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实际问题与一元一次不等式组
实际问题与一元一次不等式组(关系直接型)
方法技巧
1.一元一次不等式组的应用题解题步骤：①审，分清已知量、未知量及其关系；②设，设出适当的未知数；③列，根据题意列出一元一次不等式组；④解，解一元一次不等式组；⑤答，根据实际意义找出符合题意的相关整数解，下结论.
2.根据题中关键词列不等式，如：大、小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等.
题型一 货运问题
【例1】为进一步实施惠民工程，方便市民出行，城区6条公交线路进行了优化调整，自6月1日起实行免费乘坐.为此，公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆.若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.
(1)求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元
(2)预计在该线路上A型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总量不少于680万人次，问该公司有哪几种购车方案
(3)在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少 最少总费用是多少
【练1】 现有56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，共有A、B两个出租车队，A队比B 队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，问A队有出租车多少辆
题型二 经济问题
【例2】湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌的单价的3倍.
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少 最少是多少元
【练2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元.
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案 请写出进货方案.
针对练习5
1.四川光雾山国际红叶节的门票分两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张，青年旅行社要为一个旅行团代购门票，在购票费用不超过5000元的情况下，购买A、B两种门票共15张，要求A种门票的数量不少于B种门票的数量的一半.若设购买A种门票x张，请解答下列问题：
(1)共有几种符合题意的购票方案 写出解答过程.
(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.
2.为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元.
甲型 乙型
价格(元/台) a b
有效半径(米/台) 150 100
(1)求a、b的值;
(2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且要求监控半径覆盖范围不低于1600米，两种型号的设备均至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用.
【板块六】 实际问题与一元一次不等式组(关系间接型)
方法技巧
1.分段收费问题：首先要搞清楚段数，不同的段，收费不一样，特别注意不要重复收费.
2.资源配置问题：各种产品中所需的某种原料之和应小于等于所给的这种原料；实际生产某种产品的能力应大于等于所需要生产的数量.
3.注意参数的隐含范围：通常实际问题中的未知量为整数，非负数.
题型一 分段问题
【例1】攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过2千米都需付5元车费)，超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元.求该同学的家到学校的距离在什么范围
【练1】 某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内(含3分钟)收费0.2元，以后每分钟收费0.1元(不足1分钟按1分钟计).某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元.如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为( )
A.0.6元 B.0.7元 C.0.8元 D.0.9元
题型二 分配不公问题
【例2】 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人分不到3本.这些书有多少本 学生有多少人
【练2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人3件，则剩4件，若前面每人分4件，则最后一人分到玩具，但不足3件，那么最多有 件玩具.
题型三 资源配置问题
【例3】 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案.
【练3】 某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295 盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆.
(1)某校七年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种 请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明(1)中哪种方案成本最低，最低成本是多少元
题型四 根据多个参数的范围求公共部分
【例4】 为了迎接2018世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积19分.请通过计算，判断A队胜、平、负各几场
【练4】 某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于3车，且B 种苹果需要的车辆比A 种苹果需要的车辆的2倍还多.下表所表示的为每辆汽车的载重量及每吨获利情况：
苹果的品种 A B C
每辆汽车运载量/吨 2.2 2.1 2
每吨可获利润/百元 6 8 5
(1)有几种运输方案
(2)如何安排装运，可使公司获得最大利润，最大利润是多少
针对练习6
1.出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租汽车，从甲地到乙地支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程在什么范围
2.为一些学生安排宿舍，如果每间住4人，那么有20人无法安排；如果每间住8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.
3.某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件和B产品100件.已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件.若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数).问该公司共有哪几种租赁方案可供选择 所需租赁费最少是多少
实际问题与一元一次不等式组(关系直接型)
方法技巧
1.一元一次不等式组的应用题解题步骤：①审，分清已知量、未知量及其关系；②设，设出适当的未知数；③列，根据题意列出一元一次不等式组；④解，解一元一次不等式组；⑤答，根据实际意义找出符合题意的相关整数解，下结论.
2.根据题中关键词列不等式，如：大、小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等.
题型一 货运问题
【例1】 (2018春·金乡县期末)为进一步实施惠民工程，方便市民出行，城区6条公交线路进行了优化调整，自6月1日起实行免费乘坐.为此，公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆.若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.
