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三元一次方程组的解法
知识导航
1.三元一次方程组的概念与它的解.
2.代入消元法、加减消元法、换元法解三元一次方程组.
3.列三元一次方程组解决实际问题.
【板块一】 三元一次方程组及解法
方法技巧
1.三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断.
2.解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题.
3.当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组.
题型一 三元一次方程组的概念
【例1】 下列方程组不是三元一次方程组的是( )
【练1】 在下列方程组中，哪几个是三元一次方程组
是三元一次方程组的有：
题型二 三元一次方程组的解
【例2】 已知方程组
(1)用含z的代数式表示x；
(2)若x，y，z都不大于10，求方程组的正整数解.
【练2】 已知方程组 的解满足方程x+y=10,求k.
题型三 用消元法解三元一次方程组
【例3】 解方程组
【练3】 解方程组
题型四 用换元法解三元一次方程组
【例4】 解三元一次方程组 ②
【练4】 解方程组
题型五 构造三元一次方程组解题
【例5】 在等式 中,当x=-2时,y=-1;x=0时,y=2;x=2时,y=0.求a,b,c的值.
【练5】 在 中,当x=0时,y=2;当x=1时,y=0;当x=4时,y=6.求y与x之间的关系式.
题型六 运用整体思想求值
【例6】 已知关于x，y，z的方程组 的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10.求a的值.
【练6】 阅读下列材料，然后解答后面的问题.已知方程组 求x+y+z的值.解:将原方程组整理得 D ②
②-①,得x+3y=7;③ 把③代入①得,x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组 试求x+2y-z的值.
针对练习1
1.解三元一次方程组 最简单的方法是先消去未知数( )
A. x B. y C. z D.都一样
2.已知x,y,m同时满足 则m的值为( )
A.-2 B. -1 C.2 D.1
3.若 是三元一次方程，则
4.已知有理数x，y，z满足 与 互为相反数，则.
5.用适当的方法解下列方程组：
【板块二】 实际问题与三元一次方程组
方法技巧
1.列方程组解决问题的一般步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程组；(4)解方程组；(5)检验并作答.
2.列方程组时需注意以下几方面：
(1)单位必须统一，例如时间单位.
(2)解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.
题型一 数字问题
【例1】 一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【练1】 甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数.
题型二 和差倍分问题
【例2】 某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的 ，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株
【练2】 有甲、乙、丙三种货物，购买5件甲，2件乙，4件丙，需要80元；购买3件甲，6件乙，4件丙，需要144元.问：购买甲、乙、丙各一件，共需多少元
题型三 行程问题
【例3】 汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4 小时42分钟，问这段平路有多少公里 去时上下坡路各有多少公里
【练3】 甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡.上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分钟.求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少
题型四 图形问题
【例4】 已知:△ABC的周长为36cm,a,b,c是它的三条边长,a+b=2c,a:b=1:2.求a,b,c的值.
【练4】 如图中的□、△、 分别代表一个数字，且满足以下三个等式：
□+□+△+ =17,
□+△+△+ =14,
□+△+ + =13.
则□、△、 分别代表什么数字 并说明理由.
题型五 配套问题
【例5】 某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个.甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天
【练5】 一个车间，每天生产甲种零件300个，或生产乙种零件500个，或生产丙种零件600个，从3种零件中各取一个配套使用.现在要在63天之内生产的产品配套.问三种零件各需安排生产多少天
题型六 开放问题
【例6】 有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品(三种物品均需买到)，总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件 价格为2元的物品最少买几件
【练6】 (1)有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需15元，如果购甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购甲、乙、丙各1件共需多少元
(2)已知 则
(3)已知 ，要想求出a+b+c的值，x与y必须满足的关系是 .
针对练习2
1.一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数.
2.(中国古代问题)上等稻谷三束，中等稻谷一束，下等稻谷两束，共有稻谷35斗；上等稻谷两束，中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束，中、下等稻谷各一束，共有谷42斗，问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗
3.某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果. A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元.某天该店销售三种搭配水果共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为多少元
4.某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数
5.已知 且x、y、z都不等于0,求x:y:z.
6.有1角、5角、1元的三种硬币15枚，共7元，你能知道这三种硬币各有多少枚吗
三元一次方程组的解法
知识导航
1.三元一次方程组的概念与它的解.
2.代入消元法、加减消元法、换元法解三元一次方程组.
3.列三元一次方程组解决实际问题.
