 399元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元
【解答】 甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元.
2.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件
【解答】 黑色文化衫60件，白色文化衫80件.
3.某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1-50 51-100 100以上
每人门票价/元 12 10 8
某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人.如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.
(1)两个班各有多少名学生
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱
【解答】 (1)七年级(1)班有49名学生，七年级(2)班有53名学生.(2)团体购票与单独购票相比较，七年级(1)班节约了196元,七年级(2)班节约了106元.
【板块四】 调配与配套问题
方法技巧
1.比例问题：如果甲、乙数量比为a：b，则
2.“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即
3.“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
题型一 调配问题
【例1】 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为2：3.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了7人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为5：4.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员
【分析】 先设这个商场家电部原有x名送货人员，y名销售人员，由于从销售人员中抽调了7人去送货，则现在送货人员有(x+7)人，销售人员有(y-7)人，利用比例可列方程组.
【解答】 设这个商场家电部原有x名送货人员，y名销售人员，
根据题意得 解得
答：原有18名送货人员，27 名销售人员.
【练1】 甲、乙两个工厂，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两工厂的人数各是多少
【解答】 甲工厂的人数为51人，乙工厂的人数为33人.
题型二 配套问题
【例2】 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
【分析】 本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).
【解答】 设用x 米布料做衣身，用y米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：
解得：
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【练2】 现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子
【解答】 110张做盒身，80张做盒底.
针对练习4
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖的纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是( C )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
2.为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 4 种.
3.某工厂一车间人数比二车间人数的 还少30人，若从二车间调10人去一车间，则一车间人数为二车间人数的 ，求两个车间的人数.
【解答】 一车间170人，二车间250人.
4.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，则安排多少名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套
【解答】 安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.
5.足球赛的票价分别为一等席990美元、二等席660 美元、三等席440美元.某公司计划恰好用14300美元订购两种门票共25张，请你帮助该公司设计出购票方案，并说明理由.
【解答】 可购买一等席门票6张，三等席门票19张或购买二等席门票15张，三等席门票10张.
【板块五】 图形与表格问题
方法技巧
1.图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组.
2.图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系.
题型一 从图表中获取信息列二元一次方程组
【例1】 (2016·徐州)小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
商品名 单价(元) 数量(个) 金额(元)
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 0
记号笔 4 0 0
软皮笔记本 0 2 9
圆规 3.5 1
合计 8 28
【分析】 (1)利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案；(2)根据题意设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据共花费15元得出等式 进而得出二元一次方程的解.
【解答】 (1)设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，根据题意可得：
解得：
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；
(2)设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意可得：
∵m,n为正整数, 或 或
答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支记号笔；2本软皮笔记本与4支记号笔；3本软皮笔记本与1支记号笔.
【练1】 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的1/3，另一根露出水面的长度是它的1/5，两根铁棒长度之和为55cm.(1)求这两根铁棒的长.(2)求水桶中水的深度.
【解答】 (1)30cm,25cm.(2)20cm.
题型二 从几何图形中获取信息列二元一次方程组
【例2】 小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm.试求信纸的纸长与信封的口宽.
【分析】 根据设信纸的纸长为 xcm，根据已知折叠情况得出正确的等量关系即可.
【解答】 设信纸的长度为 xcm、信封的口宽为 ycm，
根据题意得 解得：
答：信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm.
【练2】 一三角形土地ABC,底BC长160cm,高AD=50cm,以A为顶点,将三角形ABC分成2个小三角形，在两块地上种甲、乙两种作物，已知甲、乙单位面积费用的比是2：3，总费用比是2：5，请问该如何划分
【解答】 在BC上离B 点60cm处划分土地，其中较小的一块地种甲作物，较大的一块地种乙作物.
针对练习5
1.在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
【解答】 小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人.
2.如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A 的边长为3cm，正方形B的边长为5cm，求此长方形的面积.
【解答】 正方形D的边长为2cm，正方形C的边长为4cm，此长方形的面积为63cm
3.某校规划在一块长AD为18m,宽AB 为 13m的长方形场地 ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN=8：9，问通道的宽是多少
【解答】 通道的宽是 1m.
4.为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费)，规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费.以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元
【解答】 第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元.
【板块六】 古代问题
方法技巧
1.和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量.
2.盈不足问题：每次数量×份数一盈=总数量，每次数量×份数+亏=总数量.
