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坐标与平移
知识导航
1.点的平移；
2.图形的平移；
3.平移的应用.
【板块一】 点的平移
方法技巧
平移规律：
左右平移 纵坐标不变，横坐标左减右加；
上下平移 横坐标不变，纵坐标上加下减.
平移的要素：①平移的方向；②平移的距离.
平移与坐标变化：
①向右平移a个单位长度,坐标 P(x,y) P(x+a,y)
②向左平移a个单位长度,坐标P(x,y) P(x-a,y)
③向上平移b个单位长度,坐标 P(x,y) P(x,y+b)
④向下平移b个单位长度,坐标 P(x,y) P(x,y-b)
题型一 根据平移前的点求平移后的点
【例1】点P(-2，-3)向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得点的坐标为( )
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(1,0) D.(0,1)
题型二 根据平移后的点求平移前的点
【例2】将点A 先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得B(-2，5)，则点A 的坐标为( )
A.(-4,11) B.(-2,6) C.(-4,8) D.(-6,8)
题型三 根据平移前后关系确定字母的值
【例3】将点 P(-3，y)先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),则x+y= .
【例4】 已知点 M(3a-9,1-a),将点 M向左平移3个单位长度后落在y轴上,则a=
针对练习1
1.已知点A(2，-3)，先将点A 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B,则点 B 的坐标是 .
2.将点 P 先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点 Q(3，-1)，则点P坐标为 .
3.如果点P(a-1,a+2)[向右平移2个单位长度后正好落在y轴上，那么点 P 的坐标为
4.通过平移把点A(2,-3)移到点A'(4,-2),按同样的平移方式可将点 B(-3,1)移到点 B',则点 B'的坐标是 .
5.已知点A(a-5,2b-1)在y轴上,点B(3a+2,b+3)在x轴上,则将点C(a,b)先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的坐标为 .
【板块二】 图形的平移
方法技巧
图形的平移规律 找特殊点
1.图形的平移即是图形中各个点的平移，解题时只需选取线段端点或三角形顶点等这样的特殊点即可；
2.在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度.(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.)
【例1】 已知△ABC在平面直角坐标系内，点A的坐标是(3，4)，点B的坐标是(1，3)，点C的坐标是(4,1),平移△ABC得到△A'B'C',已知点. 的坐标是(-2,2).
(1)求点 B'和C'的坐标;
(2)若△ABC内部一点P 的坐标是(a,b),则点 P 的对应点 P'的坐标是多少
【例2】 如图,点A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB平移到. 点 的坐标分别为(2,a),(b,3),求 的值.
【例3】如图,第一象限内有两点P(m-3,n),Q(m,n--2),将线段 PQ平移使点P,Q分别落在两条坐标轴上，求点 P 平移后的对应点的坐标.
【例4】 如图,△A'B'C'是△ABC经过平移得到的,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3),△ABC中任意一点. 平移后的对应点为
(1)请写出△ABC平移得到△A'B'C'的过程;
(2)写出点 的坐标.
针对练习2
1.线段MN是由线段EF 经过平移得到的,若点 E(-1,3)的对应点 M(2,5),则点F(-3,-2)的对应点 N 的坐标是 .
2.已知A(1,-2),B(-1,2),E(2,a),F(b,3),若将线段AB平移至EF,点A,E为对应点，则a+b的值为 .
3.已知△ABC内任意一点P(a，b)经过平移后的对应点 点A 坐标为(--3，2)在经过此次平移后对应点. ,则a-b-c+d的值为 .
4.△ABC在平移时,点B(-1,2)经过平移后对应点为B'(4,-1),而此时x轴上的点A 经过平移，其对应点 恰好在y轴上，则点 的坐标为 .
5.若点 和点B(-1，0)，把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为 .
6.已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)△ABC中任意一点. )经平移后对应点为 先将△ABC作同样的平移得到 并写出. 的坐标.
(3)求△ABC的面积.
【板块三】 平移规律的应用
方法技巧
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
【例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 点 点C为平面直角坐标系内的一点，连接AB，OC，若 且 ，则点 C的坐标为 .
【例2】已知点 位于第三象限，点Q(x，y)位于第二象限，且点Q是由点P 向上平移一定单位长度得到的.
(1)若点 P 的纵坐标为 求a的值；
(2)在(1)题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；
(3)若点 P 的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围.
针对练习3
1.在平面直角坐标系中，C是线段AB 的中点.
