资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
坐标与规律
知识导航
1.坐标与点的变化规律问题；
2.坐标与图形变换规律及新定义型问题.
【板块一】 坐标与点的移动规律问题
方法技巧
点的坐标规律问题，解题的关键是明确题意，找出图形中点点坐标的变化规律，求出相应的点的坐标.
【例1】 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动1个单位长度，依次得到点， 则点 A 的坐标是 .
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),…,如果(1,0)是第一个点,探究规律如下:
(1)坐标为(3,0)的是第 个点,坐标为(5,0)的是第 个点;
(2)坐标为(7,0)的是第 个点;
(3)第74个点的坐标为 .
【例3】如图,在平面直角坐标系中有点 A (1,0),点A 第一次跳动至点 A (-1,1),第二次点 A 跳动至点 A (2,1),第三次点A 跳动至点A (-2,2),第四次点A 跳动至点 A (3,2),…,依此规律跳动下去，则点 A 与点 A 之间的距离是( )
A.2017 B.2018 C.2019 D.2020
针对练习1
1.在平面直角坐标系中，点A(1，0)第一次向左跳动至 ，第二次向右跳至 ，第三次向左跳至 ,第四次向右跳至A (3,2),……,依照此规律跳动下去,点A 第2017次跳动后至 A 的坐标是( )
B.(1009,1008) D.(1008,1007)
2.在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，……，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( )
A.(66,34) B.(67,33) C.(100,33) D.(99,34)
3.如图，在平面直角坐标系中，一个点从. 出发，沿图中路线依次经过 ，按此规律一直运动下去，则 的值为( )
A.1007 B.1009 C.1511 D.1514
4.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3,1),(3,0),(3,-1),…,根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为( )
A.(14,0) B.(14,-1) C.(14,1) D.(14,2)
5.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→，…，的规律紧绕在四边形 ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 .
6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，从原点开始依次为(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),……,按此规律,第2019个点的坐标是 .
【板块二】 坐标与图形变换规律及新定义型问题
方法技巧
1.图形变换问题：仔细观察，找到图形中线段长度，转化为点的坐标；
2.新定义问题：读懂题意，依照题意操作得解.
【例1】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),AB=5,对 连续做旋转变换,依次得到△ ,△ ,△ ,△ ,…,则 的直角顶点的坐标为 .
【例2】 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：
如
(2)g(m,n)=(-m,-n),如
按照以上变换有： 那么
针对练习2
1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A ，A ，A ，……都在格点上， ，都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ，则依图中所示规律， 的坐标为( )
B.(100,0)
D.(99,0)
2.定义：直线l 与l 相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l 的距离分别为p，q，则称有序非负实数对(p，q)是点 M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将三角形变换成 第三次将 变换成 ,已知点 A(1,3),A (3,3),A (5,3),A (7,3);B(2,0),B (4,0),B (8,0),B (16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ,则点 A 的坐标是 ,点 B 的坐标是 ;
(2)若按(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到 比较每次变换中三角形顶点的变化规律，推测 An的坐标是 ，Bn的坐标是 .
坐标与规律
知识导航
1.坐标与点的变化规律问题；
2.坐标与图形变换规律及新定义型问题.
【板块一】 坐标与点的移动规律问题
方法技巧
点的坐标规律问题，解题的关键是明确题意，找出图形中点点坐标的变化规律，求出相应的点的坐标.
【例1】 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动1个单位长度,依次得到点A (0,1),A (1,1),A (1,0),A (2,0),A (2,1),…,则点A 的坐标是 (1009,1) .
【分析】 根据图形可求出点A ，A ，A ，A ，…，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律 )(n为自然数)”，依此规律即可得出结论.
【解答】观察图形可知:A (1,1),A (3,1),A (5,1),A (7,1),…,∴A (1+2n,1)(n为自然数).∵2018=504×4+2,∴n=504,∵1+2×504=1009,∴A (1009,1).
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),…,如果(1,0)是第一个点,探究规律如下:
(1)坐标为(3,0)的是第 6 个点,坐标为(5,0)的是第 15 个点;
(2)坐标为(7,0)的是第 28 个点;
(3)第74个点的坐标为 (12,7) .
【分析】 (1)根据图形可以解答本题；
(2)根据图形中点的规律，可以得到坐标为(7，0)的点；
(3)根据图形中点的规律，可以估算出第74个点在多少列，从而可以解答本题.
【解答】 (1)由图可知,坐标为(3,0)的点是第1+2+3=6个点,坐标是(5,0)的点是第1+2+3+4+5=15个点,故答案为:6,15;
(2)坐标为(7,0)的点是第1+2+3+4+5+6+7=28个点,故答案为:28;
(3)∵(11,0)是第1+2+3+…+11=66个点,(12,11)是第1+2+3+……+12=78个点,
∴第74个点是(12,7),故答案为:(12,7).
