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平方根与算术平方根
知识导航
1.平方根的概念；
2.平方根的性质；
3.算术平方根的概念；
4.算术平方根的性质；
5.开平方，利用平方根的概念解一些特殊的一元二次方程；
6.利用算术平方根的非负性解题.
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解并掌握算术平方根的概念.
题型一 平方根的概念
【例1】 求下列各数的平方根：
(3)1; (4)0.
【练1】 求下列各数的平方根.
(1)25; (4)|-9|.
题型二 算术平方根的概念
【例2】 (1)计算 的结果为( )
A.2 B. -4 C.4 D.8
的算术平方根是 .
的平方根是 .
题型三 平方根的性质
【例3】 如果a-12与2a-3都是正数m的平方根,(a-12≠2a-3),试求m的值.
【练2】 (1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，则这个非负数是多少
(2)2a-1与-a+2是m的平方根,求m的值.
题型四 开平方
【例4】 计算:
(1) ;(2)± ;(3) ×9×10×11+1.
【练3】 下列说法是否准确 为什么
(1)7是49的算术平方根； 是 的一个平方根；
的平方根是-4； (4)0的平方根与算术平方根都是0.
题型五 用开平方法解方程
【例5】 求下列各式中x的值：
【练4】 求下列各式中x的值：
题型六 运用算术平方根的双重非负性解题
【例6】 (1)已知x,y是实数,且 则 xy=( )
A.4 B.-4 C.
(2)已知 解关于x的方程
【练5】 (1)若实数x,y满足 则x+y= .
(2)已知 求 的值.
题型七 利用 有意义的条件解题
【例7】 (1)已知 求2x+y的平方根.
(2)已知a满足 求 的值.
【练6】 若 求 xy的算术平方根.
针对练习1
的平方根是 ；(-4) 的平方根是 .
(2)169的算术平方根是 ; \sqrt{9}的算术平方根是 .
(3)若a的平方根是±5，则
2.已知x，y为实数，且 则x-y= .
3.若2m-3与m+6表示同一个数的平方根，求m的值.
4.观察下列各式的规律：若 则a= .
5.设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则[
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049
6.已知非零实数a，b满足 则a+b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.若a,b满足 则 的取值范围是 .
8.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1.现对72进行如下操作：
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，
(1)对81只需进行 次操作后变为1.
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【板块一】 平方根与算术平方根
知识导航
1.平方根的概念；
2.平方根的性质；
3.算术平方根的概念；
4.算术平方根的性质；
5.开平方，利用平方根的概念解一些特殊的一元二次方程；
6.利用算术平方根的非负性解题.
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解并掌握算术平方根的概念.
题型一 平方根的概念
【例1】 求下列各数的平方根：
(3)1; (4)0.
【分析】 根据平方根的概念求解，注意用式子表达.
【解答】
注意：数a(a≥0)的平方根是 当被开方数是带分数要化成假分数.
【练1】 求下列各数的平方根.
(1)25; (2) (4)|-9|.
【解答】
题型二 算术平方根的概念
【例2】 (1)计算 的结果为( )
A.2 B.-4 C.4 D.8
的算术平方根是 .
(3) 的平方根是 .
【分析】 根据平方根、算术平方根的概念求解即可，注意两者的区别.
【解答】 (1)C (2)3 (3)±3
题型三 平方根的性质
【例3】 如果a-12与2a-3都是正数m的平方根,(a-12≠2a-3),试求m的值.
【分析】 根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，于是由(a-12)+(2a-3)=0，先求出a的值，再求m.
【解答】 ∵a-12与2a-3都是m的平方根,且a-12≠2a-3,∴a-12与2a-3互为相反数,
即(a-12)+(2a-3)=0,解得( ,即m=49.
【练2】 (1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，则这个非负数是多少
(2)2a-1与-a+2是m的平方根,求m的值.