(1)线段BC能否由线段AC平移得到 若能，请直接写出与线段AB端点A，B对应的点，若不能，请说明理由；
(2)若点 A(1,-2),C(2,3),则点 B的坐标为 ;
(3)若点. 则点C的坐标为 ；
(4)若点 请分别写出 与 与y 之间的数量关系.
2.在平面直角坐标系中，以点 A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形.
(1)若 ,且边 DC可由边AB 平移得到(点 A 与点 D 对应),请直接写出点A，B，C，D的坐标关系式；
(2)①若点 A(-2,2),B(1,4),C(2,1),则D点坐标为 ;
②如图，若点A(2，3)，B(1，1)，能否在x轴和y轴上分别找到点C，D满足题意 若能，请求出点C，D的坐标；若不能，请说明理由.
3.在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移|a|格(当a为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移)，再沿竖直方向平移|b|格(当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移)，得到一个新的点，我们把这个过程记为(a，b)，例如在图1中，从点A 到点B 记为：A→B(+1,+3);从点 C到点D 记为:(
请回答下列问题：
(1)如图1，若点 A 的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A运动的总路程；
(2)若点A 运动的路线依次为:A→M(+2,+3),M→N(+1,-1),N→P(-2,+2),P→Q(+4,-4).请你依次在图2上标出点 M，N，P，Q的位置；
(3)在图2中，若点A经过(m，n)得到点 E，点 E 再经过(p，q)后得到Q，则m与p满足的数量关系是 ，n与q 满足的数量关系是 .
坐标与平移
知识导航
1.点的平移；
2.图形的平移；
3.平移的应用.
【板块一】 点的平移
方法技巧
平移规律：
左右平移 纵坐标不变，横坐标左减右加；
上下平移 横坐标不变，纵坐标上加下减.
平移的要素：①平移的方向；②平移的距离.
平移与坐标变化：
①向右平移a个单位长度,坐标 P(x,y) P(x+a,y)
②向左平移a个单位长度,坐标 P(x,y) P(x-a,y)
③向上平移b个单位长度，坐标P(x,y) P(x,y+b)
④向下平移b个单位长度，坐标P(x,y) P(x,y-b)
题型一 根据平移前的点求平移后的点
【例1】 点P(-2，-3)向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得点的坐标为( D )
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(1,0) D.(0,1)
【分析】 根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，求出点 P对应点的坐标即可得解.
【解答】 平移后 P(-2+2,-3+4),即(0,1),故选:D.
题型二 根据平移后的点求平移前的点
【例2】将点 A 先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得B(-2，5)，则点A 的坐标为( C )
A.(-4,11) B.(-2,6) C.(-4,8) D.(-6,8)
【分析】 让点B先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度即可得到点A，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标.
【解答】 ∵将点A先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得B(-2，5)，∴点A的横坐标为-2-2=-4,纵坐标为5+3=8,∴A点坐标为(-4,8).故选C.
题型三 根据平移前后关系确定字母的值
【例3】将点 P(-3，y)先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),则x+y= -3 .
【分析】 根据向下平移纵坐标减，向左平移横坐标减列方程求出x，y的值，然后计算即可得解.
【解答】 ∵点P(-3,y)先向下平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),∴x=-3-2,y-3=-1,解得x=-5,y=2,∴x+y=-5+2=-3.故答案为-3.
【例4】已知点 M(3a-9,1-a),将点M向左平移3个单位长度后落在y轴上,则a= 4 .
【分析】 向左平移3个单位长度，则横坐标减去3，纵坐标不变，再根据y轴上点的横坐标为0即可得出答案.
【解答】 由题意得3a-9-3=0,解得a=4.
针对练习1
1.已知点A(2，-3)，先将点A 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B,则点 B 的坐标是 (-1,-1) .
2.将点 P先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点Q(3，-1)，则点P 坐标为 (5,2) .
3.如果点 P(a-1，a+2)向右平移2个单位长度后正好落在y轴上，那么点 P 的坐标为 (-2,1) .
4.通过平移把点A(2,-3)移到点A'(4,-2),按同样的平移方式可将点 B(-3,1)移到点 B',则点 B'的坐标是 (-1,2) .
5.已知点A(a-5,2b-1)在y轴上,点B(3a+2,b+3)在x轴上,则将点C(a,b)先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的坐标为 (3，0) .
【板块二】 图形的平移
方法技巧
图形的平移规律 找特殊点
1.图形的平移即是图形中各个点的平移，解题时只需选取线段端点或三角形顶点等这样的特殊点即可；
2.在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度.(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.)
【例1】 已知△ABC在平面直角坐标系内，点A 的坐标是(3，4)，点 B 的坐标是(1，3)，点C的坐标是(4,1),平移△ABC得到△A'B'C',已知点A'的坐标是(-2,2).