【板块一】 三元一次方程组及解法
方法技巧
1.三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断.
2.解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题.
3.当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组.
题型一 三元一次方程组的概念
【例1】 下列方程组不是三元一次方程组的是( )
【分析】 由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，组成的方程组叫做三元一次方程组. A、C、D满足三元一次方程组的定义，B： 未知量x的次数为2次，所以不是三元一次方程组.
【解答】 B
【练1】 在下列方程组中，哪几个是三元一次方程组
是三元一次方程组的有: (1),(2),(5)
题型二 三元一次方程组的解
【例2】 已知方程组
(1)用含 z的代数式表示x；
(2)若x，y，z都不大于10，求方程组的正整数解.
【分析】 (1)根据方程组可以用含z的代数式表示x，本题得以解决；
(2)根据x与z的关系和x，y，z都不大于10，从而可以求得方程组的正整数解.
【解答】 ②
②-①×5,得-4x+5z=-5,解得,
(2)由题意可得， 且x≤10,y≤10,x≤10,∴x=5x+4 ≤10,得z≤7,∵x、y、z都是正整数,
∴①当z=1时, 不符题意；②当z=2时， 不符题意;③当z=3时,x=5,则y=15-3-5=7;④当z=4时, 不符题意；⑤当z=5时 不符题意；⑥当z=6时， 不符题意;⑦当z=7时,x=10,y=-2不符题意.
故方程组的正整数解是
【练2】 已知方程组 的解满足方程x+y=10,求k.
【解答】 k=2.
题型三 用消元法解三元一次方程组
【例3】 解方程组 ②③
【分析】 此方程组既可以用代入法，也可以用加减法进行消元，考虑未知数z的系数较简单且成倍数关系，故可选择加减法，从消去未知数z入手.
【解答】 ①+③,得5x+6y=17,④ ②+③×2,得5x+9y=23.⑤
解由④⑤组成的方程组，得 把 代入①，并解得z=3.∴方程组的解为
【练3】 解方程组
【解答】
题型四 用换元法解三元一次方程组
【例4】 解三元一次方程组 ②
【分析】 ①，③是比例形式，可以采用换元法引入参数k.
【解答】 解法一：由①，设 则x=3k+1,y=4k+2,代入②，③得
解之，得 从而x=7，y=10.故原方程组的解为
解法二：由③得 则y=5k,z=3k.代入①、②得:
解得 故原方程组的解为
【练4】 解方程组
【解答】
题型五 构造三元一次方程组解题
【例5】 在等式 中，当.x=-2时,y=-1;x=0时,y=2;x=2时,y=0.求a,b,c的值.
【分析】 把x，y的三组对应值分别代入等式 ，可建立关于字母a，b，c的三元一次方程组.
【解答】 把x=-2时,y=-1;x=0时,y=2;x=2时，y=0代入等式. 得，
解彳
答:a,b,c的值分别为
【练5】 在 中,当x=0时,y=2;当x=1时,y=0;当x=4时,y=6.求y与x之间的关系式.
【解答】
题型六 运用整体思想求值
【例6】 已知关于x，y，z的方程组 的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10.求a的值.
【分析】 由题意可知，此方程组中的a是已知数，x，y，z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式表示)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z=-10，可得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值.
【解答】 ①+②+③,得2(x+y+z)=12a.即x+y+z=6a ④
④-①,得z=3a,④-②,得x=a,④-③,得
把x=a,y=2a,z=3a代入x-2y+3z=-10,得a-2×2a+3×3a=-10.解得
【练6】 阅读下列材料，然后解答后面的问题.已知方程组 求x+y+z的值.解:将原方程组整理得
②--①,得x+3y=7;③ 把③代入①得,x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组 试求x+2y-z的值.
【解答】 x+2y-z=3.
针对练习1
1.解三元一次方程组 最简单的方法是先消去未知数( B)
A. x B. y C. z D.都一样
2.已知x,y,m同时满足. 则m的值为( c )
A.-2 B.-1 C.2 D.1
3.若 是三元一次方程,则a+b+c= 1 .
4.已知有理数x，y，z满足 与|3y+3z-4|互为相反数,则 xyz= 1 .
5.用适当的方法解下列方程组：
【解答】
【板块二】 实际问题与三元一次方程组
方法技巧
1.列方程组解决问题的一般步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程组；(4)解方程组；(5)检验并作答.
2.列方程组时需注意以下几方面：
(1)单位必须统一，例如时间单位.
(2)解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.
