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二元一次方程组及其解法
知识导航
1.二元一次方程及二元一次方程组的概念与它们的解.
2.四种解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法，合并法，换元法.
3.三种解决二元一次方程组问题的数学思想：消元思想，整体思想，建模思想.
4.含参数的二元一次方程组的解的讨论.
【板块一】 二元一次方程(组)及其解
方法技巧
1.涉及二元一次方程(组)的概念问题，围绕“二元”与“一次”解题.
2.涉及二元一次方程(组)解的问题，通常采用代入法.
3.任何一个二元一次方程都有无数个解，而二元一次方程组中各个方程的公共解，才叫作这个二元一次方程组的解.
题型一 二元一次方程(组)的概念
【例1】 若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，求a的值.
【练1】 如果 是关于x和y的二元一次方程，则
题型二 二元一次方程(组)的解
【例2】 对于二元一次方程2x+y=10.
(1)求其正整数解；
(2)若x+y=7,求x,y的值.
【练2】 方程x+2y=7在自然数范围内的解( )
有无数对 B.只有1对 C.只有3对 D.只有4对
题型三 构建二元一次方程组
【例3】 若 则
【练3】 已知 和 是同类项，则m，n的值分别是( )
A.0,6 B.1,-1 C.-1,4 D.4,0
针对练习1
1.下列方程：(①2x-y/ =1;②π/2+ /y=3;③x -y =4;④5(x+y)=7(x+y);⑤2x =3;⑥x+ /y=4.其中是二元一次方程的是 .
2.方程x+2y=7的解有 个，其中正整数解它们是 .
3.已知 则
4.已知方程组 是关于x，y的二元一次方程组，求m的值.
5.已知 是方程组 的解，求( 的平方根.
6.已知代数式 当x=-1时,它的值是-5;当x=-2时,它的值是4,求 p,q的值.
【板块二】 二元一次方程组的解法(常规解法)
方法技巧
1.解二元一次方程组，用一个未知数的代数式表示另一个末知数是解题的关键.
2.当方程组中未知数的系数较小时，可用代入法；当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法；当两方程系数相加(或相减)后未知数的系数相同时用合并法较为简单.
3.如果所给方程组较复杂，不易观察，就先变形(去分母、去括号、移项、合并等)，再判断用哪种方法好.
题型一 运用代入消元法解方程组
【例1】 解方程组
【练1】 解方程组
题型二 运用加减消元法解方程组
【例2】 解方程组：
【练2】 解方程组(
题型三 运用合并法解方程组
【例3】 解方程组 ①②
【练3】 (1)请你运用上述方法解方程组
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么 并用方程组的解加以验证.
针对练习2
1.解方程组： 2.解方程组：
3.解方程组： 4.解方程组：
【板块三】 二元一次方程组的解法(换元法)
方法技巧
1.换元法是设出一个辅助未知数来使复杂问题简单化.
2.当方程组中出现比例、分数比、相同的式子时，可构造元和设元.
题型一 运用比例换元法解方程组
【例1】 (1)解方程组 (2)解方程组
【练1】 (1)解方程组 (2)解方程组
题型二 运用整体换元法解方程组
【例2】 解方程组
【练2】 解方程组
题型三 运用均值换元法解方程组
【例3】 解方程组
【练3】 解方程组
针对练习3
1.解方程组 2.解方程组
3.解方程组 4.解方程组
【板块四】 整体思想解二元一次方程组
方法技巧
1.灵活运用等式的基本性质.
2.寻找两方程未知数系数与待求代数式间的关系.
题型一 整体加减
【例1】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求a-b的值.
【练1】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 则 的值为 .
题型二 整体代入
【例2】 运用“整体代入”法解方程组
【练2】 运用“整体代入”法解方程组
题型三 整体换元求值
【例3】 (2018·滨州)若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于a，b的二元一次方程组 的解是
【练3】 如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 求关于x，y的二元一次方程组 的解.
针对练习4
1.若 则
2.若 则
3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 则 的值是( )
A.-2 B.2 C.3 D.-3
,4.解方程组
【板块五】 含参数的二元一次方程组
方法技巧
1.有关二元一次方程组的解的问题，通常采用代入法，即将解代入原方程组，求方程中的字母系数.