(1)求点 B'和C'的坐标;
(2)若△ABC内部一点P 的坐标是(a，b)，则点 P 的对应点P'的坐标是多少
【分析】 (1)根据点A及点A'的坐标，可得平移规律，进而可得点B'和点C'的坐标；
(2)根据平移规律即可写出点 P的对应点P'的坐标.
【解答】 (1)∵点A的坐标是(3，4)，点A'的坐标是(-2，2)，∴平移规律为：向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度,∵点B的坐标是(1,3),点C的坐标是(4,1),∴B'(-4,1),C'(-1,-1);
(2)∵△ABC内部一点P 的坐标是(a,b),∴点 P 的对应点P'的坐标是(a-5,b-2).
【例2】 如图,点A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB平移到A B ,点A ,B 的坐标分别为(2,a),(b,3),求 的值.
【分析】 根据点 A，B的坐标以及对应点的坐标确定出平移方法，
从而求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可.
【解答】 ∵A(1,0),A (2,a),B(0,2),B (b,3),
∴平移方法为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，∴a=0+1=1，
【例3】 如图，第一象限内有两点P(m-3,n),Q(m,n-2),*将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，求点 P 平移后的对应点的坐标.
【分析】 设平移后点 P，Q的对应点分别是P'，Q'.分两种情况进行讨论：①点 P'在y轴上，点Q'在x轴上;②点 P'在x轴上,点Q'在y轴上.
【解答】 设平移后点 P，Q的对应点分别是P'，Q'.分两种情况：
①点 P'在y轴上,点Q'在x轴上,则点 P'横坐标为0,点Q'纵坐标为0,∵0-(n-2)=-n+2,
∴n-n+2=2,∴点 P平移后的对应点的坐标是(0,2);
②点 P'在x轴上，点Q'在y轴上，则点 P'纵坐标为0，点Q'横坐标为0，
∵0-m=-m,∴m-3-m=-3,∴点P平移后的对应点的坐标是(-3,0);
综上可知，点P 平移后的对应点的坐标是(0，2)或(-3，0).
【例4】 如图,△A'B'C'是△ABC经过平移得到的,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,--1),B(-5,-4),C(--1,-3),△ABC中任意一点P(x ,y )平移后的对应点为
(1)请写出△ABC平移得到△A'B'C'的过程;
(2)写出点A',C'的坐标.
【分析】 (1)根据点 P 平移后的坐标即可得出结论；
(2)根据(1)的平移过程即可得出结论.
【解答】 (1)∵△ABC中任意一点P(x ,y )平移后的对应点为
∴平移后对应点的横坐标加6，纵坐标加4，
∴△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到△A'B'C'或△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△A'B'C'；
(2)由(1)可知,A'(2,3),C'(5,1).
针对练习2
1.线段MN是由线段EF 经过平移得到的,若点 E(-1,3)的对应点M(2,5),则点F(-3,-2)的对应点 N 的坐标是 (0,0) .
2.已知A(1,-2),B(-1,2),E(2,a),F(b,3),若将线段AB平移至EF,点A,E为对应点,则a+b的值为 -1 .
3.已知△ABC内任意一点P(a,b)经过平移后的对应点 P (c,d),点A坐标为(-3,2)在经过此次平移后对应点A (4,-3),则a-b-c+d的值为 -12 .
4.△ABC在平移时,点 B(-1,2)经过平移后对应点为 而此时x轴上的点A 经过平移，其对应点 A'恰好在y 轴上，则点 A'的坐标为 (0，-3) .
5.若点A(0, 和点B(-1，0)，把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点 F到 y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为 或
6.已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)△ABC中任意一点P(x ,y )经平移后对应点为 先将△ABC作同样的平移得到△A B C ,并写出B ,C 的坐标.
(3)求△ABC的面积.
【分析】 (1)根据平面坐标系得出A，B，C三点的坐标即可；
(2)根据点 P(x ,y )经平移后对应点为 得出平移的规律即可得出△ABC的三个顶点的对应点；
(3)根据各点坐标，利用梯形的面积与三角形的面积公式求出即可.
【解答】 (1)A,B,C三点的坐标分别为:(-2,4),(-6,2),(-9,7);
(2)∵△ABC中任意一点 P(x ,y )经平移后对应点为. ∴点 P 先向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,∴B ,C 的坐标分别为(-2,-1),(-5,4);
(3)过点B作直线DE∥x轴,过点A作AE⊥DE于点E,过点C作CD⊥DE于点D,则
【板块三】 平移规律的应用
方法技巧
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
【例1】 (2018·南湖)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(-a,a)(a>0),点B(-a-4,a+3),点C为平面直角坐标系内的一点,连接AB,OC,若AB∥OC且AB=OC,则点C的坐标为 (-4,3)或(4,-3) .
