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坐标与面积
知识导航
1.三角形面积问题；2.多边形面积问题；3.含参数面积问题.
【板块一】 三角形面积问题
方法技巧
在平面直角坐标系中，解决面积问题时，常常将面积问题转化为点的坐标问题，会用到点到坐标轴的距离和点与点之间的距离，通过直接求解或者间接求解两种方法.
题型一 三角形的一边在坐标轴上
【例1】 如图,点A(-2,0),B(0,1),C(0,4),求 的面积.
【例2】 如图,点A(-1,0),B(3,0),C(4,3),求△ABC的面积.
题型二 三角形的一边与坐标轴平行
【例3】 如图,点A(-2,-1),B(-2,5),C(4,3),求△ABC的面积.
【例4】 如图,点A(-2,-2),B(4,-2),C(2,3),求△ABC的面积.
题型三 三角形的三边都不在坐标轴上也不与坐标轴平行
【例5】 如图,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.
【例6】 如图,点A(-3,1),B(3,3),C(1,-1),求△ABC的面积.
【例7】 如图,点A(3,5),B(-3,-1),C(1,0),求△ABC的面积.
针对练习1
1.如图,若点A(-1,1),B(2,1),C(3,3),则△ABC的面积为 .
2.如图,若点A(0,3),B(-2,-2),C(4,1),BC交y轴于点D(0,-1),则△ABC的面积为 .
3.如图,若点A(0,2),B(-1,0),C(2,-1),则△AOC的面积为 ;△ABC的面积为 .
4.如图,点A(1,0),B(2,2),C(m,0),D(2,n),若△ABC的面积和△ABD的面积均为4,则m= ,n= .
5.如图,若点A(1,4),B(-1,-1),C(3,1),求 的面积.
6.如图,点 A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)求 的面积；
(2)设点 P 在坐标轴上，且. 与 的面积相等，求点 P 的坐标.
【板块二】 多边形面积问题
方法技巧
多边形面积计算，一般采取“分割法”或“围栏法”.
【例1】 如图所示的平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0),B(9,0),C(7,5),D(2,7).求四边形ABCD的面积.
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是求这个四边形的面积.
针对练习2
1.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形 ABCD是格点四边形(顶点为网格线的交点).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
2.如图,若A(3,3),B(1,1),C(2,0),D(4,1),求四边形ABCD的面积.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(2,4),将线段AB先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到线段CD(C在D 的下方)，求线段AB在整个平移过程中扫过的面积，并直接写出四边形ABCD的面积.
【板块三】 含参数面积问题
方法技巧
此类问题中，点的坐标可能含有参数，或者坐标未知，通过用参数(或设未知数)来表示点的坐标，从而表示出线段长，进而表示出图形面积，再结合题目给出的条件建立关系式来解决问题.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)和点 B(0，5)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，求a的值.
【例2】 在平面直角坐标系中,点A(a,2),B(a+4,2),C(b,-1),求△ABC的面积.
【例3】 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.
(1)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形ABOP 的面积；
(2)在(1)的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与 的面积相等 若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
【例4】已知点A(a,3),点B(b,6),点C(5,c), 轴， 轴，点B 在第二象限的角平分线上.
(1)写出A,B,C三点坐标;
(2)求 的面积；
(3)若点 P 为线段OB 上的动点，当 面积大于12小于16时，求点 P 的横坐标的取值范围.
针对练习3
1.在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,1),C(x,y).
(1)若 且
①求x,y的值;
②求 的面积；
(2)如果点C在x轴上，且以A，B，C三点为顶点的三角形的面积为9，求点C的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为A(2,0),B(0,4),C(-3,2).
(1)求 的面积；
(2)若点 P 的坐标为(m,0),
①请直接写出线段AP 的长为 (用含 m 的式子表示)；
②当 时，求m的值；
(3)若AC交y轴于点M，直接写出点M的坐标为 .
3.在平面直角坐标系中,A(0,a),B(5,b),且a,b满足| 平移线段AB至CD，其中A，B的对应点分别为C，D,CD交y轴于点E.
(1)a= ,b= (直接写出结果);
(2)若点C的坐标为(-2,m),三角形 DOE 的面积为 ，求点 D 的坐标.
