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实 数
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1.实数的大小比较：用无理数的近似值来进行比较；通过乘方将一些无理数转化为有理数进行比较.
2.实数的估算：通过与相近的有理数比较来估算无理数的近似值.
3.整数部分和小数部分：小数x由其整数部分和小数部分组成，若整数部分是a，则小数部分是x-a.
4.实数性质：
有理数和无理数具有下面的基本性质：两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)都是有理数；一个无理数与一个非零有理数的和、差、积、商都是无理数.一个无理数与某个有理数a相乘，如果其结果为有理数，那a只能是0.
题型一 有理数与无理数的概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.无限不循环小数都是无理数 D.无理数都是开方开不尽的数
【练1】 下列各数中： ，无理数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
题型二 实数的概念
【例2】 下列各数中哪些是有理数 哪些是无理数
①3.14; ②0.1010010001…; ④0.78; ⑤
⑥0; ⑨o. i;
【练2】 在实数 , , ,π/ , ,0.1010010001…, 中，无理数的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型三 实数的分类
【例3】 下列各数中，3.14159,- ,0.131131113…,-π, ,- 无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【练3】把下列各数填入相应的集合内：
,4, , ,,0.15,-7.5,-π,0.303003
(1)有理数集合:{ ……};
(2)无理数集合:{ ……};
(3)正实数集合:{ ……};
(4)负实数集合:{ ……}
题型四 实数的计算
【例4】 计算:
【练4】 计算:
题型五 实数与化简
【例5】 实数a在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简
【练5】 己知实数a，b在数轴上表示的点如图所示，试化简下列各式：
②|a+b|+|a-b|.
题型六 实数的应用
【例6】 某房间的面积为17.6m ,房间地面恰好由 110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少
【练6】 将一张面积为 的正方形纸片，沿着平行于边的方向剪出一块长方形纸片，甲的方案是：长方形的面积是300cm ，且长与宽的比3：2；乙的方案是：长方形的面积为 且长与宽的比是5：3，问甲、乙两人的方案是否可行 并说明理由
题型七 实数的大小比较
【例7】 比较- 与 的大小.
【练7】 你能比较下列各对数的大小吗
(1)2.7与 与 (3)3
题型八 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分
【例8】 (1)估计 的值( ).
A.在2与3之间 B.在3与4之间 C.在4与5之间 D.在5 与6之间
(2)估计 的取值范围( )
A.在2与3之间 B.在3与4之间 C.在4与5之间 D.在5与6之间
(3)已知a 是 的整数部分，b是 的小数部分，求( 的值.
【练8】 (1)估算 的值( )
A.在2 和3之间 B.在3和4之间 C.在4 和5之间 D.在5 和6之间
(2)已知 的小数部分为a, 的小数部分为b.求:①a+b的值;②a-b的值.
题型九 利用表格探究平方根与立方根的规律
【例9】 观察下面表格：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
x 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
根据上表回答问题：
(1)272.25的平方根是 ;
(3)设 的整数部分为a，求-4a的立方根.
针对练习3
1.若x+|x|=0,则. 等于( )
A.2x B.-2x C.0 D.无法确定
2.若 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值是 .
3.已知x,y是实数,且( 与 互为相反数，则 的平方根是 .
4.猜想立方根
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道怎样迅速准确地计算出结果吗
1 =1 2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 6 =216 7 =343 8 =512 9 =729
请你按下面的问题试一试：
你能确定59 319的立方根是几位数吗 答： 位数.
(2)由59 319的个位数是9，你能确定59 319的立方根的个位数是几吗 答：
(3)如果划去59 319后面的3位数319得到59,而 ，由此你能确定59 319立方根的十位数字是几吗 答： .因此，59319的立方根是39.根据这种方法，你能确定19 683的立方根吗
(4)小智是这样求出19 683的立方根的.先估计19 683的立方根十位数为 ，验证得19 683的立方根是 .
(5)请根据(4)中小智的方法，完成如下填空：
.
5.(洪山区期中)求一个数的立方根，有些可以直接求，如 有些数则不能直接求得，如 ，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 0.008 8 8 000 8 000 000 ……
0.2 2 20 200 ……
(1)已知 运用你发现的规律，求
(3)已知 则
(4)已知 则
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1.实数的大小比较：用无理数的近似值来进行比较；通过乘方将一些无理数转化为有理数进行比较.
2.实数的估算：通过与相近的有理数比较来估算无理数的近似值.
3.整数部分和小数部分：小数x由其整数部分和小数部分组成，若整数部分是a，则小数部分是x-a.
4.实数性质：
有理数和无理数具有下面的基本性质：两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)都是有理数；一个无理数与一个非零有理数的和、差、积、商都是无理数.一个无理数与某个有理数a相乘，如果其结果为有理数，那a只能是0.
题型一 有理数与无理数的概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.无限不循环小数都是无理数 D.无理数都是开方开不尽的数
【分析】 无限循环小数是有理数，所以A错；如 不是无理数，所以B错；π不是开方开不尽的数，所以D错.
【解答】 C
【练1】 下列各数中： 无理数有( D )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
题型二 实数的概念
【例2】下列各数中哪些是有理数 哪些是无理数
①3.14; ②0.1010010001……; ④0.78;
⑥0; ⑨o. i;
【分析】 本题主要考查无理数的概念，要判断一个数是有理数还是无理数，首先看这个数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数，整数和分数是有理数，无限不循环小数是无理数.