题型一 数字问题
【例1】 一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【分析】 三位数=100×百位上的数字+10×十位上的数字+个位数字.
【解答】 设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z.
②解得③
答：这个三位数是275.
【练1】 甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数.
【解答】 甲、乙、丙三个数分别为10，9，7.
题型二 和差倍分问题
【例2】 某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的 ，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株
【分析】 题中有三个等量关系：①甲组植树的株数十乙组植树的株数+丙组植树的株数=50，②乙组植树的株数=(甲组植树的株数+丙组植树的株数) ③甲组植树的株数=乙组植树的株数+丙组植树的株数.根据这三个等量关系可列出三元一次方程组，求出方程组的解即可.
【解答】 设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株.
由题意，得 解得
答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株.
【练2】 有甲、乙、丙三种货物，购买5件甲，2件乙，4件丙，需要80元；购买3件甲，6件乙，4件丙，需要144元.问：购买甲、乙、丙各一件，共需多少元
【解答】 购买甲、乙、丙各1件，需28元.
题型三 行程问题
【例3】 汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里 去时上下坡路各有多少公里
【分析】 根据：路程=速度×时间，全程路程=上坡+平路+下坡可列出方程组.
【解答】 设去时上坡x公里，平路y公里，下坡z公里
根据题意可得 军得 答：去时上坡42公里，平路30公里，下坡70公里
【练3】 甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡.上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分钟.求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少
【解答】 从甲地到乙地，上坡1.2千米，平路0.6千米，下坡1.5千米.
题型四 图形问题
【例4】 已知:△ABC的周长为36cm,a,b,c是它的三条边长,a+b=2c,a:b=1:2.求a,b,c的值.
【分析】 根据△ABC的周长为36cm,a+b=2c,a:b=1:2,可得三元一次方程组,解方程组即可求解.
【解答】 依题意有 解得
故a的值为8,b的值为16,c的值为12.
【练4】 如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式：
□+□+△+○=17,
□+△+△+○=14,
□+△+○+○=13.
则□、△、○分别代表什么数字 并说明理由.
【解答】 □、△、 分别代表6,3,2.
题型五 配套问题
【例5】 某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个.甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天
【分析】 本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲乙丙所生产零件个数的比例为3：2：1.由此可得出方程组求解.
【解答】 设甲生产了x天，乙生产了y天，丙生产了z天，
由题意得 解得
答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天.
【练5】 一个车间，每天生产甲种零件300个，或生产乙种零件500个，或生产丙种零件600个，从3种零件中各取一个配套使用.现在要在63天之内生产的产品配套.问三种零件各需安排生产多少天
【解答】 甲、乙、丙三种零件分别安排生产30，18，15天.
题型六 开放问题
【例6】 有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品(三种物品均需买到)，总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件 价格为2元的物品最少买几件
【分析】 解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.
【解答】 设价格为2元的物品买x件，4元的买y件，6元的买z件，
则 解得
由y>0得,z<7,而z为整数,z=1,2,3,4,5,6,对应地,
方程组的解分别为
于是价格为6元的物品最多买6件，价格为2元的物品最少买3件.
【练6】 (1)有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需15元，如果购甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购甲、乙、丙各1件共需多少元
(2)已知2a+b+3c=15,3a+b+5c=25,则a+b+c= ;
(3)已知2a+b+ xc=15,3a+b+ yc=25,要想求出a+b+c的值,x与y必须满足的关系是 .
【解答】 (1)购甲，乙，丙三种商品各一件共需10元.
(2)a+b+c=5;
(3)y=2x-1.
针对练习2
1.一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数.
【解答】 原来的三位数是287.
2.(中国古代问题)上等稻谷三束，中等稻谷一束，下等稻谷两束，共有稻谷35斗；上等稻谷两束，中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束，中、下等稻谷各一束，共有谷42斗，问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗
【解答】 上、中、下三等稻谷每束各有9斗、4斗、2斗.
3.某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果. A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元.某天该店销售三种搭配水果共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为多少元
【解答】 150元.
4.某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数
【解答】 在第一道工序、第二道工序、第三道工序的人数分别为30人、18人、15人.
5.已知 且x、y、z都不等于0,求x:y:z.
【解答】 x:y:z=7:5:3.
6.有1角、5角、1元的三种硬币15枚，共7元，你能知道这三种硬币各有多少枚吗
【解答】 1角、5角、1元的三种硬币分别为5枚、7枚、3枚.

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