4.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积’ .例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底” a=5, “铅垂高” h=4, “矩面积” S= ah=20.根据所给定义解决下列问题：
(1)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,6),则这三点的“矩面积”= .
(2)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,求点 F 的坐标.
5.在平面直角坐标系中,A(a,b),B(c,d),且
(1)直接写出a与c，b与d的关系式；
(2)如果b=c=0,若点 且m>0,使得 求点 P 的坐标；
(3)如果b=3,连接AB交x轴于点Q.
①直接写出点 Q的坐标(用含a 的式子表示)；
②若S△AOB≤24,求a 的取值范围.
坐标与面积
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1.三角形面积问题；2.多边形面积问题；3.含参数面积问题.
【板块一】 三角形面积问题
方法技巧
在平面直角坐标系中，解决面积问题时，常常将面积问题转化为点的坐标问题，会用到点到坐标轴的距离和点与点之间的距离，通过直接求解或者间接求解两种方法.
题型一 三角形的一边在坐标轴上
【例1】 如图,点A(-2,0),B(0,1),C(0,4),求△ABC的面积.
【分析】 ∵△ABC的边BC在y轴上，∴以BC为底，点A到y轴距离即AO为高计算.
【解答】 ∵A(-2,0),∴OA=2,∵B(0,1),C(0,4),∴BC=4-1=3,
【例2】 如图,点A(-1,0),B(3,0),C(4,3),求△ABC的面积.
【分析】 ∵△ABC的边AB在x轴上，∴以AB为底，点C到x轴距离为高计算.
【解答】 过点C作CH⊥x轴,垂足为H.∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,
题型二 三角形的一边与坐标轴平行
【例3】 如图,点A(-2,-1),B(-2,5),C(4,3),求△ABC的面积.
【分析】 ∵A,B两点的横坐标都是-2,∴AB平行y轴,∴可以AB为底,点C到AB距离为高，计算△ABC的面积.
【解答】 过点C作CH⊥AB,垂足为 H.∵A(-2,-1),B(-2,5),∴AB∥y轴
【例4】 如图,点A(-2,-2),B(4,-2),C(2,3),求△ABC的面积.
【分析】 ∵A,B两点的纵坐标都是-2,∴AB平行x轴,∴可以AB为底,点C到AB 距离为高，计算△ABC的面积.
【解答】 过点C作CH⊥AB,垂足为 H.∵A(-2,-2),B(4,-2),,AB=6,∵C(2,3),CH=5,∴S△ABC= ×AB×CH= ×6×5=15.∴AB∥x轴,
题型三 三角形的三边都不在坐标轴上也不与坐标轴平行
【例5】 如图,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.
【分析】 △AOB的三边都不在坐标轴上，也不与坐标轴平行，故可用“围栏法”.
【解答】 过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F.
12+4-6=10.
【例6】 如图,点A(-3,1),B(3,3),C(1,-1),求△ABC的面积.
【分析】 由于△ABC的三边都不在坐标轴上，也不与坐标轴平行，因此可采取“围栏法”，通过面积和差计算.
【解答】 过点C作EF∥x轴，分别过点 A，B作直线EF 的垂线，垂足分别为 E，F.∵A(-3,1),C(1,-1),B(3,3),
-
【例7】 如图,点A(3,5),B(-3,-1),C(1,0),求△ABC的面积.
【分析】 △ABC的三边既不在坐标轴上又不与坐标轴平行，故采用“围栏法”.∠ACB为钝角，可围成三角形与三角形之间的和差计算.
【解答】 过A作直线l∥y轴,过B作直线BD⊥l于点D,连接CD,则
针对练习1
1.如图,若点A(-1,1),B(2,1),C(3,3),则. 的面积为 3 .
2.如图,若点A(0,3),B(-2,-2),C(4,1),BC交y轴于点. 则 的面积为 12 .
3.如图,若点 A(0,2),B(-1,0),C(2,-1),则 的面积为 2 ; \triangle A B CC的面积为
4.如图,点A(1,0),B(2,2),C(m,0),D(2,n),若 的面积和 的面积均为4，则 5或-3 ,n= 10或-6 .
5.如图,若点A(1,4),B(-1,-1),C(3,1),求△ABC的面积.