【分析】 设点C的坐标为(x,y),由AB∥OC,AB=OC以及点A,B的坐标,即可求出点C的坐标.
【解答】 设点C的坐标为(x,y),∵AB∥OC且AB=OC,
或
解得 或 点C的坐标为(-4,3)或(4,-3).
【例2】 (2018·广元)已知点 P(2a-12,1-a)位于第三象限,点Q(x,y)位于第二象限,且点Q是由点P 向上平移一定单位长度得到的.
(1)若点 P 的纵坐标为-3,求a的值;
(2)在(1)题的条件下，试求出符合条件的一个点 Q的坐标；
(3)若点 P 的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围.
【分析】 (1)点 P的纵坐标为-3,即1-a=-3,解可得a的值;(2)根据题意,由a=4得2a-12=-4，进而根据又点Q(x，y)位于第二象限，所以y>0，取符合条件的值，可得Q的坐标；(3)根据点 P(2a-12，1-a)位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，求其整数解可得a的取值范围.
【解答】 (1)1-a=-3,a=4;
(2)由a=4得,2a-12=2×4-12=-4,又点Q(x,y)位于第二象限,所以y>0,取y=1,得点Q的坐标为(-4,1).
(3)因为点 P(2a-12,1-a)位于第三象限,所以 解得1针对练习3
1.在平面直角坐标系中，C是线段AB 的中点.
(1)线段BC能否由线段AC平移得到 若能，请直接写出与线段AB端点A，B对应的点，若不能，请说明理由；
(2)若点 A(1,-2),C(2,3),则点 B 的坐标为 (3,8) ;
(3)若点 A(-2,3),B(4,1),则点 C的坐标为 (1,2) ;
(4)若点 ,请分别写出x ,x 与x ;y ,y 与y 之间的数量关系.
【解答】 (1)能,点A,B均与点C对应;(2)(3,8);(3)(1,2);(
2.在平面直角坐标系中，以点 A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形.
(1)若A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y ), 且边 DC可由边AB 平移得到(点 A 与点D 对应)，请直接写出点 A，B，C，D的坐标关系式；
(2)①若点A(-2,2),B(1,4),C(2,1),则D点坐标为 (-3,5),(-1,-1)或(5,3) ;
②如图，若点A(2，3)，B(1，1)，能否在x轴和y轴上分别找到点C，D满足题意 若能，请求出点C，D的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】(
(2)①(-3,5),(-1,-1)或(5,3);
②提示:利用(1)中的结论,设C(m,0),D(0,n).
当四边形ABCD是平行四边形时,2+m=1+0且3 D(0,2);当四边形ACBD或四边形ADBC是平行四边形时,2+1=m+0,3+1=0+n,
∴m=3,n=4,∴C(3,0),D(0,4);当四边形ACDB或四边形ABDC 是平行四边形时,2+0=1+m,3+n=1+0,
∴m=1,n=-2,∴C(1,0),D(0,-2).综上所述,存在点C(-1,0)与D(0,2),C(3,0)与D(0,4)或C(1,0)与D(0,-2)满足题意.
3.在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移|a|格(当a为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移)，再沿竖直方向平移|b|格(当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移)，得到一个新的点，我们把这个过程记为(a，b)，例如在图1中，从点A 到点B 记为：A→B(+1,+3);从点C到点D 记为:C→D(+1,-3).
请回答下列问题：
(1)如图1，若点A 的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A 运动的总路程；
(2)若点A运动的路线依次为:A→M(+2,+3),M→N(+1,-1),N→P(-2,+2),P→Q(+4,-4).请你依次在图2上标出点M，N，P，Q的位置；
(3)在图2中，若点A经过(m，n)得到点 E，点E再经过(p，q)后得到Q，则m与p 满足的数量关系是 m+p=5 ,n与q 满足的数量关系是 n+q=0 .
【分析】 (1)按照先左右后上下的顺序列出算式，再计算即可；
(2)根据题意画出图即可；
(3)根据A，Q水平相距的单位，可得m，p的关系；根据A，Q水平相距的单位，可得n，q的关系.
【解答】(1)1+3+3+|-2|+|-1|+|-4|=14;
(2)如图;
(3)m+p=5,n+q=0.

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