3.鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚.
题型一 和差倍分问题
【例1】 (2018·宜昌)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛 请解答.
【分析】 直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案.
【解答】 设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则 解得
答：1个大桶可以盛酒 斜，1个小桶可以盛酒 斛.
【练1】 (2016·宁德)解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八.甲、乙持钱各几何 ”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱
【解答】 甲、乙两人各带的钱数为36和24.
题型二 盈不足问题
【例2】《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何 译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少 请解答上述问题.
【分析】 设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论.
【解答】 设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，
根据题意得： 解得：
答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱.
【练2】 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银
【解答】 有11人,银61两.
题型三 鸡兔同笼问题
【例3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只 ”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
【分析】 设笼中鸡有x只，兔有y只，本题中的等量关系有：鸡头+兔头=35头；鸡足+兔足=94足，需要注意的是，一只鸡有一头两足，一只兔有一头四足.
【解答】 设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意得：
解得
答：笼中鸡有23只，兔有12只.
【练3】有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔
【解答】 笼子里鸡有18只，兔有12只.
针对练习6
1.以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何 意思是用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺
【解答】 绳子长为48尺，井深11尺.
2.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何
【解答】 七人，物价五十三.
3.今有牛五、羊二、值金十两，牛二、羊五，值金八两，牛、羊各值金几何 ”题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”、2头牛、5只羊共价值8两“金”、每头牛、每只羊共价值多少“金”
【解答】一只牛 两，一只羊 两.
4.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各几人
【解答】 大和尚有25人，小和尚有75人.
【板块七】 优化方案问题
方法技巧
1.在解决问题时，常常需合理安排.
2.优化方案问题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案的费用、时间、可行性得出最佳方案.
题型一 进货方案
【例1】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
【分析】 未知数不只两个，为了解决问题方便，所以设三个未知数以帮助解决问题，把问题分情况来讨论，仍属于二元一次方程组.
【解答】 (1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台.
(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机解得
(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机解得
(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机解得 (不合实际，舍去)
故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.
(2)按方案(Ⅰ),获利150×25+200×25=8750(元);
按方案(Ⅱ),获利 150×35+250×15=9000(元).
∴选择购进甲种 35台和丙种15台.
【练1】 联想集团有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500 元，我市某中学计划将100500 元钱全部用于购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案，并说明理由.
【解答】 购进A 型3台和C型33台；或购进B型7台和C型29台.
题型二 生产方案
【例2】 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成；
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
【分析】 首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较，从中选择最优方案.
【解答】 方案一获利为:4500×140=630000(元).
方案二获利为:7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元).
方案三获利如下：设将x吨蔬菜进行精加工，y吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：
解得：
所以方案三获利为:7500×60+4500×80=810000(元).
因为630000<725000<810000,所以选择方案三获利最多.
答：方案三获利最多，最多为810000元.
【练2】某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：
销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利(元) 100 250 450
现在该公司收购了140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16 吨(两种加工不能同时进行).
(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：
销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售
获利(元)
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间
【解答】 (1)全部直接销售获利为:100×140=14000(元);全部粗加工后销售获利为:250×140=35000(元);尽量精加工,剩余部分直接销售获利为:450×(6×18)+100×(140-6×18)=51800(元).
(2)故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.
题型三 租车方案
【例3】某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.
(1)这批学生的人数是多少 原计划租用45座客车多少辆
(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算
【分析】 (1)设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数，分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论.
【解答】 (1)设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得： 解得：
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆.
(2)∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6(辆),租60座客车需要5-1=4(辆).
220×6=1320(元),300×4=1200(元),
∵1320>1200,
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算.
【练3】有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满.
(1)两种车型的载重量各是多少
(2)若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排大小车辆，才能使费用最少 (直接写出派车方案)
【解答】 (1)大卡车的载重量为8吨，小卡车的载重量为2吨.
(2)安排2辆大卡车和1辆小卡车，才能使费用最少.
针对练习7
1.为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米
(2)若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米
【解答】 (1)原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；(2)可绿化面积为 1488平方米.
2.某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力(吨/月) 240 180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元.
(1)求每台A 型、B型污水处理器的价格；
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱
【解答】 (1)每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；(2)购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少，他们至少要支付84万元钱.
3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间 房客多少人
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算
【解答】 (1)该店有客房8间，房客63人；
(2)诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算.

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