【解答】 过点C作直线l∥y轴,过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E,
6.(2018·阳谷)如图,点A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)求△ABC的面积;
(2)设点 P 在坐标轴上,且△ABP 与△ABC的面积相等，求点 P 的坐标.
【解答】 4;
(2)如图所示：
【板块二】 多边形面积问题
方法技巧
多边形面积计算，一般采取“分割法”或“围栏法”.
【例1】 如图所示的平面直角坐标系中,四边形 ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0),B(9,0),C(7,5),D(2,7).求四边形 ABCD 的面积.
【分析】 AB边在x轴上，可采用“分割法”.
【解答】 过点D,C分别作DE,CF垂直于AB,E,F分别为垂足,则有:
故四边形ABCD的面积为42平方单位.
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(-2,-3),B(5,-2),C(2,4),D(-2,2),求这个四边形的面积.
【分析】 本例可采用“围栏法”.
【解答】 过C点作x轴的平行线，与AD的延长线交于点F，作BE⊥CF，交 FC的延长线于点E,根据点的坐标可知,AF=7,DF=2,EF=7,CE=3,CF=4,BE=6,
针对练习2
1.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形(顶点为网格线的交点).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解答】 (1)由图可知点A(4,1),B(0,0),C(-2,3),D(2,4);
(2)四边形ABCD的面积
2.如图,若A(3,3),B(1,1),C(2,0),D(4,1),求四边形ABCD的面积.
【解答】 四边形ABCD的面积为 (提示：方法较多，仅提供一种作参考，连接BD,则BD∥x轴,
3.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(2,4),将线段AB先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到线段CD(C在D 的下方)，求线段AB在整个平移过程中扫过的面积，并直接写出四边形ABCD的面积.
【解答】 如图，设AB向右平移2个单位长度后得到线段MN，连接AM，CM，BN，DN，则线段AB在整个平移过程中扫过的面积、
∴四边形 ABCD的面积为10.
【板块三】 含参数面积问题
方法技巧
此类问题中，点的坐标可能含有参数，或者坐标未知，通过用参数(或设未知数)来表示点的坐标，从而表示出线段长，进而表示出图形面积，再结合题目给出的条件建立关系式来解决问题.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)和点 B(0，5)两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，求a的值.
【分析】 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a的值有两种情况.
【解答】 直线AB与坐标轴围成的三角形为△AOB,∵A(a,0),B(0,5),∴OA=|a|,OB=5,
【例2】 在平面直角坐标系中,点A(a,2),B(a+4,2),C(b,-1),求△ABC的面积.
【分析】 ∵A，B两点的纵坐标都是2，∴AB平行x轴，∴可以AB为底，点C到AB点距离为高计算面积.
【解答】 ∵A,B两点的纵坐标都是2,∴AB平行x轴,∴AB=a+4-a=4,点C到AB 的距离为2-(-1)=3,
【例3】 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.
(1)如果在第二象限内有一点 P(m， )，请用含m的式子表示四边形ABOP 的面积；
(2)在(1)的条件下，是否存在点 P，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等 若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】 根据点的坐标即可表示出四边形ABOP 的面积.
【解答】
则m=-3,∴存在点 P(-3, ),使
【例4】已知点A(a,3),点B(b,6),点C(5,c),AC⊥x轴,CB⊥y轴,点B在第二象限的角平分线上.
(1)写出A,B,C三点坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)若点 P 为线段OB 上的动点，当△BCP 面积大于12小于16时，求点 P 的横坐标的取值范围.
【分析】 (1)根据题意得出点A和C的横坐标相同，点B和C的纵坐标相同，得出A(5，3)，C(5，6)，由角平分线的性质得出点B的坐标；
(2)由BC=5-(-6)=11,即可得出△ABC的面积;
(3)设 P 的坐标为(a,-a),则△BCP 的面积 根据题意得出不等式 解不等式即可.
【解答】 (1)∵AC⊥x轴,CB⊥y轴,
∴点A 和点C的横坐标相同，点B和点C的纵坐标相同，
∴A(5,3),C(5,6),∵点B在第二象限的角平分线上,∴B(-6,6);
(2)∵BC=5-(-6)=11,∴△ABC的面积
(3)设点 P 的坐标为(a,-a),则△BCP 的面积
∵△BCP 面积大于12小于16,.