【分析】 (1)根据非负数的两个平方根互为相反数，可得2a-1+a-5=0，从而可求出a的值，再求出这个非负数；
(2)∵2a-1与-a+2是m的平方根,则2a-1与-a+2相等或互为相反数.
【解答】 (1)根据题意,有2a-1+a-5=0,解得a=2,所以这个非负数为(
(2)根据题意,分以下两种情况:①当2a-1=-a+2时,a=1,所以1
②当(2a-1)+(-a+2)=0时,a=-1,所以1
题型四 开平方
【例4】 计算:
(1) ;(2)± ;(3) ×9×10×11+1.
【分析】 就是求484的算术平方根；
就是求 的平方根；
(3)8×9×10×11+1=7921, ×9×10×11+1就是求7921的算术平方根.
【解答】 而∴
(3 39.
【练3】 下列说法是否准确 为什么
(1)7是49的算术平方根； (2) 是 的一个平方根；
(3)(-4) 的平方根是-4; (4)0的平方根与算术平方根都是0.
【解答】 (1)正确∵ ，且7>0，所以7是49的算术平方根；
(2)正确, ，所以 是 的一个平方根， 的平方根有两个± ,是正的那一个，也是算术平方根；
(3)错误. ，它有两个平方根，4和-4，而上述说法中只说出了-4，少了4.
(4)正确.
题型五 用开平方法解方程
【例5】 求下列各式中x的值：
【分析】 将方程转化为 的形式，再运用开平方运算，求出非负数的平方根.
【解答】 (
【练4】 求下列各式中x的值：
【解答】 (1)x=16或-18; 或
题型六 运用算术平方根的双重非负性解题
【例6】 (1)已知x,y是实数,且 则 xy=( )
A.4 B.-4 C.
【分析】 和(y-3) 都是非负数，只有当它们都是0时，它们的和才为0.
【解答】 B
(2)已知 解关于x的方程(
【分析】 先求出a，b的值，再解关于x的方程.
【解答】 ·由非负数的性质得 解得
∴原方程可化为-x+2=-4,解得x=6.
【点评】 ①算术平方根的双重非负性：一是被开方数是非负数，二是算术平方根本身为非负数.
②目前我们学习的非负数有 ,|b|,c 这三类.
【练5】 (1)若实数x,y满足 则x+y= .
(2)已知 求 的值.
【解答】 (2)
题型七 利用 有意义的条件解题
【例7】 (1)已知 求 2x+y的平方根.
【分析】 由 有意义的条件知：x=3，y=10，从而可求.
【解答】 ∵x-3≥0,3-x≥0,∴x=3,代入得,
(2)已知a满足 ,求a-2019 的值.
【分析】 有意义的条件是a-2020≥0，所以a≥2020，所以原式可变形为
【解答】 有意义的条件是a-2020≥0,∴a≥2020,∴原式可变形为 即： ∴两边平方得，
【方法技巧】 当a≥0时， 才有意义.当题目中出现式子√a时，就隐含了a≥0这个条件，解题时要注意挖掘.
【练6】 若 求 xy的算术平方根.
【解答】 2
针对练习1
的平方根是 ± ;(一4) 的平方根是 ±4 .
(2)169 的算术平方根是 13 ; \sqrt{9}的算术平方根是 .
(3)若a的平方根是±5，则
2.已知x，y为实数，且 则x-y= -1或-7 .
3.若2m-3与m+6表示同一个数的平方根，求m的值.
【解答】 -1或9.
4.观察下列各式的规律： 若 则a= 99 .
5.(五羊杯试题)设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则[
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049
6.(数学周报杯试题)已知非零实数a，b满足| ,则a+b=( C )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解答】 由题设知2a≥4，a≥2，所以题设的等式为 于是a=3,b=-2,从而a+b=1.
7.若a,b满足 则 的取值范围是 .
【解答】 提示： 变形代入 得 只需求出√a或|b|的范围即可.
8.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1.现对72进行如下操作：
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，
(1)对81只需进行 3 次操作后变为1.
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 .

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