(1)求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元
(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总量不少于 680万人次，问该公司有哪几种购车方案
(3)在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少 最少总费用是多少
【分析】 (1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a)辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总量不少于680万人次”列出不等式组解决问题；(3)分别求出各种购车方案总费用，再根据最少总费用作出判断.
【解答】 (1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得 解得
答：购买A型公交车每辆需 100万元，购买B型公交车每辆需150万元.
(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a)辆，由题意得 解得:6≤a≤8,
因为a为整数,所以a=6,7,8;
共三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；
(3)①购买A型公交车6辆,则 B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;
②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;
③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元;
故购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元.
【练1】 现有56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，共有A、B两个出租车队，A队比B 队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，问A队有出租车多少辆
【解答】 A队有出租车10辆.
题型二 经济问题
【例2】湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌的单价的3倍.
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少 最少是多少元
【分析】 (1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”和“垃圾箱的单价是温馨提示牌的单价的3倍”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10000元”和“至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论.
【解答】 (1)设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得,2x+3×3x=550,∴x=50,
经检验,符合题意,∴3x=150元,
答：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
(2)设购买温馨提示牌y个(y为正整数)，则垃圾箱为(100-y)个，
根据题意得
∵y为正整数,∴y为50,51,52,共3种方案;
方案一:温馨提示牌50个,垃圾箱50个,费用为:50×50+150×50=10000;方案二:温馨提示牌51个,垃圾箱49个,费用为:50×51+150×49=9900;方案三:温馨提示牌52个,垃圾箱48个,费用为:50×52+150×48=9800.方案三资金最少,最少是9800元.
【练2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元.
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案 请写出进货方案.
【解答】 (1)设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元
解得
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元；
(2)设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机(20-a)部，
17400≤1000a+800(20-a)≤18000,解得7≤a≤10,
共有四种方案：
方案一：购进甲手机7部、乙手机13部；方案二：购进甲手机8部、乙手机12部；
方案三：购进甲手机9部、乙手机11部；方案四：购进甲手机10部、乙手机10部.
针对练习5
1.四川光雾山国际红叶节的门票分两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张，青年旅行社要为一个旅行团代购门票，在购票费用不超过5000元的情况下，购买A、B两种门票共15张，要求A种门票的数量不少于B 种门票的数量的一半.若设购买A种门票x张，请解答下列问题：
(1)共有几种符合题意的购票方案 写出解答过程.
(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.
【解答】 (1)由题意可得 解得
∵x为整数,∴x=5或x=6,∴共有两种购票方案;
(2)方案一：购买A种门票5张，B种门票10张，花费为：( (元),
方案二:购买A种门票6张,B种门票9张,花费为:600×6+120×9=4680(元),
∵4200<4680,∴方案一购买A种门票5张,B种门票10张更省钱.
2.为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元.
甲型 乙型
价格(元/台) a b
有效半径(米/台) 150 100
(1)求a、b的值;
(2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且要求监控半径覆盖范围不低于1600米，两种型号的设备均至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用.
【解答】 (1)由题意得： 解得
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15-x)台，依题意得
解得 ∵x为整数，∴x取值为2或3.
当x=2时,购买所需资金为:850×2+700×13=10800(元),
当x=3时,购买所需资金为:850×3+700×1.2=10950(元),
∴最省钱的购买方案为：购甲型设备2台，乙型设备13台.
实际问题与一元一次不等式组(关系间接型)
方法技巧
1.分段收费问题：首先要搞清楚段数，不同的段，收费不一样，特别注意不要重复收费.
2.资源配置问题：各种产品中所需的某种原料之和应小于等于所给的这种原料；实际生产某种产品的能力应大于等于所需要生产的数量.
3.注意参数的隐含范围：通常实际问题中的未知量为整数，非负数.
题型一 分段问题
【例1】 攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过2千米都需付5元车费)，超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元.求该同学的家到学校的距离在什么范围
【分析】 已知该同学的家到学校共需支付车费24.8元，从同学的家到学校的距离为x千米，首先去掉前2千米的费用，再根据题意列出不等式，从而得出答案.
【解答】 设该同学的家到学校的距离是x千米，依题意：
24.8-1.8<5+1.8(x-2)≤24.8,解得:12故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围.