解得 即点P的横坐标取值范围为
针对练习3
1.在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,1),C(x,y).
(1)若BC∥OA,且BC=2,
①求x,y的值;
②求△ABC的面积;
(2)如果点C在x轴上，且以A，B，C三点为顶点的三角形的面积为9，求点C的坐标.
【解答】 (1)①∵BC∥OA,∴点C与B的横坐标相同为3,∵BC=2,∴点C的纵坐标为-1或3;
∴x=3,y=-1或3;②△ABC的面积
(2)设点C的坐标为(x，0)，分两种情况：①点C在直线AB 与x轴的交点的右边时，如图1所示，△ABC的面积 解得x=10,∴点C的坐标为(10,0);
②点C在直线AB与x轴的交点的左边时，如图2所示，△ABC的面积 3×3=9,
解得x=-2,∴点C的坐标为(-2,0).综上所述,点C的坐标为(10,0)或(-2,0).
2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,0),B(0,4),C(--3,2).
(1)求△ABC的面积;
(2)若点 P 的坐标为(m,0),
①请直接写出线段AP的长为 |m-2| (用含m的式子表示)；
②当S△PAB=2S△ABC时,求m 的值;
(3)若AC交y轴于点M，直接写出点M的坐标为 (0, ) .
【解答】 (1)过点C作CD⊥x轴,垂足为.D,∵A(2,0),B(0,4),C(-3,2),∴D(-3,0),∴AD=5,CD=2,
的面积是8；
(2)①根据题意得：AP=|m-2|;②∵S△PAB=2S△ABC,∴ |m-2|×4=2×8,
∴|m-2|=8,∴m-2=8或m-2=-8,∴m=10或m=-6;
(3)面积法可得M(0, ).
3.在平面直角坐标系中,A(0,a),B(5,b),且a,b满足|3a+ 平移线段AB 至CD，其中A，B的对应点分别为C，D,CD交y轴于点E.
(1)a= -2 ,b= -4 (直接写出结果);
(2)若点C的坐标为(-2,m),三角形 DOE 的面积为 ，求点 D 的坐标.
【解答】 (1)a=-2,b=-4;
由点A(0,-2),C(-2,m)可知,线段AB向左平移2个单位长度,向上平移(2+m)个单位长度至CD,∵B(5,-4),则D(3,m-2),分别过点D,C作DF⊥y轴于点F,DG⊥x轴于点G，CH⊥x轴于点H, 即 解得m=4,即D(3,2).
4.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底” a=5, “铅垂高” h=4, “矩面积” S= ah=20.根据所给定义解决下列问题：
(1)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,6),则这三点的“矩面积”= 15 .
(2)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,求点 F 的坐标.
【解答】 (1)由题意可得,∵点D(1,2),E(-2,1),F(0,6),∴a=1-(-2)=3,h=6-1=5,
∴S= ah=3×5=15,故答案为:15;
(2)由题意可得，“水平底 ,当t>2时,h=t-1,则3(t-1)=18,解得,t=7,故点F的坐标为(0,7);当1≤t≤2时,h=2-1=1≠6,故此种情况不符合题意;
当t<1时,h=2-t,则3(2-t)=18,解得t=-4,故点F的坐标为(0,-4),∴点F的坐标为(0,7)或(0,-4).
5.(2018·硚口)在平面直角坐标系中,A(a,b),B(c,d),且
(1)直接写出a与c，b与d 的关系式；
(2)如果b=c=0,若点 且m>0,使得 求点 P 的坐标；
(3)如果b=3,连接AB交x轴于点Q.
①直接写出点 Q的坐标(用含a 的式子表示)；
②若S△AOB≤24,求a的取值范围.
【解答】 (1)a=c-4,b=d+6;
(2)由题意得,点A(-4,0),B(0,-6),连接PO,
解得m=4,∴P(4,12);(3)①Q(a+2,0);
②由题意得,点 A(a,3),B(a+4,-3),
解得-10≤a≤6,当a=-2时,A,O,B三点共线(舍去),∴当-10≤a≤6且a≠-2时,S△AOB≤24.

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