【解答】 有理数有①④⑤⑥⑦⑧⑨,无理数有②③⑩.
【练2】 在实数 , , ,π/ , ,0.1010010001…, 中，无理数的个数是( c )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型三 实数的分类
【例3】 下列各数中,3.14159,- ,0.131131113…,-π, ,- 无理数有( A )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】 无限不循环小数是无理数，由此可得出无理数的个数.
【解答】 由定义可知无理数有:0.131131113……,一π共两个.
【练3】把下列各数填入相应的集合内：
,4, , ,,0.15,-7.5,-π,0.303003
(1)有理数集合:{ ……};
(2)无理数集合:{ ……};
(3)正实数集合:{ ……};
(4)负实数集合:{ ……}
【解答】 (1)4, ,,0.15,-7.5,0.303003;
(3) ,4, ,,0.15,0.303003;(4),-7.5,-π.
题型四 实数的计算
【例4】 计算:
【分析】 先化简，再运算.
【解答】
【练4】 计算:
【解答】
题型五 实数与化简
【例5】 实数a在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简
【分析】 化简常用式子：
(1)( ) =a(a≥0);
【解答】 原式=a-1+2-a=1.
【练5】 己知实数a，b在数轴上表示的点如图所示，试化简下列各式：
②|a+b|+|a-b|.
【解答】 ①-a-ab;②2b.
题型六 实数的应用
【例6】 某房间的面积为17.6m ，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少
【分析】 设每一块地砖的边长为 xm，利用面积列方程.
【解答】 设每一块地砖的边长为 xm，则 ,解得:x=0.4.
答：每块地砖的边长为0.4m.
【练6】 (二中广雅期中)将一张面积为400cm 的正方形纸片，沿着平行于边的方向剪出一块长方形纸片，甲的方案是：长方形的面积是300cm ，且长与宽的比3：2；乙的方案是：长方形的面积为 且长与宽的比是5：3，问甲、乙两人的方案是否可行 并说明理由
【解答】 甲方案的长15 ，宽 ∴甲的方案不行；乙长 宽 ，都小于20，∴乙的方案可行.
题型七 实数的大小比较
【例7】 比较- 与 的大小.
【分析】 (1)比较两负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小.
(2)算术根的大小比较，看被开方数，被开方数越大，值就越大；或平方；或求近似值.
【解答】 方法一：∵
方法二： 而
方法三： ,而-13.23>-13.27,∴- 75>-4
【练7】你能比较下列各对数的大小吗
(1)2.7与 +1 ( 与 (3)3
【解答】
题型八 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分
【例8】 (1)估计 的值( C ).
A.在2与3之间 B.在3与4之间 C.在4与5之间 D.在5与6之间
【分析】 用“夹逼法”
【解答】 ∵16<17<25,即 所以 的值在4到5之间.
(2)估计的取值范围( A )
A.在2与3之间 B.在3与4之间 C.在4与5之间 D.在5与6之间
【分析】 利用“夹逼法”可确定一个数的立方根的取值范围.
【解答】 ∵8<20<27,即 的值在2到3之间.
(3)已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求( 的值.
【分析】 根据估算，可知 所以
【解答】(
【技巧点评】 先估算出实数a在哪两个相邻的整数之间，然后写出其整数部分b，其小数部分就是a-b.
【练8】 (1)估算, 的值( c )
A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5 和6之间
(2)已知 的小数部分为a， 的小数部分为b.求:①a+b的值;②a-b的值.
【解答】 ①a+b=1;②a-b=2 -7.
题型九 利用表格探究平方根与立方根的规律
【例9】 观察下面表格：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
x 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
根据上表回答问题：
(1)272.25的平方根是 ;
(3)设 的整数部分为a，求-4a的立方根.
【解答】 (1)±16.5;(2)16.1,167,1.62;(3)-4.
针对练习3
1.若x+|x|=0,则 等于( C )
A.2x B.-2x C.0 D.无法确定
2.(汉阳区期中)若 的整数部分为a，小数部分为b，求( 的值是 6 .
3.已知x,y是实数,且( 与 互为相反数，则 的平方根是
4.猜想立方根
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道怎样迅速准确地计算出结果吗
1 =1 2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 6 =216 7 =343 8 =512 9 =729
请你按下面的问题试一试：
，你能确定59319的立方根是几位数吗 答： 两 位数.
(2)由59 319的个位数是9,你能确定59 319 的立方根的个位数是几吗 答: 9
(3)如果划去59 319后面的3位数319得到59,而 ，由此你能确定59 319 立方根的十位数字是几吗 答： 3 .因此，59 319的立方根是39.根据这种方法，你能确定19683的立方根吗
(4)小智是这样求出19 683的立方根的.先估计19 683的立方根十位数为 2 ，验证得19 683的立方根是 27 .
(5)请根据(4)中小智的方法，完成如下填空：
5.(洪山区期中)求一个数的立方根，有些可以直接求，如 有些数则不能直接求得，如 ，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 0.008 8 8 000 8 000 000
0.2 2 20 200
(1)已知 ，运用你发现的规律，求
(3)已知 则
(4)已知 则

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