2.含参数的方程组先把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值.
3.二元一次方程组解的个数只与两个方程的系数有关.
题型一 两个二元一次方程组有相同的解，求参数的值
【例1】若关于x，y的方程组 和的解完全相同，求的值.
【练1】 已知关于x，y的方程组和 的解相同，求m，n的值.
题型二 由方程组的错解问题求参数的值
【例2】 已知方程组 甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为 若按正确的计算，求x+6y的值.
【练2】 解方程组 时，本应解出 由于看错了系数c，从而得到解 试求a+b+c的值.
题型三 根据方程组解的性质求参数的值
【例3】 已知关于x，y的方程组 的解满足x+2y=2.
(1)求m的值;
(2)若a≥m,化简:|a+1|--|2-a|.
【练3】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求a的值.
题型四 根据方程组解的个数求参数的值或取值范围
【例4】 当a，b满足什么条件时，关于 x的方程 )与关于x，y的方程组 ②③都无解 请说明理由.
【练4】 请问m，n满足什么条件，方程组 (1)有无数解;(2)无解;(3)有唯一的解.
针对练习5
1.当m取什么值时，方程. 有公共解
2. a取哪些正整数值，方程组 的解x和y都是正整数
已知关于x，y的方程组分别求出 k，b为何值时，方程组的解为：(1)有唯一解；(2)有无数多个解；(3)无解
二元一次方程组及其解法
知识导航
1.二元一次方程及二元一次方程组的概念与它们的解.
2.四种解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法，合并法，换元法.
3.三种解决二元一次方程组问题的数学思想：消元思想，整体思想，建模思想.
4.含参数的二元一次方程组的解的讨论.
【板块一】 二元一次方程(组)及其解
方法技巧
1.涉及二元一次方程(组)的概念问题，围绕“二元”与“一次”解题.
2.涉及二元一次方程(组)解的问题，通常采用代入法.
3.任何一个二元一次方程都有无数个解，而二元一次方程组中各个方程的公共解，才叫作这个二元一次方程组的解.
题型一 二元一次方程(组)的概念
【例1】 若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，求a的值.
【分析】 根据二元一次方程组的定义：方程组中含2个未知数且未知数的次数为1，得到|a|-2=1且a-3≠0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值.
【解答】 由题意知:|a|-2=1且a-3≠0,∴a=-3.
【练1】 如果 是关于x和y的二元一次方程，则m-n= -5 .
题型二 二元一次方程(组)的解
【例2】 对于二元一次方程2x+y=10.
(1)求其正整数解；
(2)若x+y=7,求x,y的值.
【分析】 此题通过开放式问题，可归纳、疏理二元一次方程整数解类问题便是依次列举满足方程的未知数的值；会选择并运用代入、加减消元法解二元一次方程组.
【解答】
(2)联立二元一次方程得： 解得
【练2】 方程x+2y=7在自然数范围内的解( D )
有无数对 B.只有1对 C.只有3对 D.只有4对
题型三 构建二元一次方程组
【例3】 若 则
【分析】 由绝对值以及平方运算的非负性可将已知条件转化为二元一次方程组.
【解答】 由题意可知 解得
【练3】 已知 和 是同类项，则m，n的值分别是( C )
A.0,6 B.1,-1 C.-1,4 D.4,0
针对练习1
1.下列方程：①2x- =1;② + /y=3;③x -y =4;④5(x+y)=7(x+y);⑤2x =3;( 其中是二元一次方程的是 ①④ .
2.方程x+2y=7的解有 无数 个，其中正整数解它们是
3.已知 则
4.已知方程组 是关于x，y的二元一次方程组，求m的值.
【解答】 依题意,得|m-2|-2=1,且m-3≠0,m+1≠0,解得m=5.
5.已知 是方程组 的解，求( 的平方根.
【解答】m=-1,n=0,所以( 所以 的平方根是±1.
6.已知代数式 当x=-1时,它的值是-5;当x=-2时,它的值是4,求p,q的值.
【解答】 p=-6,q=-12.