【练1】 某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内(含3分钟)收费0.2元，以后每分钟收费0.1元(不足1分钟按1分钟计).某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元.如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为( B )
A.0.6元 B.0.7元 C.0.8元 D.0.9元
题型二 分配不公问题
【例2】 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人分不到3本.这些书有多少本 学生有多少人
【分析】 这类题特点是其他人平均分配，最后一人分配不到原来那么多，抓住最后一人分得的数量列不等式，其次最后一个人分得的量通常还要与0比较，这是题目没有明确说明但需要挖掘的隐含范围.
【解答】 设有x个学生.
0≤(3x+8)-5(x-1)<3,解得:5∵x只能取整数∴x=6,∴书本共有:3x+8=26(本)
答：这些书有26本，学生有6人.
【练2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人3件，则剩4件，若前面每人分4件，则最后一人分到玩具，但不足3件，那么最多有 25 件玩具.
【解答】 设小朋友的人数为x人，由题意可得：
0<3x+4-4(x-1)<3,解得5由于x是正整数，所以x的取值为6人或7人，
当x=6时,3x+4=22件;当x=7时,3x+4=25件.故最多有25件玩具.
题型三 资源配置问题
【例3】 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案.
【分析】 本题以学生野外考察租车为载体，让学生确定租车方案并判断选择最省钱的一种方案.解题的关键在于第(1)问，由题意可知，租用甲、乙两辆车所满载的人数之和不小于290名，满载的行李数之和不小于100件.据此可列出不等式组，由租车辆数为整数这一实际要求，将问题转化成求不等式组的正整数解，进而设计出租车方案，通过分析判断选择出最省钱的方案.
【解答】 (1)因为租用甲种汽车x辆，所以租用乙种汽车(8-x)辆，由题意得：
解得:5≤x≤6.
∵x为整数，∴x=5或6.∴有2种租车方案：①租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；②租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆.
(2)第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400元;
第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600元.
∴第一种租车方案更省费用.
【练3】 某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295 盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆.
(1)某校七年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种 请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明(1)中哪种方案成本最低，最低成本是多少元
【解答】 (1)共有三种方案:方案一:A:31,B:19;方案二:A:32,B:18;方案三:A:33,B:17;(2)方案三的成本最低,最低成本为12720元.
题型四 根据多个参数的范围求公共部分
【例4】 为了迎接2018世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积19分.请通过计算，判断A队胜、平、负各几场
【分析】 此题胜、平、负有三个未知量，要注意根据实际情况每个未知量都有取值范围，即场次为非负数，根据它们各自的取值范围可求出公共部分，从而得出未知数的取值.
【解答】 设A队胜x场,则平(19-3x)场,负12-x-(19-3x)=2x-7场,
所以 解得
因为x≥0且x为整数,所以x可取4、5、6,
由此可得三组解：①胜4场，平7场，负1场；②胜5场，平4场，负3场；③胜6场，平1场，负5场.
【练4】 某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于3车，且B种苹果需要的车辆比A种苹果需要的车辆的2倍还多.下表所表示的为每辆汽车的载重量及每吨获利情况：
苹果的品种 A B C
每辆汽车运载量/吨 2.2 2.1 2
每吨可获利润/百元 6 8 5
(1)有几种运输方案
(2)如何安排装运，可使公司获得最大利润，最大利润是多少
【解答】 (1)共两种装运方案：方案一、装运A种苹果3车，装运B种苹果14车，装运C种苹果3车；方案二、装运A种苹果4车，装运B种苹果12车，装运C种苹果4车.
(2)方案一:3×2.2×6+14×2.1×8+3×2×5=304.8(百元);
方案二:4×2.2×6+12×2.1×8+4×2×5=294.4(百元).
所以最大利润装运方案为：装运A种苹果3车，装运B种苹果14车，装运C种苹果3车，最大利润为304.8百元.
针对练习6
1.出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租汽车，从甲地到乙地支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程在什么范围
【解答】 甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km.
2.为一些学生安排宿舍，如果每间住4人，那么有20人无法安排；如果每间住8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.
【解答】 有6间宿舍，寄宿学生人数有44人.
3.某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件和B产品100件.已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件.若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数).问该公司共有哪几种租赁方案可供选择 所需租赁费最少是多少
【解答】 共有3种方案：①甲3天，乙7天，总费用为3300元；②甲4天，乙6天，总费用为3400元；③甲5天，乙5天，总费用为3500元；其中方案①最省，最省费用为3300元.

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