【例3】如图,在平面直角坐标系中有点A (1,0),点A 第一次跳动至点 A (-1,1),第二次点 A 跳动至点 A (2,1),第三次点 A 跳动至点A (-2,2),第四次点 A 跳动至点A (3,2),…,依此规律跳动下去，则点 A 与点 A 之间的距离是( C )
A.2017 B.2018 C.2019 D.2020
【分析】 根据图形观察发现，第偶数次跳动到的点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动到的点是该偶数次跳动的点的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A 与点A 的坐标，进而可求出点A 与点 A 之间的距离.
【解答】 观察发现,第2n次跳动至点的坐标是(n+1,n),则第2018次跳动至点的坐标是(1010,1009),第2017次跳动至点A 的坐标是(-1009,1009).∵点A 与点 A 的纵坐标相等,∴点 A 与点 A 之间的距离=1010-(-1009)=2019,故选 C.
针对练习1
1.在平面直角坐标系中，点A(1，0)第一次向左跳动至 ，第二次向右跳至A (2,1),第三次向左跳至. ，第四次向右跳至A (3，2)，……，依照此规律跳动下去，点A第2017次跳动后至 A 的坐标是( A )
A.(-1009,1009) B.(1009,1008) C.(-1008,1008) D.(1008,1007)
2.在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，……，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( C )
A.(66,34) B.(67,33) C.(100,33) D.(99,34)
3.如图,在平面直角坐标系中,一个点从A(a ,a )出发,沿图中路线依次经过B(a ,a ),C(a ,a ),D(a ,a ),…,按此规律一直运动下去,则 的值为( D )
A.1007 B.1009 C.1511 D.1514
4.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3,1),(3,0),(3,-1),…,根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为( D )
A.(14,0) B.(14,-1) C.(14,1) D.(14,2)
5.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A→B→C→D→A→， ，的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 (1，0) .
6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，从原点开始依次为(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),……,按此规律,第2019个点的坐标是 (6,44) .
【板块二】 坐标与图形变换规律及新定义型问题
方法技巧
1.图形变换问题：仔细观察，找到图形中线段长度，转化为点的坐标；
2.新定义问题：读懂题意，依照题意操作得解.
【例1】 (2018·江岸)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),AB=5,对 OAB 连续做旋转变换,依次得到△ ,△ ,△ ,△ ,…,则△ 的直角顶点的坐标为 (8064,0) .
【分析】 由题意得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2017÷3=672…1，于是可判断三角形2017与三角形1的状态一样，然后计算672×12即可得到三角形2017的直角顶点坐标.
【解答】 ∵A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∵AB=5,∴△ABC的周长=3+4+5=12,
∵△OAB每连续旋转3次后与原来的状态一样，∵2017÷3=672……1，∴△ 的直角顶点是第 672个循环组后第一个三角形的直角顶点,∴三角形2017的直角顶点的横坐标=672×12=8064,∴三角形2017的直角顶点坐标为(8064,0).
【例2】 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：
(1)f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);
(2)g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).
按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,4),那么g[f(-3,2)]= (3,2) .
【分析】 根据 f，g的规定进行计算即可得解.
【解答】 ∵f(-3,2)=(-3,-2),∴g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2).
针对练习2
1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A ，A ，A ，……都在格点上，△A A A ,△A A A ,△A A A ,…,都是斜边在x轴上,且斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A A A 的三个顶点坐标为A (2,0),A (1,—1),A (0,0),则依图中所示规律,A 的坐标为( A )
A.(-100,0) B.(100,0)
C.(-99,0) D.(99,0)
2.定义：直线l 与l 相交于点O，对于平面内任意一点 M，点M到直线l ，l 的距离分别为p，q，则称有序非负实数对(p，q)是点 M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 因为平面中两条直线l 和l 相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l 和l 的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个.故选：D.
3.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA B ，第二次将三角形变换成 第三次将△OA B ,变换成△OA B ,已知点A(1,3),A (3,3),A (5,3),A (7,3);B(2,0),B (4,0),B (8,0),B (16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ,则点 A 的坐标是 (9,3) ,点 B 的坐标是 (32,0) ;
(2)若按(1)找到的规律将△OAB 进行了n 次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点的变化规律，推测 An的坐标是 (2n+1，3) ，Bn的坐标是 (2"+ ,0) .
【解答】 (1)已知点A(1,3),A (3,3),A (5,3),A (7,3),点A ,A , ,A 坐标找规律,从而发现点A 的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3.同理点 B ，B ，B 也一样有规律，规律为点 B 的横坐标为2 ，纵坐标为0.由上规律可知：(1)点A 的坐标是(9,3),点B 的坐标是(32,0);(2)点A 的坐标是(2n+1,3),点B 的坐标是(

展开更多......

收起↑