【板块二】 二元一次方程组的解法(常规解法)
方法技巧
1.解二元一次方程组，用一个未知数的代数式表示另一个末知数是解题的关键.
2.当方程组中未知数的系数较小时，可用代入法；当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法；当两方程系数相加(或相减)后未知数的系数相同时用合并法较为简单.
3.如果所给方程组较复杂，不易观察，就先变形(去分母、去括号、移项、合并等)，再判断用哪种方法好.
题型一 运用代入消元法解方程组
【例1】 解方程组
【分析】 代入消元法的方法(步骤)：
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
(2)把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
(3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
(4)把所求得的一个未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解.
【解答】
【练1】 解方程组
【解答】
题型二 运用加减消元法解方程组
【例2】 解方程组
【分析】 (1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.
(2)如果所给(列)方程组较复杂，不易观察，就先变形(去分母、去括号、移项、合并等)，再判断用哪种方法消元好.
【解答】
【练2】 解方程组
【解答】
题型三 运用合并法解方程组
【例3】 解方程组 ①②
【分析】 由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而观察两方程系数相加(或相减)后未知数的系数相同，故可运用合并法逐步将方程系数变小、直至消去.
【解答】 ②-①得:3x+3y=3,所以x+y=1③
③×14得:14x+14y=14④
①-④得:y=2,从而得x=-1.
所以原方程组的解是
【练3】 (1)请你运用上述方法解方程组
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么 并用方程组的解加以验证.
【解答】
当x=-1,y=2时,第一个方程:左边=-m+(m+1)×2=-m+2m+2=m+2=右边
第二个方程:左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2=n+2=右边
是原方程组的解.
针对练习2
1.解方程组 2.解方程组
【解答】 【解答】
3.解方程组： 4.解方程组
【解答】 【解答】
【板块三】 二元一次方程组的解法(换元法)
方法技巧
1.换元法是设出一个辅助未知数来使复杂问题简单化.
2.当方程组中出现比例、分数比、相同的式子时，可构造元和设元.
题型一 运用比例换元法解方程组
【例1】 (1)解方程组 (2)解方程组
【分析】 形如 的式子，均可按照比例来换元，从而简化运算.
【解答】 (1)由①可设 代入②,得2k+6k=8,∴k=1.
∴原方程组的解是
(2)由①,得
设 则x=3k-1,y=4k-2,
代入②，得
∴k=1.∴x=3-1=2,y=4-2=2.
∴原方程组的解是
【练1】 (1)解方程组 (2)解方程组
【解答】
题型二 运用整体换元法解方程组
【例2】 解方程组
【分析】 从该方程组的特点可以看出，把 各视为一个整体，利用整体换元法较为简捷.
【解答】 设 原方程组可化为 解得 即 解得 原方程组的解为
【练2】 解方程组
【解答】
题型三 运用均值换元法解方程组
【例3】 解方程组
【分析】 本题若按常规设法,可设2x=6+t,3y=6-t,此时 由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设2x=6+6t,3y=6-6t,此时x=3+3t,y=2-2t,没有出现分数,使运算变得简捷.
【解答】 由①可设2x=6+6t,3y=6-6t,即x=3+3t,y=2-2t,
代入②,得7(3+3t)-17(2-2t)=97.
∴t=2.∴x=3+3×2=9,y=2-2×2=-2.
∴原方程组的解为
【练3】 解方程组
【解答】
针对练习3
1.解方程组 2.解方程组
【解答】 【解答】
3.解方程组 4.解方程组
【解答】 【解答】
【板块四】 整体思想解二元一次方程组
方法技巧
1.灵活运用等式的基本性质.
2.寻找两方程未知数系数与待求代数式间的关系.
题型一 整体加减
【例1】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求a-b的值.
【分析】 根据方程组的解满足方程，可得关于a，b的方程组，观察所求式子的系数，将方程组中的两个方程整体加减即可得答案.
【解答】 把 代入 得
②-①,得a-b=1.
【练1】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a+2b的值为 2 .
题型二 整体代入
【例2】 运用“整体代入”法解方程组
【分析】 将方程②变形为包含方程①的整系数倍数的方程，然后将方程①整体代入求解.
【解答】 将方程②变形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③,把方程①代入③得:2×3+y=5,y=-1,把y=-1代入①得x=4，所以，方程组的解为
【练2】 运用“整体代入”法解方程组
【解答】
题型三 整体换元求值
【例3】 (2018·滨州)若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于a，b的二元一次方程组 的解是
【分析】 利用关于x，y的二元一次方程组 解是 可得m，n的数值，代入关于a，b的方程组即可求解，但利用整体的思想，找到两个方程组的联系求解的方法更好.
【解答】 关于x，y的二元一次方程组 的解是
由关于a，b的二元一次方程组 可知 解得
【练3】 如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 求关于x，y的二元一次方程组 的解.
【解答】
针对练习4
1.若x-y=5,则15-x+y= 10 .
2.若 ,则3x+y+1= 0 .
3.(2017·眉山)已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a-2b的值是( B )
A.-2 B.2 C.3 D.-3
4.解方程组
【解答】
【板块五】 含参数的二元一次方程组
方法技巧
1.有关二元一次方程组的解的问题，通常采用代入法，即将解代入原方程组，求方程中的字母系数.
2.含参数的方程组先把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值.
3.二元一次方程组解的个数只与两个方程的系数有关.
题型一 两个二元一次方程组有相同的解，求参数的值
【例1】若关于x，y的方程组 和的解完全相同，求的值.
【分析】 几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的方程组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程(或方程组)即可.
【解答】 由题意得 解得
解得
∴原式
【练1】 已知关于x，y的方程组和 的解相同，求m，n的值.
【解答】
题型二 由方程组的错解问题求参数的值
【例2】 已知方程组 甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为 若按正确的计算，求x+6y的值.
【分析】 利用二元一次方程组的解的定义，把x=-3,y=-1代入②得b=10;将x=4,y=3代入①得a=3,则原方程组为 再利用加减消元法解此方程组得到x和y的值，然后计算x+6y的值.
【解答】 将x=-3,y=-1代入②得-12+b=-2,即b=10;将x=4,y=3代入①得4a+3=15,即a=3,原方程组为 所以 所以
【练2】解方程组 时，本应解出 由于看错了系数c，从而得到解 试求a+b+c的值.
【解答】 7.
题型三 根据方程组解的性质求参数的值
【例3】 已知关于x，y的方程组 的解满足x+2y=2.
(1)求m的值;
(2)若a≥m,化简:|a+1|-|2-a|.
【分析】 (1)根据二元一次方程组的解法即可求出答案.(2)根据绝对值的性质即可求出答案.
【解答】 ∴①-②得:2(x+2y)=m+1.
∵x+2y=2,∴m+1=4,∴m=3;
(2)∵a≥m,即a≥3,∴a+1>0,2-a<0,∴原式=a+1-(a-2)=3.
【练3】 已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求a的值.
【解答】 a=1.
题型四 根据方程组解的个数求参数的值或取值范围
【例4】 当a，b满足什么条件时，关于x的方程 )与关于x，y的方程组 都无解 请说明理由.)
【分析】 要讨论二元一次方程组的解，我们可以将它通过消元转化为讨论只含有一个未知数的方程的解的问题来解决，形如 ax=b，当a=b=0时，方程组有无数解；当a≠0时，方程组有唯一解；当a=0，b≠0时，方程组无解.
【解答】 当方程①无解时,2b -18=0,解得b=±3.由②得y= ax+1,代入③得3x-2(ax+1)=b-5,整理得(3-2a)x=b——3④，当方程④无解时，必有 所以 综上所述，a，b应满足条件
【练4】 请问m，n满足什么条件，方程组 (1)有无数解;(2)无解;(3)有唯一的解.
【解答】 (1)m=10,n=14;(2)m=10,n≠14;(3)m≠10.
针对练习5
1.当m取什么值时,方程x+2y=2,2x+y=7, mx--y=0有公共解
【解答】
2. a取哪些正整数值，方程组 的解x和y都是正整数
【解答】
3.已知关于x，y的方程组分别求出 k，b为何值时，方程组的解为：(1)有唯一解；
(2)有无数多个解；(3)无解
【解答】 (1)k≠1;(2)k=1,b=2;(3)k=1,b≠2.

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